Моделювання закономірностей розташування матеріалу вздовж верхньої частини піскового тіла механічного спірального класифікатора Текст научной статьи по специальности «Сельское хозяйство, лесное хозяйство, рыбное хозяйство»

УДК 001.57:681.5.015

А.М. МАЦУЙ

Юровоградський нацюнальний техшчний ушверситет

МОДЕЛЮВАННЯ ЗАКОНОМ1РНОСТЕЙ РОЗТАШУВАННЯ МАТЕР1АЛУ ВЗДОВЖ ВЕРХНЬО1 ЧАСТИНИ П1СКОВОГО Т1ЛА МЕХАН1ЧНОГО СП1РАЛЬНОГО КЛАСИФ1КАТОРА

nodpi6rnHHM 6idHux залгзних руд у перших cmadiMX рудозбагачувальних фабрик eidpi3HMembCM великими енерго- та мcтерicловитрcтcми, що в значнш мiрi викликано недосконалктю керування одностральними клcсифiкcторcми, де, зокрема, недостатньо вивчена закономiрнiсть формування пккового тша. Врахування ^ei закономiрностi дозволить покращити яюсть автоматичного керування процесом класифжаци подрi6неноi руди за круптстю i тим самим зменшити витрати у першш стади подрi6нення. Розв'язання частини цei зcдcчi складае актуальтсть дcноi роботи. Ii метою е розроблення пiдходу математичного моделювання i отримання зcкономiрностi розташування мcтерicлу вздовж верхньо'1' частини пiскового тша мехатчного спiрcльного класифжатора. Встановлено, що верхню частину пiскового тта можна подати по^довним рядом вертикальних стовпчиюв, об 'еми мcтерicлу в яких пiдпорядковcнi пcрc6олiчнiй зcлежностi з максимумом кiлькостi в центральтй його частит, який визначаеться продуктивтстю тсюв.

Ключовi слова: спiрcльний класифжатор, пiскове тшо, розташування мcтерicлу, моделювання зcкономiрностей.

А.Н. МАЦУЙ

Кировоградский национальный технический университет

МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАКОНОМЕРНОСТЕЙ РАЗМЕЩЕНИЯ МАТЕРИАЛА ВДОЛЬ ВЕРХНЕЙ ЧАСТИ ПЕСКОВОГО ТЕЛА МЕХАНИЧЕСКОГО СПИРАЛЬНОГО КЛАССИФИКАТОРА

Измельчение бедных железных руд в первых стадиях рудообогатительных фабрик отличается большими энерго- и материальными расходами, что в значительной мере вызвано несовершенством управления односпиральными классификаторами, где, в частности, недостаточно изучена закономерность формирования пескового тела. Учет этой закономерности позволит улучшить качество автоматического управления процессом классификации измельченной руды по крупности и тем самым снизить затраты в первой стадии измельчения. Решение части этой задачи составляет актуальность данной работы. Ее целью является разработка подхода математического моделирования и получения закономерности размещения материала вдоль верхней части пескового тела механического спирального классификатора. Установлено, что верхнюю часть пескового тела возможно представить последовательным рядом вертикальных столбцов, объемы материала в которых подчинены параболической зависимости с максимумом количества в центральной его части, который определяется продуктивностью песков.

Ключевые слова: спиральный классификатор, песковое тело, размещение материала, моделирование закономерностей.

A.N. MATSUI

Kirovohrad National Technical University

MODELING LAWS OF PLACING OF MATERIAL ALONG UPPER SAND BODY MECHANICAL

SPIRAL CLASSIFIER

Grinding poor iron ore in the first stages of ore-dressing factory has large energy and material costs, which is largely caused by the imperfection of the control single spiral classifiers, where, in particular, insufficiently studied regularity formation sand body. Accounting for this regularity will improve the quality of process control ground ore classification by size and thus reduce costs in the first grinding step. The decision of this problem is the relevance of this work. Its purpose is developing an approach of mathematical modeling and producing distribution regularities material along the top of the sand body mechanical spiral classifier. It was found that the upper part of the sand body is possible submit a succession of vertical columns, the volume of material which are subject to a parabolic relationship with a maximum amount in the central part of which is determined by the productivity of the sand.

