Аппроксимация массовых распределений жировой фазы в молочных продуктах семейством универсальных распределений Пирсона Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 637.073:534.2

Профессор В.К. Битюков, профессор A.A. Хвостов, доцент Д.И. Ребриков, аспирант В.Е. Мерзликин (Воронеж, гос. ун-т ннж. технол.) кафедра информационных и управляющих систем, тел. (473)255-38-75 E-mail: [email protected]

Professor V.K. Bityukov, Professor A.A. Khvostov, Associate Professor D.I. Rebrikov, Graduate V.E. Merzlikin

(Voronezh state university of engineering technologies) chair of the information and operating systems, tel. (473)255-38-75 E-mail: [email protected]

Аппроксимация массовых распределений жировой фазы в молочных продуктах семейством универсальных распределений Пирсона

Approximation of the mass distributions of the fat phase in dairy products using universal family of Pearson distributions

Реферат. Рассмотрена задача по аппроксимации экспериментальных значений коэффициента затухания ультразвуковых колебаний и массовых распределений жировых шариков в молочных продуктах. Выполнен анализ экспериментальных данных с точки зрения выбора метода аппроксимации. Предложена аппроксимирующая зависимость на основе решения дифференциального уравнения Пирсона. Рассмотрены преимущества предложенного метода с учетом вида получаемых экспериментальных данных. Разработан алгоритм построения математической модели, описывающей спектр времен релаксации и массовых распределений жировых шариков в молоке. В результате аппроксимации семейством кривых Пирсона экспериментальных данных показана возможность качественно верно описать изменение распределения жировой фазы в ходе процесса гомогенизации. Оценена погрешность аппроксимирующей зависимости, которая составила 18 %. Показано, что с ходом процесса гомогенизации молочных продуктов изменяется вид кривой, описывающей распределение жировых шариков. При этом точность выбранной математической модели снижается. Также теряется физический смысл её параметров. Для устранения выявленных отклонений предложено рассматривать массовое распределение жировых шариков как функцию с двумя модами. Обосновано, что усложнение модели не только увеличивает в два раза количество её параметров, но и усложняет интерпретацию результатов измерений в системе управления и делает сложным анализ получаемых параметров аппроксимации лицом, принимающим решение. По результатам аппроксимации экспериментальных данных и по их виду предложено использовать статистические моменты распределения для решения поставленной задачи.

© Битюков В.К., Хвостов A.A., Ребриков Д.И., Мерзликин В.Е., 2015

Summary. In this paper we consider the problem by fitting the experimental values of the attenuation coefficient of ultrasonic vibrations and mass distributions of fat globules in milk products. The analysis of the experimental data in terms of the choice of the method of approximation were carried out. Proposed approximating the dependence of solutions on the basis of the Pearson differential equation. The advantages of the proposed method for the type of experimental data obtained. An algorithm for constructing a mathematical model describing the spectrum of relaxation times and mass distributions of the fat globules in the milk was carried out. As a result, a family of Pearson approximation curves of the experimental data shows the possibility of qualitatively correctly describe the change in the distribution of the fat phase in the process of homogenization. Estimate the error of approximating dependence, which amounted to 18 %. It is shown that during the process of homogenization of dairy products varies a curve describing the distribution of the fat globules. The accuracy of the selected mathematical model is reduced. Just lost the physical meaning of its parameters. To eliminate the revealed deviations prompted mass distribution of fat globules as a function with two modes. It is proved that the complexity of the model not only doubles the number of its parameters, but also complicates the interpretation of measurement results in the control system and makes it difficult to analyze the obtained parameters of approximation of the decision-maker. According to the results of approximation of experimental data and their mind is proposed to use the statistical moments of the distribution, to solve the problem.

Ключевые слова: молочные продукты, акустические свойства, массовое распределение, аппроксимация, распределение Пирсона.

Keywords: dairy products, acoustic properties, distribution of mass, approximation, Pearson distributions.

