CC BY
12
Мачуга О.С., Драбык В.В., Панасюк Н.Н. Исследование особенностей работы действующей модели двигателя Стирлинга
Использование энергии возобновляемых источников для нужд лесозаготовки связано с необходимостью превращения тепловой энергии от сжигания отходов древесины в механическую. Решение такого задания возможно в частности путем использования тепловой машины - двигателя Стирлинга. Представлены результаты экспериментальных исследований режимов работы и определения некоторых параметров модели такого двигателя. Эти результаты могут в дальнейшем использоваться при разработке и внедрении энергетических комплексов, связанных с возобновляемыми источниками.
Ключевые слова: энергия возобновляемых источников, двигатель Стирлинга, эксперимент.
Machuga O.S., Drabyk V.V., PanasyukM.M. The stirling engine operating model's work characteristics investigation
The renewable energy sources using for logging purposes is connect with the necessity to convert thermal energy from burning wood waste into the mechanical energy. Solving this problem is possible in particular by using the heat machine - Stirling engine. The investigation results by the experimental way of the engine's model work modes and definitions of their some parameters are present in this article. These results may be used further during the development and implementation connected with the energy renewable sources complexes.
Keywords: renewable sources energy, the Stirling engine, the experiment.
УДК 004.942:674.047 Астр. Ю.В. Прусак1 - НЛТУ Украгни, м. Льв1в
МОДЕЛЮВАННЯ ТЕМПЕРАТУРИ I ВОЛОГОСТ1 У ПРОЦЕС1 СУШ1ННЯ КАП1ЛЯРНО-ПОРИСТИХ Т1Л 13 ВИКОРИСТАННЯМ ЗАКОНУ ДАЛЬТОНА
Наведено математичну модель для дослщження розждалу температури i воло-гост у деревиш в процес сушшня. Граничш умови, яга описують взаемодто дереви-ни з агентом сушшня, записано на основi закону Дальтона. На осжга рiзницевих ме-тсдав наведено алгоритм для чисельно! реалiзацii математично! моделг
Ключовг слова: математична модель, закон Дальтона, сушшня кашлярно-по-ристих матерiалiв, вологоперенесення, рiзницевий метод, метод прогонки.
Для моделювання вологоперенесення у процеш сушшня капшярно-по-ристих матер1ал1в переважно використовують диференщальш р1вняння пере-несення вологи [1, 2] з лшшними граничними умовами Ньютона, коли штен-сивнють масообм1ну м1ж висушуваним матер1алом та агентом сушшня е про-порцшною р1знищ м1ж вологовмютом на поверхш матер1алу ип 1 р1вноваж-ним вологовмютом ир:
Ы = в( (г)- ир), (1)
де р - коефщент вологоперенесення, вщнесений до перепаду вологовмюту.
Такий шдхщ дае змогу отримувати аналггичш та чисельш розв'язки р1внянь масоперенесення, яю наведено як у в1тчизняних, так 1 закордонних
1 Наук. к^вник: проф. Я.1. Соколовський, д-р техн. наук
виданнях [1-5]. Використання граничних умов, яю описуються законом випа-ровування Дальтона, коли штенсивнють масообмiну е пропорцiйною перепаду парщального тиску водяно! пари за товщиною пограничного шару, найбшьш повно вiдображае фiзичнi сутностi процесу сушшня i збiгаеться з експериментальними дослщженнями [6, 7].
Але використання у граничних умовах закону Дальтона
вщразу вводить не лшшнють у математичну модель вологоперенесення.
Формула (2), що вiдображаe взаeмодiю осушуваного матерiалу з агентом сушiння, е справедливою для стацiонарних процесiв. Для нестацюнарних процесiв коефiцiенти вологообмiну ар, вiднесенi до рiзницi парщальних тис-кiв, е функцiею часу.
