CC BY
24
электронное научно-техническое издание
НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ
_Эл № ФС77 - 30569. Государственная регистрация ^0421100025. ISSN 1994-0408_
Модификация алгоритма построения реализации отображения вход-выход
77-30569/245858
# 10, октябрь 2011 А. В. Евсеев
УДК 517.977
МГТУ им. Н.Э. Баумана [email protected]
1. Введение
В статье [1] дано теоретическое обоснование перехода от описания системы с управлением при помощи уравнений отображения вход-выход к описанию с помощью уравнений состояния. Такой переход называется реализацией отображения вход-выход в виде уравнений состояния.
В работе [2] на основе теоретического обоснования разработан алгоритм построения реализации. Недостатком алгоритма является то, что на одном из шагов проверка интегрируемости распределения производится при помощи непосредственного поиска первых интегралов, что может приводить к отрицательному результату, если первые интегралы не находятся аналитически. В данной работе предлагается модификация алгоритма, позволяющая проверять интегрируемость распределения, используя условие Фробениуса на языке дифференциальных форм.
2. Предварительные сведения
Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений с выходом
у?г) = Фг (*, У,У,..., У(к-1), и, и,... , и(в)) , i = 1,..., р, (1)
где у = (у!,...,ур), у(к ^ = {у(11 1),...,у<ркр 1}), и ={щ,...,ит).
Представление (1) — это запись системы с управлением в виде уравнений отображения вход-выход.
Требуется найти такую замену переменных
х = Xу, у,..., у(к-1), и, и,..., и(5-1)), (2)
которая приводит систему (1) к виду
р
х = /(г,х,и), х е и е Кт, п = ^кг, (3)
г=1
у = Ь,(г,х,и,и,...,и(г)). у е ЕР (4)
Уравнения (3), (4) — это реализация отображения вход-выход (1) в виде уравнений состояния, не содержащих производных управления.
Теорема о необходимых и достаточных условиях существования реализации (3), (4) формулируется ниже после некоторых дополнительных определений.
Пусть Т — множество функций, зависящих от у, и и любого конечного числа их производных. В статье [1] приводится следующее определение модуля Н1 над Т:
Н1 = ър&пТ{(И, с1у,..., ¿у(к-1), (1и,..., (и(8-1)}. (5)
Модули Нг, % = 2,... ,в + 1 вводятся по индукции:
Н+1 = {и еНг: Ш е Нг}. (6)
Для каждого % = 1, р обозначим через кг минимальный порядок производной в силу системы (1) переменной у г, которая зависит от и^ для некоторого д = 1,т, если такая производная существует, и положим кг = то, если такой производной нет. В работе [1] доказана следующая теорема.
Теорема 1. а) Реализация вида (3), (4) локально существует для уравнений (1) отображения вход-выход тогда и только тогда, когда модуль На+1 имеет базис из точных 1-форм.
Если такая реализация существует, то Ь) п = к1 + ... + кр;
с) функция уг = Нг в (4) зависит только от 7, х, если кг > в, и зависит от 7, х, и, и,..., и(в-к), если кг < в.
Выбрав какой-либо базис {и0,... , ип} в Нв+1, условие существования в Нв+1 базиса из точных 1-форм можно проверить с помощью условия Фробени-уса
7иг Л и0 Л ... Л ип = 0, i = 0, п. (7)
Для построения базисов модулей Н2,..., требуется также лемма 1 из [1].
Лемма 1. Для 3 = 1,..., в справедливо равенство
Н = Н+1 © врап^и^-),..., ¿и^}. (8)
3. Построение разложения
Теорема 2. а) Любая 1-форма и Е Н1 единственным образом может быть представлена в виде следующей суммы
т е-1
и = и5+1 + ЕЕ ск 7и(к), (9)
^=1 к=0
где и8+1 Е Н8+1.
Ь) Выберем произвольную 1-форму и ЕН1
р к—1 т е-1
I V1 V1 ,(к) Л Ък
а077 + Е Е аг 7уг(/<) + Е Е Ьк 7и((к), а0, а,Ькд . ¿=1 /¿=0 (=1 к=0
Тогда коэффициенты ск могут быть найдены согласно следующему рекур-
(
рентному соотношению
„в-1 _ „ка-1
'V + £ а0>-1 ^, (10)
С( = Ь( + аа о (в) '
а=1 ди(
, I т в—1
а
с( = 4+1 ( "77 (и-ЕЕ ск аи(к) I I , 3 = в - 2,..., 0, (11)
( ( » 77 .
(=1 к=+1
где с( (П) — это соответствующий коэффициент в разложении 1-формы П согласно выражению (9).