Использование зависимости связи значений масс распределения жировых шариков по массовым или объемным фракциям [1, 2] со спектром времен релаксации молока от акустических свойств раствора [3] при параметрической идентификации затруднительно по ряду причин:

- количество точек дискретного вида Н (г) ограничено количеством измерений;

- различная разрешающая способность измерений по частоте и по массе затрудняет сопоставление экспериментальных точек на кривых спектра времен релаксации и распределения масс жировых шариков по массовым или объемным фракциям со спектром времен релаксации молока;

- возможно увеличение случайной ошибки без предварительной фильтрации данных.

Таким образом, необходима аппроксимация экспериментальных значений Н(т) и распределения жировой фазы. Рассмотрим синтез аппроксимирующей зависимости на примере массового (объемного) распределения жировой фазы в молоке. Поскольку функция распределения теоретически начинается с нуля и заканчивается в нуле, проходит через один или несколько экстремумов и вид спектра заранее неизвестен, то для его моделирования предложено использование решения дифференциального уравнения Пирсона [4, 5]:

1 + \ 2-Щт), (1)

и т о0 + Ьхт + Ь2т

где а, Ъо, Ъ\, Ь2, — постоянные.

Общее решение этого уравнения представлено в виде:

Н(т) = Нс

л (r+a)dr Ь0+Ь]т+Ь2т2

Параметры а, Ъо, Ъ\, Ьг определяются по методу моментов:

а = /¿з (//4 +3//т А,

К = -Иг (4/'2/'4 ~ ) / Л ь2 = - (2/72/74 - 3/7{ - 6/Д ) / Л,

Л = 10//т//4 - 18/у; -12/¿з,

где /1], ¡лз, щ- центральные моменты распределения величины:

" 7-

=ЕОг -м)" 'я(тг)>

7=1

где к - порядок момента; п - количество точек.

Вид решения уравнения (1) зависит от корней , 1/л уравнения [5]:

Ь^+Ь^ + Ь^т2 = 0. (2)

Для оценки корней данного уравнения вводится параметр:

ее =

4 Ь0Ь2

Величина ее называется критерием Пирсона (каппа Пирсона) и ее различные значения дают следующие выводы о корнях уравнения:

-если ее<0 , то уравнение (2) имеет вещественные корни различных знаков; -если 0< ае< 1, то уравнение (2) имеет комплексные корни; -если эе>1, то уравнение (2) имеет вещественные корни одного знака. Соответственно этим случаям Пирсон различает три главных типа своих кривых, которые он назвал типами I, IV и VI. Затем ее может равняться ОД,!», что дает переходные типы кривых. Всего система кривых Пирсона заключает 12 типов и нормальную кривую.

Таким образом, рассчитав параметр ее, можно определить вид кривой, описывающей экспериментальные данные.

В случае нескольких эффективных времен релаксации в соответствии с принципом суперпозиции релаксационных процессов в молоке результирующая функция /('/',со) будет представлена взвешенной суммой соответствующих двумерных функций плотности:

N

/(?>)=

У

где г - номер релаксационного процесса; N - количество учитываемых релаксационных процессов; £ - весовой коэффициент вклада г-го релаксационного процесса в общие механические потери.

Таким образом, алгоритм построения математической модели, описывающей спектр времен релаксации в молоке, будет выглядеть следующим образом (рис. 1):

- разбиение множества всех наблюдаемых экспериментально точек в плоскости (Т.со) на подмножества, характеризующие отдельные выборки, относящиеся к

определенному релаксационному механизму;

- формирование из множества экспериментальных точек, относящихся к каждому релаксационному механизму, подмножеств экспериментальных точек,

соответствующих фиксированным частотам или температурам, для формирования выборок условных распределений по температурам и частотам;

- проведение процедур нормировки для расчета выборочных моментов условных распределений;

- определение выборочных моментов Л/,„, МТ условных распределений;

- расчет параметров квадратного уравнения в знаменателе (1) Ссо, Ст и вычисление его корней 1//0), >//■, ;

- принятие решения о типе распределения из семейства универсальных распределений Пирсона;

- определение параметров распределения ут,пп, /;7 ;

- уточнение параметров суммарного многомодального распределения с использованием метода сопряженных градиентов по критерию МНК и начальными приближениями, полученными на этапе 7;

- оценка точности и адекватности полученной модели.

