Метод решения задачи размещения прямоугольников с переменными метрическими характеристиками Текст научной статьи по специальности «Математика»

и о бъекты по стереотипам. Система разбита на подсистемы с указанием количественных связей между ними. Модули, функционирование которых зависит от состояния, отражены в диаграммах состояний. Для прецедентов на диаграммах кооперации указано взаимодействие объектов во времени и по порядку поступления событий. Таким образом, в полученных моделях отражены все аспекты, которые необходимо исследовать и учесть при проектировании системы документооборота.

Устройство

печати

3.1 Запрос на утверждение

:Реюор

4 Приказ утвержден

О

4.1а Распечатать документ

Интерфейс электронной подписи документов

Деканат

1 Создать шаблон приказа

4.1с* Разослать всем

1.1 Заполнить шаблон приказа

:Кяфифя

2 Запрос

ин<]

2.3 Возвратить информацию об успеваемости

Устройство хранения (архив документов)

информации об\*ч успеваемости

Интерфейс

электронной

Дреподавагель

данные

2.1 Запрос на выдачу данных ,

БД

ведомостей

2.2 Выдать данные

S1.1

Сохранить результат

Рис. 7. Диаграмма кооперации для подсистемы приказов по прецеденту «Перевести студентов на следующий курс»

Выводы

Показано аналитическое моделирование методом COMET системы документооборота высшего учебного заведения. Научная новизна данного исследования состоит в получении модели, которая позволяет провести дальнейшее имитационное моделирование для оценки параметров реальной системы и определения участков, требующих оптимизации путем введения электронной системы документооборота. Для проектирования электронной системы удобно воспользоваться тем же методом, которым выполнялся анализ.

Такая модель представляет практическую значимость как для дальнейших исследований и расширения функциональности системы, так и для обучения персонала высшего учебного заведения. По результатам моделирования к настоящему моменту введена в эксплуатацию система ввода, обработки и хранения данных образовательного процесса в центре обучения студентов на иностранных языках. Проектируемая электронная система документооборота, как и существующая система сбора данных в деканате, предназначены для решения задач надежности сбора данных, обеспечения их доступности и информационной безопасности.

Литература: 1. ISO/IEC 12207:1995. 2. GomaaH. Designing Concurrent, Distributed, and Real-time Applications with UML, Addison-Wesley, 2000. 3. Jacobson I. Object-Oriented Software Engineering. S.1.: ASM press., 1992. 528p. 4. Вен-дров А. М. CASE-технологии: современные методы и средства проектирования информационных систем. М.: Финансы и статистика, 1998. 175с.

Поступила в редколлегию 05.12.2007

Рецензент: д-р техн. наук, проф. Руденко О.Г.

Горбачёв Валерий Александрович, канд. техн. наук, профессор каф. ЭВМ ХНУРЭ. Научные интересы: моделирование и проектирование систем. Увлечения и хобби: музыка, волейбол, автомобили. Адрес: Украина, 61166, Харьков, просп. Ленина, 14, тел. 8 (057) 702-14-27.

Островерхая Наталья Николаевна, ведущий инженер ЦОСИЯ, ХНУРЭ. Научные интересы: моделирование систем. Увлечения и хобби: книги, английский язык, ландшафтный дизайн. Адрес: Украина, 61166, Харьков, просп. Ленина, 14, тел. 8 (057) 702-14-27.

УДК 519.85

МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ РАЗМЕЩЕНИЯ ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ С ПЕРЕМЕННЫМИ МЕТРИЧЕСКИМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ

НОВОЖИЛОВА М.В., ЧУБ И.А, МУРИН М.Н.

Рассматривается оптимизационная задача размещения прямоугольных объектов с переменными метрическими характеристиками в заданной области. Предлагаются методы решения задачи. Проводится сравнительный анализ методов.

134

1. Постановка задачи

Рассмотрим класс задач оптимизационного геометрического проектирования [1], состоящих в поиске оптимального размещения конечного набора T = {T;}, i = 1,2,..., I геометрических объектов произвольной пространственной формы (intTj ^0 ) в заданной области T0 при наличии различных ограничений и критериев качества размещения.

