CC BY
102
Математика и механика. Физика
УДК 519.224
МОДЕРНИЗАЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ ПИРСОНА ДЛЯ АППРОКСИМАЦИИ ДВУХСТОРОННИХ ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ
Карпов Иван Георгиевич,
д-р техн. наук, профессор кафедры «Информационные системы и защита информации» Тамбовского государственного технического университета, Россия, 392000, г. Тамбов, ул. Советская, д. 106. E-mail: zeratul68@mail.ru
Грибков Алексей Николаевич,
канд. техн. наук, доцент кафедры «Конструирование радиоэлектронных и микропроцессорных систем» Тамбовского государственного технического университета, Россия, 392000, г. Тамбов, ул. Советская, д. 106. Е-mail: GribkovAlexey@yandex.ru
Актуальность работы обусловлена необходимостью повышения точности и упрощения процедуры аппроксимации двухсторонних законов распределения экспериментальных данных.
Цель работы: модернизация метода Пирсона, которая позволяет устранить ряд его недостатков и упростить процедуру аппроксимации двухсторонних законов распределения экспериментальных данных, принимающих как положительные, так и отрицательные значения.
Методы исследования: расчеты с использованием методов теории вероятностей и математической статистики, а также программного продукта MathCAD; методы интегрального и дифференциального исчисления.
Результаты: Предложена модернизация распределений Пирсона для аппроксимации законов распределения экспериментальных данных, принимающих положительные и отрицательные значения, которая позволяет значительно упростить процедуру аппроксимации. Разработана топографическая классификация модернизированных распределений Пирсона с использованием совместного коэффициента асимметрии и эксцесса вместо коэффициента эксцесса. Приведены формулы для расчета числовых характеристик модернизированных распределений Пирсона.
Ключевые слова:
Распределения Пирсона, аппроксимация законов распределения, плотность распределения вероятностей, классификация распределений, совместный коэффициент асимметрии и эксцесса.
Постановка задачи
Одной из актуальных задач, возникающих в процессе обработки экспериментальных данных, является установление закона распределения и оценка значений его параметров. При этом непосредственная обработка результатов наблюдений во многих случаях не позволяет точно установить истинный закон распределения, а только его аппроксимировать, т. е. получить приближенное описание в виде некоторого известного закона, похожего на неизвестный истинный закон распределения.
При отсутствии априорных данных о виде закона распределения выбор той или иной статистической модели для адекватного описания экспери-
ментальных данных, принимающих как отрицательные, так и положительные значения, может быть основан на известных эмпирических методах, таких как применение распределений Джонсона и Пирсона, разложения в ряд Эджворта и т. д. [1-4].
Известная система распределений Пирсона удовлетворяет дифференциальному уравнению
^ „ с; + „ * *>• <1>
ах Ь2 х + Ь1 х + Ь0
где а, Ь0, Ь1, Ь2 - параметры распределений Пирсона.
С помощью распределений Пирсона можно осуществлять аппроксимацию экспериментальных распределений с ^образной, и-образной либо уни-
модальной формой, имеющих, по крайней мере, хотя бы первые четыре момента.
Основные недостатки метода Пирсона заключаются в следующем:
1) семейство распределений Пирсона наряду с основными типами распределений содержит также частные случаи некоторых из этих распределений, что затрудняет их практическое использование;
2) определение параметров искомого распределения из семейства распределений Пирсона связано с решением различных систем уравнений;
3) затруднительно пояснить физический смысл параметров распределений Пирсона;
4) дифференциальное уравнение (1) содержит в себе неточность, так как его правая часть не обращается в нуль в случае равномерного распределения, которое принадлежит к семейству распределений Пирсона;
5) предложенная Пирсоном классификация распределений с помощью диаграммы в плоскости переменных в1 и в обладает малой наглядностью.
Величины в1 и в2 определяются равенствами
А = п2 = мз2/м2; в2 = п3 +3 = я,/^ (2)
где па - коэффициент асимметрии; цэ - коэффициент эксцесса; ц2, /л3и /л4 - соответственно центральные моменты 2-го, 3-го и 4-го порядков.