По результатам экспериментальных исследований установлено, что корни уравнения (2) - действительные числа разных знаков. Исходя из этого для моделирования спектра времен релаксации выбрано бета-распределение 1-го рода:

НМ = А гГ-О-уМ)^

где в!, «2 - параметры распределения; у(т) - аргумент распределения; В{з\,в^) - значение бета-функции.

Параметры распределения определяют по формулам:

В2(сх+с2) '

с2-а В2(с1+с2) '

Аргумент распределения находят по формуле:

т-в1

*г)" а

где Эх = — сх, 62=с1 + с2.

Для параметрической идентификации модели спектра времен релаксации использован среднеквадратичный критерий:

Я = ¿(Я(т,.)экс" -Щт, )расч )2 —

->гтп.

:,к.О,М2

При проведении экспериментальных исследований использовано 42 образца молока с различным массовым распределением жировой фазы вследствие проведения процедуры гомогенизации при разном давлении.

Начало

Par -

Разбиение множества всех

наблюдаемых экспериментально точек в плоскости на подмножества исходя из принципа унимодальности (т)

Ввод исходных данныхfi"cc" (экспериментальные значения распределения жировой фазы или релакстщонного спектра) при заданных аргументах Parj (частота, время релакстщи или масса жирового шарика)

Для каждого релаксационного механизма

Определение матрицы моментов Мщ Мт ]-го распределения , расчет по ним значений Ст, СТ и нахождение корней 4*1 и 4*2

Определение типа распределения по значению корней 4*1 и

1*ХР2<=( Yi^X) Tl И^з комплексные

Распределение Пирсона I типа Распределение Пирсона VI типа Распределение Пирсона IV типа

\

j=j+i

т

S-tH^-fl-r

в^(Раг\ в2(Раг)

y\Par)_ "(Par).

f(Por)

F ,г;

Уточнение параметров суммарного распределения методом сопряженных градиентов по критерию МНК

Аппроксимация параметров распределения. Построение модели f(Par)

Определение точности и адекватности модели

/Р- АА .л.лЛ

7

7

Представление результатов аппроксимации

Конец

Рис. 1. Алгоритм построения математической модели

Следует заметить, что при параметрической идентификации использованы нормированные экспериментальные данные. Переход от абсолютных значений Н(т) к нормированным обусловлен тем, что теоретически площадь под кривой распреде-

^тах

ления жировой фазы должна быть равна 1, условие же | Н(т)с!т = 1 не выполняется,

и для дальнейшего расчета массового распределения жировой фазы по спектру времен релаксации должна быть осуществлена нормировка исходных данных. Таким образом, необходимо соблюдение условия:

(4)

;=1

где N - количество точек измерения.

Для этого необходимо введение дополнительного коэффициента нормировки, /снорм, обеспечивающего выполнение равенства (4):

1

К

норм

N

В дальнейших расчетах под экспериментальными значениями спектра времен релаксации подразумеваются его нормированные значения.

На рис. 2 представлены экспериментальные значения распределений жировой фазы молока до процесса гомогенизации и при разных давлениях проведения процесса. Приведенные данные показывают увеличение содержания низкоразмерных фракций с увеличением давления гомогенизации.

1x10*

Ё

и о W

N &

В х 3 и о а

о

6 и г

N

<

О

ИХ

10

i \

ч

ч

V t \ t

13

12

/,-12

5x10 1x10 " l.SclO

Площадь поверхности жировых шариков, мкм2

Рис. 2. Сравнительные распределения жировых шариков в объеме пробы по диаметру:

«_« - негомогенизированное молоко; «- -», «-.-» - гомогенизированное при давлении

90 и 180 МПа

Аппроксимация семейством кривых Пирсона с использованием зависимости структуры (3) позволила качественно верно описать изменение распределения жировой фазы в ходе процесса гомогенизации (рис. 3-5). Из представленных графиков видно, что в начале процесса гомогенизации вид распределения имеет

