Моделирование влияния формы кровеносного капилляра на фильтрационно-реабсорбционные процессы Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 531/534:57+612.7

МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ ФОРМЫ КРОВЕНОСНОГО КАПИЛЛЯРА НА ФИЛЬТРАЦИОННО-РЕАБСОРБЦИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ

Н.С. Шабрыкина*, Н.Н. Висталин**, А.Г. Глачаев**

* Кафедра теоретической механики Пермского государственного технического университета, Россия, 614990, Пермь, Комсомольский проспект, 29а, e-mail: sns@theormech.pstu.ac.ru

** Муниципальное образовательное учреждение “Лицей № 1”, Россия, 614013, Пермь, ул. Поздеева, 11

Аннотация. В данной работе представлен ряд усовершенствований известной модели фильтрационно-реабсорбционных процессов в кровеносном капилляре, позволяющих учитывать геометрию и особенности строения реального капилляра. Рассмотрены случаи капилляра с переменным радиусом пор в его стенке, конического капилляра и капилляра с локальным сужением стенок.

Ключевые слова: фильтрационно-реабсорбционные процессы, форма

кровеносного капилляра, математическое моделирование.

Введение

Обмен веществ между кровью и клетками ткани происходит на уровне микроциркуляторного русла, где жидкость и растворенные в ней вещества, а также частично макромолекулы переходят сквозь полупроницаемую стенку кровеносного капилляра в интерстициальное пространство, где происходит обмен веществ с клетками ткани. После чего жидкость частично всасывается обратно в кровеносное русло, частично - в лимфатические капилляры.

Среди многообразных механизмов переноса жидкости и макромолекул через полупроницаемую мембрану сосудистой стенки наибольшего внимания заслуживают фильтрация (вызывается гидростатическим градиентом давлений внутри и вне сосуда), диффузия (обеспечивается концентрационным градиентом давлений) и везикулярный транспорт (поддерживается физиологической активностью клеточных структур) [7, 8]. Последний механизм в данной работе не рассматривается.

Первым исследователем, предположившим, что переход жидкости из крови в межклеточное пространство обусловлен не только фильтрацией, но и диффузией, был Э. Старлинг [5]. Согласно его гипотезе объемная скорость движения жидкости через капиллярную стенку 3 определяется соотношением гидростатического и коллоидноосмотического давления в капилляре и межклеточной жидкости:

3 = С[(ргк _ ргт )~(рок ~ рот)], 0)

где РГК - гидростатическое давление в капилляре, РГТ - гидростатическое давление в тканевой жидкости, РОТ - онкотическое давление тканевой жидкости, РОК -онкотическое давление плазмы в капилляре, С - коэффициент гидравлической

© Н.С. Шабрыкина, Н.Н. Висталин, А.Г. Глачаев, 2004

Рис. 1. Схема типичного капилляра, иллюстрирующая фильтрационно-реабсорбционную

гипотезу Старлинга [5]

проницаемости капиллярной стенки. Данное уравнение носит название закона Старлинга. Когда величина У положительна, происходит фильтрация жидкости из капилляра, когда отрицательна - жидкость переходит из межклеточного пространства в капилляры - происходит реабсорбция.

По предположению Старлинга в межклеточном пространстве гидростатическое давление РГТ и онкотическое давление РОТ одинаковы. Поэтому он считал, что на

артериальном конце капилляра, где велико гидростатическое давление, происходит фильтрация жидкости из сосуда, а на венозном - гидростатическое давление падает и в результате происходит реабсорбция (рис. 1). В некоторой точке капилляра отсутствует как фильтрация, так и реабсорбция, поскольку здесь давления, вызывающие фильтрацию и реабсорбцию, равны. Кроме того, Старлинг полагал, что в нормальных условиях фильтрация жидкости несколько превышает ее реабсорбцию, так что часть жидкости остается в межклеточном пространстве, откуда впоследствии поступает в лимфатическую систему.

Следует отметить, что гипотеза Старлинга была подтверждена экспериментами [4, 5] и до сих пор является основой представлений о транскапиллярном обмене веществ.

Математическая модель фильтрационно-реабсорбционных процессов в

кровеносном капилляре

Рассмотрим математическую модель процессов, происходящих в микроциркуляторном русле. Данные процессы можно разделить на три этапа: движение жидкости в кровеносном капилляре параллельно с ее фильтрацией и реабсорбцией в межклеточное пространство; движение жидкости в межклеточном пространстве; абсорбция и движение в лимфатическом капилляре [8].

