Математическое моделирование микроциркуляторных процессов: нестационарная модель Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 531/534: [57+61]

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ МИКРОЦИРКУЛЯТОРНЫХ ПРОЦЕССОВ: НЕСТАЦИОНАРНАЯ МОДЕЛЬ

Н.С. Шабрыкина

Кафедра теоретической механики Пермского государственного технического университета, Россия, 614990, Пермь, Комсомольский проспект, 29, e-mail: sns@theormech.pstu.ac.ru

Аннотация. Микроциркуляторное русло является одним из ключевых звеньев сердечно-сосудистой системы человека. Любые патологические процессы, происходящие в организме человека, вызывают различные изменения кровотока и наоборот, расстройства микроциркуляции при многих заболеваниях возникают раньше и держатся дольше их клинических проявлений. Моделирование микроциркуляции позволяет лучше понять сложные взаимосвязанные процессы, обеспечивающие обмен веществ в организме, а также выявить причины возникновения патологий и предложить пути их лечения. В данной работе представлена математическая модель нестационарных обменных процессов в микроциркуляторном русле.

Ключевые слова: биомеханика кровообращения, микроциркуляторное русло, математическое моделирование, транскапиллярный обмен, нестационарное течение.

Введение

Важность микроциркуляторного русла подчеркивает тот факт, что большая часть обмена питательных веществ и продуктов распада осуществляется на уровне мельчайших сосудов. Основные количественные данные в области механики

микроциркуляторных процессов и обмена веществ были получены в течение последних 30 лет благодаря существенным инновациям методов и технологий измерения

параметров микроциркуляции и методик анализа полученных данных [6]. Но кроме эмпирических существуют и теоретические исследования, которые не только помогают интерпретировать экспериментальные данные, но и во многих случаях служат основой для количественного тестирования рабочих гипотез и проводником для разработки и проведения дальнейших экспериментов.

К настоящему времени разработано большое количество моделей,

описывающих течение крови в капиллярах, а также моделей ткани, без учета их взаимосвязи с сосудистой системой [5]. Однако суть обменных процессов в организме состоит в постоянном перераспределении веществ между кровеносным капилляром, окружающей тканью и лимфатическими капиллярами. Значит, для адекватного описания обменных процессов необходимо строить комплексные модели,

учитывающие взаимосвязь процессов, происходящих во всех частях микроциркуляторного русла.

© Шабрыкина Н.С., 2006

Поэтому была предложена [10] математическая модель, описывающая процессы обмена веществ в организме человека и животных. Особенность данной модели состоит в том, что предлагается формулировка краевой задачи, учитывающей следующие взаимосвязанные процессы: движение жидкости в кровеносном капилляре, параллельно с ее фильтрацией и реабсорбцией в межклеточное пространство; движение жидкости в межклеточном пространстве; абсорбция в лимфатический капилляр.

В работе [10] были рассмотрены случаи стационарного течения жидкости в ткани с учетом лимфатического дренажа и без него и предложен алгоритм взаимосвязанного решения задач течения жидкости в капилляре и ткани.

Но кровообращение является нестационарным процессом. Это связано как с пульсовыми колебаниями, так и с регуляцией кровообращения. Поэтому в данной работе будет рассмотрена задача нестационарного течения жидкости в ткани.

Постановка задачи

В моделях микроциркуляции обычно предполагается, что все капилляры в органе одинаковы по размеру, характеристикам течения жидкости и т.д. Поэтому можно рассматривать один представительный капилляр. Будем описывать прямой цилиндрический кровеносный капилляр (радиуса Яс и длиной Ь ) и окружающую его тканевую мантию (рис. 1). Для описания представленной области введена цилиндрическая система координат (рис. 1).

В случае нестационарного течения жидкости в ткани постановка задачи имеет

вид:

г > Я , 0 < х < Ь,

ЫР

Ы х

Ыр

Ы х

= 0,

= 0,

(1)

Г ЫР ъ\

--------+ сР

ЫГ ;

= сРЬоипё (X *X

г=ЯГ

Р=0 = Рш (г, х)

Р

' І п І Ґ ' < ГО,

где Р = Р ^, г, х) - давление жидкости в порах ткани, с12 = К (Х + 2д), X ид -константы Ляме для упругого каркаса, К - коэффициент проницаемости ткани,

с = ФЬр, ф - объемная доля жидкости в недеформированной ткани (пористость), Ьр -К

гидравлическая проницаемость капиллярной стенки.