В общем случае геометрическая информация g; об объекте Ti состоит из:

- совокупности пространственных форм {Sj}, составляющей объект ^ ;

РИ, 2007, № 4

- набора метрических характеристик (mj}, которые определяют размеры точечных множеств, имеющих пространственную форму (sj} ;

- параметров размещения (uj} объекта Т; в Т0 [1].

Во многих областях человеческой деятельности -оптимальное распределение ресурсов проекта, задачи энергосбережения, собственно задачи раскроя материалов [1-3] и др. возникают оптимизационные задачи, допускающие постановку в виде задач размещения объектов Т = (Т;} с переменными метрическими характеристиками m;, i = 1,2,..., I .

2. Анализ предыдущих исследований

Анализ отечественных и зарубежных публикаций, посвященных постановке и решению оптимизационных задач геометрического проектирования [1,2,4-7] и задач теории исследования операций, которые могут быть сформулированы в терминах теории оптимизационного геометрического проектирования, показал, что, несмотря на несомненный научный и практический интерес, задачи, в которых метрические характеристики объектов размещения - переменные величины, недостаточно изучен. Подавляющее число научных работ посвящено решению задач размещения, в которых эндогенными переменными являются метрические характеристики только области размещения. В [6] предложена математическая модель одной задачи оптимизационного геометрического проектирования, в которой предполагается, что не только параметры размещения uj,но иметрические характеристики mj объектов Т = (Т;}, i = 1,2,...,I, связанные функциональными зависимостями, являются эндогенными переменными задачи. Исследованы свойства области допустимых решений и функции цели задачи, позволяющие представить ее как набор задач выпуклого программирования.

mo = (W, Z), причем W - const, Z - var. Пусть также задан набор Т = {T; }, i = 1,2,..., I объектов разме-

2

щения. В пространстве R2 компонента (sj} геометрической информации об объекте Т; - прямоугольник.

Свяжем с каждым Т; собственную систему координат Х; О ;Y;, начало которой - левая нижняя вершина Т; - полюс объекта с параметрами размещения u; = (x;, у;) в общей системе координат ХОY : Т; = Т; (х;, у; ) (рис.1).

-►

X

Y

O

Z

Рис.1. Постановка задачи

Необходимо разместить набор объектов Т в полубесконечной полосе То без наложений друг на друга так, чтобы величина Z была минимальной.

Пусть метрические характеристики (a;,b;) ;=1,2,...,I удовлетворяют условию:

a; ^ [a; mm , a; max ], b; ^ [b; mm , b; max ] , (1)

a;m;n ^ 0, b;m;n ^ 0 .

Пусть площадь S; объекта Т при изменении метрических характеристик остается неизменной:

S; a;m;n х b;max a;max'

b ; m;n , т. е.

3. Цель и задачи исследования

Цель исследования - построение оптимизационного метода решения задачи размещения геометрических объектов с переменными метрическими характеристиками.

Задачи исследования: анализ основных свойств области допустимых решений рассматриваемой задачи, позволяющих осуществить ее представление как набор задач известной структуры; определение метода кусочно-линейной аппроксимации области допустимых решений задачи, позволяющего с наперед заданной точностью представить исходную задачу с нелинейными ограничениями как задачу линейного программирования; построение итерационного метода поиска локального минимума рассматриваемой задачи.

4. Математическая модель задачи

Пусть задана область размещения - полубесконечная 2

полоса - То сR2, so = «прямоугольник»,

b; =

_S

a;

(2)

Тогда вектор независимых переменных задачи имеет вид: ю = (xby1,abx2,y2,a2...,xi,yi,ai).

Итак, необходимо определить

m;n Z ,

(3)

где область допустимых решений D = D1 n D2 определяется условиями вида

D1 :intT;(X;,•y;,a;) п rnt TJ(XJ, yj,a j) = 0, (4)

D2 :Т; (x;, У;, a;) с То ,J = 1A-,U * j . (5)

5. Формализация геометрических ограничений задачи

Аналитическое описание условий (4) взаимного попарного непересечения объектов размещения, а также их принадлежность заданной области размещения (5) осуществляется с помощью аппарата ф -функций [1].