Будем рассматривать течение плазмы крови, которую можно считать ньютоновской (линейно-вязкой) жидкостью. Влияние форменных элементов крови (эритроцитов, лимфоцитов и т.д.) не учитывается. Течение считается ламинарным и стационарным. Кровеносный капилляр моделируется жесткой трубкой с порами в стенке.

Рис. 2. Модель кровеносного капилляра: г - радиус поры в стенке капилляра, Я - радиус капилляра, Ь - его длина, I - толщина стенки, Ра - давление на артериальном конце, Ру -на венозном, Q(x) - объемная скорость течения жидкости вдоль капилляра, q(х) -объемная скорость течения жидкости через все поры на поверхности капилляра единичной

длины [6]

Проанализируем течение жидкости в кровеносном капилляре. Рассмотрим два одновременно протекающих процесса: движение жидкости вдоль капилляра и поперек через поры в его стенке (рис. 2). Для описания течения вдоль капилляра используется закон Пуазейля, для описания движения жидкости через поры в стенке капилляра -закон Старлинга. Такой подход описан в работе [6].

Перейдем к построению модели. Объемная скорость течения воды через поры равна уменьшению объемной скорости ее течения по капилляру на длине йх:

dQ(х) = -q (х)йх. (2)

По закону Пуазейля для "продольного" течения по капилляру

«х) = - ± йрх). (3)

Ж ах

Величина Р(х) = РГК (х) - РГТ - результирующее гидростатическое давление (разность между гидростатическим давлением в капилляре и ткани). При этом

считается, что гидростатическое давление в ткани неизменно. Удельное

гидравлическое сопротивление капилляра единичной длины имеет вид:

Б'л

V

пЯ 4

где ^ - коэффициент вязкости жидкости.

Для «поперечного» течения через поры в стенке капилляра применим закон Старлинга:

д (X) = Р(Х^Р, (4)

где результирующее онкотическое давление Р0 = РОК - РОТ считается постоянным. Величина

8^/ 4^/

w:

пг 4 N 2пЯ п2 г 4Ж

представляет собой гидравлическое сопротивление всех пор на поверхности капилляра

единичной длины. Обозначая X = л— и подставляя (3) и (4) в (2), получим

V Ж

дифференциальное уравнение второго порядка:

а2 р(х) Р(х) р

О

йх2 X2 X2

Решение данного уравнения имеет вид:

Рис. 3. Схематическое изображение конического капилляра с локальным сужением

(7)

Р(х) = Ае х + Ве х + Р0 . (6)

Коэффициенты А и В определяются из граничных условий на величины гидростатического давления на артериальном (х = 0) и венозном (х = Ь) концах капилляра:

Р(0) = Ра, Р( Ь) = ру .

Описанная выше модель хорошо известна и применяется в учебной литературе для качественного описания обменных процессов, происходящих в идеализированном кровеносном капилляре. Далее рассмотрим несколько усовершенствований данной модели, позволяющих учесть некоторые особенности реальных капилляров.

Реальные капилляры часто имеют вид конических трубочек, обычно расширяющихся к венозному концу [7, 8]. Радиус пор также непостоянен и увеличивается к венозному концу капилляра [7, 8].

Первым усовершенствованием модели является учет изменяющегося радиуса пор в стенке капилляра. Был рассмотрен случай линейного изменения радиуса пор. В этом случае радиус зависит от продольной координаты по формуле:

/ ч (Гу - га)х

г (х) = у а + Га

(8)

где га и гу - радиус пор на артериальном и венозном концах капилляра,

соответственно. В этом случае коэффициенты w и Я будут зависеть от х, и уравнение (5) не будет иметь очевидного аналитического решения. Поэтому в этом и последующих случаях решение граничной задачи осуществлялось численно с помощью метода отложенных поправок [2].

Рассмотрим теперь случай конического капилляра (рис. 3). Радиус капилляра считается линейно зависящим от х :

Я( х) = Яа +

(9)

где Яа и - радиусы капилляра на артериальном и венозном концах. В этом случае

гидравлическое сопротивление капилляра Ж также будет зависеть от продольной координаты х .

Для капилляра с измененной геометрией объемная скорость течения жидкости через поры в его стенке направлена по нормали к стенке в данной точке и считается пропорциональной разности результирующих давлений в капилляре и ткани в этом направлении. Таким образом, и для капилляра с сужением считается справедливым уравнение (4).

