Модернизация модели турбулентности для учета воздействия кривизны поверхности и сжимаемости среды при течении газа в пограничном слое Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 536.24:519.632 Нечаев Валерий Владимирович,

к. т. н, доцент кафедры «Энергообеспечение и теплотехника», Иркутская государственная сельскохозяйственная академия,

e-mail: valery. nechaev@yandex. ru Тупицын Алексей Альбертович, д. х. н, доцент кафедры «Прикладная механика», Иркутский государственный университет путей сообщения,

e-mail: [email protected]

МОДЕРНИЗАЦИЯ МОДЕЛИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ ДЛЯ УЧЕТА ВОЗДЕЙСТВИЯ КРИВИЗНЫ ПОВЕРХНОСТИ И СЖИМАЕМОСТИ СРЕДЫ ПРИ ТЕЧЕНИИ ГАЗА В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ

V. V. Nechaev, A.A. Tupitsyn

MODERNIZATION OF TURBULENCE MODEL FOR ACCOUNTTING THE SURFACE CURVATURE AFFECTING AND MEDIUM COMPRESSIBILITY AT GAS FLOW IN THE BOUNDARY LAYER

Аннотация. Представлена постановка задачи исследования течения и теплообмена при турбулентном движении газа на криволинейной поверхности. Приводятся аналитические выражения для числа Ричардсона и константы Мони-на - Обухова, полученные с учетом сжимаемости и неизотермичности среды.

Ключевые слова: теплопередача, теплообмен, численное моделирование.

Abstract. The statement of flow and heat exchange research problem at a gas flow on a curvilinear surface is presented. Analytical forms for Richardson's number and the Monin - Obuhov constant, obtained by taking into account compressibility and nonisothermality of medium, are presented.

Keywords: heat transfer, heat exchange, numerical simulation.

Введение

Большой класс современных технических и энергетических установок проектируется на основе расчета турбулентного пограничного слоя. При численном моделировании возникает проблема описания процесса переноса тепла и импульса в турбулентном пограничном слое на поверхности с переменной кривизной. Эти процессы необходимо учитывать при проектировании лопаток компрессоров и газовых турбин. Течение в турбо-машинах характеризуется рядом осложняющих факторов: ускоряющимся характером распределения скорости около передней критической точки и замедляющимся вблизи задней кромки; наличием в пограничном слое области отрыва потока от

стенки лопатки; неизотермичностью и сжимаемостью среды; высоким уровнем турбулентности набегающего потока. Решение задачи о теплообмене в таких условиях требует предварительного анализа и алгоритмизации [1, 2].

Для описания сжимаемого пограничного слоя газа на криволинейной поверхности необходимо воспользоваться дифференциальными уравнениями второго приближения, в которые включен радиус кривизны поверхности в явном виде. Основные уравнения

Основные уравнения сжимаемого пограничного слоя, описывающие турбулентное движение сверхзвукового потока на криволинейной поверхности, имеют вид:

- уравнение движения (проекция на ось х):

Г Л

и ди ди ыу

1

■ ку dx dp

dy R + y

w

1

кУ dx (1 + ку)2 дУ

(1)

3 д

Цэфф(1 + КуУ) ду

(

1 + ку

- уравнение движения (проекция на ось у):

1

f dp ^

Rw(1 + Ky) pi dy

уравнение неразрывности:

d d

— (p«) + —[pv(1 + Ky) ] = 0;

дх ду

(2)

(3)

1

2

и

Информатика, вычислительная техника и управление. Приборостроение. Метрология. Информационно-измерительные приборы и системы

уравнение энергии:

u

dh dh

\

1 + y / Rw dx dy

(

1 + y / Rw dy

1 +

У R

u dp dp

--— + v—

- y / Rw dx dy

. cT dT_

Кфф äy + ^эфф

\

эфф

du

\

где

dy Rw + y у

h. Pr

и

hэфф = ^ + —, Кфф + , к = —

Pr

R

И = Ср • Т - удельная энтальпия, ц - коэффициент

динамической вязкости, ц - турбулентный аналог коэффициента динамической вязкости, X - коэффициент теплопроводности, X - турбулентный аналог коэффициента теплопроводности, Рг и Рг -число Прандтля и его турбулентный аналог, Rw -радиус кривизны поверхности, и - продольная составляющая вектора средней скорости, V - поперечная составляющая вектора средней скорости, р -плотность; х, у, г - прямоугольные координаты [2].

