Моделирование волатильных временных рядов с применением нечёткого анализа исторических данных Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.257

Р.Р. РЗАЕВ*, Т.З. МЕХТИЕВ*

МОДЕЛИРОВАНИЕ ВОЛАТИЛЬНЫХ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ С ПРИМЕНЕНИЕМ НЕЧЁТКОГО АНАЛИЗА ИСТОРИЧЕСКИХ ДАННЫХ

Институт систем управления НАН Азербайджана, Баку, Азербайджан

Анотаця. Пропонуеться альтернативний nidxid до моделювання волатильного тимчасового ряду, заснованого на нечШкому аналiзi позицтно-бтарних складових iсторичних даних. Характерными новащями у пропоноватй моделi е новi правила для фазифтацп iсторичних даних i дефазифтацп нечтких прогнозiв. Поряд з традицтними статистичними показниками сформульований i засто-сований новий критерт для оцтки ступеня адекватностi моделей, заснований на застосуванш метрики Хеммiнга.

Ключов1 слова: волатильний тимчасовог ряд, нечШка множина, нечткий прогноз, нечШке вiдно-шення, точкова ощнка, вiдстань Хеммiнга.

Аннотация. Предлагается альтернативный подход к моделированию волатильного временного ряда, основанного на нечётком анализе позиционно-бинарных составляющих исторических данных. Характерными новациями в предлагаемой модели являются новые правила для фаззификации исторических данных и дефаззификации нечётких прогнозов. Наряду с традиционными статистическими показателями сформулирован и применен новый критерий для оценки степени адекватности моделей, основанный на применении метрики Хэмминга.

Ключевые слова: волатильный временной ряд, нечёткое множество, нечёткий прогноз, нечёткое отношение, точечная оценка, расстояние Хэмминга.

Abstract. It is proposed an alternative approach to modeling of volatile time series based on fuzzy analysis of the position-binary components of historical data. Specific innovations in the proposed model are the new rules for the fuzzification of historical data and defuzzification offuzzy predicts. Along with the traditional statistical indicators, it was formulated and applied a new criterion for assessing the adequacy of models based on the use of the Hamming metric.

Keywords: volatile time series, fuzzy set, fuzzy prediction, fuzzy relation, point estimate, Hamming distance.

1. Введение

Проблемой прогнозирования нечётких временных рядов активно занимаются на протяжении двух последних десятилетий. Среди многочисленных публикаций в этой области следует отметить работы К. Сонга, Б. Чиссома [1-3], Н. Кумара и др. [4], С. Чена [5, 6], К. Ченга и др. [7] и Дж. Поулсена [8]. Хотелось бы отметить и свой скромный вклад в совершенствование методов нечёткого моделирования временных рядов [9, 10]. Описанные в указанных работах нечёткие методы моделирования и прогнозирования временных рядов в том числе отличаются правилами фаззификации и/или дефаззификации. Понятно, что от того, насколько эти правила позволяют адекватно описывать слабоструктурированные данные временного ряда и, соответственно, интерпретировать полученные результаты в традиционной численной манере, зависит достоверность полученных прогнозов. В этой связи нами предлагается новый подход к моделированию и прогнозированию слабоструктурированного временного ряда, основанный на нечётком анализе позиционно-бинарных составляющих исторических данных.

2. Постановка задачи

Пусть задан некий временной ряд (ВР): {A(k)} (k = 1 ^ t), в котором A(k) является слабоструктурированной исторической данной или, в нашем представлении, нечётким мно-

© Рзаев Р.Р., Мехтиев Т.З., 2016

ISSN 1028-9763. Математичш машини i системи, 2016, № 3

жеством (НМ), характеризуемым кортежем {хк /|(хк)}, |() ® [0,1], У = 1 ^^. Тогда для

него необходимо разработать такую принципиально новую прогностическую модель, чтобы можно было бы добиться существенного улучшения результатов прогнозирования по сравнению с существующими известными методами прогнозирования временных рядов.

3. Нечёткое моделирование временного ряда

В качестве примера за основу выберем произвольный волатильный ВР (табл. 1), где исторические данные в силу ряда объективных и субъективных причин не могут являться абсолютно достоверными, то есть рассматриваются нами как слабоструктурированные или в нечёткой интерпретации.

Таблица 1. Произвольный волатильный временной ряд

Год Историческая данная Год Историческая данная Год Историческая данная

1984 9 1994 63 2004 21

1985 31 1995 14 2005 44

1986 23 1996 55 2006 31

1987 24 1997 11 2007 12

1988 36 1998 17 2008 18

1989 60 1999 34 2009 51

1990 49 2000 37 2010 46

1991 31 2001 56 2011 63

1992 27 2002 57 2012 32

1993 37 2003 62 2013 44

Большинство нечётких подходов к построению прогностических моделей слабоструктурированных ВР предусматривают последовательное выполнение следующих основных трёх процедур: 1) определение универсума и фаззификацию исторических данных; 2) выявление внутренних нечётких связей (отношений) и их локализацию по группам; 3) нахождение нечётких выходов (прогнозов) и их дефаззификацию. Поэтому суть предлагаемого подхода раскроем, придерживаясь этой схемы.

3.1. Фаззификация исторических данных

На рис. 1 представлена декомпозиция данных временного ряда на позиционно-бинарные составляющие (ПБС) по позициям д0 ^ д5 (или, более конкретно, по позициям с весами

20 ^ 25). Подобная декомпозиция впервые была использована в [11] для распознавания циклических сигналов. Здесь имеется в виду, что каждая историческая данная может быть

представлена в виде бинарного (битового) вектора-столбца: А = (х^, х4*, х3х, х2*, хь, х0* ), хы = {0,1}, к = 5 0. Так, минимальная и максимальная данные 9 и 63 представляются соответственно как х (1984) = 1 х 20 + 0 х 21 + 0 х 22 +1 х 23 + 0 х 24 + 0 х 25, х (2011) = 1 х 20 + +1 х 21 +1 х 22 +1 х 23 +1 х 24 +1 х 25.

ч. III 1 1 1111 1

5 ■ 1 1 1 ■ ■ 1 '

Я, 1 1 1 1 1 1 1 II 1 1 1 1 1

4 1 ' 1

% 1 1 ■ 1 , 1 ■ ■! 1 1 1 II, 1

я2 1 ■ 1 ■ 11 1 1 1 1 1 II 1

V 1 1 1 1 1 1 1 Г II

• 1111 ...... ■ ■ 1 1 1 • *

1 1 ■ 1 1 1 |||| 1 1 1 1

0 00 < С". < иаь 1986 1987 1988 1989 1990 «-1 гм пч * <Г> СП С1 с с с 1995 1996 1997 19® 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013

Рис. 1. ПБС исторических данных временного ряда

Обозначим через у значение исторической данной (ИД). Тогда для фаззификации данных ВР, представленных в виде ПБС, за основу выберем следующие высказывания: ех: «Если в бинарном векторе, отражающем ИД, все компоненты нули, за исключением последней, тогда значение этой данной самое низкое»;

е2: «Если в бинарном векторе, отражающем ИД, только последние три компоненты единицы, тогда значение этой данной очень низкое»;

е3: «Если в бинарном векторе, отражающем ИД, только последние четыре компоненты единицы, тогда значение этой данной более чем низкое»;

е4: «Если в бинарном векторе, отражающем ИД, только вторая и три последние компоненты единицы, тогда значение этой данной низкое»;

е5: «Если в бинарном векторе, отражающем ИД, только первая и третья компоненты единицы, тогда значение этой данной высокое»;

е6: «Если в бинарном векторе, отражающем ИД, только первая и вторая компоненты единицы, тогда значение этой данной более чем высокое»;

е7: «Если в бинарном векторе, отражающем ИД, только первые три компоненты единицы, тогда значение этой данной очень высокое»;

е8: «Если в бинарном векторе, отражающем ИД, все компоненты единицы, тогда значение

этой данной самое высокое».

