Моделирование возмущенного состояния систем подачи и распределения воды Текст научной статьи по специальности «Математика»

Б/2011 ВЕСТНИК

МОДЕЛИРОВАНИЕ ВОЗМУЩЕННОГО СОСТОЯНИЯ СИСТЕМ ПОДАЧИ И РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВОДЫ

SIMULATION OF PERTURBED COMPLEX CONFIGURATION OF WATER SUPPLY SYSTEMS

В.И. Щербаков, М.Я. Панов, Ю.Ф. Петров

V.I. Shcherbakov, M.Y. Panov, Y.F. Petrov

ФГБОУ ВПО ВГАСУ

Предложен метод моделирования возмущенного состояния больших многоконтурных систем водоснабжения на основе принципов энергетического эквивалентиро-вания, позволяющий преодолеть проблемы высоких порядков блочно-матричных структур и прогнозировать последствия аварий и реконструкций.

The method of modeling the perturbed state of large multi-loop water systems based on principles of energy equivalence, allowing to overcome the problem of high-order blockmatrix structures and to predict the consequences of accidents and reconstruction.

Постановка задачи

Полноразмерная гидравлическая модель (ПГС) включает полное число (от источников до потребителей) структурообразующих элементов. ПГС являются большими гидравлическими системами (БГС), по числу элементов соизмеримыми с численностью населения, поскольку содержат помимо уличных, еще и внутриквартальные, внутридомовые (внутрицеховые) сети.

При анализе и синтезе ПГС традиционно декомпозируется на расчетную зону (РЗ) и «метасистему».

Расчетная зона - ограниченный в пространстве фрагмент, представляющий интерес с точки зрения анализа протекающих в нем процессов, выделяемый из состава ПГС с сечением по вершинам структурного графа (СТГ), с переводом из в разряд энергоузлов (ЭУ), через которые осуществляется энерго- и массобмен между HP и метасистемой.

Для адекватного описания гидравлических процессов в РЗ, в ЭУ формируются граничные условия (ГУ). При анализе невозмущенного состояния традиционно используются определенные формы ГУ: а) в виде априорно заданных (достоверных) значений узловых потоков q или потенциалов Hj, обозначаемых нами как ГУ первого рода: б) в виде функционально и парометрически определенной взаимосвязи

Hj = 2, (qj) - ГУ второго рода (паспортные характеристики насосов, резервуарных узлов и т.п.). При внесении в систему структурных или параметрических возмущений ГУ II рода с заданной характеристикой элемента сохраняет свою определенность, обладая устойчивой способностью к возмущениям; числовая информация в составе ГУ I рода, в силу связности СТГ утрачивается и задача анализа потокораспределения переводится в разряд неопределенных. Большинство практически важных задач основано на анализе и синтезе возмущенного состояния: прогноз аварийных ситуаций, ремон-

ВЕСТНИК МГСУ

8/2011

тов, присоединение (отключение) потребителей, диагностика несанкционированных отборов, резервирование, последствия коррозионного поражения труб и т.д.

Настоящее исследование возмущенного состояния направлено на поиск такой модели системы, на границах которой могут быть сформированы определенные и устойчивые формы ГУ. Ближе всего такой модели отвечает ПГС, после незначительных ее преобразований: если допустить возможность включения в состав диссипативных потерь энергии свободных напоров истечения струй из кранов (горелок) потребителей. Это адекватно увеличению ПГС до пределов, соответствующих полному расширению потоков, вплоть до давления окружающей среды, которые не зависят от любых возмущений в составе HP и составляют определенную и устойчивую форму ГУ I рода. Однако масштабность и сложность конфигурации ПГС не совместимы с ограниченными ресурсами вычислительной техники, что составляет основное противоречие современного моделирования.

Целью энергетического эквивалентирования (ЭЭ) являются структурные и качественные преобразования физической модели (СТГ), адекватно отображаемые в составе математической модели. Объект ЭЭ - метасистема, сохранившая статус БГС, после выделения из ПГС расчетного фрагмента (РЗ). Условия ЭЭ должны обеспечить адекватность гидравлических процессов в РЗ до и после преобразований метасистемы. Общее решение задачи ЭЭ для нестационарного случая может быть получено на основе расширенного (по Гельмгольцу) вариационного принципа наименьшего действия, из которого формируется структура математической модели распределения потоков [1].

