МОДИФІКАЦІЯ ГЕНЕТИЧНИХ АЛГОРИТМІВ НА ОСНОВІ МЕТОДУ НЕЦЕНТРОВАНИХ ГОЛОВНИХ КОМПОНЕНТ ТА СТАНДАРТНІ ТЕСТИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

COMPUTER SCIENCE

МОДИФ1КАЦ1Я ГЕНЕТИЧНИХ АЛГОРИТМ1В НА ОСНОВ1 МЕТОДУ НЕЦЕНТРОВАНИХ ГОЛОВНИХ КОМПОНЕНТ ТА СТАНДАРТН1 ТЕСТИ

Шадура О. В.

Украгна, м. Кигв, Нац^ональний техмчний университет Украгни "Кигвський полШехтчний институт 1мен11горя Сжорського"

DOI: https://doi.org/10.31435/rsglobal_ws/30042019/6464

ARTICLE INFO

Received: 18 February 2019 Accepted: 24 April 2019 Published: 30 April 2019

KEYWORDS

genetic algorithms, multiobjective optimization, principle component analysis, Pareto front, multiobjective functions.

ABSTRACT

The purpose of this article is to develop the necessary mathematical description of the method of the uncentered principal component analysis for the optimization of the genetic algorithm. A secondary goal is to evaluate the approximations for its application for HEP data analysis and to develop its program implementation for genetic algorithm together with a new operator based on the method of the uncentered principal components (UPCA-operator) and to check its efficiency on the example benchmark tests.

Citation: Shadura О. V. (2019) Modyfikatsiia Henetychnykh Alhorytmiv na Osnovi Metodu Netsentrovanykh Holovnykh Komponent ta Standartni Testy. World Science. 4(44), Vol.1. doi: 10.31435/rsglobal_ws/30042019/6464

Copyright: © 2019 Shadura O. V. This is an open-access article distributed under the terms of the Creative Commons Attribution License (CC BY). The use, distribution or reproduction in other forums is permitted, provided the original author(s) or licensor are credited and that the original publication in this journal is cited, in accordance with accepted academic practice. No use, distribution or reproduction is permitted which does not comply with these terms.

Вступ. Для аналiзу даних в експериментах на Великому адронному колайдерi ^НС), розташованому в ЦЕРН (Женева, Швейцарм) широко використовують грщ-технологп, яю розподшяють обробку експериментальних даних серед велико! кшькосп окремих обчислюваних класте^в, що побудоваш з рiзних за структурою комп'ютерних платформ. Дослщження в обласп фiзики високих енергп (ФВЕ) i ядерно! фiзики не можливi без використання великих обчислювальних потужностей та спещального програмного забезпечення для обробки, моделювання та аналiзу даних. Така ситуащя обумовлена як великою юлькютю даних, що генеруеться в експериментах на сучасних прискорювачах так i статистичною природою аналiзу даних i складнiстю алгоритмiв обробки даних яю використовуються. Крiм того, при комп'ютернш обробцi даних необхщно моделювати умови роботи прискорювача, детекторiв та фiзичних процесiв в детекторi одночасно с генеращею наборiв даних та !х обробкою.

Новi можливостi функцiональностi ядра GeantV [1] полягають в тому, щоб забезпечити формування структури даних та розпаралелювання сервiсiв для вщправлення завдань та керування робочими потоками. Це можна реалiзувати, забезпечивши когерентшсть роботи пакету шляхом пакування параметрiв частинок у вектори та використання цих векторiв для моделювання за SIMD-оптимiзованими алгоритмами, враховуючи специфiку моделювання геометри детектора та фiзики транспорту частинок у детектора

