Моделирование в среде Matlab распределения плотности вещества экзопланет Текст научной статьи по специальности «Науки о Земле и смежные экологические науки»

2. Banerjee S., Kröner D., Saalfrank P. // J. Chem. Phys. 2012. 137. P.534.

3. Hernandez B., Pfluger F., Adenier A., Kruglik S., Ghomi M. // J. Phys. Chem. B. 2010. V.114. P.15319.

4. Asher S., Ludwig M., Johnson C. //J.Amer.Chem.Soc. 1986. V.108. P.3186-3197.

5. Curtiss L A., Raghavachari K, Redfern P.C., Pople J.A. // J. Chem. Phys. 2000. V.112, P. 7374.

6. Ye S., Riplinger C., Hansen A., Krebs C., Bollinger Jr., Neese F. // Chemistry. 2012. V.18(21). P. 6555.

© Бурова Т.Г., Щербаков Р.С., 2016

УДК 523.4-82

Джалмухамбетов А. У., к.ф.-м.н., доцент, Астраханский государственный университет, г. Астрахань, РФ.

E-mail: [email protected] Кравченко И.В., студент 4 курса, Астраханский государственный университет, г. Астрахань, РФ.

E-mail: [email protected] Джалмухамбетова Е.А., к.ф.-м.н., Каспийский институт речного и морского транспорта, г. Астрахань, РФ.

E-mail: [email protected]

МОДЕЛИРОВАНИЕ В СРЕДЕ MATLAB РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПЛОТНОСТИ

ВЕЩЕСТВА ЭКЗОПЛАНЕТ

Аннотация

На основе численного решения уравнения распределения массы с помощью пакета MATLAB построены модели радиального распределения плотности в экзопланетах Kepler-78 b; Kepler-414 c; Kepler-167 d и Kepler-328 b, предположительно похожих по составу вещества на Землю.

Ключевые слова

Экзопланеты, уравнение распределения массы, распределение плотности.

Развитие методов астрономических исследований привело в настоящее время к открытию большого количества планет вне Солнечной системы, так называемых экзопланет. Изучение их строения наталкивается на недостаток данных, особенно о составе и состоянии вещества. Практически удается определить значения радиусов и масс, по которым оцениваются средние плотности вещества, чтобы сделать вывод о возможной принадлежности к «каменным» планетам [1] Средние плотности характеризуют их весьма опосредовано. Поэтому необходимо построение моделей распределения плотности вещества, которые могут опираться в основном на данные о радиусах и массах планет.

В работе [2] авторы моделировали строение ряда экзопланет, исходя из уравнения состояния

Р = Ро + cPn, (1)

связывающего плотность р вещества с давлением P. Здесь ро - плотность при нулевом давлении, а c и n -постоянные, определяющие термодинамические свойства планетного вещества. В отличие от уравнения (1), содержащего три постоянных параметра, в работах [3, 4] применялось двухпараметрическое уравнение вида

3P = р4/3 (2кр1/3 — в) с постоянными к и в. В отличие от уравнения (1) оно применимо и для отрицательных давлений, когда внешние силы стремятся разорвать межатомные силы конденсированного вещества.

Если к моделированию распределения массы планетного вещества применить подход, описанный в работах [3, 4], то уравнение состояния (1) приводит к безразмерному уравнению радиального распределения

относительном массы планеты:

2

ГГ ' + -п %

Г г^Л(2п-1)1 п Г

%2

г

1 -а

2

г

(п-1)/п

= 0.

(2)

Здесь Г = т / М - масса, заключенная внутри сферы с радиусом г, отнесенная к массе М планеты, а % = Г / К, где Я - радиус планеты. Постоянные параметры этого уравнения связаны с постоянными уравнения состояния (1) и параметрами планеты соотношениями:

а = , л = 4кОЯ 2 пс1п [£>

, (2п-1)/п

(4)

М у а ,

где О - гравитационная постоянная.