Keywords: spiral classifier, sand body, placing material, modeling regularities.

Постановка проблеми

Основною складовою сировини чорно! металургп в Укра!т е магнетитовий концентрат, який отримують шляхом збагачення бiдних залiзних руд. Перед збагаченням бiднi залiзнi руди подрiбнюють у калька стадiй. Перша стадiя подрiбнення - класифшацп здiйснюеться переважно у кульових млинах i механiчних стральних класифiкаторах. Тут спостерiгаються самi велик! витрати електрично! енергп i матерiалiв у вигляд! металевих куль i футеровки. В наслшок цього собiвартiсть вичизняного магнетитового концентрату значно вища пор!вняно з зарубгжними аналогами, що зменшуе конкурентоспроможшсть продукцп Укра!ни. В певнш м!р! покращити стан можливо удосконаленням автоматичного керування першою стад!ею подр!бнення-класиф!каци, де не останню роль вщграе шформацшне забезпечення, зокрема, врахування законом!рносп розташування матер!алу вздовж тскового тша мехашчного спрального класифжатора i його верхньо! частини. Оск1льки дана стаття присвячена розв'язанню проблеми, Tí тема е актуальною. Актуальшсть !! також тдкреслюеться як законодавством Укра!ни, так i тематикою дослщжень Юровоградського национального техн!чного ушверситету.

Аналiз останшх досл1джень i публiкацiй

Автоматизащею перших стадш подр!бнення-класиф!кацп займаються давно як заруб!жн [1], так i вггчизняш вчеш, однак певн особливосп не були врахованими або врахованими не в повнш м!р! Тому до цих проблем повертаються в останш роки вичизнян вчеш. Наприклад, в роботах [2-4] розглядаеться формування робастного автоматизованого керування замкнутим циклом подр!бнення на основ! Нм-норми, формування адаптивного керування процесом подр!бнення зал!зорудно! сировини в умовах невизначеносп характеристик об'екта, звертаеться увага на важливють перших стадш як подр!бнення, так i збагачення. Одночасно [5] зроблено акцент на вшсутшсть надшних засоб!в контролю необхшно! точносп та на значну !х варпсть. На необхвдшсть розробки шформацшних засоб!в звертаеться увага в робот! [6], а на важливють автоматичного вим!рювання витрати продукпв збагачення - у [7]. Серед останшх шформацшних засоб!в ефективними е ультразвуков! [8], перспективними у збагачувальних технологиях можуть стати алгоршшчн! методи визначення параметр!в, наприклад [9], яш дозволяють отримувати високу точшсть навиь в умовах вим!рювання одного з параметр!в з великою похибкою. Щодо вим!рювання параметр!в тскового тша мехашчного спрального класифшатора запропоновано один споаб, який стосуеться лише визначення загального об'ему матер!алу [10]. Досл1дженням законом!рностей розташування матер!алу вздовж тскового тша, зокрема його верхньо! частини, мехашчного сшрального класифжатора шхто не займався. Цш задач! i присвячена дана публжащя.

Формулювання мети дослiдження

Метою роботи було розроблення тдходу математичного моделювання i отримання законом!рносп розташування матер!алу вздовж верхньо! частини тскового тша мехашчного стрального класифшатора.

Викладення основного матерiалу дослiдження

Досл1дження проведемо на конкретному тип! мехашчного спрального класифжатора 1КСН-30, який отримав широке розповсюдження на потужних магШтозбагачувальних фабриках Укра!ни. Його встановлюють Шд кутом 18°30' до горизонту. Вш мае двозахвдну сп!раль д!аметром 3 м, виконану з кроком 1,8 м, яка звичайно обертаеться з! швидшстю 3 об/хв (0,05 об/с) i обладнана робочими елементами висотою 0,33 м [11]. Шскове тшо утворюеться мгж двома витками сп!рал!.