Целью данной работы является модернизация метода Пирсона, которая позволит устранить отмеченные выше недостатки и упростить процедуру аппроксимации двухсторонних законов распределения экспериментальных данных. При этом вместо дифференциального уравнения (1) предлагается использовать уравнение
dp( x) dx
а1(x - m1) - a0
b2( x - m1) + b1( x - m1) + b0
P( xX (3)
{yn[b„ + \y + b2_y2],PCy)}\ -
¡2
- J [nb0 yn-1 + (n +1) blyn + (n + 2) b2yn+1]p(y) =
¡1
¡2
= Jyn (aiy - a0) P(J)dy •
Предположим, что выражение в фигурных скобках обращается в нуль на верхней и нижней границах интервала интегрирования или же
lim yn+2p(y) ^ 0,
если распределение имеет бесконечный размах. Тогда, используя определение центральных моментов для непрерывной СВ, получим
nboßn-1 + [(n + 1) b1 - а<Ж =
= -[а1 + (n + 2) b2] ßn + 1. (5)
Уравнение (5) позволяет получить рекуррентные соотношения для определения центральных моментов более высокого порядка по моментам более низкого порядка. Последовательно полагая в
(5) п=0,1,2,3и учитывая, что ß-1=0, ßo=1, ßi=1, имеем:
b1 - а() = 0;
bo = - (a1 + 3b2 ) ß2;
(3b1 - a0) ß2 =-(a1 + 4b2) ßs';
3b0ß2 + (4b1 - a0) ßs = -(a1 + 5b2) ß4 • (6)
Из второго уравнения системы (6) следует, что параметр Ь0фО. Поэтому, решив систему уравнений
(6) относительно интересующих нас параметров распределения а1, a0, b2, Ь1, получим
(18ß2 + 12ßs2 - 10ß2ß4) _u 4 П12 - 5 .
где шг - математическое ожидание.
Основные результаты
Используя общие свойства плотностей распределения вероятностей (ПРВ), установим правила определения параметров а1, а0, Ь2, Ь1 и Ь0, входящих в уравнение (3). Для этого запишем уравнение (3) в следующем виде:
(х - т1)п[Ъ0 + Ъ1( х - т1) + Ъ2( х - т1)2] р( х)/ ах =
= (х - ш1)п [а1( х - т1) - а0] р( х)
либо
уП(Ъо + Ь17 + Ь272)Ф(у Vау = уп (а1у -а0)р(у\ (4) где у=х-т1.
Пусть допустимые значения случайной величины (СВ) п с ПРВр (у) заключены в интервале (^у. Проинтегрируем левую часть равенства (4) по частям. Считая, что интегралы существуют, получим
ß2(4ß2ß4 3ß3 )
ß3(ß4 - 3ß2)
(2 - ^12)ß2 Па
*0 ^1 ^0
ß2(4ß2ß4 - 3ß32) 0 2(2 - ni2)4^2 ’
2ß2ß4 6ß2 3ß3
1 П12
(7)
2 0 М2ИМ2М4 - 3Мз) 0 (2 -П12)М2
С учетом формулы (2), коэффициент П12 можно записать в виде
1,5Д + 6 1,5 ^ + 6 ^2 1,5 па2 + 6
П12 в2 + 3 М2(М4+ 3^22) П + 6 ^
0 — П12 — 1,5. (8)
Коэффициент п12, определяемый по формуле
(8), назовем нормированным совместным коэффициентом асимметрии и эксцесса. Можно показать [5], что верхней границе области возможных значений коэффициента соответствуют распределения в виде совокупности двух дельта-функций, а нижней границе - распределения, имеющие менее четырех моментов. Для симметричных распреде-
лений, когда па=0, коэффициент Пи представляет собой нормированный коэффициент эксцесса.