Для налаштування роботи GeantV необхщне конфiгурування шфраструктури керування подiями, що працюе на нодах та забезпечуються а) матрицею налаштованих параметрiв, яка включае: загальну кiлькiсть подiй, кiлькiсть буферизованих подш; порiг для визначення прiоритетiв подш; кiлькiсть потокiв процесора; полiтику планування розмiщення NUMA локальностi; вихщний

po3Mip BeKTopy; noporoBe 3HaneHHa Mi» nepeBHMKHeHaM Mm cKanapHHM Ta BeKropHHM pe»HMaMu; cneuianbHHu nopir nig nac aKTHBauii KomHKa b gucneTHepi 3aBgaHb; nopir naM'aTi; nopir 3HH^eHHa nogiu ra KinbKicTb nponararopiB, ra 6) xapaKrepHCTHKaMH HogiB, aK Mo»Ha oцiннгн 3a gonoMororo arperoBaHoi мaтpнцi ^yHKuiü npncTocoBaHocTi npogyKTHBHocri, ^o BKnronae: onTHMi3auiro 3aranbHoro nacy BHKoHaHHH cuMynauii Ta cepegrnü nac onTHMi3auii gna cTBopeHHa ogHiei' nonynauii; 3MeHmeHHa BHKopHCTaHHH naM'aTi gogaTKiB; onTHMi3auiro KinbKocri BHKnuKiB mcrpyKum gna MogenroBaHHa Ta cneuH^irae gna noroHHoi apxrreKTypH, 3HH»eHHa cnopigHeHocTi naM'aTi (NUMA onTHMi3auia), cno»HBaHoi мiкponpoцecopoм. flna gocnig»eHHa onTHMi3auii HanamryBaHHa cuMynauiu y OBE mh po3rnagaeMo cuMynauiro GeantV, aK 3agany "nopHoi CKpuHbKu" 3 Ha6opoM ^iraec ^yHKuiü. 3rigHo Mogeni GeantV, HaM noTpi6Ho y3aranbHHTH Ha6ip uineu, aKi mh xorinu 6 gocarra 3a gonoMororo npoцegypн onTHMi3auii Ta ixHboi 3ane»Hocri Big BenuKoi KinbKocri BeKTopHHx napaMeTpiB. flna uiei 3agani Bu6uparoTbca ronoBHHMH HacTynHi uinboBi ^yHKuii:

• onTHMi3auia 3aranbHoro nacy BHKoHaHHa 3agani cuMynauii Ta cepegrnü nac onTHMi3auii gna cTBopeHHa ogHiei' nonynauji;

• 3MeHmeHHa BHKopucraHHa naM'aTi gogaTKiB GeantV;

• onTHMi3auia KinbKocTi BHKnuKiB mcrpyKum gna Bcboro MogenroBaHHa, cneuu^inHoro gna noTOHHoi' apxiTeKTypu;

• 3HH»eHHa cnopigHeHocTi naM'aTi, cno»HBaHoi мiкponpoцecopoм, ^o BHKopucTOByeTbca gna MogenroBaHHa cuMynauii GeantV;

• MaKcHMi3yBaTH onepauiuHy iHTeHcHBHicTb MogenroBaHHa GeantV.

CToxacTHHHa onтнмiзaцia e ogHHM 3 ochobhhx nigxogiB b o6HHcnroBanbHiü craTHcTHui. CToxacTHHHa onтнмiзaцia o3Hanae мiнiмiзaцiro (a6o мaкcнмiзaцiro) цinboвнх ^yHKuiü 3a HaaBHocri BHnagKoBocTi b npoцeci onTHMi3auii. BunagKoBicTb Mo»e 6yTH noB'a3aHa aK i3 3acTocyBaHHaM MeTogy MoHTe-Kapno b npouegypi MogenroBaHHa, TaK i3 myMoM y BHMiproBaHHax a6o » 3 o6oMa BHnagKaMH ogHonacHo. OroxacTHHHi MeTogu onTHMi3auii gy»e 3pyHHi gna oцiнкн uinboBux ^yHKuiü 3a HaaBHocTi myMy. B ocraHHe gecaTHnirra ogHHMH 3 Hau6inbm nepcneKTHBHHx Ta mupoKoB»HBaHHx MeTogiB cToxacTHHHoi onTHMi3auii e reHeTHHHHu anropuTMH 3 HegoMiHaHTHHM copTyBaHHaM - NSGA-II [2] Ta NSGA-III [3].