Як зазначено у [6], використання гранично! умови у виглядi сшввщно-шення (1) не лише суперечить з експериментальними дослiдженнями [7], але й не узгоджуеться з теоретичними засобами, наприклад для режиму стало! швидкосп сушiння, вологовмiст у будь-якш точцi матерiалу зменшуеться у чаш за лшшними законами з одшею й тiею ж швидкiстю т = const). Од-
нак отриманi у роботi [5] аналiтичнi залежностi розподiлу вологовмюту з ви-користанням граничних умов (1) змшюються у часi за законом, близьким до експоненщального. Тому у подальшому розглянемо моделювання процесу сушшня катлярно-пористих матерiалiв з урахуванням закону Дальтона (2).
Залежшсть для вщносного парцiального тиску пари, тобто вщношення парцiального тиску пари до нормального атмосферного тиску, можна моде-лювати з допомогою формули Г.К. Фшоненка
Тобто вважаемо, що водяна пара на поверхш висушуваного матерiалу е насиченою. Згiдно з даними [7, 8], таке допущення мае мюце до тих nip, доки вологовмют на повеpхнi висушуваного матеpiалу е меншим вiд деякого критичного значення. У фоpмулi (3) через Т позначено температуру поверхш, тобто pin = Р (Т (x,r)). Тиск середовища визначаеться формулою pin = фР (Тп), де ф - вiдносна вологiсть повиря.
Сформулюемо математичну модель для визначення температури Т (х,т) та вологовмюту U (х,т) у процеш сушiння капiляpно-поpистих матерь алiв з урахуванням граничних умов (2), (3) у такому виглядг
jn = ар (pin - pio)
(2)
(3)
(4)
(5)
Граничш умови матимуть вигляд:
dx
-a(Te -T(l,r)^) + (l-era(фР(Te) -P(T(l,r))) ;
. p (p (T )-P (T (Т)) í^+s^
dx
дТ l0,r) o; dU ( 0,r) = o.
dx dx
Пoчаткoвi yмoви:
T l x,0) = f l x) ; U l x,0) = g lx) ; 0 < x < l ; 0 <r<re. У математичиiй мoделi (4)-(8) пpийнятo такi пoзиачеиия:
• А - юзефодент теплoпpoвiднocтi (Вт (м ■ с)) ;
• с - питoма теплoемнicть (Дж (кг ■ с)) ;
• a - теф^е^ дифузп (м21с) ;
• S - теф^е^ теpмoдифyзiï вoлoги (l/c);
• e - теф^е^ випаpoвyвання. Введемo безpoзмipиi змшш:
(б)
(7)
(8)
(9)
Т *=ТТм ; U '=UUo; x*=; Т
- aUT
llo)y
4 2'
- кoефiцiеит дифyзiï тепла. Безpoзмipиий 4ac r називають
де aU = У(еро)
кpитеpiем Фyp'е Fo. Для иoвих безpoзмipних змiииих (l0) математична mo-дель запишетьcя y виглядi:
dT * 3 2T * ^ dU * . —^ = —— + Ko—* + W dr dx dr
dU * r 3 2U * л 3 2T *
-- = Lu—— + LuPn——
dr dx dx
dU *
Kim (C (Tm ■ T ' (0,T )-фр (Тм ■ TC ))) (0,T )+ pn g*- (°,T)
dT*(0, T) i * „, ^ * , -dp^-+BiU (T* - T (0, r )) + AS = (l - y) KoLu
(dT* 10, rT dT * t л dx dx v '
dT * (l, T ) dU * (l,r* )
—4M = 0;-ЦМ = 0;
dx dx
T * l x*,o) = l; U * (x*,o) = l.