Розр!з Шскового тша у вертикальнш площиШ, що проходить через вюь обертання сШрал!, показано на рис.1. Р!вень Шсшв у м!жвитковому простор! сл!д визначати вздовж вертикал! АВ, яка проходить через точку контакту постел! i заднього витка 4 у самш нижнш частиШ. Вшстань у вертикальнш площин! вш основи витка 4 до горизонтально! поверхШ, що обмежуе зверху нижню частину тскового тша 5, дор!внюе:

B .

nr =— sin а, (1)

c 2

де В - крок сшралц

а - кут нахилу корпуса класифшатора i спрал! до горизонту.

Рис. 1. Шскове тшо мехашчного стрального класифжатора у розрiзi вертикальною площиною, що проходить

через вiсь обертання:

1 - горизонталь; 2 - постшь цилшдричноК форми; 3, 4 - витки страт; 5, 6 - ввдповвдно нижня i верхня частини

искового тша

Для прийнятого класифiкатора ця вiдстань е величиною незмшною i дорiвнюe hс=0,28557 м. Найбшьше значення рiвня пiскiв складае:

Кпах = К COSa, (2)

де Не - висота робочого елемента спiралi, яка дорiвнюе 0,33 м.

Ця величина дорiвнюе Нта=0,3129 м i також е незмшною для конкретного класифшатора. Як було доведено, моделювання закономiрностей розташування матерiалу вздовж пiскового тiла механiчного стрального класифшатора слiд здiйснювати графоаналiтичним методом з розбивкою його на елементарн складовi в горизонтальнiй i вертикальнш площинах. Кожна елементарна складова повинна мати довжину А1 вздовж ос пiскового тiла i висоту АН. Ширина кожно! елементарно! складово! визначаеться розмiром конкретного шару матерiалу у мющ Г! розташування. Щоб можливо було оцiнювати об'ем матерiалу в вертикальних стовпчиках, складених з частинок довжиною А1 i висотою АН, Гх необх1дно при моделюваннi розташовувати вiдносно вертикально!' площини, перпендикулярно!' ос обертання, яка проходить через вертикаль АВ.

Оскшьки Нс е константою, то и необхщно розбити на калька однакових вiдрiзкiв, як1 будуть визначати величину АН. Достатня точшсть моделювання буде забезпечена, якщо покласти АН=0,0317 м. Тодi нижня частина тскового тiла буде вмiщувати 9 горизонтальних шарiв матерiалу. Враховуючи те, що навиъ при меншiй швидкосп обертання спiралi п=1,5 об/хв (0,025 об/с) класифшатор з надлишком забезпечуе потрiбну продуктивнiсть пiскiв, в процеа моделювання можливо приймати висоту шсшв дещо меншою Нтах. При цьому у верхнiй частинi пiскового тша може розташуватись до двох шарiв матерiалу товщиною АН=0,0317 м. Найбшьшу висоту пiскiв при моделюваннi приймемо на рiвнi 349,8 мм зашсть 351 мм, що вiдповiдае Нтах. Така невелика невiдповiднiсть не вплине на результата дослвдження. Кут нахилу витков спiралi до осi и обертання дорiвнюе:

у = аrctg 4ЯС/Б , (3)

де Яс - радiус спiралi.

Для прийнятого стрального класифшатора у=73°20'.