B цнх anropHTMax nicna imuiani3auil' nonynauji', oco6hhh b nonynauii rpynyroTbca b Ha6ip ^pomiB 3a npHHuunoM HegoMiHaHTHocTi. nepmuu ^porn- po3rnagaroTb aK a6conroTHo HegoMmamHHÜ Ha6ip y noToHHiü nonynauji', Ha gpyroMy ^porni nepeBa»aroTb oco6hhh nume nepmoro $pomy i TaK gani. flna Ko»Horo oKpeMoro ynacHHKa Ha Ko»HoMy ^porni npH3Hanaerbca ouiHHHu paHr, ^o 6a3yeTbca Ha HoMepi $pomy, go aKoro bohh Hane»aTb. Oco6uHaM y nepmoMy ^porni HagaroTb paHroBe 3HaneHHa 1, oco6uHaM y gpyroMy -- 3HaneHHa 2 i TaK gani. OKpiM 3HaneHHa paHry, BBogaTb hobhh napaMeTp, aKuu Ha3HBaeTbca ^inbHicrro cKynneHHa, i uoro po3paxoByroTb gna ko»hoi oco6hhh. ^inbHicTb cKynneHHa o3Hanae, HacKinbKH 6nu3bKo go cboix cycigiB po3TamoBaHa oco6uHa. Einbma cepegHa ^inbHicrb npu3BoguTb go 6inbmoro po3MaiTTa nonynauii. EaTbKiB go6uparoTb 3 nonynauii 3a gonoMororo 6iHapHux TypHipiB 3 ypaxyBaHHaM paHry Ta ^inbHocri cKynneHHa. Mi» gBoMa oco6uHaMH go6upaerbca Ta, aKa Mae MeHmuu paHr, a6o 6inbmy ^inbHicTb cKynneHHa. 3a gonoMororo onepaTopiB KpocoBepa Ta MyrauiU Mo»Ha gi6paTH nonynauiro gna reHepyBaHHa noToMKiB. nonynauiro noBTopHo copTyroTb 3a npHHuunoM HegoMiHaHTHocTi Ta go Hei' go6uparoTb nume HaÜKpa^i N oco6hh gna cTBopeHHa hoboi nonynauii, ge N - HucenbHicTb nonynauii.

B po6oTi [5] HaMH 6yB 3anponoHoBaHHÜ gogaTKoBHÜ reHeTHHHHÜ onepaTop P (HrK-onepaTop), 3acHoBaHHÜ Ha Merogi HeueHTpoBaHux ronoBHux KoMnoHeHT (HTK), ^o 6yB po3po6neHHÜ b [6,7]. BKnroneHHa uboro onepaTopa b reHeTHHHHÜ anropuTM npu3BoguTb go 6inbm mBugKoro Ha6nu»eHHa go oKony icTHHHoro $pomy napeTo gna 3agaH 6araToKpHTepianbHoi onTHMi3auii. Цeн ^poHT BH3Hanae Ha6ip onTHManbHHx po3B'a3KiB, ^o He goMiHyroTb BigHocHo oguH ogHoro, Ta npu nepeMi^eHHi Big ogHiei' tohkh ^poHTy napeTo go mmol gocaraeTbca neBHHÜ nporpam b ogHiu ^iTHec-^yHKuii Ta Burpam b iHmiu. napeTo ^poHT cKnagaerbca 3 igeanbHux oci6 nonynauii b reHeTHHHoMy anropuTMi, Bu6paHux Ha ocHoBi BignoBigHoro Ha6opy napaMeTpiB onTHMi3auii.

y BunagKy BKnroneHHa gogaTKoBoro reHeTHHHoro onepaTopa P noBHuu reHeTHHHHu onepaTop GP(p} 3agaeTbca KoMno3uuiero noTupbox Bigo6pa»eHb:

GP\ A^A, GP(p) = PoC oU oF(p). (1)

Тут спещальш генетичш оператори - селекци F, мутаци и, кросоверу С, та НГК-оператор Р дiють в лшшному просторi: Л = (рг, р2,..., рт)г - векторiв популяци, де компоненти ра е ймовiрнiстю знайти а-ту особину в генетичнiй популяци, яка складаеться з N рiзних особин. Генетичний оператор Са(р} визначаеться ймовiрнiстю появи особини а в наступнш генераци нащадкiв якщо попередня популящя була р .

