Моделирование задач теплопроводности в пластине с внутренними источниками Текст научной статьи по специальности «Математика»

Литература

1. Агуров П. В. Интерфейсы USB. Практика использования и программирования. СПб.: БХВ-Петербург, 2004. 576 с.

2. Агуров П. В. Последовательные интерфейсы ПК. Практика программирования. СПб.: БХВ-Петербург, 2004. 496 с.

3. Минаев И. Г., Самойленко В. В. Программируемые логические контроллеры. Практическое руководство для начинающего инженера. Ставрополь: АГРУС, 2009. 100 с.

4. Вальпа О. Полезные схемы с применением микроконтроллеров и ПЛИС (+СД). М.: Изд. дом «Додэка-ХХ1», 2006. 416 с.

5. Усольцев В. К. Микропроцессорные модули logo! Владивосток: ДГТУ, 2006. 147 с.

Modelling of heat conduction problems with internal sources in the plate

Ishmukhametov R. (Russian Federation) Моделирование задач теплопроводности в пластине с внутренними

источниками Ишмухаметов Р. А. (Российская Федерация)

Ишмухаметов Рустем Айдарович /Ishmukhametov Rustem - студент магистратуры, кафедра математического моделирования, факультет математики и информационных технологий, Башкирский государственный университет, Стерлитамакский филиал, г. Стерлитамак

Аннотация: теплопередача — важная составляющая практически любого технологического или природного процесса. Численное моделирование различных механизмов переноса теплоты — это удобный и мощный инструмент анализа теплового состояния элементов оборудования, температурных режимов его работы и общей энергетической эффективности.

Abstract: heat - an important component of virtually any process or natural process. Numerical modeling of the various mechanisms of heat transfer - is a convenient and powerful tool for the analysis of the thermal state of elements of the equipment, temperature conditions of work and the overall energy efficiency.

Ключевые слова: метод конечных разностей, моделирование, comsol. Keywords: finite difference method, modeling, comsol.

Моделирование процессов теплообмена в настоящее время приобретает все более значительную роль в связи с тем, что для современной науки и техники необходим достоверный прогноз таких процессов, экспериментальное изучение которых в лабораторных или натурных условиях очень сложно и дорого, а в некоторых случаях просто невозможно [1].

Пусть для примера в неограниченной пластине толщины L = 0.3м действуют равномерно распределенные внутренние источники тепла мощностью Q(x). Данные

(L L 3 *ЬЛ

источники находятся в точках хЕ А = В связи с этим определим функцию

European science № 8(18) ■ 14

Q(x) =

■ L Вт L

4 ' м 3 4 L Вт _ L _

где q=105Вт/м4.

-* а —,x = —;

м

Вт

О — ,x £ A,

м

серебро (X=419 х=0 и x=L

е—¿:nor

Начальная температура Т0 =15°С. Материал пластины Вт/(м*°С), р=10500 кг/м3, с=200 Дж/(кг*°С)). На границах осуществляется теплообмен с окружающей средой ^=50 Вт/(м2*°С), Г=60°С). Определим температурные поля через 100 с.

Математическая постановка задачи будет иметь вид:

р с5=я£+(? (х) -°<х<ь. (1)

Начальные и граничные условия запишутся следующим образом:

£ = 0: Т = Т0,0 < х <

х = 0:

Я— = к(Те

дх 4

fir

T),t> 0;х = L\ À— = к(Те

' дх К

T),t> 0.

(2)

Наиболее удобным продуктом для решения поставленной задач является среда разработки COMSOL Multiphysics. COMSOL Multiphysics - это мощная интерактивная среда для моделирования и расчетов большинства научных и инженерных задач, основанных на дифференциальных уравнениях в частных производных [2].

При моделировании в Comsol необходимо выбрать соответствующий задаче модуль, в нашем случае Heat Transfer - модуль, рассматривающий теплоперенос при помощи теплопроводности, конвекции и излучения.

На следующем этапе была создана геометрия и физика объекта на основе исходных данных (рис. 1).

Property

Name Value

Unit Property group

sr Thermal conductivity k k_solid_,,, W/(m>K) Basic

ВТ Heat capacity at constant pres.., Cp C_solid_... J/ilcg-K) Basic

и Density rho rho(T[1/... kg/m3 Basic

Рис. 1. Физические свойства материала (серебро)

В результате вычисления, получим следующее распределение температуры по пластине:

Рис. 2. Модель распределения температуры по пластине

15 ■ European science № 8(18)

Для сравнения построим график (рис. 3).

Рис. 3. График распределения температуры по пластине

Перенос тепла теплопроводностью описывается дифференциальным уравнением, наиболее часто используется метод конечных разностей.

Для решения сформулированной краевой задачи применим метод конечных разностей. В результате аппроксимации частных производных получаем следующую систему линейных алгебраических уравнений:

р * с *ТП

(Т-

гг = л*{1

п+1 _ 2 * 77+1 h2

+ Tn+1)

'-1 j + Q?

¿ = 2 ,. . .,Л/-1,п>0. (3) Полученную систему можно свести к наиболее общему виду:

1 1 к2 1 к2 т 1 т 1 4:1

Прогоночные коэффициенты находятся по формулам:

(4)

а, = ■

(5)

Далее последовательно находятся ТП-1.ТП-1,. ■ ■ -,T2n+ 1, при условии, что ТП+1 найдено из правого граничного условия [1].

Решив задачу средствами языка Pascal методом конечных разностей, получили следующие распределения температуры:

European science № 8(18) ■ 16

58

56

54 52

О 0.1 0.2 0.3

Рис. 4. Распределение температуры по толщине пластины Литература

1. Кузнецов Г. В., Шеремет М. А. Разностные методы решения задач теплопроводности: учебное пособие. Г. В. Кузнецов, М. А. Шеремет. Томск: Изд-во ТПУ, 2007. 172 с.

2. Сайт компании разработчика пакета COMSOL Multiphysics. [Электронный ресурс]. / www.comsol.com. Режим доступа: http://www.comsol.com/.

17 ■ Еигореап ваепсе № 8(18)