Анализ приведенных рассуждений, сформулированных в виде причинно-следственных связей, позволяет определить входные характеристики (критерии) в виде признаков наличия единиц в битовой строке, используемых для оценки величины ИД. Тогда, полагая у лингвистической переменной, зададим ее значения (термы), используемые в приведенных высказываниях, на универсальном дискретном множестве и = {0; 0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9; 1}, то есть "и е и имеем [10]: Н =ВЫСОКОЕ, |н (и) = и ; МН

=БОЛЕЕ ЧЕМ ВЫСОКОЕ, ЦМН(и) = у[й ; УН =ОЧЕНЬ ВЫСОКОЕ, (и) = и2; ТН =СЛИШКОМ ВЫ-(1, и = 1,

СОКОЕ, иТН(и) = < Ь =НИЗКОЕ, | г (и )= 1 - и; МЬ =БОЛЕЕ ЧЕМ НИЗКОЕ, ™ ' [0, и < 1; ' ;

|МЬ(и) =л/1-и ; УЬ =ОЧЕНЬ НИЗКОЕ, |УЬ (и)=(1 - и)2; ТЬ =СЛИШКОМ НИЗКОЕ:

(0, и = 1,

1ть(и) = ^ [1, и < 1.

Фаззификацию термов в левых частях приведенных высказываний осуществим с помощью гауссовской функции принадлежности (рис. 1) |(х) = ехр —(х — х0)2 / С2 , восстанавливающей консолидированные нечёткие множества (НМ) по опорному вектору [х1984, х1985, ..., х2013], где хк (к = 1 ^ 8) является серединой, устанавливаемой для каждого

к -го правила индивидуально, С2 - плотность распространения окрестных элементов, принятая единой для всех случаев как 25 =625. В частности, для восстановления консолидированного нечёткого множества из левой части 7-го высказывания

48 = 1х 25 +1 х 24 + 0 х 23 + 0 х 22 + 0 х 21 + 0 х 20.

Рис. 2. Гауссовские функции принадлежности В результате получим консолидированные НМ Мк для левых частей высказываний ек (к = 1 ^ 8), значения функций принадлежности которых представлены в табл. 2.

Таблица 2. Значения функций принадлежности нечётких множеств в левых частях правил

ИД ВР М\ М2 М3 М4 М5 М6 М7 М8

х^=1 х II х3=15 х4=23 х5=40 х6=48 х7=56 х8=63

9 0,9027 0,9936 0,9440 0,7308 0,2149 0,0877 0,0292 0,0094

31 0,2369 0,3979 0,6639 0,9027 0,8784 0,6298 0,3679 0,1943

23 0,4610 0,6639 0,9027 1,0000 0,6298 0,3679 0,1751 0,0773

24 0,4290 0,6298 0,8784 0,9984 0,6639 0,3979 0,1943 0,0877

36 0,1409 0,2604 0,4938 0,7631 0,9747 0,7942 0,5273 0,3115

60 0,0038 0,0112 0,0392 0,1119 0,5273 0,7942 0,9747 0,9857

49 0,0251 0,0595 0,1573 0,3391 0,8784 0,9984 0,9246 0,7308

31 0,2369 0,3979 0,6639 0,9027 0,8784 0,6298 0,3679 0,1943

27 0,3391 0,5273 0,7942 0,9747 0,7631 0,4938 0,2604 0,1257

37 0,1257 0,2369 0,4610 0,7308 0,9857 0,8240 0,5612 0,3391

63 0,0021 0,0066 0,0251 0,0773 0,4290 0,6977 0,9246 1,0000

14 0,7631 0,9246 0,9984 0,8784 0,3391 0,1573 0,0595 0,0215

55 0,0094 0,0251 0,0773 0,1943 0,6977 0,9246 0,9984 0,9027

11 0,8521 0,9747 0,9747 0,7942 0,2604 0,1119 0,0392 0,0132

17 0,6639 0,8521 0,9936 0,9440 0,4290 0,2149 0,0877 0,0339

34 0,1751 0,3115 0,5612 0,8240 0,9440 0,7308 0,4610 0,2604

37 0,1257 0,2369 0,4610 0,7308 0,9857 0,8240 0,5612 0,3391

56 0,0079 0,0215 0,0679 0,1751 0,6639 0,9027 1,0000 0,9246

57 0,0066 0,0183 0,0595 0,1573 0,6298 0,8784 0,9984 0,9440

62 0,0026 0,0079 0,0292 0,0877 0,4610 0,7308 0,9440 0,9984

21 0,5273 0,7308 0,9440 0,9936 0,5612 0,3115 0,1409 0,0595

44 0,0519 0,1119 0,2604 0,4938 0,9747 0,9747 0,7942 0,5612

31 0,2369 0,3979 0,6639 0,9027 0,8784 0,6298 0,3679 0,1943

12 0,8240 0,9608 0,9857 0,8240 0,2852 0,1257 0,0452 0,0156

18 0,6298 0,8240 0,9857 0,9608 0,4610 0,2369 0,0992 0,0392

51 0,0183 0,0452 0,1257 0,2852 0,8240 0,9857 0,9608 0,7942

46 0,0392 0,0877 0,2149 0,4290 0,9440 0,9936 0,8521 0,6298

63 0,0021 0,0066 0,0251 0,0773 0,4290 0,6977 0,9246 1,0000

32 0,2149 0,3679 0,6298 0,8784 0,9027 0,6639 0,3979 0,2149

44 0,0519 0,1119 0,2604 0,4938 0,9747 0,9747 0,7942 0,5612

Таким образом, в принятых обозначениях приведенные высказывания запишем в виде следующих импликативных правил: е1: «Если х( = М1, тогда у = ТЬ »; е2: «Если х( =

М2, тогда у = УЬ »; е3: «Если х{ = М3, тогда у = МЬ »; е4: «Если х{ = М4, тогда у = Ь »;

е5: «Если хг = М5, тогда у = Н »; е6: «Если х{ = М6, тогда у = МН »; е7: «Если хг = М7,

тогда у = УН »; е8: «Если хг = М8, тогда у = ТН ».