Коротко нагадаемо основш положення методу нецентрованих головних компонент. Основним об'ектом в цьому методi е матриця даних розмiру тхп

X = = {(4).} = (^^а), (2)

де ха = {(л^а)(}(1 < а < т,1 < I < п) е а-тою особиною в популяци. В цш матрицi iндекс I нумеруе параметри, якi вибранi для оптишзаци використання програмного додатку ОеаиЬУ (I = 1,... ,п) та iндекс а нумеруе кшьюсть експериментальних вимiрювань для цшьово! функци (а = 1,... ,т для т вимiрювань). В термiнах генетичних алгоршмв матриця даних описуеться через т вибiрок даних в n-вимiрному просторi де п е розмiрнiсть вектора, що описуе особини та т е кiлькiсть особин в поколшш.

Головним об'ектом в методi НГК е матриця нецентральних других момента

/V 1 /V /V

Т = — X ■ XX. (3)

т

Ця матриця мае ортонормоваш власнi вектори М? з вiдповiдними власними значеннями * ]

л .

T^w. = t. ■ "¿V., • = <5.., 1 ^I, /' ^ п.

}] У 1 ] г,Г Власний вектор М?. визначае /-ту «нецентровану» головну компоненту

В. = = " (& = 1,-, т). Визначимо матрицю нецентрованих головних

компонент 0 . = {0.} = {(0.) }, яку можна виразити через матрицю даних:

®а, у = х*№, ], ,А, у = тА,,, = т* ], 1 <а< т. ^(4)

Зручно ввести ортогональну матрицю нецентрованих головних компонент наступним чином:

= ^ &аЛА Ц2, А¿/2 = 11/28и}, 0 *а@а1] = 8и. (5)

За допомогою ще! матрицi нескладно отримати сингулярне представлення для нецентровано! матриц даних

= ва>к А¿/2^. (6)

Коли матриця нецентрованих других момеипв Т мае (п-д) найменших власних значень ^ « 1, ц + 1 < ] < п, то можна використати наближення, що контролюеться малiстю

параметра власних значень, i отримати наближену матрицю даних Xа г- рангу д

Ха,1 = ^ ва,к А = ^ (^в^Ш^.. . (7)

де матриця власних значень А^, мае ранг д = = ... = *„ = 0) . Тодi можна наблизити

матрицю Хаг. з рангом п за допомогою матрищ ХХа.з рангом д. Ця процедура визначае

додатковий генетичний оператор Р (НГК-оператор), заснований на методi нецентрованих головних компонент (НГК).

Нескладно ощнити середньоквадратичну похибку ^ для наближення

1 m n Iй

n = J_yy(x -X f = -ytk.

Похибка e мшмальиою, коли матрица нецентральних других момеинв Т мае (n-q) найменших власних значень t. 1, q + j < П .

Тести. Тести е одним з поширених cnoco6iB nepeBipm коректносн роботи генетичних алгоритмiв, вони дають змогу порiвняти ефекгивнiсть рiзних генетичних алгоритмiв, !х вихвдний розподш, статистику i провести аналiз роботи операторiв в генетичних алгоритмах та загальний аналiз процуктивностi стохастичного алгоритму. Простими прикладами таких теспв е стандартний набiр DTLZ-тестiв (Deb, Thiele, Laumanns, Zitzler) для багатоцшьових задач оптишзаци [4].