Положим параметр Ь0=^2(2-п!2), тогда выражения (7) для параметров а0, а1, Ь1 и Ь2 существенно упрощаются:
а = 4п12 - 5; ай = Ъ = 0,5ПаТмТ;
Ъ0 = (2 - П12)М2; Ъ2 = 1 - П12. (9) Из анализа соотношений (9) следует, что параметры а1, а0, Ь2, Ь0 и Ь1 определяются коэффициентами п а и Пи, а также центральным моментом /л2.
Дифференциальное уравнение (3) с учетом соотношений (9) принимает вид
ар( х)
,Р(х). (10)
ах
= (4 П12 - 5)( х - Щ) - 0,5ПаУмТ
^(1 -П12)( х - т1) 2 + ^
1 + 0,5ПаТмТ(х - ^1) + (2 -П12) ^
Решение уравнения (10) можно записать следующим образом:
рх) = Кн exp[ф(х)], ф(х) =
= /■
(4 П12 - 5)( х - т1) - 0,5 ПаТмТ
Г(1 -П12)( х - Щ) 2 +
+0,5ПаТм2( х - тд + (2 -П12) М2
у ах, (11)
где Кн - коэффициент нормировки. Очевидно, что характер кривой ф(х), а следовательно и ПРВ р(х), может быть различным в зависимости от величин коэффициентов па и п12, которыми с учетом соотношений
(9) в конечном итоге определяются корни уравнения
Ъ0 + Ъ1у + Ъ2 72 = 0. (12)
Значения корней уравнения (12) зависят также от дополнительного коэффициента
П21 =
Па
^л/ГЪТГЪ0 4^1 - П121 (2 -П12)
При этом возможны шесть основных типов распределений, соответствующих двенадцати типам распределений по классификации Пирсона. Их топографическую классификацию удобно производить с помощью диаграммы в плоскости переменных па и Пи, приведенной на рисунке. Рассмотрим подробнее указанные шесть типов распределений.
Распределение 1. В данном случае -ю<п„<<», 1<П12<1,5. Выражение для ПРВ с учетом (11) имеет вид [6]
(х + Х-М)а-1(Х- х + МГ1
Р( х) = ■
СхГ''-1 Б(а,у) -Х + М< х <Х + М
(13)
где В (а,у) - бета-функция; а>0, у>0 - параметры формы; х>0 - параметр масштаба; -ю<м<» - параметр сдвига.
-6 -з о 3 6 па
Рисунок. Диаграмма модернизированных распределений Пирсона
Параметры распределения (13) связаны с па, Пт, м2 и т1 следующими соотношениями:
а =
П21
П - 1 Л1 ^1 + 1J ;
= Г 0,5 ЛГ _
У ^П12-1 А +^1 + 1) ;
П21
Х =
2 -п
М2(П221 +1); м =
2 -П
М2 П21 + т
р( х) =
Я'
г(а)
(м - х)а 1ехр[-Я (м - х)] ,
-да < х < м , (14)
где Г(г) - гамма-функция; а>0, Я>0, -да<м<да -параметры, связанные с па, М2 и тг соотношениями:
= 4 . Я = 2
а = 2 ; Я = I-;
П Пау] М2
м =
Распределению (14) по классификации Пирсона соответствует III тип распределения (гамма-распределение) с отрицательным коэффициентом асимметрии. На рисунке представлена область существования распределения (14). Ей соответствует отрезок прямой 2а.
Распределение 2Ь. Для этого распределения П12=1, Па>0 и выражение для ПРВ имеет вид
р( х) =
Я'
г(а)
(х - м)а 1ехр[-Я( х - м)],
М < х < да . (I5)
Значения параметров а, Я и м распределения (15) определяются теми же соотношениями, что и для ПРВ (14), с той разницей, что Я=2/п„л!-2.
Распределению (15) по классификации Пирсона соответствует III тип распределения (гамма-распределение) с положительным коэффициентом асимметрии. При а=1 получаем экспоненциальное распределение (X тип распределения Пирсона). На рисунке представлена область существования распределения (15). Ей соответствует отрезок прямой 2Ь.