Еще один интересный случай - локальные изменения радиуса капилляра, например, отложения на стенках капилляра (рис. 3). Зависимость радиуса от продольной координаты задавалась в следующем виде:

х

х

х

R _ R 2

Я(х) = Яа + ^ а х _ аеЬх+сх , (10)

где а = _АЯ • е2Ах , Ь = —т. и с =--------. Здесь АЯ - максимальная величина

Ах2 2Ах2

сужения, хт - координата центра сужения (точка максимального сужения), Ах -

2

расстояние от точки перегиба функции у = ае х+сх до центра сужения - характеризует протяженность сужения (рис. 3).

Результаты

На рис. 4 представлены зависимости от координаты х давления (а) и объемной скорости продольного (б) течения, полученные с помощью описанной модели для цилиндрического капилляра с постоянным радиусом пор. Для небольшого радиуса пор графики давления показывают хорошее соответствие с результатами, предсказанными Старлингом, и экспериментальными данными [3, 4]. При больших радиусах пор проявляется нелинейность изменения гемодинамических параметров вдоль капилляра.

При увеличении радиуса пор область равновесия становится более протяженной. Тот же эффект получается при увеличении количества пор в стенке капилляра.

На рис. 5 представлено изменение распределения давления при повышении артериального или венозного давления. Видно, что эти изменения приводят к нарушению равновесия: фильтрация преобладает над реабсорбцией и в ткани остается избыточная жидкость. Тот же эффект достигается при уменьшении результирующего онкотического давления. Данные результаты согласуются с экспериментальными данными [3, 4]. Избыточная жидкость, остающаяся в ткани при превышении фильтрации над реабсорбцией, поступает в лимфатический капилляр.

Ситуация, когда реабсорбция преобладает над фильтрацией, возникает либо при уменьшении артериального или венозного давления, либо при увеличении результирующего онкотического давления.

На рис. 6 представлен профиль давления при линейно увеличивающемся радиусе пор в стенке капилляра. Видно, что он совмещает в себе черты графиков для малого (ближе к артериальному концу) и большого (ближе к венозному концу) радиуса пор. Сначала давление понижается почти линейно, но на этапе реабсорбции линейный характер распределения нарушается. Кроме того, фильтрация будет превышать реабсорбцию тем больше, чем сильнее увеличивается радиус пор в стенке капилляра.

Профили давления для конического капилляра показаны на рис. 7. В этом случае даже для небольшого радиуса пор наблюдается нелинейное распределение давления по длине капилляра. Расширение капилляра к венозному концу приводит к более быстрому падению давления в капилляре и, как следствие, к увеличению участка реабсорбции. При этом преобладание реабсорбции над фильтрацией увеличивается с увеличением угла раствора а.

Рис. 8 показывает распределение давления для конического капилляра с увеличивающимся радиусом пор. Видно, что увеличивающийся радиус пор несколько компенсирует преобладание реабсорбции, вызванное увеличением радиуса капилляра.

Р, мм рт. ст.

а б

Рис. 4. Распределение гемодинамических величин вдоль кровеносного капилляра для различных радиусов пор: г = 20 нм (сплошная линия), г = 100 нм (пунктирная линия), г = 200 нм (штрих-пунктирная линия). Расчетные данные: Ра = 30 мм рт.ст., Ру = 10 мм

рт.ст., Р0 = 20 мм рт.ст., Я = 3,5 мкм, I = 0,9 мкм, ^ = 0,001 Пас, N = 1,5 -1012 1/м2 [6, 7]

0 100 200 300 400 500 600 х, мкм

Рис. 5. Влияние повышения венозного давления Ру = 15 мм рт.ст. (2) и артериального давления Ра = 35 мм рт.ст. (3) на распределение гемодинамических величин вдоль кровеносного капилляра для различных радиусов пор: г = 20 нм (сплошная линия), г = 200 нм (штрих-пунктирная линия). 1 - распределение в норме: Ра = 30 мм рт.ст., Ру = 10 мм

рт.ст., Р0 = 20 мм рт.ст.