ярко выраженный экстремум, благодаря чему распределение можно считать унимодальным. В этом случае математическая модель на основе кривых Пирсона с приемлемой погрешностью (порядка 18 %) описывает распределение жировой фазы. Однако в ходе процесса гомогенизации вид кривой распределения изменяется и экстремум смещается к левой границе области определения функции распределения фазы по размерам. Кроме этого, ввиду наличия как гомогенизированной, так и негомогенизированной части в общем объеме начинает проявляться остаток него-могенизированного молока в виде небольшого локального экстремума. В этом случае для того чтобы достигнуть приемлемого уровня отклонений модельных данных от экспериментальных, в математическую модель приходится вводить вторую моду. Такое усложнение модели не только увеличивает в два раза количество её параметров, но и усложняет интерпретацию результатов измерений в системе управления и ДПР.

0.15

6 о

В

« 0,1

о

а

и

со

0.05

Диаметр жировых шариков, мкм

Рис. 3. Аппроксимация экспериментальных данных распределения жировых шариков негомогенизированного молока ДУ Пирсона: «_» - кривая аппроксимации; «ххх» - экспериментальные данные

0.6

10 20 Диаметр жировых шариков, мкм

Рис. 4. Аппроксимация экспериментальных данных распределения жировых шариков гомогенизированного молока при давлении 90 МПа ДУ Пирсона: «_» - кривая аппроксимации; «х х х„ - экспериментальные данные

0.8

0.6

0

.Уххххуууу

о

10

20

Диаметр жировых шариков, мкм

Рис. 5. Аппроксимация экспериментальных данных распределения жировых шариков гомогенизированного молока при давлении 180 МПа ДУ Пирсона: «_» - кривая аппроксимации;

«ххх» - экспериментальные данные

Проведенные исследования показали возможность качественного описания изменения объемного (массового) распределения жировой фазы в молочных продуктах с использованием семейства распределений Пирсона. Для более точного описания необходимо вводить в математическую модель описание второй моды или использовать описание функции распределения статистическими моментами.

1. Крусь, Г.Н. Технология молока и молочных продуктов / Г.Н. Крусь [и др.]. М.: Колосс, 2003.- 315 с.

2. Instrumentation and sensors for the food industry. Second edition. Edited by Erika Kress-Rogers and Christopher J. B. Brimelow Published by Woodhead Publishing Limited, Abington Hall, Abington, Cambridge CB1 6AH, England, Published in North and South America by CRC Press LLC, 2000 Corporate Blvd, NW, Boca Raton FL 33431, USA, First published 2001, Woodhead Publishing Limited and CRC Press LLC.

3. J. Honerkamp et al Determination of the relaxation time spectrum from dynamic moduli using an edge preserving regularization method Rheologica Acta.- 2000.-Vol. 39. - № 2.- P. 163-173.

4. Крамер, Г. Математические методы статистики [Текст] / Г. Крамер.- М.: Мир, 1975.- 658 с.

5. Кендалл, М. Теория распределений [Текст] / М. Кендалл, А.Стьюарт.- М.: Наука, 1966.- 588 с.

1. Krus' G.N. Tehnologija moloka i molochnyh produktov [Text] / G.N. Krus'/-Moscow, 2003. - 315 p.

2. Instrumentation and sensors for the food industry. Second edition. Edited by Erika Kress-Rogers and Christopher J. B. Brimelow Published by Woodhead Publishing Limited, Abington Hall, Abington, Cambridge CB1 6AH, England, Published in North and South America by CRC Press LLC, 2000 Corporate Blvd, NW, Boca Raton FL 33431, USA, First published 2001, Woodhead Publishing Limited and CRC Press LLC.

3. J. Honerkampet al Determination of the relaxation time spectrum from dynamic moduli using an edge preserving regularization method Rheologica Acta. - 2000.-Vol. 39, -№ 2. - P. 163-173.

4. Kramer, G. Matematicheskie metody statistiki [Text] / G. Kramer. - Moscow, 1975. - 658 p.

5. Kendall, M. Teorija raspredelenij [Text] / M. Kendall, A. St'juart.- Moscow, 1966. - 588 p.

ЛИТЕРАТУРА

REFERENCES