х=0

х=Ь

Рис. 1. Модель представительного капилляра: Яс - радиус капилляра, Ь - длина капилляра, Г - радиальная координата, х - аксиальная координата

Первые два граничных условия предполагают отсутствие течения жидкости в ткани в осевом направлении при х = 0 и х = Ь. Следующее условие представляет собой гипотезу Старлинга [7], записанную в терминах давления с учетом закона Дарси [10]. Согласно этой гипотезе скорость движения жидкости через капиллярную стенку уг

определяется соотношением гидростатического и коллоидно-осмотического давления в капилляре и межклеточной жидкости:

Уг = Ьр ((Р - Р) - р).

где Р - гидростатическое давление в капилляре, Р0 - разность онкотического давления тканевой жидкости и плазмы в капилляре.

В данной постановке пока не оговаривается вид функции РЪои„с (х, г), представляющей собой давление на границе между капилляром и тканью, и функции Рш (г , х) - начального распределения давления в тканевой области. Решение данной

задачи даже для простых функций РЬошС (х, г) и Рш (г, х) представляет значительную трудность. Но процессы, происходящие в кровеносном капилляре, являются периодическими, а, значит, функцию РЪогтС (х, г) также следует искать в классе

периодических функций. В этом случае с течением времени (при г ^ да) решение задачи (1) становится периодическим - наблюдаются установившиеся колебания Р^еау (г, х, г). Поскольку именно эти установившиеся колебания, а не переходный режим, представляют интерес, будем искать именно это решение.

Решение

Установившиеся колебания давления могут быть описаны с помощью

следующей функции:

Р^ (Г, ^ ^) = Рау (Г, х) + Ратр1 (г , х) - а(г, х)) , (2)

где Ру (г, х) - среднее значение давления, около которого происходят колебания,

Ратр1 (г, х) - амплитуда колебаний, а(г, х) - сдвиг фазы колебаний относительно

2и

РЬошС (х, г), ю = ^— частота колебаний, Т - период колебаний.

Перепишем выражение (2), используя комплексные функции:

Р*ЫОу (Г, ^ г) = Рау (Г, х) + Ке(Р(Г, х)в~Ш К (3)

где P(r,x) =

Pam„!(r- Х) = Re (P(Г• X)) ■

«комплексная амплитуда».

При

этом

Подставив выражение (3) в уравнение

dP

steady

= d2АРSteady , П0ЛУЧаем:

д*

^ (г, х) = 0. (4)

И, учитывая, что из равенства комплексных чисел следует равенство их действительных частей, -/шР (г, х)в~1ш‘ = ё 2е~ш АР (г, х), получаем:

/ш

AP (r, x) н—- P (r, x) = 0. d

(5)

Аналогичные преобразования можно проделать для граничных условий

дР

steady

д х

dP steady = 0 и dP dP dP dP

= 0 Получим —— = 0, av = 0 и — = 0,—

d x x=0 x=L d x x=0 d x x=L d x x=0 d x

= 0.

Для того чтобы подставить разложение в граничное условие на границе кровеносного капилляра, следует уточнить вид функции РЬоипй (х, *). Данная функция зависит от разности давлений в кровеносном капилляре и ткани и имеет вид:

РЬоипС (^ *) = Р( X, * ) - Р0.

Поскольку кровь в кровеносный капилляр поступает периодически, давление на артериальном конце капилляра периодически меняется. При этом будем считать, что давление на венозном конце остается постоянным и в каждый момент времени распределение давления по капилляру линейное. Тогда описать изменение давления внутри кровеносного капилляра по времени и координате можно с помощью следующей функции:

ч Ра -Р„1т +cosrot n

Р(х, t) = \ v (L - x)-----------------+ P

L

2

тогда

/ 4 Pa - Р„ґт + cos rot n

Pbound (X, t) = (L - x)----------+ P - P =

L

P - P

a___v_

2L

2

P. - P

(6)

(7)

(L-x) + Pv -Po + -^(L-x)Re(e rot).

f dP -]

----------н cP

dr

Подставляя разложение Рщеау (г, х, *) в граничное условие

= сРЬоипё (х, *), получаем граничные условия для Рт (г, х) и Р(г, х) :

' _ '' Р. - Р '

r = Rr

f dP _ \

av - + cPav

K dr av r = RC

f dP

+ cP

к dr У r=

2 L P. - P.

= c-

2 L

(L - x) + Pv - Po J, (L - x) ■

(8)

(9)

Заметим, что установившееся давление не зависит от начального распределения давления Рш (г, х), поэтому условие Р| = Ріпи (г, х) можно не учитывать.

