Аппроксимация кривой экспериментальных данных средствами Comsol Multiphysics Текст научной статьи по специальности «Математика»

Аппроксимация кривой экспериментальных данных средствами

СОМ8ОЬ МиШрИуБ1сБ Ишмухаметов Р. А.

Ишмухаметов Рустем Айдарович /Ishmukhametov Rustem Aydarovich - студент

магистратуры, кафедра математического моделирования, факультет математики и информационных технологий, Башкирский государственный университет, Стерлитамакский филиал, г. Стерлитамак

Аннотация: нам часто приходится работать с экспериментальными данными, однако экспериментальные данные часто содержат экспериментальные ошибки, которые не хотелось видеть в наших моделях. Рассмотрим аппроксимацию гладкими кривыми, используя базовую функциональность COMSOL Multiphysics. Ключевые слова: эксперимент, аппроксимация, минимизация.

Рассмотрим пример с экспериментальными данными (рис. 1).

Рис. 1. Экспериментальные данные

Заметим, что данные имеют погрешности и что выборка неоднородна по оси X. Эти экспериментальные данные могут представлять собой свойство материала. Такие входные данные могут часто вызывать проблемы сходимости. Если же мы аппроксимируем данные гладкой кривой, то мы будем иметь простую функцию, имея возможность точно представить свойства материала.

То, что мы хотели бы сделать, это найти функцию 1' I ). что соответствует экспериментальным данным ]_) í |. .Мы определим наиболее подходящую функцию,

которая минимизирует квадрат разности между экспериментальными данными и нашей функцией, интегрированной по всему диапазону данных. То есть, наша цель состоит в минимизации:

Ja&(D(x)-F(x))2dx (1) Итак, первое, что нам нужно сделать, это выбрать тип функции, которую мы хотели бы использовать. Не будем вдаваться в подробности, для обеспечения максимальной надежности выберем эту функцию:

F(x) = с0(1 - х)3 + с1х(1 - х)2+с2х2(1 - х) + с3х3 (2) Теперь нам нужно найти четыре коэффициенты, которые будем минимизировать:

Д(Со-С1,С2,Сз,х) = Ja&(D(x) -F(Co,Ci,C2,C3,x))2dx (3) Решим эту задачу, используя базовые возможности COMSOL Multiphysics. Мы начнем с создания нового файла, содержащего 1-мерный компонент. Мы будем использовать физический интерфейс Global ODEs and DAEs для поиска наших коэффициентов, и мы будем использовать стационарный Solver.

Геометрия должна содержать интервал (в данном случае, диапазон точек выборки составляет от 0 до 1), а также множество точек вдоль оси х для каждой точки образца. Далее прочтем экспериментальные данные с использованием функции интерполяции и определим оператор интегрирования по всем доменам.

Теперь определим две переменные. Это будет наша функция, а другая - функция, которую мы хотим минимизировать.

А = Definitions

Variables 1|

Interpolation 1 (D) [du Integration 1 (intopl) t> Щ View 1 л A Geometiy 1

— Interval 1 (11) ■ Point 1 (pt1)

Рис. 2. Определение исходной функции и функции минимизации

Далее, мы можем использовать интерфейс Global Equations для определения четырех уравнений, которые должны удовлетворять нашим четырем коэффициентам.

Теперь мы можем решить эту стационарную задачу для численных значений наших коэффициентов и построить результаты. Из приведенного ниже рисунка мы можем видеть точки данных с линейной интерполяцией между ними, а также вычисленной функцией.

0.5-Т-Т-Т-

0.25

0

-0 25l_._._._

0 0.25 0.5 0.75 1

Рис. 3. Экспериментальные данные и функция Литература

1. Walter Frei. Curve Fitting of Experimental Data with COMSOL Multiphysics. [Электронный ресурс]: COMSOL Blog. URL: https://www.comsol.com/blogs/curve-fitting-of-experimental-data-with-comsol-multiphysics/ (дата обращения: 24.08.2016).

2. Лоран П. Ж. Аппроксимация и оптимизация. М.: Мир, 1975. С. 496.

3. Ишмухаметов Р. А. Расчет термических напряжений в образце горной породы при его нагревании средствами COMSOL Multiphysics // Научный журнал. № 8 (9), 2016.

4. Ishmukhametov R. The numerical solution of the problem of the Pontryagin maximum principle, Newton's method (Russian Federation) // European science. № 8 (18), 2016.

5. Ishmukhametov R. Modelling of heat conduction problems with internal sources in the plate Ishmukhametov R. (Russian Federation) // European science. № 8 (18), 2016.

6. Ишмухаметов Р. А., Зарипова Ф. Ф. Решение задач линейного программирования методом потенциалов // Достижения науки и образования. № 8 (9), 2016.