CC BY
13В. В. Капитоненко, В. В. Макрусев, П. В. Евсеева
МОДЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОБ ОПТИМАЛЬНОМ ТАРИФЕ
На основе анализа и моделирования экономических последствий тарифного регулирования предлагается математическое описание задачи об оптимальном импортном тарифе и дается ее решение. Работа выполнена в рамках Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009-2013 гг.».
Ключевые слова: импортный тариф; спрос; предложение; цена; статические и динамические эффекты; математическое моделирование; оптимизация.
В условиях открытой экономики целевые направления тарифной политики государства обусловлены ее фискальными, протекционистскими и регулирующими функциями. На современном этапе наиболее широко используются импортные пошлины в отличие от таможенного обложения экспортируемых товаров, которое, например, в развитых рыночных странах практически не применяется. То же относится и к транзитным пошлинам. В связи с этим проводимый в данной статье анализ ограничивается эффектами, создаваемыми введением или изменением ставок импортных тарифов. Глобальная цель тарифного регулирования направлена на достижение последствий, которые приводят к максимуму общественной выгоды состоящей из выигрышей потребителей производителей и бюджета ^Ф). Эти выгоды можно оценивать как в краткосрочном плане (статический анализ), так и с точки зрения отдаленных последствий (динамический анализ) [1]. В качестве очевидных закономерностей, присущих разнонаправленному проявлению статических эффектов, отметим следующее. С ростом тарифа цены на импортируемый товар и его отечественный аналог растут, что снижает выгоды в сфере потребления, но увеличивает выигрыши производителей и бюджетные доходы. Проиллюстрируем это в терминах статического анализа задач оптимизации тарифа по критерию общеэкономической выгоды и с точки зрения максимизации частных критериев для потребления, производства и государственной казны. Причем будем исходить из следующих допущений:
- наряду с ввозимым товаром в отечественной экономике производится также конкурирующий товар;
- изменение спроса на импортный товар не приводит к изменению мировых цен;
- равновесная рыночная цена отечественного товара превышает мировую цену импортируемого товара;
- тариф на импортируемый товар имеет форму специфической пошлины;
- транспортные издержки незначительны и в модели не учитываются.
В условиях свободной торговли (без взимания таможенной пошлины) внутренняя цена, равная равновесной рыночной цене отечественного товара в закрытой экономике, упадет до уровня мировой цены, которая уплачивается импортером за ввозимый «эквивалентный» товар. При взимании специфической пошлины на импортируемый товар его цена для отечественных потребителей поднимется до уровня:
P = P + ^ (1)
вн м ' \ /
где Рвн - внутренняя цена, PM - цена на мировом рынке, Т - ставка специфического тарифа. В отличие от этого при использовании адвалорной пошлины
Pвн = Pm (1 + Tab).
С математической точки зрения этот случай сводится к предыдущему, т. е. к специфической пошлине:
T = PM ■ TAB. (2)
Поэтому в дальнейшем, имея в виду условие эквивалентности (2), будем придерживаться формулы аддитивного ценообразования (1). Результаты введения импортной пошлины представим графической моделью с линейными, что не принципиально, функциями спроса и предложения (D(P), S(P)), а вводимый налог без ограничения общности выводов для краткосрочного безынфляционного периода будем рассматривать в форме специфической пошлины по ставке T.
Для оценки воздействий, которые оказывает тариф Т на экономическое состояние субъектов экономики: потребителей, производителей, государство, сравним с помощью представленной на рис. 1 диаграммы две ситуации: без тарифа и с тарифом. При свободной беспошлинной торговле цена снижается до уровня мировой, и поэтому спрос на внутреннем рынке становится выше «отечественного» предложения. Образующийся избыток спроса покрывается импортом:
U(Pm) = D(PM) - S(PM),
что позволяет обеспечить потребление в объеме предъявляемого спроса 0D.