Для преобразования этих правил воспользуемся импликацией Лукасевича [10]: тн (х, у) = шт{1,1 -цх (х) + т (у)}, в результате чего для каждой пары (х, у) е X хУ получим восемь нечётких отношений вида : X ® У . По итогам их пересечения получена

матрица размером 30х11 как функциональное решение, отражающее причинно-следственную связь между ПБС ИД и, собственно, самой величиной ИД (табл. 3). В данном случае нечёткая интерпретация к -ой ИД Ак (к = 1 ■ 30) находится посредством правила композиционного вывода: Ак = Ок о Я (к = 1 ■ 30), где Ок является отображением к -ого позиционно-бинарного разложения в виде нечёткого подмножества. Выбирая в (6) компо-

[ 0 ,х Ф хк,

зиционное правило как цА (у)=шах{шт(ц^ (х),цЯ (х))} и полагая, что Ц0к (х)_ ^ = в

к к [1,х = хк,

итоге имеем ЦАкИУ=ЦЯ(хк,у), то есть Ак есть к -я строка матрицы Я. Иными словами, Ак

является нечёткой интерпретацией к -ой ИД по опорному вектору (0; 0,1; 0,2; ...; 1). В частности, нечёткой интерпретацией х1984 будет множество (1-я строка матрицы Я):

0,785 0,816 0,646 0,496 0,366 0,256 0,166 0,096 0,046 0,016 0,006 А1984 =-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+ -

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

В результате таких действий мы получили нечёткий аналог рассматриваемого ВР, который представлен в табл. 3, то есть мы имеем 25 НМ, описывающих ИД временного ряда.

Таблица 3. Детализированный нечёткий аналог исходного ВР

Год Значения комбинированной функции принадлежности по опорному вектору НМ ТО НМ

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

1984 0,7851 0,8164 0,6464 0,4964 0,3664 0,2564 0,1664 0,0964 0,0464 0,0164 0,0064 А1 0,1804

1985 0,1216 0,2216 0,3216 0,4216 0,5216 0,5973 0,4973 0,3973 0,2973 0,1973 0,0973 А„ 0,4899

1986 0,3702 0,4702 0,5702 0,6702 0,6000 0,5000 0,4000 0,3000 0,2000 0,1000 0,0000 а8 0,3514

1987 0,3361 0,4361 0,5361 0,6361 0,6016 0,5016 0,4016 0,3016 0,2016 0,1016 0,0016 А9 0,3631

1988 0,0253 0,1253 0,2253 0,3253 0,4253 0,5253 0,6253 0,5369 0,4369 0,3369 0,2369 А14 0,5917

1989 0,0143 0,0143 0,0143 0,0143 0,0143 0,0143 0,0143 0,0143 0,0143 0,0143 0,8881 А23 0,9920

1990 0,0016 0,0854 0,1154 0,1654 0,2354 0,2692 0,2692 0,2692 0,2692 0,2692 0,6609 А18 0,8525

1991 0,1216 0,2216 0,3216 0,4216 0,5216 0,5973 0,4973 0,3973 0,2973 0,1973 0,0973 А11 0,4899

1992 0,2369 0,3369 0,4369 0,5369 0,6253 0,5253 0,4253 0,3253 0,2253 0,1253 0,0253 А10 0,4083

1993 0,0143 0,1143 0,2143 0,3143 0,4143 0,5143 0,6143 0,5692 0,4692 0,3692 0,2692 А15 0,6074

1994 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,9227 А25 1,0000

1995 0,6609 0,7609 0,7154 0,5654 0,4354 0,3254 0,2354 0,1654 0,1154 0,0854 0,0016 А4 0,2304

1996 0,0016 0,0116 0,0416 0,0916 0,0973 0,0973 0,0973 0,0973 0,0973 0,0973 0,8057 А20 0,9547

1997 0,7396 0,8353 0,6653 0,5153 0,3853 0,2753 0,1853 0,1153 0,0653 0,0353 0,0253 А2 0,1915

1998 0,5710 0,6710 0,7710 0,6379 0,5079 0,3979 0,3079 0,2379 0,1879 0,1560 0,0064 Аз 0,2776

1999 0,0560 0,1560 0,2560 0,3560 0,4560 0,5560 0,5760 0,4760 0,3760 0,2760 0,1760 А13 0,5538

2000 0,0143 0,1143 0,2143 0,3143 0,4143 0,5143 0,6143 0,5692 0,4692 0,3692 0,2692 А15 0,6074

2001 0,0000 0,0100 0,0400 0,0754 0,0754 0,0754 0,0754 0,0754 0,0754 0,0754 0,8249 А21 0,9650

2002 0,0016 0,0116 0,0416 0,0560 0,0560 0,0560 0,0560 0,0560 0,0560 0,0560 0,8427 А22 0,9735

2003 0,0016 0,0016 0,0016 0,0016 0,0016 0,0016 0,0016 0,0016 0,0016 0,0016 0,9123 А24 0,9991

2004 0,4388 0,5388 0,6388 0,7064 0,6064 0,5064 0,4064 0,3064 0,2064 0,1064 0,0064 А7 0,3374

2005 0,0253 0,1253 0,2253 0,2958 0,3658 0,4388 0,4388 0,4388 0,4388 0,4388 0,5062 А16 0,6808

2006 0,1216 0,2216 0,3216 0,4216 0,5216 0,5973 0,4973 0,3973 0,2973 0,1973 0,0973 А11 0,4899

2007 0,7148 0,8148 0,6792 0,5292 0,3992 0,2892 0,1992 0,1292 0,0792 0,0492 0,0143 А3 0,2015

2008 0,5390 0,6390 0,7390 0,6660 0,5360 0,4260 0,3360 0,2660 0,2160 0,1392 0,0143 А6 0,2962

2009 0,0143 0,0492 0,0792 0,1292 0,1992 0,2058 0,2058 0,2058 0,2058 0,2058 0,7148 А19 0,8951

2010 0,0064 0,1560 0,1879 0,2379 0,3079 0,3702 0,3702 0,3702 0,3702 0,3702 0,5710 А17 0,7595

2011 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,9227 А25 1,0000

2012 0,0973 0,1973 0,2973 0,3973 0,4973 0,5973 0,5216 0,4216 0,3216 0,2216 0,1216 А12 0,5101

2013 0,0253 0,1253 0,2253 0,2958 0,3658 0,4388 0,4388 0,4388 0,4388 0,4388 0,5062 А16 0,6808

Число НМ, с помощью которого в табл. 4 описываются ИД, является избыточным. На рис. 3 представлено распределение ТО НМ, в которой выделены 7 кластеров НМ, систематизированных в виде табл. 4.

0,94 0,80 0,66 0,52 0,38 0,24 0,10

Распределение ТО НМ

< <

< < < < <

Рис. 3. Кластеризация ТО НМ

Таблица 4. Кластеризация нечётких множеств по их точечным оценкам

Кластер Интервал Нечеткое множество (точечная оценка)

1 [0; 0,24] А1 (0,1804); А2(0,1915); А3 (0,2015); А4 (0,2304)

2 [0,24; 0,38] А5 (0,2776); А6 (0,2962); А7 (0,3374); А8 (0,3514); А9 (0,3631)

3 [0,38; 0,52] А10 (0,4083); А11 (0,4899); А12 (0,5101)

4 [0,52; 0,66] А13 (0,5538); А14 (0,5917); А15 (0,6074)

5 [0,66; 0,80] А16 (0,6808); А17 (0,7595)

6 [0,80; 0,94] А18 (0,8525); А19 (0,8951)

7 [0,94; 1,00] А20 (0,9547); А21 (0,9650); А22 (0,9735); А23 (0,9920); А24 (0,9991); Аи (1,0000)

Для каждого кластера построим консолидирующее НМ В■ (у = 1 ■ 7) путём объединения: (хВ (м)=шах{^4 (и)}. В частности, для 1-го кластера имеем:

„ 0,785 0,835 0,715 0,565 0,435 0,325 0,235 0,165 0,115 0,085 0,025

В =-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-

1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

В результате таких действий получен новый аналог ВР, который представлен в виде табл. 5.