Вид зверху на верхнш шар верхньо1 частини тскового тша мехашчного стрального класифшатора приведено на рис.2. З рисунка видно, що вш являе собою трапецш з основами БЕ' i БЕ та параметром 1=Б/2. Хорда ЕЕ, яка вщноситься до кола радiусом Яс при максимальному рiвнi шсшв може бути знайденою за залежшстю:

ЕЕ = Я? - (Яс - Не ^а)2 , (4)

а бiлъша основа трапецiГ за вiдношенням:

БЕ = ЕЕ/ 8Ш у

(5)

i дорiвнюe ВЕ=1,91 м при ЕЕ=1,83 м.

Хорду БЕ' знаходимо аналопчно, прийнявши рiвень пiскiв, що дорiвнюe 2АН. II визначимо за

виразом:

В 'Е' = П2С -(Я, - 2АИ)2 .

Тодi меншу основу трапецп визначимо вiдповiдно виразу:

В' Е' = Б Е '^п у.

(6)

(7)

Вона буде дорiвнювати В'Е'=0,9 м при В'Е'=0,86 м.

Моделювання закономiрностей розташування матерiалу вздовж верхньо1 частини пiскового тша мехашчного стрального класифжатора будемо здшснювати вiдповiдно лiнiям, паралельним прямим Е'М', БМ, створюючи у горизонтальних шарах шсшв елементарш складовi довжиною А1 (рис.2). Об'еми шсшв у.

Рис. 2. Горизонтальна площина верхнього шару верхньоТ частини тскового тiла мехашчного

стрального класифжатора

верхньому шарi верхньо! частини тскового тша дорiвнюють площi геометричних фiгур довжиною А1, помноженш на висоту шару матерiалу АН. Отже, визначення об'eмiв матерiалу в елементарних складових верхньо! частини тскового тша зводиться до знаходження площi вiдповiдних геометричних фiгур довжиною А1 (рис.2). Аналiз показав, що точшсть моделювання буде достатньою, якщо прийняти

А1=0,05 м.

Верхня горизонтальна площина верхнього шару матерiалу верхньо! частини тскового тша мехашчного стрального класифшатора показана на рис.3. Вона розбита прямими, перпендикулярними осi обертання спiралi на 28 дiлянок довжиною А1=0,05 м. Елементарнi складовi пiскового тша характеризуются трьома кутами: у=73°20', у;=29°30' та у2=41°30'. Враховуючи особливостi обробки даних, на рис.3 видiлено три области А, В i С. Площi елементарних складових довжиною А1 потребують визначення середньо! лiнi! трапеци. Площi трикутник1в у областях А I С можливо знаходити через середню л1н1ю, рахуючи !х трапещями, коли меншу основу трапецп прир!вняти до нуля. Основи трапецп знаходимо таким чином. У трикутнику обласп А, рахуючи його трапецieю з меншою основою, що дор!внюе нулю, розм!р 61льшо! основи НА0 беремо з креслення. В1н дор1внюе 0,18 м, а середня л1н1я - 0,09 м. Нижню основу першо! трапецп в областi А знайдемо в1дпов1дно залежностi:

НА1 = НА0 +А1 ({§Г + 1ёУ2 ) .

(8)

Рис. 3. Верхня горизонтальна площина верхньоТ частини тскового тша мехашчного сшрального

класифшатора:

1 - . шмя дотику переднього витка спiралi i матерiалу; 2 - . мнш дотику заднього витка спiралi i матерiалу; 3 - проекщя осi обертання стралц 4 - номера стовпчикiв (горизонтальних

елементарних тiл)

Тодi И середня лiнiя буде дорiвнювати:

= (¿40 + V2-

(9)

Б№ша основа першо! трапецп е меншою основою наступно! трапецп i т.д. Нижня основа будь-яко! трапецп в областi А (рис.3) за аналопею дорiвнюе:

кЛ1 = кло + плА/({§У + %У2 ) 5 де пл - порядковий номер трапецп в областi А.