Рис. 6. Влияние линейного увеличения радиуса пор в капилляре: ra = 50 нм, rv = 150 нм (сплошная линия), r = const = 50 нм (пунктирная линия)

Рис. 7. Распределение давления в коническом капилляре с различным углом раствора: Яа = 3,5 мкм, Яу = 3,5 мкм (1), Яу = 5 мкм (2), Яу = 7 мкм (3), Яу = 10,5 мкм (4)

30

н

&ч

15 10

Рис. 8. Распределение давления в коническом капилляре с увеличивающимся радиусом пор:

Ra = 3,5 мкм, Rv = 10,5 мкм, ra = 50 нм, rv = 150 нм (сплошная линия); r = const = 50 нм

(пунктирная линия)

На рис. 9 представлены профили давления для конического сосуда с локальным сужением. Наличие дефекта, как и следовало ожидать, сильно изменяет характер распределения давления. Сужение капилляра приводит к увеличению давления в районе начала дефекта, вызывая как следствие усиление фильтрации. Затем, в наиболее узкой части капилляра, происходит падение давления, величина которого тем больше, чем более выражен дефект. В результате давление опускается до величины меньшей, чем давление в соответствующей точке нормального конического капилляра, что приводит к усилению реабсорбции на оставшемся участке капилляра. Таким образом, наличие сужения капилляра приводит к усилению как фильтрационных, так и реабсорбционных процессов и существенно влияет на обмен жидкости между капилляром и тканью.

Изменение профиля давления для капилляра с дефектом зависит от расположения, величины и протяженности этого дефекта (рис. 9). Чем больше величина и протяженность дефекта, тем сильнее он влияет на фильтрационно-реабсорбционные процессы в капилляре. Расположение сужения у артериального конца капилляра изменяет распределение давления практически на всей длине капилляра (рис. 9б). Если же дефект расположен у венозного конца, то на значительной части капилляра существенных изменений давления не наблюдается (рис. 9а).

а б

Рис. 9. Зависимость радиуса капилляра от координаты и распределение давления в коническом капилляре с локальным сужением стенок: (а) слабый дефект у венозного конца:

Л(х) = 3,5 + 0,583 -102 x - 0,127-10 -13 є 0>133х-0,139-1°-3 х2 мкм, АЛ = 1 мкм, xm = 480 мкм,

Ах = 60 мкм; (б) сильный дефект у артериального конца капилляра: АЛ = 3 мкм,

хт = 180 мкм, Ах = 60 мкм, Л(х) = 3,5 + 0,583-102х- 0,033е0’050х-0,139-10 х мкм

Выводы

В работе рассмотрена простейшая модель фильтрации и реабсорбции жидкости в кровеносном капилляре. Эта модель позволяет качественно оценить зависимость гидростатического давления, объемной скорости течения жидкости вдоль капилляра и сквозь поры в его стенке от продольной координаты. Представлен ряд усовершенствований известной модели, позволяющие учитывать геометрию реального кровеносного капилляра и особенности его строения. Полученные зависимости

качественно совпадают с данными экспериментальных наблюдений [3, 4] и

результатами, полученными с помощью других моделей [1].

Список литературы

1. Apelblat A., Katzir-Katchalsky A., Silberberg A. A mathematical analysis of capillary-tissue fluid exchange // Biorheology. 1974. V. 11. P. 1-49.

2. Ascher U., Petzold. L. Computer Methods for Ordinary Differential Equations and Differential-Algebraic Equations. Philadelphia: SIAM, 1998.

3. Friedman А. Microcirculation // Physiology / Ed. S.Selkurtt. Boston: Little Brown and Co. 1971. P. 259-273.

4. Landis E.M. Microinjection studies of capillary blood pressure in human skin // Heart. 1930. № 15. P. 209.

5. Starling E.H. On the absorption of fluids from the connective tissue spaces // The Journal of Physiology.

1896. V. XIX. P. 312-326.

6. Биофизика / Под ред. А.Ф. Антонова. М.: Владос, 2000.

7. Каро К., Педли Т., ШротерР., Сид У. Механика кровообращения. М.: Мир, 1981.

8. Физиология кровообращения: Физиология сосудистой системы / Под ред. Б.И. Ткаченко. Л.: Наука, 1984.

INFLUENCE OF BLOOD CAPILLARY FORM ON FILTRATION-REABSORPTION PROCESSES

N.S. Shabrykina, N.N. Vistalin, A.G. Glachaev (Perm, Russia)

Some improvements for the well-known model of filtration and reabsorption are presented in this paper. These modifications reflect the real geometry of the blood capillary. Cases of a capillary with variable pore radius, a conical capillary and a capillary with a local contraction are under consideration.

Key words: filtration and reabsorption, blood capillary form, mathematical modeling.

Получено 1 февраля 2004