Таблица 5. Нечёткая модель временного ряда_

Год ИД ПНА ТО НМ Интервал Кластер КНА Год ИД ПНА ТО НМ Интервал Кластер КНА

1984 9 А1 0,1804 [0,00; 0,24] 1 В1 1999 34 А13 0,5538 [0,52; 0,66] 4 В4

1985 31 Ац 0,4899 [0,38; 0,52] 3 В3 2000 37 А15 0,6074 [0,52; 0,66] 4 В4

1986 23 А8 0,3514 [0,24; 0,38] 2 В2 2001 56 А21 0,9650 [0,94; 1,00] 7 В7

1987 24 Ад 0,3631 [0,24; 0,38] 2 В2 2002 57 А22 0,9735 [0,94; 1,00] 7 В7

1988 36 А14 0,5917 [0,52; 0,66] 4 В4 2003 62 А24 0,9991 [0,94; 1,00] 7 В7

1989 60 А 23 0,9920 [0,94; 1,00] 7 В7 2004 21 А7 0,3374 [0,24; 0,38] 2 В2

1990 49 А18 0,8525 [0,80; 0,94] 6 В6 2005 44 А16 0,6808 [0,66; 0,80] 5 В5

1991 31 Ац 0,4899 [0,38; 0,52] 3 В3 2006 31 Ац 0,4899 [0,38; 0,52] 3 В3

1992 27 Аю 0,4083 [0,38; 0,52] 3 В3 2007 12 А3 0,2015 [0,00; 0,24] 1 В1

1993 37 А15 0,6074 [0,52; 0,66] 4 В4 2008 18 Ав 0,2962 [0,24; 0,38] 2 В2

1994 63 А25 1,0000 [0,94; 1,00] 7 В7 2009 51 А19 0,8951 [0,80; 0,94] 6 В6

1995 14 Л 0,2304 [0,00; 0,24] 1 В1 2010 46 Ли 0,7595 [0,66; 0,80] 5 В5

1996 55 Л20 0,9547 [0,94; 1,00] 7 В7 2011 63 А25 1,0000 [0,94; 1,00] 7 В7

1997 11 А2 0,1915 [0,00; 0,24] 1 В1 2012 32 Л12 0,5101 [0,38; 0,52] 3 В3

1998 17 А5 0,2776 [0,24; 0,38] 2 В2 2013 44 Л16 0,6808 [0,66; 0,80] 5 В5

ПНА - предварительный нечёткий аналог ВР, КНА - консолидированный нечёткий аналог ВР

3.2. Внутренние связи и их локализация по группам

Внутри КНА ВР имеются 23 связи 1-го порядка: В{ ^ В} (/, ] = 1 ^ 7), которые сгруппированы в табл. 6 по принципу: если нечёткое множество Вх связано, например, последовательно с В2, В3 и В7, то относительно этого множества формируется локальная группа 1-го порядка: Вх ^ В2, В3, В7. Связи 1-го порядка представляют собой нечёткие импликации. В частности, 1 -я группа таких связей В1 ^ В2, В3, В7 в нотации механизма нечёткого вывода означает: «если предикатом является Вх, тогда прогноз будет В2 или В3 или В7». Учитывая наличие в правой части этого правила логического оператора «ИЛИ», обобщающей функцией принадлежности будет Мс (и)=ц щ иВз иВ? (и)=шах{ц ^ (и),М- В} (и),ц щ (и)}. В

табл. 7 представлены обобщающие НМ, отражающие следствия в группах связей 1-го порядка.

Аналогичным образом в табл. 8 сгруппированы связи 2-го порядка между ИД, описанными с помощью Вк (к = 1 ^ 7).

Таблица 6. Группы нечётких связей 1-го порядка

№ Нечёткая связь 1-го порядка № Нечёткая связь 1-го порядка № Нечёткая связь 1-го порядка № Нечёткая связь 1-го порядка

1 В^В2, В3, В7 3 В3^ВЬ В2, В3, В4, В5 5 В5^В3, В7 7 Ву^Вь В2, В3, В6, В7

2 В2^В2, В4, В5, В6 4 В4^В4, В7 6 Вб^В3, В 5

Таблица 7. Обобщающие НМ, отражающие следствия в группах связей 1-го порядка

Обобщающее НМ Значения обобщённой функции принадлежности Объединение НМ

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

С1 0,5710 0,6710 0,7710 0,7064 0,6253 0,5973 0,5216 0,4216 0,3216 0,2216 0,9227 В2иВ3иВ7

С2 0,5710 0,6710 0,7710 0,7064 0,6064 0,5560 0,6253 0,5692 0,4692 0,4388 0,7148 В2иВ4иВ5иВ6

С3 0,7851 0,8353 0,7710 0,7064 0,6253 0,5973 0,6253 0,5692 0,4692 0,4388 0,5710 В1иВ2иВ3иВ4иВ5

С4 0,0560 0,1560 0,2560 0,3560 0,4560 0,5560 0,6253 0,5692 0,4692 0,3692 0,9227 В4иВ7

С5 0,2369 0,3369 0,4369 0,5369 0,6253 0,5973 0,5216 0,4216 0,3216 0,2216 0,9227 В3иВ7

С6 0,2369 0,3369 0,4369 0,5369 0,6253 0,5973 0,5216 0,4388 0,4388 0,4388 0,5710 В3иЙ5

С7 0,7851 0,8353 0,7710 0,7064 0,6253 0,5973 0,5216 0,4216 0,3216 0,2692 0,9227 В1иВ2иВ3иВ6иВ7

Таблица 8. Группы нечётких связей 2-го порядка

Группа Нечёткая связь Группа Нечёткая связь Группа Нечёткая связь Группа Нечёткая связь

1 В1, В2^В4, В6 7 В2, В6^В5 13 В4,В7^ВЬВ6,В7 19 В7, В2^В5

2 Вь В3^В2 8 В3, В^В2 14 В5, В3^В\ 20 В7, В3^В5

3 В\, В7^В\ 9 В3, В2^В2 15 В5, В7^В3 21 В7, В6^В3

4 В2, В2^В4 10 В3, В3^В4 16 В6, В3^В3 22 В7, В7^В2, В7

5 В2, В4^В4, В7 11 В3, В4^В7 17 В6, В5^В7

6 В2, В5^В3 12 В4, В4^В7 18 В7, В]^В2, В7

3.3. Определение нечётких прогнозов и их дефаззификация

Для определения нечётких прогнозов воспользуемся двумя базовыми моделями:

Модель № 1 [5-7]: если на текущий момент (в нашем случае на г -ый год) ИД хг

описана в виде НМ В}, которое в составе всего временного ряда образует только одну единственную связь, скажем, отношение В} ^ Вк, тогда прогнозом на следующий (г +1) -ый год будет НМ Вк. В противном случае, то есть когда имеет место группа отношений, например, Ву ^ Вк1, Вк 2,..., Вкр, именно эта связка в комплексе и будет нечётким прогнозом на (г +1) -ый год.