Распределение 3. В этом случае п2=1, Па=0, и в результате с учетом (1) получаем распределение VII типа по классификации Пирсона (гауссовский закон) с параметрами сг=л1м2, м=т1
1
•у/2па
ехр
(х -м)2
2 а2
- да < х < да .
(16)
П12 - 1 \ П12 - 1
Распределению (13) по классификации Пирсона соответствует I тип распределения, а также частные случаи - распределения II, VIII, IX и XII. Например, при па=0 ПРВ (13) сводится к распределению Пирсона II типа (а=у). При п2=1,25 и П„^0 ПРВ (13) сводится к распределению Пирсона XII типа. В этом случае а+у=2. Если м=Х, то ПРВ (13) преобразуется в бета-распределение. На рисунке представлена область существования распределения (13) в координатах па и Пи- Для нее справедливы неравенства -да<па<да, 1<П12<1,5.
Распределение 2а. При этом па<0, п2=1 и выражение для ПРВ с учетом (11) имеет вид [6]
На рисунке области существования распределения (16) соответствует точка с координатами па=0, П12=1.
Распределение 4а. Для этого распределения Па<0, П12<1, П21<-1 и выражение для ПРВ с учетом (11) имеет вид [6]
рх) = в( Я)(м Х)—^ -да< х<м (17) В(а, у)(Я + м - х)
где а>0, у>0, Я>0, -да<м<да - параметры, связанные с па, Пи, м2 и тг соотношениями:
V = 3 + -
1
1-П12
м = 0,51 2т1 - Я-
По классификации Пирсона ПРВ (17) соответствует VI тип распределения (бета-распределение) с отрицательным коэффициентом асимметрии. При а=1 ПРВ (17) трансформируется в XI тип распределения Пирсона.
На рисунке представлена область существования распределения (17). Для нее справедливы неравенства па<0, п2<1, П21<-1. Справа она ограничена кривой 5а, для точек которой выполняется условие п21=-1.
Распределение 4Ь имеет место для П12<1, Па>0 и п21>1. При этом
ЯЧ х -м)а-1
к х):
(18)
В(а^)(Я-м + х)а Значения параметров а, V, Я и м распределения (18) определяются теми же соотношениями, что и для ПРВ (17), с той разницей, что
Г 0,5 V а = | 1 +-------------1
^ 1 - П12
Г
м = 0,51 2т1 + Я -
-1
П21 7П221 - 1
ПаУмТ ^
2(1 -П12)
По классификации Пирсона ПРВ (18) так же, как и ПРВ (17), соответствует VI тип распределения (бета-распределение), но с положительным коэффициентом асимметрии. При а=1 ПРВ (18) трансформируется в XI тип распределения Пир-
сона.
На рисунке представлена область существования распределения (18). Для нее справедливы неравенства %12<1, Па>0 и п21>1. Слева она ограничена кривой 5Ь, для точек которой выполняется условие 7721=1.
Распределение 5а является предельным случаем распределения (17) при а^да и п12<1; -5,65<па<0; п21=-1. ПРВ с учетом (11) имеет вид
X'
1
-ехр
X
Г(у)(л- х)^1 V ¡л- ху
-да < х < л, (19)
где у>0, Х>0, -да<л<да - параметры, связанные с Па, Пи, Л2 и т соотношениями:
л = т - .
1 4(1 - П12)
На рисунке представлена область существования распределения (19). Ей соответствует кривая 5а.
Распределение 5Ь является предельным случаем распределения (18) при а-^да и п12<1; 0<па<5,65; %21=1. Выражение для ПРВ имеет вид
X''
1
-ехр
X
Г (у) (х - лУ11 V х -л
Л < х < да. (20)
Параметры распределения (20) определяются теми же соотношениями, что и для распределения (19). По классификации Пирсона распределения (19) и (20) соответствуют V типу, причем в первом случае па<0, а во втором случае па>0. На рисунке представлена область существования распределения (20). Ей соответствует кривая 5Ь.