РИ, 2007, № 4

135

Многочисленные исследования посвящены построению и исследованию ф -функций пары объектов с постоянными метрическими характеристиками [3, 4,

7] различных типов пространственных форм. И только в некоторых работах [5,6] был предложен подход к учету возможности изменения метрических характеристик объектов и их пространственной формы при построении ф -функции.

Ф ш(хьуьаьто) =

= min{f5(xi),f6 (xi),f7(yi),f8(yi),f9(ai),f1o(ai)}.

(8)

Иначе говоря, условие Ф^ (xi, yi, ai, m0) > 0 описывается системой вида

Пусть mj = var, i = 1,2,...I, и выполнены условия (1)-(2). Любое сечение данного множества

Ti (xi,yi,ai) С R плоскостью ai — ai const , ai const

є {ai min, ai max } имеет пространственную форму прямоугольник (рис. 2).

Рис. 2. Сечение множества Ti3(xi, yi, ai) c R3

ф -функция [1,3], задающая условие взаимного непересечения объектов Ti (xi, yi, ai) и Tj(xj,yj,aj), удовлетворяет условию:

Fh1(ui,ai,m0)> 0, h = 1,2,3,4, • f9(ai) ^ 0,

f10(ai) ^ 0, i = 1,2, —, I,

(9)

Ff(ui,ai,m0) = -xi, F2(ui,abm0) = z - xi - ai,

S-

F3n(ui,ai,m0) = -yi, F4 (ui,ai,m0) = W-yi —L.

ai

Если метрические характеристики объектов Ti (x- , у- , ai) связаны соответствующими функциональными зависимостями вида (2), то

O-j (x-,y-,a-,xj,yj,aj) — функция принадлежит про-R6

странству R , а ее уровни являются кусочно-гладкими гиперповерхностями.

Тогда задача (3)-(5) формулируется следующим образом:

®ij(xi,yi,ai,xj,yj,aj) > 0 и задается набором [4,6] неравенств вида

f1 (ui,uj,ai,aj) > 0, k = 1,..4,

f9(ai) > 0,

f10(ai) ^ 0,l = i,j,

Fn(ui,uj,ai,aj) =

(6)

где

f9(al) al + almax , f10(al) al almin ,

f]11 (u-,uj,a-,aj) = xj - x- - a-,

f 2і (u-,uj,a-,aj) = x- - xj - aj,

f3'(ui,uj,ai,aj) = yj -Уі -Si/ai,

f41(ui,uj,ai,aj) = Уі - yj - Sj /aj.

Ф-j (x-, yi,ai,xj,yj,aj)- функция в данном случае задается выражением:

®y(ui,ai,uj,aj) =

min{ max fkn ke{1,2,3,4}

(ui,uj,ai,aj),f9(ai),f10(ai),f9(aj),f10(aj)}

(7)

Найти:

minZ

raeD<zR3I+1

(10)

где область допустимых решений d представляется в виде набора неравенств

Fn(u-,a-,m0) > 0,

^fk?(u-,uj,a-,aj) > 0, k = 1,2,.„,4,

f9n(ai) > 0, (11)

f1n0(ai) > 0, i,j = 1,2, ...,I,i Ф j,

Далее удобно рассматривать описание области допустимых решений D с R3I+1 в следующем эквивалентном виде:

^fk(ui, uj,ai,aj) < 0, k = 1,2, ... ,4, (12)

F(u-,a-,m0) < 0,

f9(a-) < 0, (13)

f10(a-) ^ 0, i,j = 1,2, ... ,I,i Ф j,

где

Фі0 (xi,yi,ai,m0) - функция, описывающая ограниче- f9(al) = al -almax, f10(al) = -al + almin,

ния на размещение в полосе T0, имеет вид:

F 0 A (ui,uj,ai,aj) = -xj + x- + a-,

РИ, 2007, № 4

136

f2(uj,uj,abaj) = -Xi + xj + aj,

f3 (ui,uj,ai,aj) = -yj + yi + Si/ai, f4(ui,uj,ai,aj) = -yi + yj + Sj/aj..

Отметим основные свойства оптимизационной задачи (10)-(12)-(13), вытекающие из ее математической постановки.

Свойство 1. Функция цели Z является линейной. При этом

Z є

I

aimin, 2 ai max ieN i—1 _

Свойство 2. Пространство параметров, в котором ищется экстремум функции цели, имеет размерность 3I + 1, где I - число размещаемых объектов.