Модель № 2 [1, 2]: предполагает нахождение прогноза из соотношения В{ = Вм о Я, где «°» обозначает композиционное правило; Я является нечётким отношением вида

I 123 т

Я = и ,=1 Я, где Яг =В6, ЧВд определяется для всех связей ^ Вч. 3.3.1. Прогнозирование на основе Модели №1

Для нечётких связей 1-го и 2-го порядков выходы Модели № 1 представлены в табл. 9. Таблица 9. Выходы 1-ой модели при наличии связей 1-го и 2-го порядков

Для связей 1 -го порядка

Год ИД Прогноз в масштабе [0;1] Группа нечётких отношений Точечные оценки нечётких выходов

1984 9 В^В2, В3, В7 0,3087; 0,4526; 0,9596

1985 31 0,5462 Вэ^ВЬ В2, В3, В4, В5 0,2127; 0,3087; 0,4526; 0,5873; 0,7143

1986 23 0,3783 В2^В2, В4, В5, В6 0,3087; 0,5873; 0,7143; 0,8628

1987 24 0,4566 В2^В2, В4, В5, В6 0,3087; 0,5873; 0,7143; 0,8628

1988 36 0,4566 В4^В4, В7 0,5873; 0,9596

1989 60 0,7562 В7^ВЬ В2, В3, В6, В7 0,2127; 0,3087; 0,4526; 0,8628; 0,9596

1990 49 0,4803 В6^ВЪ, В5 0,4526; 0,7143

1991 31 0,5343 Вэ^Вь В2, В3, В4, В5 0,2127; 0,3087; 0,4526; 0,5873; 0,7143

1992 27 0,3783 Вэ^Вь В2, В3, В4, В5 0,2127; 0,3087; 0,4526; 0,5873; 0,7143

1993 37 0,3783 В4^В4, В7 0,5873; 0,9596

1994 63 0,7562 В7^Ви В2, В3, В6, В7 0,2127; 0,3087; 0,4526; 0,8628; 0,9596

1995 14 0,4803 В^Вг, В3, В7 0,3087; 0,4526; 0,9596

1996 55 0,5462 В7^ВЬ В2, В3, В6, В7 0,2127; 0,3087; 0,4526; 0,8628; 0,9596

1997 11 0,4803 В^Вг, В3, В7 0,3087; 0,4526; 0,9596

1998 17 0,5462 В2^В2, В4, В5, В6 0,3087; 0,5873; 0,7143; 0,8628

1999 34 0,4566 В4^В4, В7 0,5873; 0,9596

2000 37 0,7562 В4, В7 0,5873; 0,9596

2001 56 0,7562 В7^В1, В2, В3, В6, В7 0,2127; 0,3087; 0,4526; 0,8628; 0,9596

2002 57 0,4803 В7^Ви В2, В3, В6, В7 0,2127; 0,3087; 0,4526; 0,8628; 0,9596

2003 62 0,4803 В7^Ви В2, В3, В6, В7 0,2127; 0,3087; 0,4526; 0,8628; 0,9596

2004 21 0,4803 В2^В2, В4, В5, В6 0,3087; 0,5873; 0,7143; 0,8628

2005 44 0,4566 В^^В^, В7 0,4526; 0,9596

2006 31 0,6849 Вэ^Вь В2, В3, В4, В5 0,2127; 0,3087; 0,4526; 0,5873; 0,7143

2007 12 0,3783 Bl^B2, B3, B7 0,3087; 0,4526; 0,9596

2008 18 0,5462 B2^B2, B4, B5, B6 0,3087; 0,5873; 0,7143; 0,8628

2009 51 0,4566 Е6^Еэ, B5 0,4526; 0,7143

2010 46 0,5343 B5^B3, B7 0,4526; 0,9596

2011 63 0,6849 B7^Bb B2, B3, B6, B7 0,2127; 0,3087; 0,4526; 0,8628; 0,9596

2012 32 0,4803 B3^Bb B2, B3, B4, B5 0,2127; 0,3087; 0,4526; 0,5873; 0,7143

2013 44 0,3783 B5^B3, B7 0,4526; 0,9596

Для связей 2-го порядка

1984 9

1985 31 B\, B3^B2 0,3087

1986 23 0,3087 B3, B2^B2 0,3087

1987 24 0,3087 B2, B^^^B4 0,5873

1988 36 0,5873 B2, B4^B4, B7 0,5873; 0,9596

1989 60 0,7562 B4, B1^B\, B6, B7 0,2127; 0,8628; 0,9596

1990 49 0,4576 B7, B6^B3 0,4526

1991 31 0,4526 B6, B3^B3 0,4526

1992 27 0,4526 B3, B3^B4 0,5873

1993 37 0,5873 B3, B4^B7 0,9596

1994 63 0,9596 B4, B^Bb Be, B7 0,2127; 0,8628; 0,9596

1995 14 0,4576 B7, B\^B2, B7 0,3087; 0,9596

1996 55 0,5288 B1, Bl^Bl 0,2127

1997 11 0,2127 B7, B]^B2, B7 0,3087; 0,9596

1998 17 0,5288 B1, B2^B4, B6 0,5873; 0,8628

1999 34 0,6853 B2, B4, B7 0,5873; 0,9596

2000 37 0,7562 B4, B4^B7 0,9596

2001 56 0,9596 B4, B^Bb Be, B7 0,2127; 0,8628; 0,9596

2002 57 0,4576 B7, B7^B2, B7 0,3087; 0,9596

2003 62 0,5288 B7, B7^B2, B7 0,3087; 0,9596

2004 21 0,5288 B7, B2^B5 0,7143

2005 44 0,7143 B2, B5^B3 0,4526

2006 31 0,4526 B5, B3^B\ 0,2127

2007 12 0,2127 B3, Bj^B2 0,3087

2008 18 0,3087 Bj, B^^^B4, B6 0,5873; 0,8628

2009 51 0,6853 B2, B6^B5 0,7143

2010 46 0,7143 B6, B5^Bl 0,9596

2011 63 0,9596 B5, B7^B3 0,4526

2012 32 0,4526 B7, B3^Bc, 0,7143

2013 44 0,7143 B3, B5^B7 0,9596

Полученные в масштабе [0; 1] ТО нечётких прогнозов отразим в номинальных значениях ИД. Для этого воспользуемся двухслойной feedforward нейронной сетью, представленной на рис. 4 в нотации MATLAB 7.11.0. За основу обучения сети выбрано множество

обучающих пар {(Л^, xk )}f=1 (табл. 10), где xk - ИД, - дефаззифицированные значения

их нечётких аналогов Лк, полученные с применением описанной выше процедуры ТО НМ

(табл. 4).