Тести DTLZ сконструйоват таким чином, що багатоцiльовi зацачi оптимiзацi! можуть масштабуватися до будь-яко! кiлькостi фуикцш. Кр1м того, ва DTLZ1-DTLZ6 масштабуються по вщношенню до кшькосп параметрiв, але мають фшсовану кшьюсть вихвдних параметрiв М — 1, де M - кшьюсть цшьових функцiй. Ц виxiцнi параметри е взаемопов'язаними, осюльки спроба оптимiзувати !х за одним параметром одночасно (лише за один прохвд) не буде визначати всi глобальнi оптимуми. Вщзначимо деяю особливостiциx тестiв:, що цiльовi фуикци в DTLZ1-DTLZ4 мають юлька глобальних оптимумiв. DTLZ5 та DTLZ6 е тестовими задачами з виродженими оптимальними фронтами Парето, де оптимальт фронти Парето - це дуги, вкладет в M-розмiрний об'ект.

При застосуваннях багато-цiльовиx генетичних алгоритмiв до задач багато-критерiально! оптишзаци !х ефективнють перевiряегься рiшенням двох задач: а) спроможшстю еволюцiйного алгоритму давати зб1жшсть до Парето-оптимального фронту ("задача збшносп") та б) давати гарний розподш оптимальних розв'язкiв по всьому Парето фронту ("задача поширення").

Для перевiрки ефективностi алгоритму для рiшення задачi збiжностi, тестова задача повинна мати перепони для еволюци системи, наприклад, у вигляда велико! кiлькостi локальних парето-оптимальних фронпв. Для перевiрки ефективносп рiшення зацачi поширення, тестова задача повинна мати обласп ущiльнення оптимальних розв'язюв на Парето фронтi, наприклад, за рахунок юнування локальних парето-оптимальних атракторiв на цьому фронтi. Цього можна досягнути роблячи парето-оптимальш фронти неопуклими, дискретними i такими, що мають змшну щiльнiсть оптимальних ршень вздовж фронту.

Набiр теспв DTLZ дозволяе цослiцжувати ефективнiсть методiв рiшення багатоцiльовиx задач оптимiзацi! контрольованим чином, з вщомими характеристиками, юльюстю параметрiв та знанням оптимального фронту Парето для кожного тесту.

Для знаходження оптимальних значень параметрiв при оптимизацп симуляцш GeantV ми розглядаемо модель GeantV як задачу "чорно! скриньки" з скiнченним набором фпнес функцiй. З огляду на це, чим бшьше ми знайдемо оптимальних значень параметрiв в околi Парето-оптимального фронту тим проспше буде реалiзувати такi оптимальнi рiшення для обчислювально! iнфраструктури що використовуеться для поточно! обробки даних за допомогою GeantV. Тодi для перевiрки ефективностi застосованого генетичного алгоритму NSGA-II з включенням НГК-оператора для оптишзаци роботи GeantV необхщно використовувати таю тестовi задачi якi дозволяють перевiрити алгоритм на отримання широкого розподшу оптимальних розв'язюв в околi всього Парето фронту ("задача поширення"). Серед теспв DTLZ для перевiрки ефективностi рiшення задачi поширення зручними е тести DTLZ2 та DTLZ4.

З ще! точки зору в стати ми обмежуемось перевiркою ефективносп запропоновано! нами модифшаци генетичних алгоритмiв за умови включення в них НГК-оператора на основi тестових задач DTLZ2 та DTLZ4 та порiвняння ефективностi цiе! модифшаци з роботою генетичних алгоритмiв без НГК-оператора. Давайте коротко опишемо кожну з цих тестових задач.

Тестова задача DTLZ2. Ця тестова задача е М-цшьовою задачею оптимiзацi! з випуклим оптимальним фронтом Парето (маемо знайти сшльш оптимуми М фукцш, m=1,..., M):

minimize: fm(x) = (1 + g(z)) ■ n¥L-m cos(q xt) • sin(^ xM_m+1) (2)

де

g(?) = 2ti (ъ — 05)2.

Тут x = (x1, x2,..., xM-1), цiльовi функци fi(x) (I = 1,...,M) залежать вiц n параметрiв z = (z1,z2,...,zn), причому змiннi Xi лежать в iнтервалi 0 < хг < 1 (I = 1,..., M — 1) i

параметри Z; - в iнтервалi 0 < zг < 1 (i = 1,..., n). Зауважимо, що цi iнтервали для змiнних x та параметрiв z будуть використанi також i для тестово! задачi DTZL4.