Доказательство. Проведём доказательство по индукции. Пусть ] = в - 1. Из леммы 1 следует, что для любой 1-формы и1 из Н1 можно найти разложение
т
Ш1 = шя+1-(я-1) + £ с5-1(и(5-1), (12)
2=1
где и8+1-(8-1) = Ш2 е Н2.
Коэффициенты разложения с^-1,..., ст-1 можно найти аналитически. Действительно, выберем произвольную 1-форму и1 е Н1
р к-1 т е-1
Ш1 = ао(г + £ (у(/<) + Ьк(и[к), «о, О? , Ьк е Т.
¿=1 /¿=0 я=1 к=0
Найдём для и1 е Н1 производную в силу системы (1).
р к —1 т е-1 р к—2
Ш 1 = аоС + £ £ а(у^ + £ £ Ьк(и^ + £ £ а'*(у(/*+1) + ¿=1 /¿=0 2=1 к=0 ¿=1 /¿=0 р т е-1
+ £ ак*-1С<л(£, у,..., у(к-1), и,..., и(!)) + £ £ Ьк(и(к+1) = ¿=1 2=1 к=0 т / р д \ = Ш + £ Ь^ + £ а^"-1 ^ (Ц>> (13)
2=1 \ а=1 ди2 /
где Ш е Н1.
Продифференцируем также разложение (12).
тт
и1 = I Ш2 + £ С2-1(и25-1М + £ с2-1(и25), (14)
2=1 / 2=1
где (¿2 + Ет=1 сС2 1(и25 е Н1, а ^^ с2 1(и2') е Н1
^2=1 ^ 1(и2 ) Сравнивая выражение (14) с выражением (13), в котором сумма
тр
£ к-1+£ «а--1 («<"
2=1 \ а=1 ди2
также не принадлежит модулю Н1 , видим, что
С- = Ы1 + V а'»-1 д*
, -Ь^ + £ а^1 ^ ■ (15)
а=1 ди2
Пусть утверждение теоремы верно для 3 = I, тогда верно следующее выражение
т в-1
и = ив+1-/ + ЕЕ ск 7и(к), (16)
(=1 к=/
где и8+1-/ Е Н8+1-/.
Рассмотрим случай 3 = I - 1. Согласно (8)
т
ив+1-/ = ив+2-/ + Е с(-17и(/-1), (17)
(=1
где ив+2-/ Е Нв+2-/.
Подставив (17) в (16), получим выражение, аналогичное (16), но для 3 = I - 1.
Продифференцируем (16)
т ( )
ив+1-/ = ив+2-/ + Е (с(-1аи(/-1) + с(-17и(/^ , (18)
(=1
где и в+2-/ + Ет=1 <С(-17и(/-1) Е Нв+1-/, Ет=1 с(-17и(/) Е Нв+1-/.
Так как согласно (6) ив+1-/ Е Нв-/, запишем разложение ив+1-/ по лемме 1 в виде
т
и в+1-/ = ив+1-/ + Е 4 7и(/), (19)
(=1
где ив+1-/ Е Нв+1-/, а с( — коэффициенты в разложении ив+1-/ согласно (16).
Сравнивая выражения (18) и (19), с учётом (16) получим для д = 1, т
с(-1 = г( = с( (ив+1_,) = с^"77 (и - ЕЕ Е ск<НЧ) ) ■ (20)
Теорема доказана.
Пример. Найдём коэффициенты св 2, д = 1,т. 1-форма и2 Е Н2 выража
ется из (12) следующим образом
р к-2 т в-2
и2 = а0"7 + ЕЕ а!г "У?0 + ЕЕ Ьк "и(к) + ¿=1 /¿=0 (=1 к=0
рт
+ Е аО.""1 ( - Е . (21)
а=1 у в=1 в
Продифференцируем (21) в силу системы (1)
Ш 2 = Ш2
+ £ ( «о-2 + £
а
кв-1
в
+£
2=1
а=1
'в-2
в =1
дуОка-1)
(у,
ка — 1
+
+£
а=1
« к а 1
«а
с( ( д*с
ди2!-1) (^ди25)
(и
в-1
(22)
где Ш2 е Н2.
Тогда по теореме 2 согласно (10) и (11) получим
с
в-2
в-2
=Ь
+£
а=1
+£
а=1
а к а 1
аа
д*с
С / д*с
ди2в-1) (^ди25)
а
ка-2
+ 1] «в
в=1
кв-1 д*в \ д*с
ду
(ка 1)
а
ди
(в)
+
(23)
Замечание. Выражение (9) определяет разложение модуля Н1 в прямую сумму модулей над кольцом Т
Н1 = Нв+1 © 8рапТ{(и1,..., Сит} © ... © 8рапТ{(и1в-1),..., Сит-1)}. (24)
Отметим, что коэффициенты с', д = 1, т, к = 0,в - 1 находятся аналитически и могут быть получены с использованием системы символьных вычислений.