Для замыкания системы уравнений сжимаемого пограничного слоя на криволинейной поверхности может быть использована алгебраическая модель турбулентной вязкости Себеси - Смита [3], основанная на пути смешения Прандтля. Достоинством этой модели является простота, надежность и возможность получать расчетные результаты с хорошей точностью.

В соответствии с подходом Себеси и Смита турбулентный пограничный слой считается состоящим из внутренней и внешней областей, коэффициенты турбулентной вязкости в которых описываются разными соотношениями. Эти соотношения являются эмпирическими и получены на

основании экспе

V = l2

эиментальных данных:

du

— YYR + 2lueTU (y/5) ,

(5)

где vt - турбулентный аналог кинематической вязкости; 5 - толщина гидродинамического пограничного слоя.

Входящая в формулу (5) длина пути смешения I выражается соотношением

l = Ky

1 - exp I -

y

(6)

где к - постоянная Кармана, к = 0,4; А - постоянная длина демпфирования, которая определяется следующим образом:

A = 26-

1

^1

N • u

N =

Л, Л

1 -11,

he

Гп У

(7)

(4)

v•и du„

Р =■

u

dx

u, =

1

^ 2

где х„ - напряжения трения на твердой поверхности обтекаемого тела; ит - проекция вектора скорости потока газа на поверхность обтекаемого тела; V - кинематическая вязкость; индексы «е» и <^» обозначают параметры на внешней границе пограничного слоя и на стенке.

Особенностью выражений (7) является то, что в них вводятся значения плотностей рк, ре и динамической вязкости на стенке и внешней

границе пограничного слоя, что позволяет использовать данную модель для расчета потоков газа.

Входящий в формулу (5) коэффициент перемежаемости у необходим для описания характеристик пограничного слоя в области перехода от ламинарного режима течения к турбулентному. Он определяется соотношением

Y = 1 - exp

»dx

-G (x - x) l —

* и

/,,э л

G = 8,35 • 10-

vv2 у

Re-

(8)

(9)

Во внешней части пограничного слоя коэффициент турбулентной вязкости рассчитывается по формуле Клаузера:

v = 0,0168

j(ue - u ) dy

YY r

(10)

+2lueTue (y/5).

При расчете течения в теплоэнергетических устройствах (лопатки компрессоров и газовых турбин) необходимо учитывать степень турбулентности набегающего потока Tue [4]. С этой целью на основе градиентной модели А.И. Белова [5, 6] в выражении (5) было введено дополнительное слагаемое 2lueTue (y/5), которое позволяет учитывать этот эффект.

Воздействие кривизны линий тока моделируется преобразованием моделей турбулентности, основанных на концепции турбулентной вязкости в модели Прандтля - Ван-Дриста - Клаузера, введением в (5) и (10) функционального выражения вида

(11)

где

Yr =1 -ßc Ric ,

Ric = 2 (u/R )/(du/dy );

(12)

Ric - число Ричардсона.

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

Учет воздействия кривизны на турбулентную структуру сжимаемого пограничного слоя проводился на основе критериального анализа уравнений переноса рейнольдсовых напряжений и уравнения для кинетической энергии турбулентности.

Уравнения переноса элементов тензора турбулентных напряжений в приближении пограничного слоя (в матричной форме) имеют следующий вид [7]:

Би 'и'

-— = Р +G ,

<И 3 3

Ф ^ -Е ,

3 3 3:

(13)

— ди дх

О

— ди ду

К

„ ,, ~ рУ и2

2 • иУ--+ ----

р К

(14)

К

и' 2 - у '2

и

К

(15)

и'.и'. —

' 3

(1 — ^

1 а — и

2

1У2

1 ^

2

(16)

Для описания турбулентного движения О. Рейнольдс предложил следующий, получивший общее применение, прием. Регистрируя во времени скорость и давление в данной точке потока, можно положить:

и = й + и'; у = У + у'; w = ^ + р = р + р', где и, у, w, р - действительно существующие в потоке мгновенные проекции скорости и давления; й, у, W, р - осредненные во времени их значения; и', у ', w', р' - пульсационные значения или

пульсации, скорости и давления.