Окончательно получаем две задачи: для среднего давления Рт(г, х) и амплитуды Р(г, х) :

x=L

с

АРа, = 0, г > Я, 0 < х < Ь, дР~ = 0,

дх

дР

дх

= 0,

(10)

( дР

+ сР

дг

г=Я—

Р„, < го.

АР + 1ШР = 0, г > Я, 0 < х < Ь,

ё

дР

дх

дР

= 0,

х=0

дх

Г

= 0,

(11)

х=Ь

дР

\

-----------+ сР

дг

г=Я—

Р

< го.

Решая задачи (10) и (11) по отдельности и используя формулу (3), можно найти давление Р^ (г, x, *).

Задача (10) по нахождению среднего давления решается аналогично задаче о

Р - Р

стационарном течении жидкости в ткани [10] (если /(х) = У (Ь-х) + Р. -Ро).

2Ь

Распределение давления имеет вид:

Р. (г, х) = - Р + 2 (Ра Р)

4

к

к

•I

к(2п + 1)г ^ ( к(2п +1) х

Ь

СОБ

Ь

(12)

п=0 (2п +1)2

к(2п +1) ( к(2п + 1)Я ) ( к(2п + 1)Я

сЬ

Ь

+ к

Ь

))

Учитывая, что величина — >> 1, нетрудно заметить, что

сЬ

к(2п +1) ( к(2п + 1)Я ^ (к(2п + 1)Я ^

к I ----------— |>> к I------------— I. В этом случае формулу (12) можно

сЬ

упростить:

Ь

Ь

Ь

„ ( к(2п + 1)г ^ ( к(2п +1)х

Р (г, х) = Р+ЗР - Р + 2 (Ра - Р.) сЬ А К1"*

4 о К п=0 (2п +1)3 к1 |к(2п +1) я

х=0

х=Ь

Перейдем к решению задачи (11). Давление Р (г, х) будем искать в виде:

кпх

Р(г, х) = 2 Рп (г)С08_

п=0

Ь

(14)

ІШ

Подставив это разложение в уравнение АР3 +—- Р = 0, получаем:

ё

гР"+ Р' + к гР = 0 .

п п п п

2 2

, ІШ К п

где кп =-^—

ё2 Ь2

Р - Р

Для отыскания граничного условия на Рп разложим функцию с—-------- (Ь - х) по

2Ь

собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля [9]. Разложение имеет вид:

С^(Ь — х) = с(Р, — Р.)cos ™

2 Ь

Ь

—, п = 0, 4

1—(—1)п

2 2 К п

п > 0.

Подставляя выражение (14) в граничное условие (9), получаем:

(—Р’ + сР-) „» = с(Р‘ — Р)•

—, п = 0, 4

— — (——Г

2 2 К п

> 0.

Тогда для Рп (г) имеем следующую задачу: гР" + Р' + кгР„ = 0, г > Я„

(—Р' + СР- )| „к = С (Р. — Р )•

—, п = 0, 4

——(——Г

2 2 К2 2

(15)

п > 0,

Р_

< да.

Решение данной задачи известно в математической физике [9] и имеет вид:

Р5п(г)=ан г (7^)+вн02) ^Тк>), (16)

п 0

г(2)/,л _

где Н0()(х) = /0(х) + Ш0(х) и Я0( )(х) = J0(х)-Ш0(х) - функции Ханкеля первого и

второго рода соответственно.

В выражение (16) входит квадратный корень из комплексного числа, который имеет два значения. Выберем значение с положительной действительной частью (тогда

и мнимая часть будет положительна). Тогда ,{к~ = Рп + 1уп, Рп, уп > 0 .

1 I 2 /(х-к

При х —— го функции Ханкеля приблизительно равны: Н'((1)(х) « , —е ^ 4

V кх

. 2 -1| х-

Н02)(х) « .— е ^ 4;. Учитывая это свойство, при г — го из (16) получаем:

Кх

Fn (r >

r—ГО ^ ж4кг v

(ßn +!'Yn)r-4 I -¿I (Pn +!'Tn)r-4

Aev 4;+Be v 4

ж^Гпг

Ж

-4nr+/I ßnr — I YnM ßnr .

Ane 1 4 J+ Bne 1 4

< ro.

V

У

-1nr+/( ßnr-Ж) 1nr-/( ßnr-Ж)

Учитывая, что lim e v 4y = 0, а lim e v У = ro.

r ——ro

r ——ro

коэффициенты вп должны быть тождественно равны нулю и

Pn (r) = AnH01) (,Д>).