(10)

Розрахунки в областi В (рис.3) виконаемо за умови вщомо! меншо! основи кл7 = ¿ло + 5 А/ ^у + (§У2 ) трапецп 7. Вона буде базовим значенням для обласп В. Тому позначимо кЛ7=квв. Бшьшу основу будь-яко! трапецп в обласп В (рис.3) знаходимо ввдповщно залежносп:

ив, = ивв + пвА/ ({§П + ^2 ), де пв - порядковий номер трапецп в обласп В.

Розрахунки в межах обласп С (рис.3) розпочинаемо з трикутника аналопчно обласп А. Базовим значениям в обласп С буде основа трикутника, тобто, менша основа першо! трапецп. Позначимо И

hcö=0M м.

Нижню основу будь-яко! трапецп в областi С, розпочинаючи рахунок ввд трикутника, будемо визначати з залежностг

ha = hc о + nc Ml (tgy + tgri), (12)

де nc - порядковий номер трапецд в областi С.

Верхня горизонтальна площина нижнього шару верхньо! частини пiскового тiла мехаиiчного спiрального класифiкатора подана на рис.4. З рисунка видно, що нижнш шар верхньо! частини пiскового тша мехаиiчного спiрального класифiкатора вiдповiдаe верхньому шару, однак е певнi ввдшнносп. Мають мiсце ввдхилення у кшькосл елементiв в окремих областях, а самi областi аиалогiчнi. Тому розрахунки можливо виконувати за тими ж знайденими залежностями. Кути у} i у2 змiнилися i

Рис. 4. Верхня горизонтальна площина нижнього шару верхньоТ частини тскового тiла мехашчного спiрального класифiкатора: 1 - . шмя дотику переднього витка спiралi i матерiалу; 2 - . шмя дотику заднього витка спiралi i матерiалу; 3 - мроекщя осi обертання стралц 4 - номера стовмчишв (горизонтальних

елементарних тiл)

Вiдповiдно залежностям (8)...(12) розроблялася спецiальна програма визначення об'eмiв пiскiв у елементарних складових довжиною А1. Фрагмент результатiв розрахуншв, виконаних на персональному комп'ютерi, подано в табл.1.

Таблиця 1

Даш елементарних складових верхньоТ частини шскового тша мехашчного сшрального __класифшатора__

Номер стовпчика, в Об'ем шсшв в Об'ем шсшв в Сумарний об'ем шсшв

якому знаходиться елементарнш складовш елементарнш складовш у стовпчиках верхньо!

елементарна складова нижнього шару 3 шскового тша, м верхнього шару 3 шскового тша, м частини шскового тша,