Neural Network

Hidden Layer Output Layer

Best Validation Performance is 0.34897 at epoch 17

Рис. 4. Нейронная аппроксимация функции хк = / (лке ) в нотации МЛТЬЛБ Таблица 10. Табличное представление функции хк = / (лке)

k Xk k Xk Adef k Xk Adef k Xk Adef k Xk Adef

1 9 0,1804 6 18 0,2962 11 31 0,4899 16 44 0,6808 21 56 0,9650

2 11 0,1915 7 21 0,3374 12 32 0,5101 17 46 0,7595 22 57 0,9735

3 12 0,2015 8 23 0,3514 13 34 0,5538 18 49 0,8525 23 60 0,9920

4 14 0,2304 9 24 0,3631 14 36 0,5917 19 51 0,8951 24 62 0,9991

5 17 0,2776 10 27 0,4083 15 37 0,6074 20 55 0,9547 25 63 1

После аппроксимации функции хк = / (лке) обученная нейронная сеть индуцирует

на своем выходе номинальные прогнозные значения для ВР, соответствующие дефаззифи-цированным аналогам нечётких выходов, представленных в табл. 10. Полученные таким образом прогнозы помещены в табл. 11, а сами модели ВР для случая связей 1-го и 2-го порядков соответственно показаны на рис. 5 на фоне исходного ВР.

Таблица 11. Прогнозирование временного ряда с учётом связей 1 -го и 2-го порядков

Д ,ля связей 1-го порядка

Год ИД Прогноз Год ИД Прогноз Год ИД Прогноз

1984 9 - 1994 63 46,0706 2004 21 30,9644

1985 31 33,2953 1995 14 30,9644 2005 44 29,9126

1986 23 24,7750 1996 55 33,2953 2006 31 44,0833

1987 24 29,9126 1997 11 30,9644 2007 12 24,7750

1988 36 29,9126 1998 17 33,2953 2008 18 33,2953

1989 60 46,0706 1999 34 29,9126 2009 51 29,9126

1990 49 30,9644 2000 37 46,0706 2010 46 32,8618

1991 31 32,8618 2001 56 46,0706 2011 63 44,0833

1992 27 24,7750 2002 57 30,9644 2012 32 30,9644

1993 37 24,7750 2003 62 30,9644 2013 44 24,7750

Д ,ля связей 2-го порядка

1984 9 - 1994 63 55,4142 2004 21 32,6734

1985 31 - 1995 14 29,9613 2005 44 45,1902

1986 23 19,0082 1996 55 32,6734 2006 31 29,7134

1987 24 19,0082 1997 11 12,9219 2007 12 12,9219

1988 36 35,4722 1998 17 32,6734 2008 18 19,0082

1989 60 46,0706 1999 34 44,1036 2009 51 44,1036

1990 49 29,9613 2000 37 46,0706 2010 46 45,1902

1991 31 29,7134 2001 56 55,4142 2011 63 55,4142

1992 27 29,7134 2002 57 29,9613 2012 32 29,7134

1993 37 35,4722 2003 62 32,6734 2013 44 45,1902

60 50 40 30 20 10 0

^СООГМ^^СООГМ^^СООГ^ СОСООЧОЧОЧОЧОЧОООООиНтН

О! Л О! О! О! Л О! ооооооо 11111112222222

-Временной ряд

-Модель 1 при наличии связей 1-го порядка

2222222

■ Временной ряд

■ Модель 1 при наличии связей 2-го порядка

Рис. 5. Модели временного ряда при наличии связей 1-го и 2-го порядков

Моделирование ВР по указанной схеме не ограничивается только случаями внутренних связей 1-го и 2-го порядков. Как правило, расчёты продолжают делать и для случаев внутренних связей более старших порядков. Поэтому, опираясь на нечеткий аналог ВР (табл. 5), продолжим применение Модели 1 для внутренних связей 3-го порядка (табл. 12).

Таблица 12. Группы нечётких связей 3-го порядка

Группа Нечёткая связь Группа Нечёткая связь Группа Нечёткая связь

3-го порядка 3-го порядка 3-го порядка

1 Б\, Б3, Б2^Б2 10 Б4, Б7, 19 Б7, Б7, Б2^Б5

2 Б3, Бг, Б2^Б4 11 Б7, Б], Б7^Б\ 20 Б7, Б2, Б5^Б3

3 Б2, Б2, Б^Б7 12 Б\, Б7, Б^Б2 21 Б2, Б5, Б3^Бг

4 Б2, Б4, Б7^Б6 13 Б7, Б1, Б^^Б^ 22 Б5, Б3, Б\^Б2

5 Б4, Б7, Б6^Бэ 14 Б1, Б2, Б^^Б^ 23 Б3, Б1, Б2^Б6

6 Б7, Б6, Бэ^Бэ 15 Б2, Б4, Бд^Б-; 24 Б1, Б2, Б6^Б5

7 Б6, Б3, Б3^Б4 16 Б4, Б4, Бу^Бу 25 Б2, Б6, Б5^Б7

8 Б3, Б3, Б^^Б-/ 17 Б4, Б7, Бу^Бу 26 Б6, Б5, Бу^Б3

9 Б3, Б4, Б7^Б\ 18 Б7, Б7, Б7^Б2 27 Б5, Б7, Б3^Б5

Отправляясь от выявленных связей 3-го порядка, получим прогнозы данных временного ряда в терминах точечных оценок в масштабе [0; 1]. Далее, применяя обученную нейронную сеть, получим окончательные прогнозы ИД, которые представлены в табл. 13.

Таблица 13. Прогнозирование временного ряда с учётом связей 3-го порядка

Год ИД Данная в терминах ТО НМ Прогноз в номинальных значениях Прогноз в терминах ТО НМ Год ИД Данная в терминах ТО НМ Прогноз в номинальных значениях Прогноз в терминах ТО НМ

1984 9 0,1804 - - 1999 34 0,5538 35,5085 0,5873

1985 31 0,4899 - - 2000 37 0,6074 35,5085 0,5873

1986 23 0,3514 - - 2001 56 0,9650 55,5191 0,9596

1987 24 0,3631 19,2116 0,3087 2002 57 0,9735 55,5191 0,9596

1988 36 0,5917 35,5085 0,5873 2003 62 0,9991 55,5191 0,9596

1989 60 0,9920 55,5191 0,9596 2004 21 0,3374 19,2116 0,3087

1990 49 0,8525 49,5741 0,8628 2005 44 0,6808 52,2968 0,7144

1991 31 0,4899 27,7482 0,4526 2006 31 0,4899 27,7482 0,4526

1992 27 0,4083 27,7482 0,4526 2007 12 0,2015 12,6027 0,2127

1993 37 0,6074 35,5085 0,5873 2008 18 0,2962 19,2116 0,3087

1994 63 1,0000 55,5191 0,9596 2009 51 0,8951 49,5741 0,8628

1995 14 0,2304 12,6027 0,2127 2010 46 0,7595 52,2968 0,7144

1996 55 0,9547 55,5191 0,9596 2011 63 1,0000 55,5191 0,9596

1997 11 0,1915 12,6027 0,2127 2012 32 0,5101 27,7482 0,4526

1998 17 0,2776 19,2116 0,3087 2013 44 0,6808 52,2968 0,7144

Графическая интерпретация прогностической модели представлена на рис. 6, где видно, что в терминах ТО НМ она гораздо лучше описывает рассматриваемый ВР, чем в

терминах номинальных данных. Это незначительное расхождение связано с «издержками» нейронной аппроксимации функции xk = f (Adf). Поэтому на данном этапе моделирования ВР есть возможность существенно улучшить степень адекватности модели за счёт структурной и параметрической оптимизации feedforward нейронной сети.