Задавая значения постоянных п и а, численно решаем уравнение (2) при граничных условиях:

Г (0) = 0 и Г (1) = 1. (4)

Значение безразмерной постоянной ^ представляет собой собственное значение уравнения (2), отвечающее условиям (4).

На основе решения рассчитывается радиальная зависимость плотности планетного вещества:

МГ'

р(%) =

4пЯ 3% 2

(5)

Эта же функция F(%) позволяет найти моменты инерции планеты относительно оси, проходящей через центр. Ее величина, отнесенная к моменту инерции однородного шара, выражается как

1

I = 51Г'(%)% 2С%. (6)

3 о

Уравнение (2) численно решается в среде МЛТЬЛБ, с помощью функции оёе45, предназначенной для численного интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений методом Рунге - Кутты 4-го и 5-го порядка. Фрагмент МЛТЬЛБ-программы для решения уравнения (2), реализующей алгоритм поразрядного поиска собственного значения приведен на рис. 1.

£ипсс±оп с!у = Po.lit.rcip (г, у)

д1оЬа1 а п р1 р2;

<1у=гегоз (2,1) ;

с1у(1) = у (2) ;

«¿у (2) = (2/г) *у (2) - . . .

<(п*(аЬз(у(2)/<г.Л2)).~р!)*у(1))/ аЬз(1-а*((г.Л2/у(2)),Лр2)));

а)

П£ог )с=0:12 г=1;

т^Ы1е г>0 п=п+с1п;

У1= [1-с1х , а+0. 00001];

[Я,У] = ос!е45 (@Ро1:игор , г1:Дхх:гО, У1)

Ы=1епдсЬ(У(:,1));

г=У(11,1);

епс1; п=п-<2п; с1п=0.1«йп;

епс!

б)

Рисунок 1 - Фрагменты программы: а) определение функции для системы уравнений, б) циклы поразрядного поиска собственного значения.

Были промоделированы радиальные распределения массы и плотности в подобных Земле экзопланетах: Кер1ег-78 Ь; Кер1ег-414 с; Кер1ег-167 а; Кер1ег-328 Ь. Необходимые для расчетов данные о массах и радиусах планет были взяты из каталога подтвержденных экзопланет [5]. Они приведены в табл. 1, где Ы®. и Л® - масса и радиус Земли.

Таблица 1

Параметры Земли и экзопланет

Планета Масса, Ы® Радиус, Л® Ср.плотность, г/см3

Земля 1 1 5.51

Кер1ег-78 Ь 1.69 (+ 0.41) 1.173 (+ 0.09) 5.75

Кер1ег-414 с 29.9 (+ 124-- 10.5) 3.01 (+ 0 54 - 0.25) 6.05

Кер1ег-167 а 1.91 (+ 0.95) 1.193 (+ 0.049) 6.20

Кер1ег-328 Ь 21.9 (+ 604 - 6.29) 2.31 (± 0.85) 9.80

В рассмотренных моделях планет предполагалось, что термодинамические свойства вещества не зависят от глубины. Значение показателя степени уравнения состояния (1) принимали равным п = 0.541. Это значение по данным работы [2] соответствует кремнезему. Плотность вещества при нулевом давлении полагали одинаковой для всех планет и равной по величине ро = 1.92 г/см3. При таком значении ро момент инерции модели Земли, отнесенный к моменту инерции однородного шара, составляет 0.832, а плотность в центре нашей планеты - 10.6 г/см3. Последние значения согласуются с литературными данными. Постоянная а уравнения (2) для такой модели Земли равна 1.02. Поэтому, как следует из формул (4), величину этой постоянной для экзопланет можно рассчитывать как

а =

М®

М

г я V

•1.02.

(7)

Величина постоянной с уравнения (1), которая характеризует сжимаемость планетного вещества, находится из второй формулы (4) по найденному численно собственному значению ^ уравнения (2).