м3

1 0 0,000143 0,000143

2 0,000158 0,000428 0,000586

3 0,000476 0,000713 0,001189

4 0,000761 0,000999 0,001760

5 0,001078 0,001300 0,002378

6 0,001316 0,001585 0,002901

• • • •

12 0,002045 0,002378 0,004423

13 0,002171 0,002488 0,004659

14 0,002298 0,002599 0,004897

15 0,002409 0,025040 0,004913

16 0,002203 0,002330 0,004533

17 0,002029 0,002140 0,004170

18 0,001839 0,001950 0,003789

* * * *

23 0,000919 0,001046 0,001965

24 0,000745 0,000856 0,001601

25 0,000555 0,000666 0,001221

26 0,000365 0,000476 0,000841

27 0,000174 0,000301 0,000475

28 0,000048 0,000111 0,000159

З даних табл.1 видно, що характер змши об'ему пiскiв у вшповвдних вертикальних стовпчиках, що належать як верхньому i нижньому шарам матерiалу, так i сумарному об'ему, однаковий. Послiдовно у стовпчиках об'ем шсшв вiд достатньо малих значень спочатку достатньо стрiмко наростае, попм приймае максимальне значения, а згодом знову зменшуеться практично до нуля. Розкрити характер змши об'ему матерiалу можливо побудовою залежностей вмiсту шсшв у окремих вертикальних стовпчиках, яш показаш на рис.5. З рис.5 видно, що об'ем матерiалу вздовж шскового тша плавно зб№шуеться практично вш нуля, приймае достатньо плавний максимум з наступною бiльш стрiмкою змiною до найменшого значення. Характер змши об'ему матерiалу у вертикальних стовпчиках вздовж оа однаковий в нижньому, верхньому шарах матерiалу i в цiлому у верхнiй частиш пiскового тша. Спостерiгаеться певна несиметричшсть в рисунках. Вона очевидно притаманна спiралi зважаючи на те, що вс графiки лiворуч вiд вертикально! оа вiдрiзняються випуклiстю, а праворуч !х вiтки бiльш прямолiнiйнi.

Конкретизащя отриманих при моделюваннi залежностей потребувала розгляду найбiльш простих класiв аналтгичних функцiй [12] i способiв шдбору емпiричних залежностей [13]. З розгляду аналггичних функцiй витiкае, що не можливо пщбрати якусь едину формулу на усьому iнтервалi змiни об'ему вздовж довжини пiскового тiла. У таких випадках розбивають iнтервал змши аргументу на окремi частини i на кожнiй з них шдбирають свою формулу [13]. Однак у даному випадку це буде не зручно при подальшому використаннi залежностей. Тому з застосуванням [14] та шших лггературних джерел з питань шдбору формул робилась спроба описати даний процес единою формулою.

Отримаш в процесi математичного моделювання залежносп достатньо добре апроксимуються параболами (рис.5), де 1 - графши отримаш моделюванням, а 2 - графши апроксимуючих функцiй. Для нижнього, верхнього шарiв матерiалу i в цшому для верхньо! частини пiскового тша вшповвдно отриманi апроксимуючi вирази:

V = -0.7/2 + 94.5/ - 789.375 , см3, (13)

V = -0.7/2 + 94.5/ - 590.375 , см3

V = -1.2/2 +162/ - 567.5 , см3,

(14)

(15)

де V- об'ем шсшв (см ) вздовж тскового тша довжиною /, см.

З рiвнянь (13)-(15) видно, що 1х параметри не дуже змiнюються при характеристик окремих шарiв матерiалу i значно бшьше змiнюються з накопиченням матерiалу мiж сусiднiми витками.

Приведенi залежносп отриманi в процесi коректного обгрунтування пiдходiв i застосувань випробуваних методiв дослiджень, точного математичного апарату. У техтчних системах iснують закони симетри. Технiчна система, що шддаеться суттевому впливу середовища у виглядi потоков речовин, мае певний тип симетри, зумовлений комбiнацiею i характером цих потоков [15]. Тут мае мюце осьова симетрiя. Пiдтвердження в процеа математичного моделювання осьово! симетри також гарантуе достовiрнiсть отриманих результатiв. Це дозволяе 1х використовувати при проведет аналггичних дослiджень механiчних спiральних класифiкаторiв у рiзних режимах роботи.

Рис. 5. Об'ем тсгав у елементарних стовпчиках верхнього пiскового т1ла: а — нижнього шару матерiалу; б — верхнього шару матерiалу; в — у верхтй частинi тскового

тша в цiлому;

1 — залежшстъ, отримана в процесi моделювання; 2 — графи» апроксимуючо!' функци

Висновки

1. Розроблено пiдхiд математичного моделювання i отримана конкретна закономiрнiсть розташування матерiалу вздовж верхньо! частини тскового тша мехашчного спiрального класифжатора.

2. В мехашчному сшральному класифiкаторi 1КНС-30 верхня частина шскового тша в об'емному вираженш складае послвдовний ряд вертикальних стовпчик1в, об'еми матерiалу в яких пiдпорядкованi параболiчнiй залежносп з максимум кiлькостi в центральнш його частинi, який визначаеться продуктивною пiскiв.

3. Данi залежностi можливо використовувати при аналогичному дослiдженнi режимiв роботи рiзних типiв механiчних стральних класифiкаторiв.