4. Построение базиса На+\ Теорема 3. Пусть для модуля Н1 задан некоторый базис
(£, (у1,..., Су(к1-1),Су2,..., (у^кр-1),(и1,..., Си1в-1),(и2,..., (ит!-1). (25) Тогда в качестве базиса модуля Нв+1 можно выбрать систему 1-форм
к
а, Шт,..., ш
т в-1
(у/4 - £ £ ^(и(к), % = 1г = 0Л-Г,
к1 -1 Ш0 ,Ш
икр-1, р
(26) (27)
2=1 к=0
2
2
2
а
2
где = ск(7у^) — коэффициенты в разложении 1-форм согласно (9).
Доказательство. Каждую 1-форму из базиса Н1 можно разложить согласно (9). В этом случае для каждого элемента базиса Н1 получим 1-форму из модуля Нв+1, соответствующую слагаемому ив+1 в выражении (9).
Для 1-форм duk, q = 1, m, k = 0, s — 1 элемент, соответствующий в (9), будет равен нулю, так как каждая из 1-форм duk принадлежит одной из линейных оболочек spanF{duk,..., dum}, k = 0, s — 1 в разложении (24), а следовательно, не имеет составляющих в Hs+1.
Выразив из (9) для каждой 1-формы dy/, i = 1,p, l« = 0, k — 1 соответствующую 1-форму, принадлежащую Hs+1, получим набор (27).
Очевидно, что система (26) является линейно независимой. Количество 1-форм в системе равно 1 + Хл=1 k«. При этом размерность модуля Hs+1, согласно выражению (24), также равна dim H1 — ms = 1 + ЕГ=1 k« + ms — ms = =1 k«. Cледовательно, система (26) является базисом Я5+1.
Замечание. Проверив для системы 1-форм (26) условие Фробениуса (7), можно определить, интегрируемо ли распределение, являющееся сопряжённым дополнением к модулю Hs+1.
5. Заключение
Представленный способ построения базиса модуля Нв+1 позволяет проверить условие существования реализации вида (3), (4), не прибегая ни к непосредственному интегрированию, ни к проверке ранга функциональных матриц. Кроме того, в случае, когда реализация вида (3), (4) не существует, базис Нв+1 может быть использован для проверки условия существования реализации более общего вида, в которой уравнения состояния содержат производные управления.
Следует отметить, что полученный способ проверки интегрируемости можно связать с условием существования реализации, приведённым в работе [3], однако там оно формулируется на языке векторных полей.
Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ 10-07-00617 Программы Президента РФ по государственной поддержке ведущих научных школ (грант № НШ-4144.2010.1).
Список литературы
1. Крищенко А.П., Четвериков В.Н. Преобразования описаний нелинейных систем. // Дифференциальные уравнения. 2009. Т. 45, № 5. С. 706-715.
2. Евсеев А.В., Четвериков В.Н. Использование компьютерной алгебры в задаче реализации динамических систем. // Научный Вестник МГТУ ГА. 2011. № 165. С. 19-25.
3. Delaleau E., Respondek W. Lowering the Orders of Derivatives of Controls in Generalized State Space Systems. // Journal of Mathematical Systems, Estimation and Control. 1995. Vol. 5, No. 3, pp. 1-27.
electronic scientific and t echnical periodical
SCIENCE and EDUCATION
El № FS77 - 30569. №0421100025. ISSN 1994-0408
Modification of Algorithm of Input-Output Map Realization 77-30569/245858
# 10, October 2011
A. V. Evseev
Bauman Moscow State Technical University
State-space realization of input-output map is considered. Differential geometry methods are used. Developed in the past realization algorithm includes check of distribution integrability. Infallible method of integrability check is suggested. Frobenius theorem in terms of differential forms is used for this purpose. Decomposition of module based on differentials of system variables is made. Method of basis construction based on the decomposition is obtained. One can use results to check distribution integrability in automatic control problems. Symbolic computation systems utilization is suggested together with results.
References
1. Krishchenko A.P., Chetverikov V.N. Transformations of Descriptions of Nonlinear Systems // Differential Equations. 2009. Vol. 45, No 5, pp. 721-730.
2. Evseev A.V., Chetverikov V.N. Using Computer Algebra in the Problem of Realization of Input-Output Maps // Research Herald of the MSTU CA. 2011. No. 165, pp. 19-25.
3. Delaleau E., Respondek W. Lowering the Orders of Derivatives of Controls in Generalized State Space Systems // Journal of Mathematical Systems, Estimation and Control. 1995. Vol. 5, No. 3, pp. 1-27.