получаем, что

(17)

Для определения коэффициентов Ап воспользуемся первым граничным

условием задачи (15). При этом следует учесть, что (Н0(1)(х)) = Н1(1)(х), где Н1(1) (х) = ^ (х) + ¡Кг (х) .

■JKH" (,/Мс)+cH 01) [4кяс)

—, n = 0, 4

i-(-О"

2 2 ж n

n > 0.

Подставляя коэффициенты Ап в (17), получаем выражение для Рп (г) :

Рп (r ) =

(P., - P) H 01) (Д>)

4к

Hi(1) )+H г (.Дл)

^ n = 0, 4

1 -(-1)n

2 2 ж n

(18)

n > 0.

Если учесть, что и выражение (18) можно упростить:

4к\ ^ >> i, то д; h<i> ( ) >> ну

c c c c \v /

(ДХ- )

Fn (r > =

c (P, - P.) H01) (Д>)

Дх« (Да)

—, n = 0, 4

1 -(-1)"

2 2 ж n

(19)

n > 0.

Выделив слагаемое при п = 0 отдельно и произведя преобразования, окончательно получаем выражение для Р(г, х) :

•( P. - P.) н

(1)

F (r, х) =

+

2Lc (P. - F„)

H™ I m

/ш

4 \—H(1) d2 1

Pc

ж

!■

0 I n

L

СОБ

ж(2п +1) х L

(2n+1)2 m„H1(1) f

(20)

где mn =

/qL

d2

- ж2 (2n +1)2 .

Подставляя выражения (13) и (20) в (3), получим зависимость установившегося давления от времени и двух пространственных координат.

2

c

r

Результаты решения

Рассмотрим результаты решения. Все результаты представлены для одного цикла установившихся колебаний. Моментом начала цикла будем считать момент времени і = Т/2 , концом - момент времени і = 31/2. Такой выбор связан с поведением давления на артериальном конце кровеносного капилляра (рис. 2). В момент времени і = Т/ 2 прекапиллярный сфинктер закрыт и давление на артериальном конце капилляра равно давлению на венозном конце. После чего прекапиллярный сфинктер открывается, и давление на артериальном конце капилляра начинает возрастать, достигая к моменту і = Т максимального значения. Затем сфинктер закрывается, и давление на артериальном конце капилляра постепенно спадает до первоначального значения, после чего цикл повторяется.

t, с

Рис. 2. Зависимость давления на артериальном конце в кровеносном капилляре от времени

На рис. 3 приведено распределение давления Psteady (r, x, t) при значениях

параметров из табл. 1 в различные моменты времени. Графики построены с помощью математического пакета Waterloo Maple 10 [1]. На рис. 3а представлен момент времени, когда давление в капилляре на артериальном и венозном конце одинаково. При этом течение крови по капилляру отсутствует. Давление в ткани в радиальном направлении возрастает от кровеносного капилляра до границы рассматриваемой области. Интересно заметить, что хотя в этот момент внутри кровеносного капилляра давление вдоль всего капилляра одинаково, в ткани давление вблизи артериального конца капилляра больше, чем вблизи венозного. Это связано с тем, что давление в ткани не успело полностью восстановиться после предыдущего цикла.

При увеличении давления на артериальном конце кровеносного капилляра давление в ткани также начинает расти (рис. 3б). При этом вблизи артериального конца капилляра начинает наблюдаться уменьшение давления в радиальном направлении от кровеносного капилляра до границы тканевой области. В некоторый момент распределение давления имеет такой же вид, как для стационарной задачи (рис. 3в). Затем наблюдается дальнейший рост давления (рис. 3г). В момент времени, когда

Таблица 1

Используемые па раметры [2, 3, 4, 8

Параметр Обозначение Значение Единицы измерения

Эффективная влагопроводимость К 1,5102 мкм /с мм рт.ст.

Модуль упругости ткани А. + 110 мм рт.ст.

Гидравлическая проницаемость стенки кровеносного капилляра ЬР 3,610-3 мкм/смм рт.ст.

Пористость ткани ф 0,2 -

Радиус капилляра 10 мкм

Длина капилляра ь 600 мкм

Максимальное давление на артериальном конце капилляра Ра 32,5 мм рт.ст.

Давление на венозном конце капилляра РV 14 мм рт.ст.

Онкотическое давление Ро 23 мм рт.ст.