Свойство 3. Число ограничений, описывающих область D допустимых решений задачи (10)-(12)-(13), квадратично зависит от числа размещаемых объектов и равно 12I(I -1) + 6I.

Свойство 4. Область D с R3I+1 - невыпуклое, несвязное ограниченное точечное множество, имеющее кусочно-гладкую границу Т = FrD , Тс R3 . Каждая компонента связности о бласти допустимых решений является многосвязной.

Свойство 5. Область D с R3I+1 допускает представление в виде объединения конечного числа подобластей Dg с R3I+1 вида

G

D = g^Dg, (14)

где G = 0 (4I(I-1)).

При этом компонента связности Dg с R^+1 описывается системой I систем нелинейных неравенств вида (13) и I(I -1)/2 неравенств - по одному из каждого

набора неравенств вида(fk (ui,uj,ai,aj) <0 для каждой пары объектов.

Свойство 6 [6]. Функции вида

Sj

f3(ui,uJ,ai) = - yi + yj + —

ai

Si

и f4(ui,uj,aj) = yi -yj + —

являются выпуклыми.

Следствие. Функции

Si

F4(ui,ai,mo) = yi -W + —,i = 1,2,...I 4 ai

являются выпуклыми.

Свойство 7 [6]. Область Dg является выпуклой подобластью области допустимых решений D . При этом область Dg является выпуклым компактом.

РИ, 2007, № 4

Свойство 8 [7]. Покрытие (14) не является разбитием, поэтому для некоторых точек ю области D имеет место такое соотношение:

G1

юєDgj = ^Dg, G1 <G. (15)

В силу выделенных особенностей функции цели и области допустимых решений данная задача сводится к решению конечного множества задач выпуклого программирования [8] вида

го* = argminZ, (16)

©eDpСD

Dg :

(fk (ui,uj,ai,aj) < 0,k e{1,..,4},i,j e{1,..,I},i * j,

<F(ui,ai,m0) < °, (17)

fg (ai) < 0, p = 1,2, i = 1,2,_, I.

Согласно [8] существует теоретическая возможность определения глобального минимума функции цели задачи (16)-(17), который является ее локальным минимумом.

Замечание 1. Для определения глобального минимума функции цели необходимо решить 4I(I-1) задач вида (16)-(17).

Рассмотрим задачу поиска локального минимума функции цели р ассматриваемой задачи на множестве

dGj с d вида:

го* = arg minZ

raeDGj сD , (18)

G1

dg, = U Dg :

(fk(ui,uj,ai,aj) < 0,k є{1,2,...,4},i,j є{1,2,..,,I}

F(ui,ai,m0) <0,

fg (ai) < 0, p = 1,2, i = 1,2,—, I,i * j,g = 1,2,...Gj.

Метод локальной оптимизации, рассматриваемый далее, действует на компоненте связности Dg С dGj . Итерация метода состоит из двух этапов:

- Определение экстремума функции цели ю * на текущем множестве Dg .

- Организация перехода от текущей подобластиDg к смежной области Dg+1, такой, что ю* є Dg+1.

137

6. Представление (16)-(17) как задачи сепарабельного программирования

Определение [8]. Функция F(xj,x2,...,xn) называется сепар абельной, если она может быть представлена в виде суммы функций, каждая из которых является функцией одной переменной:

n

F(x1>x2>->xn) = Е fi(xi). (19)

І = 1

Отметим следующее важное свойство задачи (15)-(16).

Свойство 9. Задача (16)-(17) принадлежит к классу задач сепарабельного программирования.

Это свойство действительно справедливо, так как функция цели и все функции ограничений (17) являются линейными, кроме функций fk(ui,uj,ai,aj), которые удовлетворяют условию (19).

Если целевая функция и функции ограничений являются сепарабельными, то приближенное решение такой задачи можно найти с использованием метода кусочно-линейной аппроксимации [8].

Классический метод кусочно-линейной аппроксимации предполагает следующий подход.