'AB CD Q
Рис. 1. Графический анализ последствий от введения тарифа
В этих условиях излишек потребителя составит величину, равную площади треугольника, расположенного над горизонтальной прямой Р = Рм и ограниченного графиком спроса D(P) и вертикалью 0P. Заметим, что эта величина превышает излишек потребителя в закрытой экономике на величину разности площадей
рассмотренного большого треугольника и подобного ему треугольника с основанием PEE. Что касается излишка производителя, то он будет измеряться площадью «а» треугольника, примыкающего к оси ординат ниже прямой P = Pм и выше графика предложения S(P). По сравнению с режимом автаркии он ниже на величину площади примыкающей прямоугольной трапеции с верхним основанием PEE. В анализируемом варианте импортные пошлины не взимаются, поэтому фискальные поступления в бюджет отсутствуют и по критерию бюджетных доходов рассматриваемая ситуация ничем не отличается от варианта закрытой для импорта данного продукта экономики. Перейдем теперь к альтернативному случаю - с тарифом. Ему отвечает рыночная конъюнктура с потерями в потреблении и приобретениями в производстве и бюджетной сфере. Равнодействующая этих эффектов дает интегральный общеэкономический выигрыш. Для того чтобы сопоставить его с суммарным эффектом при упраздненном тарифе (Т = 0), сравним те изменения, которые произошли в экономическом состоянии каждого из участников рыночных отношений. При введении тарифа кривая внешнего предложения поднимется до отметки P = Pм + Г, а импорт сократится до величины
U(Pм + Г) = D(Pм + Г) - S(Pм + Г). (3)
В результате излишек потребителя в обозначениях рис. 1 уменьшится на величину Ад = Ь + с + d + f, излишек производителя получит привес А+ = Ь, а в бюджет поступят доходы Д+= d.
Как следует из графических моделей (см. рис. 1), проигрыш в потреблении не будет скомпенсирован выигрышами производства и казны:
Ад = (А ++А+) = с + f,
а значит, и интегральный выигрыш с введением импортного тарифа уменьшится на величину
ДЕ = с + f.
Таким образом, на периоде, в течение которого кривые спроса и предложения не успевают измениться, нулевой тариф будет оптимален как по критерию общеэкономического выигрыша Fs, так и по величине потребительского излишка FD (Топ/ = ТоптЕ = 0). Что касается выигрыша производителя FS, то он достигает максимума при уровне запретительного тарифа:
Гзапр = PE - Рм. (4)
Оптимальному по критерию бюджетных доходов тарифу соответствует такое значение Т = ТоптФ, при котором площадь d прямоугольника на рис. 1 будет максимальна. В математической записи этому условию отвечает оптимальное решение следующей задачи:
Fф(7) = и(Рм + Г) ■ Г^ тах, Г е [0, Гз^]. (5)
Приравнивая производную целевой функции к нулю, придем к признаку оптимальности тарифа с единичной эластичностью импорта:
dU (Рм + Т) Т = _ dт и (Рм + Т) .
Рассмотрим частный случай с линейными функциями спроса и предложения:
Б(Р) = a - bP, а, Ь > 0; Б(Р) = С + dP, с < 0, d > 0 (6)
и равновесной ценой:
Р =
а - с Ь + d
(7)
При такой конъюнктуре целевая функция задачи (5)
Fф(T) = (Б(Рм + Т) - Б(Рм + Т)) ■ Т с учетом равенств (4), (6), (7) приводится к виду:
Fф(T) = (Ь + р - Рм - 7) Т = (Ь + (Тзапр - Т) Т.
(8)
Отсюда видно, что график зависимости бюджетных доходов от тарифа имеет вид квадратичной параболы, изображенной на рис. 2. Ее вершина определяется координатами, равными оптимальному тарифу и максимальному объему поступлений:
Р - Р т
грф _ Е ±м = запр ; ртах =
т от- 2 _ 2 ; рф ~
кгф(7)
dU
dP
(Ре - Рм )2 4
(9)
Т / 2
запр '
Рис. 2. Кривая зависимости бюджетных доходов от величины тарифа
Таким образом, максимальный выигрыш бюджета равен произведению абсо-
dU
лютной величины предельного импорта
dP
= Ь + d
на квадрат «уполовиненного»
запретительного тарифа Тзапр = РЕ - Рм.