Выражения Фу, и Еу характеризуют перераспределение энергии турбулентности пульсаций за счет действия пульсаций давления, диффузию за счет турбулентного обмена и вязкую диссипацию соответственно.

Посредством почленного сложения уравнения (13) и учитывая выражения (14)-(16), получим уравнение переноса кинетической энергии пульсаций

к =

1 / »2 »2 »2

2 (

■ w

) в сжимаемом турбулентном

где и и - компоненты тензора рейнольдсовых

напряжений; Р3 и Ц - вектора, характеризующие производство турбулентности за счет деформации средней скорости и кривизны линий тока, соответственно имеющие вид:

( -г-, дй —¡2 ди

-и у---и--

ду дх

пограничном слое на криволинейной поверхности. Это уравнение в тензорной форме имеет вид [8] Бк

Ж

= D,

■Цк - Ек,

где

, , ди ¡— —\ ди Р =-ыу •---1и - у I —;

ду

—¡—, и р у

Ц. = и у---ь-—

к к

дх

и2

(17)

(18)

(19)

D к =---

ду

„ Р К

(- 1 -^

у'к' + -• рУ , (20)

ч Р ) здесь Рк - выражение, характеризующее порождение кинетической энергии вследствие деформации поля средней скорости и отвечающее за генерирование турбулентности вследствие поперечного и продольного ускорения ди/дх; Цк - связано с эффектами кривизны линий тока.

В выражении (18) вторым слагаемым можно пренебречь, т. к. генерирование турбулентности за счет продольного ускорения намного меньше, чем за счет кривизны линий тока [9].

Рассматривая в уравнениях (13)-(17) соотношение между составляющими Р^ и Цу, Рк и Цк, характеризующими производство турбулентности за счет различных источников возмущения, можно получить обобщенное значение числа Ричардсона Ш*, характеризующее действие центробежных сил в сжимаемой среде:

Ш* =

1+1 .р'У

2

р • ы'у'

= ИЬ, + Ш,

где

=

р у • и

(и/К)

(21)

(22)

р-иУ (ди/ду)

Определение корреляций плотности и скорости как корреляций двух проекций скорости возможно на основе моделей турбулентности градиентного типа [6]:

рУ • й (1 др^ /(1 р • ы'у' ^р ду )/ ^и

дй^ ду

(23)

Информатика, вычислительная техника и управление. Приборостроение. Метрология. Информационно-измерительные приборы и системы

Обобщенное значение числа Ш* можно записать:

Ш* = Шг

1+1 •£ 2 1

1 др ду

(24)

ди и ду

Оно может быть представлено по-разному для различных термодинамических процессов и рабочих сред. Для совершенного газа выражение (24) перепишется в виде

1 др_ 1 дТ

1 р ду Т ду

2 ^

Ш* = Шг

1 + -•

(25)

1 ди и ду

При течении несжимаемой жидкости (24) запишется в виде Ш* = RiC. При изобарном или изотермическом условиях течения в пограничном слое, соответственно, имеем:

Ш* =

1 + -•

дТ ду

Ш* = Шг

1 + -•

1 ди

й ду

1 др

Р ду

(26)

(27)

1 ди и ду

Для совершенного газа при выполнении условия постоянства температур торможения поперек пограничного слоя:

Ш* =

1

Ь-1 • м2 +1 • м2 2 е 2 е

(28)

слагаемого Ф.., характеризующего перераспределение пульсаций между различными компонентами посредством пульсаций давления.

Модельное представление Лаундера, Роди и Риса для слагаемого Ф .., учитывающего взаимодействие пульсаций давления с полем скорости, при анизотропии эффектами молекулярной вязкости предполагает использование выражений вида [10]

Ф =_с1 кI и'и __5.к\_

Р _ 3 . I;

Е = з5.в,

(29)

(30)

где С] и С2 - константы Лаундера, С = 1,5; С2 = 0,6; 5. - единичный символ Кронекера; в - скорость диссипации турбулентной энергии; Р - коэффициент, учитывающий величину производства кинетической энергии пульсации.