Пусть хі є [0, a i]. Промежуток [0, а Д разбивают на ri промежутков обычно равной длины с помощью Гі +1 точек так, что x0i = 0, xrii =ai. Тогда кусочнолинейная аппроксимация функции F^ имеет вид

n

F(x1,x2,---,xn) = Е fi(xi), (20)

І = 1

ri rk

где fi(xi) = E^ vifi(xv), xk = E^ vkxvk, v=1 v=0

Гі

E^vi = 1, Xvi > 0 (21)

v=0

для всех k и І, причем не более двух чисел X ki могут быть положительными и должны быть соседними.

Для рассматриваемой задачи метод кусочно-линейной аппроксимации необходимо применять только для функций ограничений задачи. Другими словами, преобразование 3 имеет вид:

Dg Д DgL, (22)

где область D^ - результат применения метода кусочно-линейной аппроксимации (преобразования 3) к нелинейным ограничениям области Dg .

В системе (17) неравенства вида

fk(ui,uj,ai,aj)<0, k = 3,4, и F4(ui,ai,m0) содержат нелинейные функции.

Функция f3 (u1, u3, a1) представляется в виде

з

y1 - y3 + S1/a1 = 2 fi3 , f13 = _y3> f23 = y1, i=1

f33 = S1/a1, где только одна функция -f33 - нелинейная.

Функции F4 (ui,ai,m0) представляются в виде S 2

Уі - W + -1 = £Fs4 , F13 = Уі - W, F23 = Si/ai, ai s=1

где только одна функция - F23 - нелинейная.

Тогда задача (16)-(17) преобразуется к виду

minZ

raeDgcD ,

(23)

Fh (ui, ai, m0) < 0, h = 1,2,3,

Уі - W + E^vkF4k (aiv) ^ 0

v=1

fg(ai) < 0, p = 9,10, i = 1,2,...,N,

• f (Ui,Uj,ai,aj) < 0, l є {1,2},

f1k + f2k +Z4kf3k(av) ^ 0,k Є{3,4},

v=1

(24)

rk

E^ vk = 1

v=0

-Xvk < 0, v = 1,2,...,rk,i,je{1,2,_,N},i ф j.

Рассмотрим пример. Задано множество объектов размещения: T = {Т1, Т 2, Т 3}. Метрические характеристики (ai, bi), i = 1,2,3 изменяются в диапазоне

a j є [2,4], bj є [4,8], a2 є [2,4],b2 є [2,4] ,a3 є [3,6],b3 є [2,4].

При этом S1 = 16, S2 = 8, S3 = 12 . Область размещения

- T) = (x,y 10 < x < z, 0 < y < 8).

Начальное размещение (рис. 3) характеризуется вектором параметров размещения U0 = (0,0,4,0,0,4).

z

Рис. 3. Начальное размещение

Вектор начальных значений метрических характеристик {mj} имеет вид:

(a1ma» b1min, a2ma» b2min,

a3max, b3min) - (4,4,4,2,6,2)

Система ограничений, описывающая выпуклую подобласть Dg с R10 области допустимых решений D данной задачи, которая содержит точку u0, имеет вид:

138

РИ, 2007, № 4

- Xj < 0,

- Уі ^ 0,

Xj + aj - z < 0,

aj — aimax,

• — aj < —ajmin, j _ I,—3,

X1 _ x2 + ai ^ 0 (25)

Уі - 8 + Sj /aj < 0, і = 1,...3,

У1 - Уз + Sl/al ^ 0

_У2 _ y3 + S2/a2 ^ 0

Система ограничений (25) состоит из 21 неравенства, пять последних содержат в качестве левых частей сепарабельные функции.

3

Функция f3(u1,u3,a1) = у 1 -y3 + S1/a1 = £fj3 , где

j=1

f13 = -уз, f23 = У1, f33 = S1/a1, содержит только одну нелинейную функцию: f33 - S1 /a1. Так как переменная a1 є [2,4], положим a01 = 2, a02 = 3, a03 = 4 .

Значения функции f33(a01) = 8, f33(a02) = 5.33 , f33(a03) = 4.

Используя формулы (20)-(21), определяем f3 (u1,u3,a1) = У1 _У3 + 8^31 + 5-33^32 + 4^33 , (26) a1 = 2 '^31 + 3 '^32 + 4 '^33 .

3

Аналогично, функция f2(u2,u3,a2) = 2 fj2 содер-

j=1

жит только одну нелинейную функцию: f32 = S2/a2. Так как a2 є [2,4], положим a01 = 2, a02 = 3, a03 = 4.