Методологические основы энергетического эквивалентирования

Фундаментальные условия энергетического эквивалентирования в области действия первого закона Кирхгофа формализуются на основе энергетического функционала равенством, аналогом которому является принцип наименьшего действия:

J-

PL, , Qf

x~f "pg 1 iel F 2 0

qj (Zj + Hj )dqj + X 1 (Zj + Hj )dqj

jeJJR uJf "

dx-

+pg!

0

m |(Zj + Hj )dqj.

I jgj

jeJ,1(p)uJm(p) 0

j'eJ^R UJ^r 0

l(Zj+H H

dx-

+pg! 0

Qi

PL, Qf

S J S,Q™dQi dx>dx=N X ^x^-pg 1

iel21 0 J I T] liel21 uImf F 2 0,

jeJJr(+) ^j:

+H H

(Ф Ju (Ф )

- Hz+HJdqj

j^J^R JR 0

dx + pg j

jeJf( ф)

+H H

ф^ ■'л(Ф)

■ mf i Zjdgj

jeji(p)ujm(p)0

4

н Zf ¡(Z+HH-

j Jr J 0

rf Qi

dx + pg J E 1 SiQIctdQi dx ^ dx.

01 ieIzr uImf 0

(1)

8/2011 ВЕСТНИК

_МГСУ

Условие (1) должно быть дополнено соответствующими условиями материального баланса (несжимаемая среда, стационарный режим):

х '1 + н ^¿Я] = Е 1 (г + н^ч^ (2)

Цф) 0 Л« 0

41

Е 1 (г. + Н]. \dqj- = Е 1 (г. + Н. >14..; (3)

Е Ч1 (г. + н.= Е ](г.. + н.^ (4)

0 )0

+ Н Н = Х.] (г. + н. )ач.; (5)

! 0 .е!™ 0

Е = Е Ч/г11ч1-; (6)

01 01 Е I 10; = Е I БО? К^;

¡е1" 0 ¡ЕГг 0

Е ч. = Е ч.;

к«

(7)

(8)

Е ч. = Е ч.; (9)

Е ч. = Е ч.; (10)

Е ч. = ^ ч.; (11)

Здесь Ь;, Б;, 0; - длина, площадь сечения, коэффициент гидравлического сопротивления и расчетный расход участка 1 соответственно; 2., Н., ч. - геодезический, пьезометрический напоры и отбор (приток) узла. соответственно; I, I - множества участков и узлов; верхними индексами «2Х» и «тг» обозначены реальные сетевые структуры (НР и метасистема) в составе полноразмерной СПРВ; верхний индекс «т5> относится к гидравлическому эквиваленту метасистемы; нижние индексы «л» и «тр» отнесены к источникам и стокам; р - плотность воды; т - время; а - показатель степени в формуле Дарси; л(ф) - напорная характеристика насоса; л(р), ^(р) - характеристика резервуарного узла, функционирующего в режиме источника и стока соответственно.

Энергетическое эквивалентирование является безальтернативным методом преодоления проблем несовместимости ограниченных ресурсов вычислительной техники с постановочными аспектами сетевых задач в области анализа и оптимального синтеза полноразмерных БГС с высокими порядками матричных структур. Возможности эквивалентирования позволяют практически неограниченно уменьшать масштабы метасистемы, однако при этом не исключено появление вычислительных проблем.

Прикладные аспекты энергетического эквивалентирования СПРВ

Впервые эквивалентирование было использовано Б.Л. Шифринсоном для расчетного анализа различных режимов функционирования тепловых сетей. Согласно Б.Л. Шифринсону эквивалентное сопротивление последовательно соединенных участков определяется как сумма участковых сопротивлений, а параллельно соединенных - как сумма проводимостей. Этот подход реализуем в случае последовательно-параллельных ветвей, относящихся к категории простых сетей, то есть сетей с одним источником и односторонним течением потоков на ветвях. Реальная многокольцевая сеть с несколькими источниками, разноэтажными потребителями не может быть экви-валентирована по методу Шифринсона.

Согласно теоремы B.C. Бриллинга сложную сеть можно свести к простой путем «расщепления» участков, называемых автором анастамазами, из условия минимума потерь энергии на транспорт среды. Метод Бриллинга весьма сложен в применении к реальным сетевым системам, поскольку требует, помимо прочего, решения алгебраических уравнений высоких порядков.

Известен метод уменьшения числа расчетных участков способом укрупнения абонентов, изложенный в работе Н.М. Зингера «Гидравлические и тепловые режимы теплофикационных систем». Он реализуем в случае известных транзитных расходов, которые определяются по результатам расчета потокораспределения. То есть для сложных кольцевых сетей, питаемых от нескольких источников, данный метод практически неприменим.