Применительно к модели Лаундера - Роди -Риса [10] уравнения (13) можно представить в виде:

- для и '2 при (/ = . = 1) :

— ди — и в (— 2 _2и V--2uv--С —\ и--к

_ 2 3

су

_2иУ

К 1 к

^ ди и ^

\

су К

/

, , ^ т~, и р'v' и2 ^

_и V— + и У 1 г

V

; ди ду

К

р К.

(31)

Алгебраические выражения для компонент рейнольдсовых напряжений и коэффициента Монина - Обухова

Решение системы уравнений (13) - (16) в настоящее время связано с многочисленными трудностями, поэтому используются допущения, основанные на предположении ориентации скорости только вдоль оси х и ее независимости от координат у (рассматривается течение типа Куэтта) [7]. В этом случае решение дифференциальных уравнений сводится к соответствующей системе алгебраических уравнений для нахождения компонент тензора турбулентных напряжений.

Уравнение для компонент проанализируем для условий, близких к равновесным, когда конвективный и диффузионный перенос уравновешиваются между собой. Область непосредственной близости от стенки исключаем, т. е. пренебрегаем молекулярным переносом. Принципиальна роль

_3 в=0;

- для V12 при (/ = . = 2):

_ -г-, и ^иУ' и2 в и • и V--+ 2---С — х

К р К* к

х| V'2 _2к |_С

4uV— +

К

+2

р V и

Т К " 3

-л ди _иV — +

(32)

-г-, и р V ' и2 ^ +и V— + г--

К* р К.

ду

_ 3 в = 0;

- для и V ' при (/ = 1; . = 2):

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

-V

-C

■ du dy

2U2 - V2

u n s —

--C — u V -

R к

-V72 ^++( -V72 )u

dy \ > Rw

(33)

= 0;

- для кинетической энергии турбулентности к:

^ du u ^

¥ " R

p 'V ' u2

- s = 0.

(34)

p Rw

Система четырех уравнений (31)-(34) со-

t2 ~Ï2

uV, к и s.

держит пять неизвестных: u , v Корреляция p 'v ' определяется с помощью выражения (23). Отсюда все искомые величины могут быть выражены через какую-либо одну, например через кинетическую турбулентность к.

Для дальнейшего решения системы уравнений (31)-(34) необходимо ввести безразмерные комплексы Ric и RiM, а также с помощью уравнения (34) заменить скорость диссипации s в уравнении (32). Вследствие данных преобразований систему уравнений (31)-(34) можно представить в виде

V- 2(1 - ci1 - ^

к

■Ri,

Ci 11 - ^Ric - Ri m

- 2 C2 3 2

RL, I 2 — C,

2 — C I Ri

(35)

C [1 - 2rîc - Ri M

-2 2(1 - C1 )i1 - 2RiC - RiM

k C1 11 - ^ - RiM

(36)

3C1

C1

Ri ; (37)

к 3

2 (C + C1- 1) 2(1 -C) Ri»; (38)

C

C

Ю

2 ( C2 + C1 - 1)

3 c '

(39)

Выражения (37) и (38) переходят в соответствующие выражения для случая прямолинейных линий тока [10], а также выполняется предельный переход для случая криволинейного течения несжимаемой жидкости. Одновременно с этим выражения (37) и (38) показывают, что кривизна линий тока (как для случая несжимаемой жидкости, так и для случая сжимаемого газа) оказывает разнонаправленное действие на поперечную и продольную пульсации сжимаемой среды.

Важно отметить, что в выражениях (37)-(39) сохраняется тождественность в записи для безразмерных пульсаций скорости, если в качестве критерия выбирается обобщенный критерий Ричард*

сона Ш .