Тогда f32(a01) = 2, f32(a02) = 2.67, f32(a03) = 4. Используя формулы (20)-(21), определяем

f2(u2,u3,a2) - У2 _У3 + 4^21 + 2-67^22 + 2^23’ (27) a2 = 2 ' ^21 + 3 ' ^22 + 4 ' ^23 .

2

Функции f4 (Уj ,aj) = Уі - 8 + Sj/aj = 2F4j , где

j=1

F41 = - Уі - 8, F42 = Sj/aj, содержат только одну нелинейную функцию: F42 = Sj/aj, і = 1,2,3 .

Используя аппроксимацию (20)-(21) для переменной a1 , получаем

F41 (у1> a1) = У1 _8 + 8^11 + 5-33^12 + 4^13 . (28) Аналогично, для переменной a2 получаем

F41(У2,a2) = У2 _8 + 4^21 + 2,67^22 + 23 . (29)

Кусочно-линейная аппроксимация функции

2

F^^^) = У3 -8 + S3 /a3 = XF4j имеет вид:

j=1

- У3 _8 + 4^31 + 2-66^32 + 2^33, (30) a3 = 3 21 + 45 22 + 6 23.

Подставив найденные значения в систему (25), получим

- xj < 0,

- Уі ^ 0,

Xj + aj - z < 0,

aj — ajmax,

- aj < _a jmjn, j _ 1, • • •3,

X2 — X1 + a2 — 0,

< У1 — У3 ^8X31 + 5.33X32 + 4X33 < 0,

У2 _У3 + 2^31 + 2-67^32 + 4^33 ^ 0

У1 _8 + 8X11 + 5.33^12 + 4X13 < 0, (31)

У 2 _ 8 + 2^ 21 + 3^ 22 + 4^ 23 - 0,

У 3 — 8 + 4X31 + 2.66X32 + 2X33 < 0,

-X vj < 0, v = 1,2; j = 1,2,3,

X v1 + X v2 + X v3 = 1, v = 1,2,3.

После проведения данного преобразования количество ограничений системы (25), описывающей выпуклую подобласть с R16, равно 30.

7. Метод решения задачи (16)-(17)

Процесс определения решения задачи выпуклого программирования методом кусочно-линейной аппроксимации включает следующие этапы:

1. Кусочно-линейная аппроксимация вида (16)-(17) каждой из сепарабельных функций ограничений.

2. Построение соответствующей задачи линейного прогр аммирования.

3. Решение задачи линейного программирования симплекс-методом или методом активного набора [9].

Замечание 2. Точность решения зависит от точности аппроксимации (количества промежутков rj) сепарабельных функций ограничений.

Замечание 3. Размерность пространства переменных задачи возрастает в зависимости от точности аппроксимации сепарабельных функций ограничений.

Замечание 4. Количество ограничений задачи возрастает в зависимости от количества ограничений, содержащих сепарабельные функции.

Замечание 5. Оценка точности аппроксимации не известна.

Метод решения задачи (16)-(17), представленный ниже, позволяет провести аппроксимацию задачи с любой заранее заданной точностью без увеличения размерности пространства переменных, которому принадлежит область допустимых решений задачи.

РИ, 2007, № 4

139

8. Метод глобальной линеаризации задачи (16)-

(17)

Рассмотрим иной подход к построению преобразования 3 вида (22), которое назовем преобразованием 3 *:

з* т

Dg ^DL*. (32)

Рассмотрим гиперболическую поверхность вида: f3 (ui,uj,ai):= а;(у; -yj) + S; = 0.

Пусть Yji = yj - yi. В пространстве переменных (ai,Yji) поверхность f3 (ui,uj,ai) = 0 имеет вид гиперболы, проходящей через точки (aimin,bimax ), (а i max,b i min ) .

Назовем данные точки кр айними точками гиперболы.

Линеаризуем функцию aiYji - Si.

Замечание 6. Примем в рассмотрение только тот участок Г гиперболы f3 (ai,Yji) := aiYji - Si = 0, который расположен между крайними точками гиперболы, так как только этот участок формирует область допустимых решений задачи Dg .