У фopмyлах (ll)-(l6) введеиo таю пoзначення:
rU o
Ko
ao . STM . aU. Lu = - ; Pn = - ; BiU = - ; Ki„ ="
al
(ll) (l2)
(13)
(14)
(15)
(16)
- вiдпoвiдиo
CTM aU Uo А ' "' aUPoU o
Rpro'cpu ^товта, Ли^ва, Пocиoва, теплooбмiииий ^rn^pm Бю, маcooбмiи-ний кpитеpiй Кipпiчoва.
x=l
Для побудови числового алгоритму введемо рiвномiрну прямокутну Ытку зпдно з методом скшченних рiзниць:
X* = ) .дх*(Дх* = уп; ) = 0,1,2,..., п); т* = I■ ДТ(дТ = ДхХ/в, I = 0,1, 2,..., п). (17)
Рис. Шаблон тарозбиття для алгоритму реалЬаци математичног мод^
Поставимо у вщповщтсть безрозмiрним функщям математично! мо-делi Ыта^ функци:
Т * (х*,т* Т) ; и * (х* т* и); Ж * (х*,т* Ж) ; 5 * (Т 5; (18)
Першi два масиви е двовимiрнi, а iншi - одновимiрнi. Для чисельно! реалiзащi використано схему Кранка-Школсона [8]. Нехай згiдно з початко-вими умовами (16) вiдомий розподш температури i вологостi у ) -му шарi за часом. Зпдно з (17), дискретний вигляд математично! моделi е таким:
^ = иЬЦк + РпТ1" -ТО-1 ;
Дх Дх
^=- ^+и)"1)+ГД?^ - 2и)+и)-)+ (19)
- 2Т)-1 + Т)—1), ) = 1,2,..., (п-1);
ип = иП-1.
У спiввiдношеннях (19) розподш температур береться з попереднього шару за часом. 1з врахуванням шаблону симетрично! неявно! схеми Кранка-Ншолсона отримаемо:
ио = кхщ+м;
а}и)-1 - си) + ьи+1 = -/,, () = 1, 2,..., (п -1)); (20)
ип = кип_1+^2.
Коефщенти приймають такi значення:
К = 1; ц = Рп ■ (Т/-1 - ТО-1) - Дх* ■ Т-1;
а, =1; с,- = 2 1+
Дх '
Дт ■ Ьи
Ь, = 1;
/ = иП + 2
( Дх*2 Дт* ■ Ьи
■-1
и}-1 + и'- + 2Рп (Т}- - 2Т}-1 + });
к2 = 1; ц2 = 0.
Система лшшних алгебра!чних рiвнянь (20) вiдносно невщомих и 0, и10,..., ип з тридiагональною матрицею розмiрнiстю (п +1).( п +1) розв'язуеться методом прогонки [9]. Для стшкосп реалiзацil цього методу ви-конуються умови:
Ы > Ы + |Ь)|; |к| < 1; К < 1. (21)
Пiсля знаходження масиву и} аналогiчним шляхом визначаеться температура на новому шарi за часом. Для цього запишемо у скшченно^знеце-вш формi рiвняння (11), (14) математично! моделi:
<31-1 + (1 -у)- Ко ■ Ьи ■ Т-1 = ТД-Т0- + Б1ж (Тв* - ТО) + ЛЯ';
■■ = ^ (- 2Т)+Т-1)+^ ( - 2Т)-1+■)+
и'- -и'-1
+у. Ко —— + Ж Дт
2. Дх*
„ ) = 1,2,..., (п -1);
(22)
т' — т'
1 п - 1 п-1 ■
Пiсля перетворень отримаемо систему лшшних алгебра!чних рiвнянь тридiагонального виду:
то = кТ+#; а— - сТ + Ь,Т/+1 = -/- ( = 1,2,..., (п -1));
Тп =К2Ти +^2-Коефiцiенти системи рiвнянь (23) мають вигляд:
(23)
К ■■
1
; А =-Дх-Г Б'Ж • Т* + ЛЯ'' - << '-1 -(1 - у) • Ко-Ьи- Т ,Ч1 ;
1 + Дх ■ Бгш Г ^
1 + Дх ■ Б'цг
а} =1; с) = 2
1 +
Дх
*2 \
Дт
; ь)=1;
/ = — + 2
1
Дх'
т
Т'-1 + Т'-1 + 2.^ Т.Ко Т) +1)+1 +
((■ - и'-1) 2. Дх*2 .ж;
Дт
\ /
к2 = 1; ц2 = 0.