давление в капилляре на артериальном конце достигает своего максимального значения (рис. 3д), давление в ткани практически по всей длине уменьшается в радиальном направлении. Затем давление начинает постепенно уменьшаться и проходит все те же стадии в обратном направлении до достижения первоначального состояния.

На рис. 4 изображено векторное поле скорости течения тканевой жидкости в различные моменты времени.

В начале цикла (рис. 4а) практически во всей рассматриваемой области наблюдается течение жидкости от внешней границы области к кровеносному капилляру, причем преобладает течение в радиальном направлении. Причем наибольшие скорости наблюдаются вблизи кровеносного капилляра, ближе к венозному концу. Затем вблизи артериального конца капилляра на небольшом участке начинает появляться течение жидкости в направлении от капилляра к периферии и течение вдоль капилляра (рис. 4б). Величина этого участка постепенно увеличивается, пока не достигнет половины длины капилляра (рис. 4в). В этот момент распределение скоростей такое же, как и для случая стационарной задачи. Кроме того, в это же время наблюдается наиболее интенсивное течение жидкости в аксиальном направлении (вдоль капилляра). Затем течение в радиальном направлении от капилляра к периферии начинает преобладать (рис. 4г), пока не охватит почти всю рассматриваемую область (рис. 4д). После этого процессы начинают происходить в обратной последовательности до достижения первоначального состояния.

-4,374

■4,3745 ^

-4,375 ~

-4,3755 ^

■4,376

а) і = Т/ 2

4,374

1-4,3745

.-4,375

.-4,3755

-4,376

600

з) і = 3Т/4

-4,374

4,3745

4.375 -4,3755

4.376

0

600 х, мкм

б) і = 5Т/ 8

К

Рис. 3. Распределение установившегося давления в ткани в различные моменты времени

Рис. 4 показывает, что в начале цикла практически на всей длине капилляра наблюдается реабсорбция жидкости из ткани в кровеносный капилляр, затем появляется участок фильтрации, длина которого увеличивается. В тот момент, когда давление в кровеносном капилляре максимально (рис. 4д), практически на всей длине кровеносного капилляра наблюдается фильтрация жидкости из капилляра в ткань.

Те же тенденции наблюдаются и на следующем графике (рис. 5), показывающем зависимость от времени объемной скорости фильтрации и реабсорбции.

Р^гайу, ММ Нё Р^гайу, ММ

а) t = Т/ 2

б) t = 5Т/ 8

в) I = ЗГ/4 200 150 г Ш

г) t = 7Т/ 8

г) t = Т

Рис. 4. Поле скорости течения жидкости в ткани в различные моменты времени

Как уже было сказано, в начале цикла реабсорбция максимальна, а фильтрация до некоторого момента отсутствует вообще. Затем объемная скорость фильтрации

начинает возрастать, а реабсорбции - падать. Максимального значения объемная скорость фильтрации достигает в момент, когда давление в кровеносном капилляре максимально. В это же время реабсорбция минимальна.

Анализ изменения давления и характеристик течения в ткани при изменении значений параметров модели дает следующие результаты:

• К увеличению среднего давления в ткани приводит увеличение давления на артериальном или венозном конце капилляра и уменьшение онкотического давления. Изменение остальных параметров (пористости и влагопроводимости ткани, гидравлической проницаемости стенки капилляра и радиуса капилляра) не приводит к существенному изменению среднего давления, но влияет на изменение максимального и минимального давления в каждый момент времени.

• Увеличение объемной скорости фильтрации жидкости из капилляра достигается за счет увеличения артериального или уменьшения венозного давления, увеличения радиуса капилляра (и соответственно и площади обмена между капилляром и тканью) и проницаемости стенки капилляра. Причем наибольшее влияние оказывают последние два параметра. Так, изменение на порядок гидравлической

I, с

Рис. 5. Зависимость объемной скорости фильтрации (сплошная линия) и реабсорбции

(пунктирная линия) от времени

проницаемости стенки приводит к изменению на порядок объемной скорости фильтрации жидкости. Кроме того, следует отметить, что изменения онкотического давления, пористости и проницаемости ткани практически не влияют на объемную скорость фильтрации жидкости.

Интересно сравнить результаты, получаемые с помощью моделей стационарного [10] и установившегося течения жидкости. Стационарному течению соответствует случай, когда второе слагаемое в выражении (3) равно нулю. В этом случае векторное поле скорости течения жидкости имеет вид, аналогичный представленному на рис. 4в.