Для определения константы Монина - Обухова Рс первоначально необходимо найти значение иУ'/к. Для этого можно воспользоваться уравнением (33), которое можно представить в виде:

^ (л г )дй

Л1 - с2 )^7Х

(4О)

C

dy

1 -1 2

(

\

2 u= -1 v v '2 ,

Rir

Если воспользоваться записью для турбулентного напряжения трения т = —р^ы'у' в виде

к2 дй в ду

то константа Колмогорова сц запишется в виде

1 - C

((-2 + 3 с2 ) + Я1с [-1 + 3С2 ] + |С2^М

с ^ - - ^м

Для малых значений критериев Ричардсона Я1С и Я1М выражения (35) и (36) упрощаются, если оставить лишь линейное приближение. При

этом эти выражения могут быть выражены через

*

один критерий Ричардсона Ш . Таким образом, все три безразмерные компоненты пульсаций скорости могут быть представлены в виде

й~2 _ 4 - 4С2 + 2С 2 (1 - С2 )_ •*.

C

1 - 1Ri

î — ^ 2 u= -1

v V '2 ,

(41)

Для конкретных постоянных величин С = 1,5 и С2 = 0,6 выражения (37) и (38) запишутся в виде

и'2 46 8 * у '2 22 8 *

-= — + —• И ; — =---И . (42)

к 45 15 к 45 15

При этом константа рс будет иметь значение

^ 5 (1 - С2) + С

Pc =

( -1 V72

V

/

C1 -1

Fc =

1

1 - 2 Pc Ric

= 1 -—Ric

22 c

откуда

v'2 к 1 - C2 du

F

к к s C1 dy Из уравнения (34) следует, что

(43)

(44)

(45)

V

Информатика, вычислительная техника и управление. Приборостроение. Метрология. Информационно-измерительные приборы и системы

в = _u'v'ду11 _!Шс _И!М

(46)

*

При малых значениях чисел Ш (ШС и Шм) выражение (45) упрощается и имеет вид

2 (1 _ С2) (С2 + С1 _ 1)

3 С С

12

1 _3, 1 С2 ч ** х (47)

. 2 (С2 + С _ 1) 1 7

1 _1 С2 ч ШС + м

2 (С2 + С1 _ 1) С 2 м

Для конкретных постоянных величин С\ = 1,5

и С2 = 0,6:

к

- = 0,361

1 _ 0,545Я1

1 _0,545Я1с + -Я1м

При течении газа с малыми скоростями (Им = 0):

-= 0,361[1 _ 1,09ШС ],

к

(49)

иУ = 0,047Ы

( дил

ду

1 _0,545Ш ) х

((1 _ 0,545ШС + 0,5Шм )3

х|1 _ ^с _ ^ м

= (1 _ 0,545Ш

К ),,

х(1 _ 0,545 • ШС + 0,5Шм )3

х| 1 _ _ ^м

(52)

где

(и 'V1

= 0,047Ы

(ди

ду

; здесь Ыв - условная

\ у /

длина диссипации вихрей, пропорциональная длине пути перемешивания; индекс «0» относится к течению газа на плоской стенке.

.*

Для малых значений чисел Ричардсона (Ш , ШС и Шм) можно записать:

- для несжимаемой среды:

.(48)

( и 'V \

= 1 _ 4,27Яь

(53)

- для сжимаемого газа: и V'

—— = 1 _ 4,27ШС _ 1,135Шм. (54)

(и 'V ')0

Для учета воздействия центробежных сил вводится число Монина - Обухова РС из соотношения:

что практически совпадает с соответствующим выражением в работе [10].

Для равновесного течения:

и ду |1 _ _ К1м | = Ы-, (50)

где Ыв - длина диссипации вихрей, пропорциональная длине пути смешения [87].

Предполагая, как сделано в работе [9], что градиент скорости ди/ду и Ыв слабо зависят от кривизны линий тока, используя выражения (48) и (50) и возводя в квадрат, получим:

( и 'V ')0

= 1 _рс ис .

(55)

Выражение (55) использовалось при течении несжимаемой жидкости, аналогично для

больших скоростей имеют место замены ШС на

* *

Ш и РС на РС.