Распределение 6 получаем при п12<1 и -1<%21<1. В этом случае ПРВ с учетом (11) имеет вид [6]
Xу ехр [Ьагс® ((х - л) /X)]
С^2 + (х-л)2] °,5(У+1)
-да < х< да, (21)
где у>0, -да<Ь<да - параметры формы; X>0 - параметр масштаба;
п/ 2
С =| ехр(Ьх)(со8 х) у~хс1х =
-я/2
= 2V-1 |Г(0,5( V +1 + у&))|7пГ( V)
- коэффициент нормировки. Если Ь=0, то С=Б(0,5;0».
Параметры распределения (21) связаны с %а, Пи, л2 и т соотношениями:
_ 1 и=^ 1 ^
у = 3 +----------; Ь = | 2 +----------1- ) -
1 П12 V 1 П12 1 - п2
%21
%21
X= I 1 + -
1 П12
4(1-%)
ПРВ (21) соответствует IV тип распределения Пирсона. На рисунке представлена область существования распределения (21). Для нее справедливы неравенства п12<1; -5,65<па<5,65 и -1<%21<1. Слева она ограничена кривой 5а, а справа - кривой 5Ь.
В таблице приведены формулы, выражающие коэффициенты па, %12 и %21 через параметры распределений (13)-(21).
Таблица. Числовые характеристики модернизированных распределений Пирсона
Тип % П\2 ^21
2 (у-а)^1у + а +1 V + а + 3 V-а
а ^уа(у + а + 2) —ад < Г)а <Ю "12 у + а + 2, 1 < ^12 < 1,5 ^21 0 1—, 2ы аг -ад <^21 <
2а Па =~ V П\2 =1 ^21 ^
2Ь Па = 2 ^ П\2 = 1 ^21
3 Па = 0 П\2 = 1 П21 = 0
4а -2 (2а + у-1)^у-2 V-4 1 -V- 2а
а (V- 3)^а(а + у-1) Па < 0 ^12 _ -, , V-3 0 < ^12 < 1 2 21 1 1
4Ь 2{2а + у -\)^у- 2 V-4 2а + V -1
а (V-3)^а(а + у -1) Ча > 0 712 -V-3, 0 < ^12 < 1 2^ а (а + у-1) П21 > 1
5а - 4>/у^"2 ^ (^- 3) ’ -5,65 <^а < 0 V-4 ^12 = > V - 3 0 < ^12 < 1 %1 = -1
5Ь 4^1 V- 2 Г1а ~ (у-3) , 0 <^а < 5,65 V-4 *2 ■ 0 < ^12 < 1 %1 = 1
6 4Ь7 V - 2 V-4 Ь
^а 1 2 , (у- 3)\1(у-1)2 + Ь -5,65 <Г!а < 5,65 712 V-3, 0 < ^12 < 1 1 ^(|/-1)2 + Ь2 -1 < П21 <1
Выводы
Таким образом, модернизация метода Пирсона с использованием коэффициентов па, %12 и %21 позволяет существенно упростить процедуру аппроксимации экспериментальных распределений, так как при этом не требуется определять параметры дифференциального уравнения (1) и решать систему уравнений (7) для нахождения параметров аппроксимируемого распределения. Использование в качестве числовой характеристики совместного коэффициента асимметрии и эксцесса вместо коэффициента эксцесса позволяет также разделить области существования распределений Пирсона и представить их на диаграмме более наглядно.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Кендалл М., Стьюарт А. Теория распределений. - М.: Наука, 1966. - 566 с.
2. Кобзарь А.И. Прикладная математическая статистика. Для инженеров и научных работников. - М.: Физматлит, 2006. -813 с.
3. Бостанджиян В.А. Распределение Пирсона, Джонсона, Вей-булла и обратное нормальное. Оценивание их параметров. -Черноголовка: Редакционно-издательский отдел ИПХФ РАН, 2009. - 240 с.