Прежде всего, построим уравнение прямой П: f3_лин(ai,Yji) = 0 , проходящее через крайние точки гиперболы (рис. 4).

Рис. 4. Начальная аппроксимация

Уравнение прямой П имеет вид:

a - a:

Y - bir

aimin aimax bimax bimin

или Ax a + B X Y + d = 0,

где

A _ (b imax _ bimin) , B _ (aimin _ aimax) ,

(33)

d aimax x A bimin x B.

В нормальном виде уравнение (33) имеет вид:

ax a + px Y + dn = 0, (34)

є = max |0(a,Y)|

(a,Y)er 1 ■

(35)

где 0(a,Y) - расстояние от точки (a,Y) кривой Г до прямой П.

Проведем оценку погрешности линеаризации е. Данную задачу можно рассматривать как задачу условной минимизации двумерной функции є = 0(a,Y) на множестве G вида:

(a*,Y*) = arg max |0(a,Y)|

(a,Y)er 1 •

(36)

Задача (36) допускает естественное геометрическое толкование. Для определения ее точного решения предлагается следующий метод.

9. Алгоритм вычисления начальной оценки аппроксимации e

1. Построим касательную K к кривой G такую, что K || P. Уравнение прямой K имеет вид:

ах a + рх Y + dp = 0 .

2. Определим координаты (ei,e2) точки касания E (см. рис.4):

E=G З K.

Очевидно, координаты (ei,e2) точки E удовлетворяют системе уравнений вида:

ах ei + рх e2 + dk = 0, e1e2 = S-

(37)

Выражая, например, переменную e2 из первого уравнения системы (37) и подставляя во второе, получаем квадратное уравнение вида

ei(-dk -ахei) = SP,

или

(38)

ахe2 + dp хei -Sp = 0.

Уравнение (3 8) имеет единственное решение, если его дискриминант D = dk - 4S р равен нулю. Другими словами, если параметр dp имеет вид: dp = 2 ^|S р|,

то система нелинейных уравнений (37) имеет единственное решение, а именно, координаты точки E.

3. Опустим перпендикуляр из точки E на прямую П. Расстояние e = |E - J| является искомой (см. рис 4) погрешностью аппроксимации: є = dn - dp .

Очевидно, точность начальной аппроксимации є является функцией количества K точек разбиения:

є = 9(K).

где а = A/Va2 + B2 , Р = Вл/a2 + B2 ,

dn = d^A2 + B2 .

Назовем погрешностью линеаризации e величину вида

Пусть точность є удовлетворяет исследователя. Тогда достаточно заменить функцию f3 (ui,uj,ai) = ai(yi - yj) + Si на ее линейную аппроксимацию f3I™ = ах a + р х (yi - yj) + dn .

i40

РИ, 2007, № 4

Продолжение примера. Преобразование 3 * (38) для данной задачи состоит лишь в замене нелинейных функций двух последних неравенств системы (33) соответствующими линейными функциями.

Функции y2 - y3 + S2/a2 соответствуетлинейная функция (-1/V2)хa + (-1/V2)х (y3 -У2) + (6/V2).

Функции y1 - y3 - S1/a1 соответствует линейная функция (-3/7Ї0) X a + (-1/л/Ї0) X (y1 - y3) + 16Л/Ї0.

Для построения кусочно-линейной аппроксимации функций F4i (y; ,a;) = yi - W + S; /a; < 0 определим ординаты y;(a;min), y;(a;max) крайних точек соответствующих гипербол по формулам:

y i (aimin ) _ W _ Si / aimin, y i (aimax) _ W _ Si /aimax. Тогда y1(a1min) _ 0, y1(a1 max) 4, y2(a 2min) 4, y2(a2max) _ 6, y3(a3min) _ 4, y3(a3max) _ 6.

Тогда 1^41 (y 1,a1) = y 1 - 2a1 - 4,

F42 (y 2 , a 2 ) = y 2 _ a 2 _ 2 , F42 (y3 ,a3) = 3y3 _ 2a3 _ 6 .