Один из выводов, полученных в ходе анализа графической модели рис. 1, состоял в том, что максимум критерия общественной выгоды Fs достигается при нулевом импортном тарифе Т. Этому выводу соответствует задача оптимизации тарифа по общеэкономическому критерию, полученному суммированием частных критериев FD, FS, Fф с равными весами:
Fs = FD + Fs + Fф. (10)
Вместе с тем народнохозяйственный критерий в проекции на рынок рассматриваемого товара может придавать разную значимость локальным выигрышам его участников. В качестве обоснования данного положения ограничимся следующими иллюстрациями:
- вес выигрыша, который получат покупатели на рынке «элитного» товара, уступает государственной значимости «излишка» потребителей повседневного товара;
- значимость выгод производителей наукоемких изделий превышает мотивацию выпуска продуктов низкого уровня переработки;
- требования страны импортера к условиям торговли, влияющие на выбор ставки таможенного обложения, зависят от экономических и политических отношений с торговым партнером.
Основываясь на этом, построим математическую модель оптимизации тарифа, приняв в качестве целевой функции сумму частных критериев с весами, определяемыми их народнохозяйственной значимостью. В качестве исходных элементов формализации будем опираться на характеристики рыночной конъюнктуры (6), (7) и задаваемую экзогенно мировую цену Рм. Обозначим выигрыши потребителей, производителей и бюджета функциями LD(P), LS(P), L0(P), где P - цена, а их веса - неотрицательными числами aD, aS, аФ, имея в виду, что aD + aS + аФ = 1. Пусть D0, S0 - излишки, которые получают потребители и производители в закрытой экономике. На рис. 1 этим числам соответствуют площади верхнего и нижнего треугольников с одним и тем же основанием PeE. Для рынка с импортом область поиска оптимальной цены Ропт ограничена диапазоном [Рм, PE], а ее определение сводится к решению следующей задачи максимизации:
L(P) = aL(P) + asLs(P) + aфLф(P) ^ max,
Рм * P * PE. (11)
Очевидно, что, зная решение задачи (11), можно найти оптимальный тариф:
T = Р - Р (12)
опт опт м
Представим модель (11) через параметры состояния рыночной конъюнктуры a, b, c, d. Для записи частных критериев LD(P), LS(P), L^P) воспользуемся геометрией рис. 1, на котором ценовому уровню Р соответствует прямая линия Р = Рм + T. Площадь опирающегося на эту прямую верхнего треугольника равна излишку потребителя и составляет величину:
L (J>). А + (р - PШе > + Djp» . (13)
Излишку производителя соответствует нижний треугольник с площадью:
LAP)=S, --P>(Sf > + S(P>>. (14)
Сумма таможенных поступлений совпадает по величине с площадью d прямоугольника бюджетных доходов:
Lф(P) = (Р - Рм) (D(f) - S(F)). (15)
Очевидно, что слагаемые D0, 50 взвешенной суммы критериев (13), (14), (15) не влияют на расположение оптимальной точки Ропт и их, переходя к подробной формализации критерия (11), можно исключить. С учетом этого задачу оптимизации тарифа будем решать, используя целевую функцию:
Г(Р) = L(P) - <^0 + а5 5о, (16)
которая для «линейной» конъюнктуры (6) является квадратичной функцией аргумента Р:
Ь'(Р) = иР2 + vP + q. (17)
Поскольку LD(PE) = D0, LS(PE) = 50, LФ(PE) = 0, то L*(PE) = 0, т. е. Р, = РЕ - корень квадратного трехчлена (17). Согласно теореме Виета второй корень
Р2 = (18)
2 иР1 иРЕ
Обозначим равновесное значение товарообмена через () (2 = $(РЕ) = D(PE)) и заменим обозначения D(P), 5(р) в формулах (13), (14), (15) формулами (6). Подставим полученные выражения в формулу целевой функции задачи (11). Основываясь на взаимосвязи (16), найдем после громоздких, но очевидных преобразований интересующие нас параметры и, q и недостающий корень Р2:
а пЬ + - 2аФ (Ь + й)
u = -
2
= QPe (аD -а J ) + PE (аDa -aSC) - 2аФРм (a - c) (19)
q 2 ' (1У/
Q(ad -аs) + (аDa-asc)-2афРм('-c)
P2 =-Pe-=
(а Db + asd - 2аф (b + d))
= Q(аD -аs) + (аDa-а3е)-2афРм(Ь + d) (а Db + аsd - 2аф (b + d))
В качестве иллюстративных примеров рассмотрим следующие частные случаи:
1. Все локальные критерии равнозначимы:
а0 = аs = аф = 1/3.