100 Прогнозирование в терминах номинальных данных 0 i t i I i i i I lili 1 1 1 1 l ! 1 ^Г(ООООСЧ^Г(ООООСЧ^Г(ООООСЧ ООООООФФФФФОООООТ-Т- ooooooooooooooo т-т-т-т-т-т-т-т-СЧСЧСЧСЧСЧСЧСЧ Временной ряд Модель 1 при наличии связей 3-го порядка 1,0 м n n i I 1 Г Ipon 1 I 1 цю вание в т 1/ ■ 1 минах ТО НМ V V

^Г(ООООСЧ^Г(ООООСЧ^Г(ООООСЧ оооооофффффооооот-Т- ооооооооооооооо т-т-т-т-т-т-т-т-СЧСЧСЧСЧСЧСЧСЧ Временной ряд Модель 1 при наличии связей 3-го порядка

Рис. 6. Модели ВР при наличии связей 3-го порядка в терминах номинальных данных и ТО НМ 3.3.2. Прогнозирование на основе Модели №2

Модель № 2 часто именуют моделью Сонга-Чиссома (Q. Song and B. Chissom), основанной на выполнении следующего соотношения [1-3]: At = At—1 °R, где At—1 обозначает нечёткий

аналог значения ИД на текущий (t — l) -ый год; At является прогнозируемым нечётким аналогом на следующий t -ый год; «°» обозначает композиционное правило; R является инвариантным по времени нечётким отношением, которое представляет собой объединение R = иRk (k = 1 ■ 23), в котором Rk = BT хBj определяется для всех связей 1-го порядка

вида Bi ^ Bj (i, j = 1 ■ 7), представленных в табл. 6. Здесь следует отметить, что данную модель мы применили к связям 1-го порядка между нечёткими аналогами ИД Ai (табл. 4,

табл. 14). Однако полученная модель ВР оказалась просто усредняющей (рис. 7) и, соответственно, не может претендовать на необходимую степень адекватности.

Таблица 14. Связи 1-го порядка

Á1^Á11 Л9^Л14 Л^Лц Л15^Л25 Л20^Л2 Л13^Л15 Л 22 ^^Л 24 Л16^ЛП Л6^Л19 Л25^Л12

ÁU^Á8 ^14^23 Лц^Лю Л25^Л4 Л^Л5 Л15^Л21 Л24^Л7 Лц^Л3 Л117 Л12^Л16

Á8^Á9 Л23^Л18 Лю^Л15 Л4^Л20 Л5^Л13 Л21^Л22 Л7^Л16 Л3^Л6 Л17^Л25

к с

Прогнозирование на í ном отрезке

■Временной ряд

Модель 2

60 50 „ 40 Я 30 £ 20 S 10 0

Прогнозирование в номинальных значениях

■Временной ряд

■Модель 2

0

Рис. 7. Модель временного ряда для связей Ах ^ Ад q = 1 ■ 25)

Итак, за основу выберем ранее выявленные связи 1-го порядка (табл. 8) между нечёткими критериями оценки Вг (г = 1 ■ 7). По сути каждая такая связь Як (к = 1 ■ 23) является нечётким отношением и реализуется посредством импликации вида «Если ..., тогда...», то есть с помощью следующей процедуры: «если Вг и В- (г, у = 1 ■ 7) нечёткие множества, построенные по опорным т -мерным векторам, логически связаны друг с другом в виде В{ ^ В:, тогда нечёткое отношение Як, порожденное этой связью, определяет-

ся в виде матрицы Як = Бт х Б] размерности тхт». Для реализации отношений Як (к = 1 + 23) применим импликацию Мамдани, согласно которой в нашем случае для каждых /, ] = 1 ^ 7 и 11-мерного опорного вектора (0; 0,1; ..., 1) будут иметь место соответ-

ствующие матрицы вида

С

|тт{Бг, Б.}. В результате их объединения получено иско-

мое инвариантное отношение:

к=

0,5710 0,6710 0,7710 0,7064 0,6253 0,5973 0,5710 0,5692 0,4692 0,4388 0,7851

0,5710 0,6710 0,7710 0,7064 0,6253 0,5973 0,6253 0,5692 0,4692 0,4388 0,8353

0,5710 0,6710 0,7710 0,7064 0,6253 0,5973 0,6253 0,5692 0,4692 0,4388 0,7154

0,5710 0,6710 0,7064 0,7064 0,6064 0,5654 0,6253 0,5692 0,4692 0,4388 0,7064

0,6253 0,6253 0,6253 0,6253 0,6253 0,5973 0,6253 0,5692 0,4692 0,4388 0,6064

0,5973 0,5973 0,5973 0,5973 0,5973 0,5973 0,5973 0,5692 0,4692 0,4388 0,5710

0,5216 0,5216 0,5216 0,5369 0,6143 0,5973 0,6253 0,5692 0,4692 0,4388 0,6253

0,4216 0,4216 0,4369 0,5369 0,5692 0,5692 0,5692 0,5692 0,4692 0,4216 0,5692

0,3216 0,3369 0,4369 0,4692 0,4692 0,4692 0,4692 0,4692 0,4692 0,3692 0,4692

0,2369 0,3369 0,4369 0,4388 0,4388 0,4388 0,4388 0,4216 0,3692 0,3692 0,4388

0,7851 0,8353 0,7710 0,7064 0,6253 0,5973 0,5216 0,4388 0,4388 0,4388 0,9227

После применения итерационного соотношения Модели 2 были получены прогнозы в масштабе [0; 1]. Применив к ним построенную нейронную сеть (рис. 4), в итоге были получены номинальные значения прогнозов для представленных ВР (табл. 15, рис. 8).

Таблица 15. Прогнозирование ВР на основе Модели 2

Год ИД Прогноз Год ИД Прогноз

Номинал ТО НМ Номинал ТО НМ Номинал ТО НМ Номинал ТО НМ

1984 9 0,1804 1999 34 0,5538 26,9616 0,4573

1985 31 0,4899 32,1784 0,5147 2000 37 0,6074 31,0823 0,4909

1986 23 0,3514 29,3244 0,4758 2001 56 0,9650 32,0398 0,5112

1987 24 0,3631 28,7971 0,4723 2002 57 0,9735 26,2677 0,4387

1988 36 0,5917 29,3541 0,4760 2003 62 0,9991 26,3532 0,4450

1989 60 0,9920 32,2037 0,5153 2004 21 0,3374 30,7724 0,4873

1990 49 0,8525 29,0993 0,4734 2005 44 0,6808 28,8877 0,4729

1991 31 0,4899 26,6546 0,4528 2006 31 0,4899 30,5369 0,4850

1992 27 0,4083 29,3244 0,4758 2007 12 0,2015 29,3244 0,4758

1993 37 0,6074 28,6917 0,4716 2008 18 0,2962 32,1374 0,5137

1994 63 1,0000 32,0398 0,5112 2009 51 0,8951 28,2223 0,4684

1995 14 0,2304 31,2395 0,4931 2010 46 0,7595 26,3098 0,4428

1996 55 0,9547 30,4929 0,4846 2011 63 1,0000 28,6467 0,4713

1997 11 0,1915 26,2647 0,4360 2012 32 0,5101 31,2395 0,4931

1998 17 0,2776 32,7305 0,5257 2013 44 0,6808 29,3244 0,4758

Прогнозирование в масштабе [0; 1] Прогнозирование в номинальных значениях

Рис. 8. Прогнозирование временного ряда на основе Модели 2

4. Сравнение результатов прогнозирования

Для оценки степени адекватности предлагаемых моделей ВР и для проведения сравнительного анализа предлагаемых подходов к прогнозированию слабоструктурированных временных рядов, как правило, пользуются статистическими критериями оценки, а именно: средней абсолютной ошибкой, (MAPE - Mean Absolute Percentage Error):