Итак, преобразование 3 *, примененное к системе (33), приводит к линейной системе неравенств вида:

- х; < 0,

- Уі ^ 0,

X; + a; - Z < 0,

ai — aimax,

- a; < —aimin, 1 _ 1,-3,

• У1 - 2a1 - 4 < 0,

У2 - a2 - 2 ^ 0,

3y3 - 2a3 - 6 < 0, (39)

X2 — X1 + a2 ^ 0,

У1 _ У3 _ 3a1 +16 < 0,

^y2 _ y3 _ a2 + 6 - 0

После проведения преобразования з * выпуклая линейная подобласть с R10 принадлежит тому же пространству, что и исходная подобласть Dg . Более того, однократное применение данного преобразования не увеличивает количества ограничений задачи.

Таким образом, итерационный метод поиска локального минимума задачи (18) заключается в выполнении следующих шагов.

Шаг 1. Задание точности аппроксимации є0.

Шаг 2. Проведение линеаризации з * (38) ограничений задачи при обеспечении условия є0 > є , где

є = max |0(a,Y)| (условие 35).

(a,Y)eT

Шаг 3. Решение задачи (18) как набора задач линейного программирования вида ю = argminZ.

raeDL*

g

10. Выводы и направления дальнейших исследований

Впервые предложен метод кусочно-линейной аппроксимации области допустимых решений задачи, позволяющий с наперед заданной точностью представить задачу (18) с нелинейными ограничениями как задачу линейного программирования. Предложена модификация итерационного метода поиска локального минимума задачи (16-17), учитывающая сформулированные свойства 1-8 области допустимых решений задачи.

Задача размещения прямоугольных объектов в заданной области вида (1)-(17) сводится к решению конечного набора задач выпуклого программирования. Каждая такая подзадача может быть решена приближенно как задача линейного программирования. Описаны два подхода проведения такой линеаризации. Второй подход - метод глобальной линеаризации - допускает явное вычисление точности аппроксимации и получение аппроксимационного линейного множества с заданной точностью. В дальнейшем предусматривается проведение численных экспериментов.

Литература: 1. Стоян Ю.Г., Яковлев С.В. Математические модели и оптимизационные методы геометрического проектирования. К.: Наук. думка, 1986. 266 с. 2. Управление проектами: Справочное руководство / Под ред. И.И. Мазура и В.Д. Шапиро. М.: Высш. шк., 2000. 875 с. 3. Stoyan, Yu.G, Ф-function of non-convex polygons with rotations // Проблемы машиностроения. 2001. Т 4, №3. P. 78-90. 4. Софронова М. С. Математичне моделювання розміщення опуклих n-вимірних політопів у n-вимірному паралелепіпеді: Авто-реф. дис...канд. фіз..-мат. наук: 01.05.02 / Ін-т проблем машинобудування ім.. А.М. Підгорного НАН України. Харків, 2007. 18 с. 5. Чуб И.А, Новожилова М.В. Аналитическое описание условия принадлежности объекта с изменяемыми метрическими характеристиками области размещения //Системи обробки інформації. 2002. Вып. 6(22). C.248-252.

6. Мурин М.Н, Новожилова М.В., Чуб И.А. Формализация ограничений одной задачи распределения ресурсов проекта // Науковий вісник будівництва. 2007. Вып. 43. C. 229232. 7. Stoyan Yu.G., Novozhilova M.V., Kartashov A.V. Mathematical Model and Method of Searching for a Local Ехігєшшш for the Non ^nvex Oriented Polygons АПocation Problem // European Journal of Operational Research 92, 1996. Р.193-210. 8. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах. М.:Высш.шк., 1986. 319с. 9. Гилл Дж., Мюррей К., Райт М. Практическая оптимизация. М.: Наука, 1984. 459с.

Поступила в редколлегию 01.12.2007

Рецензент: д-р техн. наук, проф. Стоян Ю.Г.

Новожилова Марина Владимировна, д-р физ.-мат. наук, проф., зав. каф. КМИТ, ХГТУСА. Научные интересы: теория и методы оптимизационного геометрического проектирования.

Чуб Игорь Андреевич, канд. техн. наук, доцент, ученый секретарь УГЗ Украины. Научные интересы: математическое моделирование сложных технических социальноэкономических систем.

Мурин Михаил Николаевич, преподаватель УГЗ Украины. Научные интересы: информационные технологии, вычислительные методы.

РИ, 2007, № 4

141