При этом условии, как легко убедиться в соответствии с (7) и (19), второй корень
P2 = 2Рм - Pe,
откуда
Р =1^2. = Р
Р + Р2
т. е. продукция должна импортироваться по мировой цене без взимания таможенной пошлины. Данное утверждение совпадает с выводом, полученным ранее
(см. рис. 1) на основе «геометрического» сравнения двух альтернатив: с тарифом и без него.
1. Равнозначимы два критерия - по потреблению и производству:
а^ а$ а.
Обозначим отношение параметров аФ и а через t ( = аФ / а). Преобразовав формулу (19), найдем, что
Р - 2tP
Р2 _ — , (20)
и, следовательно, вершина параболы (17) имеет абсциссу:
_ _ РЕ (1 -1) - t-м
опт 2 1 - 2t '
а оптимальное значение тарифа:
Т _ - - - _ (1 -1) • (Р - - ) = (1 -1) Т (21)
опт опт м (1 2^ Е (1 2t) запР ' V /
По экономическому смыслу задачи (11) параметр t в формуле (21) должен удовлетворять условию:
0 < Т < Т . (22)
опт — запр'
Таким образом, для его определения имеем следующую систему неравенств:
0 < < 1, t > 0 (1 - 2t)
с решением
t > 1. (23)
Рассмотрим два предельных варианта: t = 1 и t ^ да. Единичное значение t, как легко понять из формулы (21), дает то же решение, что и для предыдущего случая. В свою очередь, бесконечно большим значениям t соответствует абсолютная приоритетность бюджетного критерия FФ с оптимальной величиной тарифа:
гг< _л- (1 t) гг< _ Тзапр
опт _ ™ (1-20' запр _ ~,
что совпадает с решением (9) задачи оптимизации бюджетных доходов (5).
Из условия (23) вытекает, что для рассматриваемого варианта расстановки приоритетов задача оптимизации по интегральному критерию (11) разрешима только при условии, что бюджетному выигрышу придается больший вес аФ, чем приравненным по значимости выигрышам в производстве и потреблении. Кроме того, как следует из формулы (21), оптимальное значение ввозной пошлины растет с увеличением размера запретительного тарифа. Отсюда следует, что при прочих равных условиях для рынков с существенным отрывом внутренней цены от мировой оптимальный тариф будет выше.
Для практического применения предложенного подхода требуется на основе экспертных суждений назначить веса а^ а3, аФ и идентифицировать с помощью известных статистических методов кривые спроса и предложения.