Расчетные кривые зависимости плотности р от относительной радиальной переменной для сферически симметричных моделей планет, отмеченных выше, показаны на рис. 2.

Рисунок 2 - Радиальная зависимость плотности (г/см3) планет: Земля; Кер1ег-78 Ь; Кер1ег-414 с; Кер1ег-167 Кер1ег-328 Ь.

Основные расчетные параметры распределения плотности планет отражены в табл. 2. Здесь приведены безразмерные собственные значения ^ уравнения (2) распределения массы, значения параметра с уравнения состояния (1), плотность р(0) в центре планеты и ее момент инерции I.

МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» №10-1/2016 ISSN 2410-700Х_

Таблица 2

Параметры распределения плотности планетного вещества

Планеты a с р(0), г/см3 I

Земля 1.020 3.668312 0.005370 10.654 0.832

Kepler-78 b 0.9741 3.830859 0.004608 11.395 0.826

Kepler-414 с 0.9303 3.989491 0.001693 12.181 0.820

Kepler-167 d 0.9068 4.076266 0.004652 12.640 0.817

Kepler-328 b 0.5741 5.419699 0.002557 23.817 0.766

Расчетные значения параметра c оказались различными для рассмотренных планет, хотя показатель n и плотность при нулевом давлении ро полагались для них одинаковыми. Это говорит о том, что составы вещества не идентичны. Для Kepler-78 b и Kepler-167 d значения параметра c достаточно близки к значению c = 0.00537, полученному для модели Земли. Поэтому именно эти планеты более всего сходны с нашей планетой. Относительные моменты инерции у них также мало отличаются от земного.

Из рис. 2 и табл. 2 видно, что планета Kepler-328 b сильно отличается по своим параметрам от Земли. Плотность в центре Kepler-414 b близка к плотности в центре Земли, но ее масса примерно в 30 раз больше земной. Поэтому Kepler-414 b также, как и Kepler-328 b, с большой вероятностью имеют состав вещества существенно отличный от земного.

Список использованной литературы:

1. Pepe F., Cameron A. C., Latham D.W., Molinari E. et al. An Earth-sized planet with an Earth-like density // Nature, 503, 21 November 2013.- P. 377 - 380.

2. Seager S., Kuchner M., Hier-Majumder C.A., Militzer B. Mass-radius relationships for solid exoplanets // The Astrophys. J., 669, 2007, N. 2.- P. 1279.

3. Джалмухамбетов А.У., Салыхова С.К., Санникова А.А. Уравнение радиального распределения массы планет // Фундаментальные и прикладные исследования в системе образования: сб. науч. тр. IX Международной научно-практической конференции. 28 февраля 2011 г.- Тамбов: Издательский дом ТГУ им. Г.Р. Державина, 2011.- С. 87 - 89.

4. Шкрабкова В.С., Альмуханов А.Ж., Шаханов П.С., Джалмухамбетов А.У. Моделирование строения экзопланет на основе решения уравнения распределения массы в среде Mathcad //Молодежная научно-практ.конф-ция «Инновационное предпринимательство»: докл. программы «УМНИК» (г. Астрахань, 11 - 13 ноября 2015 г.).- Астрахань: Изд.дом «Астраханский университет», 2015.- С. 38 - 39.

5. Каталог подтвержденных экзопланет (http://spacetimes.ru/exoplanets/).

© Джалмухамбетов А.У., Кравченко И.В., Джалмухамбетова Е.А., 2016.

УДК33

А.Н. Коневская

ФГАОУ ВО «Северо-Кавказский федеральный университет»

г. Ставрополь, Российская Федерация

О.А. Архипов

ФГАОУ ВО «Северо-Кавказский федеральный университет»

г. Ставрополь, Российская Федерация

ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ТЕОРИИ МОТИВАЦИИ И УПРАВЛЕНЧЕСКОГО

УЧЕТА И ИХ ВЗАИМОСВЯЗЬ

Аннотация

В данной статье описана история возникновения теории мотивации и управленческого учета, основные