Как следует из выражения (53), для несжимаемой жидкости в рамках линейного приближения имеем РС = 4,27; в свою очередь, для сжимаемого газа получим:

Ш,

РС = 4,27 +1,135^^- =

С

= 4,27 + 0,567

ё (1п р) ё (1п и )

(56)

(51)

Отсюда поправочная функция на кривизну линий тока в сжимаемой среде имеет вид

Поправочный множитель уК =1 _РС Ш в модели турбулентной вязкости Себеси - Смита вводится аналогично записи, широко применяемой в практике расчетов теплообмена в пограничном слое несжимаемой жидкости. Из выражения (54) коэффициент Монина - Обухова можно представить в виде

х

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

к - 1

M

Рс = 4,27 - 3,135-

1

к-1

(57)

м2

что соответствует введению поправочного множителя на сжимаемость среды в виде

Рс =РсРм; Рм = 1 -

3,135

к - КЯ2

-м2

4,27

к-1

(58)

м2

представления Лаундера - Роди - Риса, учитывающего взаимодействие пульсаций давления с полем скорости, выведено аналитическое выражение для константы Монина - Обухова при течении сжимаемого газа на криволинейной поверхности в пограничном слое.

Получено функциональное выражение для алгебраической модели турбулентности Прандтля -Ван-Дриста - Клаузера, которое позволяет учесть влияние кривизны поверхности на течение газа в сжимаемом турбулентном пограничном слое.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

Выражения (57) и (58) показывают, что с увеличением числа Маха абсолютная величина коэффициента Монина - Обухова уменьшается приближенно к асимптотическому значению (рис. 1).

Рис. 1. Зависимость константы Монина - Обухова от числа Маха с учетом эффектов сжимаемости и неизотермичности потока газа

Можно отметить, что падение значения РС наблю-

** /

дается и при увеличении 5 /К. . Заключение

Модернизирована алгебраическая модель турбулентности путем ввода дополнительного слагаемого, учитывающего степень турбулентности набегающего потока.

Получены выражения для числа Ричардсона на основе анализа уравнения переноса элементов тензора турбулентных напряжений в приближении пограничного слоя с учетом неизотермичности и сжимаемости среды для различных термодинамических процессов и рабочих сред.

На основе анализа компонент рейнольдсо-вых напряжений с использованием модельного

1. Кортиков Н. Н., Кузнецов Н. Б., Садовникова Т. Ю. Совершенствование подходов к моделированию теплового состояния перфорированных лопаток высокотемпературных газовых турбин // Теплоэнергетика. 2012. № 1. С. 15-21.

2. Kortikov N. N., Nechaev V.V. Heat and Mass Transfer and Friction on Urvilinear Surface of Nozzies and Diffusors // Thermal Eng. 1993. Vol. 40. № 3. P. 481-496.

3. Себеси Т., Брэдшоу П. Конвективный теплообмен: Физические основы и вычислительные методы : пер. с англ. М. : Мир, 1987. 592 с.

4. Ван Т., Симон Т. Измерения тепловых и гидродинамических характеристик в переходных пограничных слоях на выпуклой поверхности // Энергетические машины. 1988. № 3. С. 109-121.

5. Белов И. А., Исаев С. А., Коробков В. А. Задачи и методы расчета отрывных течений несжимаемой жидкости. Л. : Судостроение, 1989. 256 с.

6. Белов И. А. Модели турбулентности. Л. : ЛМИ, 1982. 88 с.

7. Рис. В. В. Смирнов Е. М., Смирнов С. А. Структура турбулентного течения по прямоугольным каналам, вращающимся вокруг поперечной оси // ПМТФ. 1985. № 2. С. 64-70.

8. Rotta I. C. Effect of streamline wall curvature on compressible turbulent boundary layers // Phys. Fluids. 1967. Vol. 10. № 9. P. 174-180.

9. Irwin H.P.A.H., Smith P.A. Prediction of the Effect of Streamline Curvature on Turbulence // Phys. Fluids. 1975. Vol. 18. № 6. P. 624-630.

10.Launder B. E. Recce R. J., Rodi W. Progress in the Development of a Reynolds Stress Turbulence Dosure // J. Fluid Mech. 1975. Vol. 68. № 3. P. 537-566.