1 " \ forecastj - actual\

MAPE=—V-----4100%; среднеквадратичным отклонением (MSE - Mean

n actualj

1 n 2

Squared Error) MSE=—V (forecastj - actualj) . Тем не менее, с учётом нашего подхода, свя-

n j=1

занного с разложением ИД на ПБС (рис. 1), воспользуемся расстоянием (или метрикой) Хэмминга [11, 12]. Как известно, Р. Хэммингом была сформулирована метрика для установления меры различия между кодовыми комбинациями (двоичными векторами) в векторном пространстве кодовых последовательностей. Для нашего случая расстоянием Хэмминга будет число позиций, в которых битовые строки х [qk ] и m [qk ](k = 0 + 5) характеризующие ПБС исторических данных временного ряда х [t] и соответственных значений прогностической модели m[t ], различны.

В [13] был рассмотрен позиционно-широтно-импульсный метод распознавания циклических сигналов, в котором оценка близости распознаваемого сигнала к эталонному производится путем вычисления числовых параметров близости по их позиционно-бинарному покрытию. В терминах метрики Хэмминга, адаптируя данный подход для

n

нашего случая, имеем EH = V d(x[qk ], m[qk ])42k , где d(x[qk ], m[qk ]) - расстояние Хэм-

k=0

минга между бинарными составляющими ИД ВР x[t ] и значениями прогностической модели m[t] на qk -ой позиции; 2k - вес, присваиваемый qk -ой позиции при вычислении консолидированной разницы.

Таким образом, в дополнение к критериям оценки MAPE и MSE для оценки предлагаемого в данной статье метода нечеткого моделирования слабоструктурированного ВР воспользуемся критерием Хемминга Ен. Сравнительный анализ полученных результатов прогнозирования помещен в табл. 16.

Таблица 16. Сравнительный анализ полученных результатов

Критерий оценки Модель Чена Предлагаемая модель-аналог Модель Сонга-Чиссо-ма Предлагаемая модель-аналог

1-го порядка 2-го порядка 3-го порядка 1-го порядка 2-го порядка 3-го порядка

MAPE (%) 51,94 13,05 8,7 42,72 23,55 8,52 72,47 45,65

MSE 229,48 19,39 8,37 221,71 132,09 16,32 548,41 334,76

Ен 839 637 670 997 471 257 1106 1011

5. Выводы

С увеличением порядка внутренних связей качество моделирования заметно улучшается. Но до определенного порядка. Эта тенденция хорошо просматривается из результатов прогнозирования как с использованием уже известных моделей (например, как в случае модели Чена), так и с применением предлагаемой нами модели. Конечно, можно было бы продолжить наши расчёты, однако даже на примере внутренних связей до 3-го порядка видно, что статистические качества предлагаемой прогностической модели не хуже, а с точки

зрения введенного критерия оценки на базе метрики Хэмминга заметно лучше. Как нам кажется, введенный нами критерий оценки качества прогнозирования более адекватно оценивает степень адекватности прогностической модели. Собственно, это заметно невооруженным взглядом из табл. 16. Более того, представленные в табл. 16 оценки модели Сонга-Чиссома и построенной на ее базисе нашей модели показали существенную предпочтительность последней по всем критериям оценки.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Song Q. Forecasting enrollments with fuzzy time series - P. I / Q. Song, B.S. Chissom // Fuzzy Sets and Systems. - 1993. - N 54. - P. 1 - 9.

2. Song Q. Fuzzy time series and its models / Q. Song, B.S. Chissom // Fuzzy Sets and Systems. - 1993. -N 54. - P. 269 - 277.

3. Song Q. Forecasting enrollments with fuzzy time series - P. II / Q. Song, B.S. Chissom // Fuzzy Sets and Systems. - 1994. - N 62. - P. 1 - 8.

4. Fuzzy time series forecasting of wheat production / N. Kumar, S. Ahuja, V. Kumar [et al.] // International Journal on Computer Science and Engineering. - 2010. - Vol. 2, N 3. - P. 635 - 640.

5. Chen S.M. Forecasting enrollments based on fuzzy time series / S.M. Chen // Fuzzy Sets and Systems. -1996. - N 81. - P. 311 - 319.

6. Chen S.M. Forecasting enrollments based on high-order fuzzy time series / S.M. Chen // Cybernetics and Systems: an International Journal. - 2002. - N 33. - P. 1 - 16.

7. Cheng C.H. Entropy-based and trapezoid fuzzification fuzzy time series approaches for forecasting IT project cost / C.H. Cheng, J.R. Chang, C.A. Yen // Technological Forecasting & Social Change. - 2006. -N 73. - P. 524 - 542.

8. Poulsen J.R. Fuzzy Time Series Forecasting - Developing a new forecasting model based on high order fuzzy time series / J.R. Poulsen // AAUE: CIS 4. - 2009. - 67 p.

9. Моделирование временных рядов на основе нечёткого анализа данных / Р. Рзаев, Г. Шихалиева, М. Агамалыев [и др.] // Нечёткие системы и мягкие вычисления. - 2014. - Т. 9, № 1. - С. 39 - 86.

10. Рзаев Р.Р. Интеллектуальный анализ данных в системах поддержки принятия решений. -Verlag: LAP Lambert Academic Publishing GmbH & Co, 2013. - 130 с.

11. Aliev T.A. Robust Technology with Analysis of Interference in Signal Processing / Aliev T.A. -Kluwer Academic: Plenum publisher, New York, 2003. - 199 р.

12. Hamming R. W. Error-detecting and error-correcting codes / R.W. Hamming // Bell System Technical Journal. - 1950. - Vol. 2, N 29. - P. 147 - 160.

13. Блейхут Р. Теория и практика кодов, контролирующих ошибки / Блейхут Р. - М.: Мир, 1986. -576 с.

14. Nusratov O.G. Increase the Validity of Positional-Binary Recognition of Cyclic Signals by Fuzzy Conclusion Method / O.G. Nusratov, R.R. Rzayev // International Journal of Intelligent Information Processing. - 2013. - Vol. 3, N 4. - P. 8 - 17.

Стаття над1йшла до редакцп 24.05.2016