Все эти методы и приемы, базирующиеся на подходе Шифринсона, применимы для элементарных «идеализированных» схем соединений линейных элементов СТГ, а задача эквивалентирования нелинейных гидравлических сетей, согласно приведенному ретроспективному обзору, находится в начальной стадии развития.

Остановимся подробнее на асимптотическом методе эквивалентирования гидравлических систем [37]. Согласно этому методу контурное уравнение, полученное подстановкой в уравнение II закона Кирхгофа узловых балансовых уравнений, по своей сути, является уравнением гиперболы.

При теоретически стремящемся к бесконечности расходе среды, питающей контур, уравнение гиперболы приближается к линейному уравнению ее асимптоты. Замена контурного уравнения линейным уравнением асимптоты позволяет получить без-итерационный метод эквивалентирования цепочечных последовательно-параллельных сетей. Реальная разветвленная схема (например, тепловая сеть) преобразуется к цепочечной введением в схему нулевых фиктивных сопротивлений, после чего становится применимой методика получения асимптот. Все это справедливо для сетей с одним источников (ТЭЦ, водозабором, ГРП и т.д.). Для эквивалентирования сетей с несколькими источниками производится рассечение схемы на фрагменты, структура которых аналогична сетям с одним источником. Автором предложен комбинированный метод расчета эквивалентных параметров, в котором сочетаются решение линейных уравнений асимптот для последовательно-параллельных фрагментов сети и нелинейных

А/ЭПИ ВЕСТНИК

уравнений для рассеченных контуров. Такой алгоритм, по мнению автора, позволяет во много раз уменьшить время счета. Обращает на себя внимание чрезвычайная громоздкость алгоритма и нагромождение методических приемов, обусловленных необходимостью декомпозиции сети на расчетные фрагменты.

Все рассмотренные выше методы эквивалентирования достаточно просты и наглядны для элементарных топологических схем, а при переходе к реальным сетевым структурам усложняются до такой степени, что возникают большие сомнения в целесообразности их реализации, как программного продукта. Алгоритмические и методические надстройки лавинообразно нарастают по мере усложнения сети.

Перепишем условие (1) применительно к установившемуся потокораспределению в системах водоснабжения, содержащих участки, несущие путевую нагрузку и разноэтажные потребители.

I 1 [2, + Н (ч.)] ¿ч. + 1 ] ^ + Н.) ¿ч. - I Ч1 + Н. ) dqJ -

.¡е;"(Ф) и ) о ; о .'е;=(+)и:™+) о

- I Ч1 [г, + н. ] dчJ - I ] (г. + г;) ¿ч. - Е Б10 ь д' [д, (х)]а ¿д, dx

]е;=„к0 .е;=(р)и;™(р) о ¡ег2Гш" о о

= I Ч1 [2, + н. (ч.)] ¿ч. + I Ч1 (г. + Н. ) dчJ - I ч (г. + Н. ) ¿ч. -

- I ч| [г, + Н. ] ¿Ч. - I ] (г. + г;) ¿ч. - I О ^ ¿О, ¿х, (1:

; и^ ^ ;; ^ иг* о о

здесь г. - геодезическая высота, учитывающая этажность зданий, расположенных на геодезической отметке узла— Б;о - коэффициент гидравлического сопротивления, отнесенный к одному погонному метру участка 1.

Для сохранения в силе условия узлового энерго- и массообмена в случае переменной путевой нагрузки необходимы преобразования последней в постоянную эквивалентную с соответствующей корректировкой узловых балансовых уравнений. Допускается, что путевой расход линейно зависит от длины участка, являясь монотонной (дифференцируемой) функцией координаты х.

0(х) = Отр + -д1 X, (13)

при граничных условиях (положительное направление координаты х противоположно направлению течения потока):

_ ч [°тр , пРи х =о ;

д(х) = 1 ^ , г. т

[Отр + Оп , ПРИ х = Ь ,

где Охр, Оп - транзитная и путевая составляющие расчетного расхода участка; Ь -полная длина участка.

Условие качественного эквивалентирования отдельного участка с переменной нагрузкой Q(x) тем же участком (то есть с таким же диаметром и длиной), но несущим нагрузку Q3kb, формализуется следующим выражением, вытекающим из (12).