4. Результати виконаних дослщжень дозволяють встановлювати закономiрностi сходження шсшв i руху пульпи у тскових жолобах механiчних спiральних класифiкаторiв.

Список використаноТ лiтератури

1. Herbst J.A. Model-based control of mineral processing operations/J.A. Herbst, W.T. Pate, A.E. Oblad // Powder Technology.- 1992.- Vol.69.- Р. 21-32.-ISSN 0032-5910.

2. Моркун В.С. Формирование робастного автоматизированного управления замкнутым циклом измельчения на основе Нм-нормы / В.С. Моркун, Н.В.Моркун, В.В.Тронь // Прничий вюник: наук.-техн. зб. ДВНЗ «КНУ».- 2014.- Вип. 98.- С. 83-85.

3. Тронь В.В. Формування адаптивного керування процесом подрiбнення залiзорудноi сировини в умовах невизначеносп характеристик об'екта / В.В. Тронь, К.В.Маевський // Прничий вюник: наук.-техн. зб. ДВНЗ «КНУ».- 2015.- Вип. 99.- С. 27-32.

4. Азарян А.А. Автоматизация первой стадии измельчения, классификации и магнитной сепарации - реальный путь повышения эффективности обогащения железных руд / А.А. Азарян, Ю.Ю. Кривенко, В.Г. Кучер // Вюник Криворiзького нацюнального ушверситету: зб. наук. праць.- 2014.- Вип. 36.- С. 276-280.

5. Кутн А.1. 1нтелектуальна iдентифiкацiя та керування в умовах процеав збагачувальноi технологи / Купiн А.1. - Кривий Р1г: Видавництво КТУ, 2008.- 204с.

6. Измельчение. Энергетика и технология / [Пивняк Г.Г., Вайсберг Л.А., Кириченко В.И. и др.].-М.: Изд. дом "Руда и Металлы", 2007.- 296 с.

7. Разработка и применение автоматизированных систем управления процессами обогащения полезных ископаемых / [Морозов В.В., Топчаев В.П., Улитенко К.Я. и др.].- М.: Изд. дом «Руда и Металлы», 2013.- 512 с.

8. Ультразвуковой контроль характеристик измельченных материалов в АСУ ТП обогатительного производства / [Моркун В. С., Потапов В. Н., Моркун Н. В., Подгородецкий Н. С.]. -Кривой Рог : Изд. центр КТУ, 2007. - 283 c.

9. Кондратець В.О. 1дентифшащя сшввшношення руда/вода в процеа подрiбнення шсшв класифжатора / В.О. Кондратець, А.М. Мацуй // Вюник Вшницького полггехшчного шстиуту.-2009.- №3.- С. 8-12.

10. А.с. 1530258 СССР, МКИ В 03 В 13/00. Способ определения продуктивности спирального классификатора по пескам / Е.Ф. Морозов (СССР). - № 4385577/22-03; заявл. 29.02.88; опубл. 23.12.89, Бюл. № 47.

11. Верхотуров М.В. Гравитационные методы обогащения / Верхотуров М.В.- М.: МАКС Пресс, 2006.- 352с.

12. Пчелин Б.К. Специальные разделы высшей математики / Пчелин Б.К.- М.: Высшая школа, 1973.-464с.

13. Мышкис А.Д. Лекции по высшей математике / Мышкис А.Д.- [3-е изд.].- М.: Наука, 1969.- 640с.

14. Зельдович Я.Б. Элементы прикладной математики / Я.Б. Зельдович, А.Д. Мышкис.- М.: Наука, 1965.- 615 с.

15. Кузнецов Ю.М. Теорiя техшчних систем / Кузнецов Ю.М., Лущв 1.В., Дубиняк С.А.: тд ред. Ю.М. Кузнецова.- К.-Тернотль, 1998.- 310 с.