Використовуючи метод прогонки [9], з (23), отримаемо масив температур на новому шарi за часом.
Пюля цього процедура цикшчно повторюегься доти, доки вологовмют на поверхш магерiалу (x = l) не стане рiвним деякому заданому значенню.
Висновки. Отже, наведено магемагичну модель визначення темпера-гурно-вологiсного поля у процеш сушiння капiлярно-порисгих магерiалiв для випадку iнгенсивносгi вологообмiну поверхнi матерiалу з агентом сушшня, що залежить вiд змiни парцiального тиску водяно! пари за товщиною пограничного шару.
На основi рiзницевих мегодiв наведено алгоритм для чисельно! реаль зацп моделi з використанням методу прямо! та обернено! прогонки.
Л1тература
1. Лыков А.В. Теория сушки / А.В. Лыков - М. : Изд-во "Энергия", 1968. - 472 с.
2. Шубин Г.С. Сушка и тепловая обработка древесины / Г.С. Шубин. - М. : Изд-во "Лесн. пром-сть", 1990. - 335 с.
3. Бшей П.В. Тепломасообмшш процеси деревообробки / П.В. Бшей. - Л. : Вид-во ЗУКЦ, 2013. - 378 с.
4. Aleksandar Dj. Dedic, Arun S. Mujumdar, Dimitrije K. Voronjec. A Three Dimensional Model for Heat and Mass Transfer in Convective Wood Drying // Drying Technology. - 2003. -Vol. 21, Is. 1. - Pp. 1-15.
5. George Bramhall. Mathematical model for lumber drying // Wood science. - 1979. - Vol. 12, Is. 1. - Pp. 22-31.
6. Афанасьев А.М. Расчет параметров конвективной сушки влажных материалов по заданным характеристикам внешней среды / А.М. Афанасьев, Л.Е. Шашлова // Вестник ВолГУ. - Сер.: Математика. Физика. - 1999. - Вып. 4. - С. 147-151.
7. John F. Siau. Wood: influence of moisture on physical properties // Virginia Polytechnic Institute and State University, 1995. - 227 p.
8. Дульнев Г.Н. Применение ЭВМ для решения задач теплообмена / Г.Н. Дульнев, В.Г. Парфенов, А.В. Сигалов/ - М. : Изд-во "Высш. шк.", 1990. - 207 с.
9. Калиткин Н.Н. Численные методы / Н.Н. Калиткин. - М. : Изд-во "Наука", 1988. -
317 с.
Прусак Ю.В. Моделирование температуры и влажности в процессе сушения капиллярно-пористых тел с использованием закона Дальтона
Приведена математическая модель для исследования распределения температуры и влажности в древесине в процессе сушки. Граничные условия, которые описывают взаимодействие древесины с агентом сушки, записаны на основе закона Дальтона. На основе разностных методов приведен алгоритм для численной реализации математической модели.
Ключевые слова: математическая модель, закон Дальтона, сушка капиллярно-пористых материалов, влагоперенос, разностный метод, метод прогонки.
Prusak Yu.V. Modelling of temperature and humidity in the process of drying of capillary-porous bodies with the use of Dal'tona law
In this paper is the mathematical model to research the distribution of temperature and moisture in wood during drying. Boundary conditions which describe the interaction of wood drying agent recorded by Dalton's law. Shown the algorithm for the numerical implementation of the mathematical model based at difference methods.
Keywords: mathematical model, Dalton's law, drying capillary-porous materials, moisture transportation, difference method, tridiagonal matrix algorithm.