L Q г , sna L Q3KB

So í í [Q(x)] dQ dx = So í í Qa dQ dx, (14)

0 0 0 0

где So - коэффициент гидравлического сопротивления участка, отнесенный к единице длины, зависящий от диаметра и эквивалентной шероховатости; а - показатель степени в формуле Дарси-Вейсбаха, зависящий от режима течения среды. После интегрирования получаем:

Q

экв

Qr

qtp Q

+1

V V п у

\а+1 / \а+1 qtp

Q

V v п у

а + 1

(15)

Известно следующее (приближенное) выражение эквивалентного расхода для городских систем водоснабжения и газоснабжения:

(Q

q3kb

Q

= 0,5-

V vn У

норм

Q Qr

ТР

(16)

Оэкв = ОТР + 0,5ОП, или Результаты расчета по формуле (15) приведены в табл. 1.

Таблица 1

Зависимость эквивалентного расхода участка от отношения транзитной к путевой со-

Q-re/Qn 0 0,1 0,5 1,0 2,0 %.0 10,0

а = 1,0 0,577 0,666 1,041 1,527 2,516 5,508 10,503

V4 ш Ч а = 1,75 0,617 0,703 1,069 1,547 2,529 5,513 10,506

■ •е а = 2,0 0,63 0,715 1,078 1,554 2,534 5,515 10,508

о в и С> а = 2,33 0,655 0,735 1,09 1,56 2,54 5,517 10,51

m CQ

Наибольшее расхождение между фактическим и нормативным значениями (Оэкв/Оп) отмечается при отсутствии транзитной нагрузки на участке (16 - 26%), которое уменьшается по мере роста Отр/Оп и уже при Охр/Оп>1,0 не превышает 4%, с последующим уменьшением расхождения по формулам (15) - (16).

Б/2011 М1ВЕСТНИК

Энергетическое эквивапентирование множества насосных станций одной, эквивалентной является составной частью процедуры свертывания метасистемы в процессе формирования МПГС. Множество НС могут располагаться на разных геодезических уровнях, в пределах отдельной НС насосные агрегаты могут присоединяться к водопроводной сети по различным схемам, насосы могут существенно отличаться не только характеристиками (производительностью, напором, рабочим диапазоном характеристик), но и по конструктивному исполнению. Энергетическое эквивапентирование является «универсальным инструментом» приведения всего этого многообразия условий проектирования и эксплуатации к единой позиции, что существенно упрощает процедуру моделирования возмущенного состояния. Как отмечалось выше, насосные узлы относятся к ГУ второго рода и при проведении реконструкции системы сохраняют свой статус, обладая поглощающей способностью к различного рода возмущениям в РЗ.

Частный случай эквивалентирования насосов в рамках одной насосной станции, находящихся на одной геодезической отметке, рассмотрен в работе [3] и согласуется с формулой (12), где эквивалентируется несколько насосных станций расположенных на разных геодезических отметках.

Выводы

На основе условий энергетического эквивалентирования разработана модель возмущенного состояния системы водоснабжения городов, промышленных и коммунальных объектов.

Разработаны принципы энергетического эквивалентирования больших систем водоснабжения городов, что дало возможность перевести модель возмущенного состояния в область определенных задач потокораспределения, благодаря «свертыванию» метасистемы и перехода в условиях возмущений к определенным и устойчивым формам граничной информации.

Литература

1. Гельмгольц Г. О физическом значении принципа наименьшего действия / Г. Гельмгольц // Вариационные принципы механики: Сб. статей под ред. Л.С. Полака. М.: Изд-во физ.-мат. лит., 1959. - С. 430-459.

2. Генварев A.A. Асимптотическое эквивалентирование гидравлических сетей / A.A. Ген-варев. - Иваново, 1993. - 136 с.

3. Лобачев В.П. Насосы и насосные станции / В.П. Лобачев. - М: Стройиздат, 1983. - 192 с.

Literature

1. Helmholtz, H.O. The physical meaning of the principle of least action / H. Helmholtz / Variational Principles of Mechanics: /compilation articles, and edited. L.S. Polak. / M.: Publishing Sci. literature, 1959. - pp. 430-459.

2. Genvarev A.A. / Asymptotic equivalents hydraulic networks / A.A. Genvarev. - Ivanovo, 1993. - 136 p.

3. Lobachev V.P. /Pumps and pumping stations / V.P. Lobach. - M: Stroiizdat, 1983. - 192 p.

Ключевые слова: водоснабжение, энергетическое эквивалентирование

Keywords: water supply, energy equivalence

394006, г. Воронеж, ул. 20-летия Октября, д. 84, тел. +7(4732)2572666;

e-mail автора: scher@vgasu.vrn.ru

Рецензент: Зав. кафедрой водоснабжения, д.т.н., профессор Орлов В.А. ФГБОУ ВПО МГСУ