4. Карпов И.Г., Зырянов Ю.Т., Грибков А.Н. Модифицированные распределения Джонсона и их применение для аппрокси-
мации законов распределения экспериментальных данных // Известия Томского политехнического университета. - 2013. -Т. 322. - №2. - С. 46-50.
5. Карпов И.Г., Карпов М.Г., Проскурин Д.К. Методы обобщенного вероятностного описания и идентификации негауссовских случайных величин и процессов. - Воронеж: ВГУ, 2010. -172 с.
6. Прудников А.П., Брычков Ю. А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. - М.: Наука, 1984. - 800 с.
Поступила 02.07.2013 г.
UDC 519.224
MODERNIZATION OF PEARSON DISTRIBUTION FOR APPROXIMATION OF THE BILATERAL DISTRIBUTION LAWS OF EXPERIMENTAL DATA
Ivan G. Karpov,
Dr. Sc., Tambov state technical university, Russia, 392000, Tambov, Sovetskaya street, 106. E-mail: zeratul68@mail.ru
Aleksey N. Gribkov,
Cand. Sc., Tambov state technical university, Russia, 392000, Tambov, Sovetskaya street, 106. E-mail: GribkovAlexey@yandex.ru
The urgency of the issue is caused by needs of improving the accuracy and simplifying the approximation of experimental data laws for bilateral distribution.
The main aim of the study: modernization of the Pearson method, which eliminates some of its disadvantages and simplifies the procedure for approximation of bilateral distribution laws of experimental data, taking both positive and negative values.
The methods used in the study: calculations using the methods of probability theory and statistics, as well as the software MathCAD; methods of integral and differential calculus.
The results: The authors have proposed the modernized Pearson distributions to approximate distribution laws of experimental data, taking positive and negative values, which can significantly simplify the procedure of approximation. Topographic classification of modernized Pearson distributions with use of coefficient of joint asymmetry and excess kurtosis instead of coefficient of excess is designed. The paper introduces the formulas for calculating numerical characteristics of the modernized Pearson distributions.
Key words:
Pearson distribution, approximation of distribution laws, density of probabilities distribution, classification of distributions, coefficient of joint asymmetry and excess.
REFERENCES
1. Kendall M., Styuart A. Teoriya raspredeleniy [Theory of distributions]. Moscow, Nauka, 1966. 566 p.
2. Kobzar A.I. Prikladnaya matematicheskaya statistika. Dlya inzhe-nerov i nauchnykh rabotnikov [Applied mathematical statistics. For engineers and scientists]. Moscow, Fizmatlit, 2006. 813 p.
3. Bostandzhiyan V.A. Raspredelenie Pirsona, Dzhonsona, Veybulla i obratnoe normalnoe. Otsenivanie ikh parametrov [Distribution of Pearson, Johnson, Weibull and inverse normal distribution. Parameter Estimation]. Chernogolovka, IPCP Publ. department, 2009.240 p.
4. Karpov I.G., Zyryanov Yu.T., Gribkov A.N. Modifitsirovannye raspredeleniya Dzhonsona i ikh primenenie dlya approksimatsii
zakonov raspredeleniya eksperimentalnykh dannykh [Johnson’s modified distributions and their application for approximation of distributions laws of the experimental data]. Bulletin of the Tomsk Polytechnic University, 2013, vol. 322, no. 2, pp. 46-50.
5. Karpov I.G., Karpov M.G., Proskurin D.K. Metody obobshchen-nogo veroyatnostnogo opisaniya i identifikatsii negaussovskikh sluchaynykh velichin i protsessov [Methods of generalized probabilistic description and identification of non-Gaussian random variables and processes]. Voronezh, VSU Publ., 2010. 172 p.
6. Prudnikov A.P., Brychkov Yu.A., Marichev O.I. Integraly i rya-dy. Elementarnye funktsii [Integrals and series. Elementary functions]. Moscow, Nauka, 1984. 800 p.