Нетрудно заметить, что в случае стационарного течения питание некоторых областей затруднено. Так, например, чтобы добраться до области вблизи границы рассматриваемого региона на венозном конце, жидкость, несущая питательные вещества, должна выйти из капилляра на артериальном конце и пройти почти через всю тканевую область в аксиальном направлении. Но вблизи границы рассматриваемой области скорости течения жидкости крайне низкие. Кроме того, по пути будет осуществляться обмен веществ с клетками ткани и к месту назначения поступит жидкость, обедненная или совсем лишенная питательных веществ. Аналогично, чтобы удалить продукты обмена из области вблизи артериального конца капилляра, жидкость должна пройти через значительную часть тканевой области и реабсорбироваться в кровеносный капилляр на его венозном конце.

Для результатов, полученных при решении нестационарной задачи, такой проблемы не наблюдается. Поскольку в различные моменты времени практически по всей длине капилляра осуществляется только фильтрация или только реабсорбция, жидкость, несущая питательные вещества или продукты обмена, имеет возможность попасть к месту назначения, не проходя значительного расстояния в ткани в аксиальном направлении.

Таким образом, нестационарная модель помогает лучше понять физиологию обменных процессов и дает теоретические предпосылки для проведения более тщательных экспериментов по изучению нестационарных обменных процессов.

Заключение

В данной работе рассмотрена математическая модель нестационарных обменных процессов, происходящих в микроциркуляторном русле. Полученные данные о распределении давления тканевой жидкости и скорости ее течения позволяют расширить имеющиеся представлении о функционировании микроциркуляторного русла и транскапиллярном обмене веществ. Даваемые моделью результаты позволяют количественно оценить интенсивность обменных процессов в норме и патологии, смоделировать изменение обменных процессов при различных изменениях параметров микроциркуляторного русла.

Список литературы

1. Adams, P. Introduction To Mathematics With Maple / P. Adams, K. Smith, R. Vybomy. - New York: World Scientific Publishing Company, 2004.

2. Coussy, O. Poromechanics / O. Coussy. - Jonh Wiley & Sons, 2004.

3. Fung, Y.C. Biomechanics: mechanical properties of living tissues / Y.C. Fung. - New York, Berlin:

Springer-Verlag, 1993.

4. Netti, P.A. Macro- and microscopic fluid transport in living tissues: application to solid tumors / P.A. Netti,

L.T. Baxter, Y. Boucher, R. Skalak, R.K. Jain // AIChE Journal. - 1997. - No. 43. - P. 818-834.

5. Nyashin, Y.I. Models of microcirculation and extravascular fluid exchange / Y.I. Nyashin, M.Y. Nyashin,

N.S. Shabrykina // Russian Journal of Biomechanics. - 2002. - Vol. 6, No. 2. - P. 62-77.

6. Popel, A.. Mechanics and transport in the microcirculation // Biomechanics: principles and applications /

Edited by D.J. Schneck, J.F. Bronzino. - London, New York, Washington: CRT Press, 2002.

7. Starling, E.H. On the adsorbtion of fluid from interstitial spaces / E.H. Starling // J. Physiol. - 1896. -

Vol. 19. - P. 312-326.

8. Swartz, M.A. Mechanics of interstitial-lymphatic fluid transport: theoretical foundation and experimental

validation / M.A. Swartz, A. Kaipainen, P.A. Netti // Journal of Biomechanics. - 1999. - P. 1297-1307.

9. Тихонов, А.Н. Уравнения математической физики / А.Н. Тихонов, А.А. Самарский. - М.: Наука, 1977.

10. Шабрыкина, Н.С. Математическое моделирование микроциркуляторных процессов / Н.С. Шабрыкина // Российский журнал биомеханики. - 2005. - Т. 9. - № 3. - C. 70-88.

MATHEMATICAL MODELLING OF MICROCIRCULATION: UNSTEADY PROBLEM

N.S. Shabrykina (Perm, Russia)

Microcirculatory bed is one of key elements of human cardiovascular system. Every pathological condition of human organism cause different changes in blood flow. And vice versa, many of the microcirculatory disorders appear before and stay longer after then other disease symptoms. Modelling of microcirculation help us to understand complex interconnected metabolic processes, to find out causes of different diseases and to offer ways of their treatment. In this paper, a mathematical model of unsteady microcirculatory metabolic processes is presented.

Key words: biomechanics of blood circulation, microcirculatory bed, mathematical modelling, transcapillary exchange, unsteady flow.

Получено 27 октября 2006