Парето-оптимальний розв'язок для DTLZ2 вщповщае значенням параметрiв z* = (0.5,..., 0.5) та оптимальш значення цiльових функцiй розташованi на гшерповерхш:

!Г=1 (/Г)2 = 1.

Для тестування ми вибрали число параметрiв n = 10, яке часто використовусться в лiтературi для цього випадку. Парето-оптимальний фронт знайдений за допомогою генетичного алгоритму NSGA-II зображений на Рис. 1. (для зручносп використали М = 3).

Тестова задача DTLZ4. Ця тестова задача е М-цшьовою задачею оптимiзащl для перевiрки ефективностi генетичного алгоритму для ршення мзадачi поширення" оскiльки мае локальш ущiльнення оптимальних розв'язкiв на Парето фронт (маемо знайти спiльнi оптимуми М фукцш, m=1,..., M):

minimize: /m(x) = (1 + g(z)) • n?=_m cos(| xf) • sin(| x£_m+i) (4)

де

9(2) = Z?=i (Zi - 0.5)2.

Зафiксуемо значення параметра =100 та параметра n=10, як було вибрано в статп [4]. Ця багато-цшьова задача мае щшьну множину рiшень в околi /м — /1 площини. Використовуючи генетичний алгоритм NSGA-II цей результат отримано тсля 200 генерацш поколiнь при М = 3 i показано на малюнку 2. В цьому пiдходi кiнцевi поколiння дуже корелюють з вибором початкових поколшь i в робой [4] було отримано три варiанти ущшьнення рiшень: а) оптимальнi ршення знаходяться в площинi /3 — /1 , б) оптимальнi ршення знаходяться в площинi /1 — /2, в) ршення заповнюють всю парето-оптимальну поверхню.

Рис. 1. Парето фронт для тесту DTLZ2 (NSGA-II).

Рис. 2. Парето фронт для тесту DTLZ4 (NSGA-II).

Використовуючи щ тести був проведений порiвняльний аналiз використання рiзних варiантiв включення НГК-оператора в генетичний алгоритм для центрованих i нецентрованих даних за допомогою ощнки середне квадратично! похибки i показано, що наступна комбiнацiя NSGAИ та методу нецентрованих головних компонент е найбшьш ефективним для збiжностi алгоритму до Парето фронту:

2ШН

tMm-ltnn

Cr'JM^nitr, Mutation

I -14.* Л

Ям» 4

NPS.

СП

MxN

Nnw liopuUt 1(1

Transioon matrix Transition matrix

Рис. 3. 1нтегращя нового оператору в генетичний алгоритм NSGA-II.

Наступним важливим кроком е nepeBipKa того, що алгоритм е обчислювально ефективним. У NSGA-II (Рисунок 3.) батьюв добирають з популяцй за допомогою бiнаpних туpнipiв з урахуванням рангу та параметру щшьносп скупчення iндивiдумiв. М1ж двома особинами добираеться та яка мае менший ранг або бiльшу щшьнють скупчення. За допомогою опеpатоpiв кросовера та мутацiй можна сформувати популящю для генерування нащадюв. Наступним кроком викорустовуеться НГК-оператор. Популяцiю повторно сортують за принципом не домшантносп та до не! добирають лише найкpащi N особин для створення ново! популяцi!, де N - чисельнють популяцi!.

Результати. Тести DTLZ [4] являють собою набip чисельних мультиоб'ективних задач, яю використовуються для поpiвняння / валiдацi! алгоpитмiв GA. Ми представляемо на виходi тестування теспв DTLZ як поpiвняння NSGA-II без i з оператором очищення шуму UPCA.

В статтi зроблене поpiвняння pезультатiв застосування алгоpитмiв NSGA-II [2] та NSGA-II з включенням НГК-оператора для теспв DTLZ. Вщмггимо, що ефективнiсть алгоритму NSGA-III перевищуе NSGA-II, але для простоти ми пеpевipили наш метод використовуючи алгоритм NSGA-II i отpиманi результати показують ефективнiсть нашого пiдходу. На Рис.4, 5 представлеш pозподiли параме^в (середне та стандартне значення вщхилення (диспеpсiю)) та поведiнку значення вартосп залежно вщ використовуваних алгоpитмiв.