Приведенные выше оценки ограничивались коротким диапазоном влияния таможенного обложения на величину выигрышей заинтересованных сторон (статические модели). Вместе с тем игнорирование будущих «откликов» чревато снижением интегральной величины оптимизируемого критерия на развернутом периоде, за который успевают обнаружить себя также и динамические эффекты. В качестве примера сошлемся на критерии текущей (годовой) и интегральной (за ряд лет) прибыли. Всякое нововведение, как правило, сопряжено с промежутком экономической невыгодности его освоения в производстве. Поэтому ориентация на максимальный текущий результат тормозит обновление и способствует консервации технологического застоя. От этого недостатка свободна интегральная величина одноименного показателя, суммирующая его значения по расширенному диапазону дальновидности. На корпоративном уровне современным аналогом подобного критерия является показатель стоимости компании, определяемый методом дисконтирования получаемых в обозримой перспективе чистых доходов. В терминах рыночной обстановки «отодвинутые» эффекты тарифных решений присущи как сектору производства, так и потребительскому сообществу. Поясним сказанное с помощью графической иллюстрации возможных динамических эффектов в зависимости от временных изменений тарифной ставки. Допустим, что динамический эффект от изменения тарифа Т проявляется через сдвиги кривой предложения на одинаковых единичных промежутках времени. Динамику рыночной конъюнктуры проследим на периоде, равном трем таким промежуткам. При этом будем исходить из допущений:
- линейности кривых спроса и предложения (6);
- параллельности прогрессивного сдвига графика функции предложения 3(Р);
- неизменности мировой цены Рм;
- оптимальности тарифа по бюджетному критерию, т. е. применимости формулы (9).
Рисунок 3 иллюстрирует влияние динамических эффектов тарифного регулирования на благоприятные изменения рыночной конъюнктуры, позволяющие от импорта продукта перейти к его экспорту. Изображенная на нем графическая модель допускает следующее толкование. Обусловленный тарифной поддержкой выигрыш производителей позволяет им улучшить производство, что приводит к последовательным по периодам сдвигам линии предложения с начального состояния вплоть до конечного для рассматриваемого временного диапазона расположения 34. В результате совершенствования производства равновесная рыночная цена убывает, что находит свое отражение в нисходящем движении точек пересечения прямых (см. рис. 3). Данный процесс приводит, согласно правилу оптимизации (9), к снижению последовательных во времени таможенных ставок Т и внутренних цен Р{ = Рм + Т, I < 3. Для ситуации Si национальное производство становится рентабельнее зарубежного, и цена рыночного равновесия опускается ниже уровня мировой. При таком соотношении цен предложение превышает спрос, и страна начинает производить товар на экспорт. Высказанная интерпретация позволяет осознать двойственный характер оптимальной тарифной ставки, проявляющийся во взаимной связи ее с рынком. Реакция рынка на вводимый
тариф проявляется запаздывающим смещением кривой предложения, что, в свою очередь, требует пересчета оптимального тарифного уровня, который вызовет очередной сдвиг этой кривой, и т. д.
Л
--------Рм + Т
--------Рм + Г2
--------Рм + Т
Рис. 3. Графическое представление динамических эффектов тарифного регулирования
Приведенная сценарная модель созвучна принятым в математической теории оптимальных процессов постановкам [2]. В терминах этой теории переменному во времени тарифу T(t) соответствует управление, а простейшей (символической) формой задачи оптимального управления тарифом является запись:
jt (LD (х, T, t) + LS (x, T, t) + L0 (x, T, t)) dt -— max,
dX = f (x,T, t), dt
0 < T(t) < P^t) - Рм(^, x(0) = xo.