Поpiвнюючи Рис.5, на якому приведений розподш населення 10-того поколiння для теспв DTLZ2 та DTLZ4 з застосування НГК-оператора, з Рис.4, де приведений розподш населення 10-того поколшня для теспв DTLZ2 та DTLZ4 без застосування НГК-оператор, можна спостерпати швидку збiжнiсть до щеальних значень паpаметpiв задачi у першому випадку (при наявносп НГК-оператора). Рис.5 показуе наближення до фронту Парето у поеднанш з правильним набором паpаметpiв.

Для нового алгоритму протестованого разом з новим оператором, ми пропонуемо пеpшi поперед Hi результати DTLZ теспв:

Рис. 4. Генетичний алгоритм NSGA-II для mecmie DTLZ2 та DTLZ4.

Рис. 5. Результати тсля включення НГК-оператору в генетичний алгоритм NSGA-II для тесту

DTLZ2 та DTLZ4.

Висновки. У цш статп були приведет результати тестування нового НГК -оператора при застосуванш його в стандартних тестових багато-цшьових задачах для генетичних алгоршмв. Проведено шляхом моделювання порiвняльний аналiз використання рiзних варiантiв введення методу головних компонент в генетичний алгоритм NSGA-II та за допомогою ощнки середньоквадратично! похибки знайдено оптимальний спошб включення НГК-оператора (показаний на Рисунку 3) який виявився найефектившшим для конвергенци алгоритму до фронту Парето.

Л1ТЕРАТУРА

1. G. Amadio and A. Ananya and J.Apostolakis and A.Arora and M.Bandieramonte and A.Bhattacharyya and C.Bianchini and R.Brun and P.Canal and F.Carminati and L.Duhem and D.Elvira and A.Gheata and M.Gheata and I.Goulas and R.Iope and S.Jun and G.Lima and A.Mohanty and T.Nikitina and M.Novak and W.Pokorski and A.Ribon and R.Sehgal and O.Shadura and S.Vallecorsa and S.Wenzel and Y.Zhang, GeantV: from CPU to accelerators, Journal of Physics: Conference Series, 762, 1, p.012019, 2016

2. K. Deb and A. Pratap and S. Agarwal and T. Meyarivan,A fast and elitist multiobjective genetic algorithm: NSGA-II, IEEE Transactions on Evolutionary Computation, 2002, Vol.6, p.182-197, Doi: 10.1109/4235.996017

3. Seada, Haitham, and Kalyanmoy Deb. "U-NSGA-Ш: A A Unified Evolutionary Optimization Procedure for Single, Multiple, and Many Objectives", IEEE Trans. Evolutionary Computation 20(3): 358-369 (2016)

4. K. Deb and L. Thiele and M. Laumanns and E. Zitzler, Scalable Test Problems for Evolutionary Multi-Objective Optimization, Evolutionary Multiobjective Optimization: Theoretical Advances and Applications, Springer, 2005

5. Shadura O. Multivariate convergence-targeted operator for the genetic algorithm / O. Shadura, A. Petrenko, S. Svistunov // Системш дослщження та шформацшш технологи: мiжнародний науково-техшчний журнал, № 1. с. 126-140 (2017).

6. Шадура О.В. Метод головних компонент i оптимiзацiя пакепв фiзичного моделювання за допомогою генетичних алгорштшв, Вюник Ушверситету «Украша», Серiя «1нформатика, обчислювльна техника та шбернетика», №1(22), с.198-209 (2019).

7. Oksana Shadura, Federico Carminati and Anatoliy Petrenko. Performance Optimization of Physics Simulations Through Genetic Algorithms, Journal of Computer Science, v.15, Issue 1, p. 57-66 (2019) (DOI 10.3844/jcssp.2019.57.66)