(24)
Здесь х = х() - вектор фазовых переменных (спрос и предложение на рынке рассматриваемого товара); LD, LS, Lф - выигрыши потребителей, производителей и бюджета. Система дифференциальных уравнений модели (24) задает динамику «рынка», а выбор управления Т(^) подчинен требованию максимизации интеграла от суммы частных выигрышей за период [0, Т]. Динамические эффекты в модели статической оптимизации тарифа (11) следует учитывать при назначении весов ав, ау, аф При переходе к модели (24) эти эффекты отражаются в траекториях, определяемых дифференциальными условиями, что служит обоснованием алгебраического (не взвешенного) суммирования частных выигрышей в записи ее критерия. Модель (24) носит теоретико-аналитический характер, и здесь ее миссия ограничена смысловыми аспектами. В связи с этим более продуктивным представляется подход в соответствии с моделью (11). Для его практического применения
требуется на основе экспертных суждений назначить веса aD, aS, аФ и определить с помощью известных статистических методов кривые спроса и предложения. Полученные в результате идентификации зависимости D(P), S(P) в отличие от изученного случая (6) могут оказаться и нелинейными функциями P, тогда функция L*(P) будет отличаться от квадратичной зависимости (16). Это, однако, не влияет на общность предложенного способа, основанного на определении интегралов функций D(P), S(P), алгебраических преобразованиях и условной оптимизации (11), и не ограничивает возможности его компьютерной реализации. В соответствии с выводами, основанными на динамической задаче (24), тариф, полученный в результате решения статической модели (11), может утратить свою оптимальность из-за того, что ее параметры a, b, c, d, Рм перестанут соответствовать произошедшим на мировом и внутреннем рынках изменениям. Диагностика данного факта нуждается в проверке адекватности моделей спроса и предложения, лежащих в основе расчетов действующего тарифа, новым условиям. Для ее проведения требуется оценить значимость расхождения полученных в соответствии с моделью значений, например, спроса от его наблюдаемых значений. Это может быть выполнено с привлечением известных методов статистики к анализу случайной неувязки:
s = у - y = D(x) - y,
где x, y - эмпирические данные по цене и, соответственно, спросу, у = D(x) - «модельное» значение спроса [3]. При выявлении непригодности следует построить новые модели рынка и произвести перерасчет оптимального тарифа, действующего до очередного нарушения адекватности, вызванного воздействием динамических эффектов. В качестве примера таких эффектов можно отметить результаты совершенствования производства, возможные благодаря выигрышам (статическим эффектам) производителей, прямые иностранные инвестиции, стимулируемые повышательным тарифом, и прочее. В отличие от них статические эффекты (выигрыши участников, изменения географии торговых потоков и т. д.) присущи периодам параметрической определенности модели (11), т. е. неизменным кривым спроса, предложения на внутреннем и мировом рынках. Помимо воздействия на рынок конкретного товара тарифное регулирование может явиться причиной кратковременных и долгосрочных эффектов вне этого рынка. Например, доходы F0, поступившие в казну с данного рынка, в краткосрочной перспективе могут присоединяться к государственным расходам социальной направленности (статический эффект) или к инвестициям бюджета с отдаленной отдачей (динамический эффект). В свою очередь, излишек потребителей как составляющая их дохода расходуется ими на потребление и сбережение. Сберегаемые средства в зависимости от склонности населения к наличности могут поступать в банковский сектор и в дальнейшем служить источником реальных инвестиций, т. е. способствовать получению экстернальных динамических эффектов.
В экономической теории для модельного анализа последствий от введения тарифа применяются графические представления тех же статических эффектов, что и на диаграмме рис. 1. Основанный на этом общеэкономический выигрыш Fs получается простым суммированием частных выгод (критериев FD, FS, F^), и достигаемый им максимум при упраздненном тарифе служит обоснованием вывода о преимуществах бестарифной торговли [4]. Однако учет динамических эффектов
при «взвешенном» суммировании тех же критериев позволяет определить ненулевой оптимальный тариф, для которого общеэкономический выигрыш в пределах долгосрочного периода будет выше, чем в условиях беспошлинной торговли.
Использованные источники
1. Капитоненко В. В., Деева Е. А., Евсеева П. В. Аналитическое обеспечение развития экономической интеграции// Вестник Российской таможенной академии. 2011. № 2.
2. Болтянский В. Г. Математические методы оптимального управления. М.: Наука, 1969.
3. Кремер Н. Ш. Эконометрика. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2008.
4. Михайлушкин А. И., Шимко П. Д. Международная экономика: теория и практика. СПб.: Питер, 2008.
