CC BY
16
ИНФОРМАТИКА, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И УПРАВЛЕНИЕ
Челябинский физико-математический журнал. 2021. Т. 6, вып. 4- С. 512-528.
УДК 51-77+336.763.31+338.43 Б01: 10.47475/2500-0101-2021-16411
МОДЕЛИРОВАНИЕ УРОЖАЙНОСТИ
ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СТОИМОСТИ ОПЦИОНОВ
М. М. Дышаев1", Н. Е. Ратанов16, В. П. Дергилев2с, А. А. Лазарев3^
1 Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия
2Южно-Уральский научно-исследовательский институт садоводства и картофелеводства (Филиал ФГБНУ УрФАНИЦ УрОРАН), Челябинск, Россия 3ООО «Агратор», Челябинск, Россия
"Mikhail.Dyshaev@gmail.com, ьnikita.ratanov@csu.ru, сdergilevvp@gmail.com, Л1агагего@адгех.рго
Разработаны математические модели урожайности и ценообразования опционов на урожайность сельскохозяйственной культуры. Для этого использована однофактор-ная модель равновесия Васичека, описывающая эволюцию мгновенной процентной ставки и цену соответствующей облигации. На основе модели ценообразования опционов на бескупонные дисконтные облигации получена формула для цены европейского колл-опциона на урожайность. Стоимость опциона определяется с учётом реализующихся погодных условий в регионе и мероприятий (и их своевременности), которые выполнил производитель сельскохозяйственной продукции для увеличения урожайности.
Ключевые слова: прогнозирование урожайности, цифровые двойники, модель Васичека, ценообразование опционов на урожайность.
Введение
Задача прогнозирования урожайности сельскохозяйственных культур (СХК) имеет важное значение для формирования и оценки показателей эффективности всего агропромышленного комплекса любого региона. Планируемые значения урожайности необходимо учитывать при осуществлении импортно-экспортных операций на рынке сельскохозяйственной продукции. Выбор возделываемых культур, структура посевных площадей или территориальное размещение производства во многом определяются урожайностью той или иной культуры.
Как указано в работе [1] и приведённых в ней ссылках, в настоящее время различают несколько способов прогнозирования урожайности, в частности:
• анализ тренда и цикличности в динамике урожайности;
• выявление года-аналога;
• регрессионный метод;
• моделирование;
Работа М. М. Д. и Н. Е. Р. выполнена при финансовой поддержке РФФИ и Челябинской области в рамках научного проекта № 20-41-740020. Работа В. П. Д. и А. А. Л. выполнена при финансовой поддержке Фонда содействия инновациям в рамках проекта № 46ГС1ЦПС9-Б2/61769.
• анализ синоптических процессов.
Необходимо отметить, что в большинстве методов прогнозирования урожайности мероприятия, проводимые сельскохозяйственным производителем, учитываются неявно. Как правило, они считаются своевременно и в полном объёме выполненными, хотя на практике ситуация часто бывает иной. По мнению авторов существует определённый пробел в методологии предсказании урожайности СХК, в частности, в отсутствии её зависимости от некоторых факторов, таких как заблаговременная подготовка почвы для выращивания конкретной СХК, а также своевременность выполнения необходимых агротехнических мероприятий в период вегетации, направленных на повышение урожайности. В литературе, как в отечественной, так и в зарубежной, отсутствуют модели, в полной мере закрывающие указанный пробел.
Приведём несколько работ, в которых предложены модели урожайности в приложении к выращиванию картофеля, поскольку он является одной из основных СХК в мире. Первой работой, посвящённой моделированию выращивания картофеля, является работа [2], в которой использовалась модель 8ИСИ,О8 [3]. Модель ШОРОБТ была предложена в работе [4]. В работе [5] рассмотрено семейство моделей ВИВБТОИ,. Модель ЬШТИЬ-РОТАТО была разработана авторами [6] и получила дальнейшее развитие как модель ЬШТИЬ-РОТАТО-БВВ [7]. Ещё одной моделью, комплексно рассматривающей выращивание СХК, является модель АРБ1М [8; 9].
В основном результаты сельскохозяйственного производства определяются метеорологическими условиями региона. Тем не менее для минимизации влияния погодных факторов необходимо построение эффективной системы ведения сельского хозяйства, которая позволила бы в случае необходимости быстро проводить требуемые мероприятия и гибко управлять технологическим процессом. Одним из путей является построение «цифровых двойников» на базе систем имитационного моделирования и интеллектуального анализа данных, использующих текущие первичные показатели. При этом к первичным данным могут относиться не только погодные показатели или показатели процесса вегетации, но и соответствие графика выполненных на поле работ технологической карте процесса.
В представленной работе предлагается дополнить модели урожайности учётом выполнения агротехнических мероприятий. С использованием экспертной оценки вклада в урожайность СХК каждого вида сельскохозяйственных работ, включенного в технологическую карту, в работе получена модель влияния на урожайность, учитывающая помимо погодных факторов ещё и своевременность выполнения указанных работ.
Другим вкладом данной работы является разработка модели ценообразования опционов на урожайность СХК с учётом погодных факторов и мероприятий, выполненных сельскохозяйственным производителем для повышения урожая. На практике данный опцион соответствует ситуации, когда покупатель СХК, являющийся, например, поставщиком для крупной розничной сети гипермаркетов, готов зафиксировать цену закупки СХК у производителя, но взамен требует от него поставить определённый минимальный объем продукции. Другими словами, производитель становится обязанным обеспечить минимальную урожайность, если величины привести к площади. В этом случае базовым активом является будущая урожайность СХК.
Контракты подобного вида часто встречаются на практике и носят обоюдно выгодный характер. С одной стороны, они позволяют сократить инфраструктур-
ные издержки крупного покупателя от работы с множеством мелких поставщиков. С другой стороны, для продавцов продукции такие контракты служат ориентиром для оценки будущих доходов, поскольку фиксируют цену реализации. Насколько известно авторам, ранее опционные контракты с таким базовым активом в литературе не рассматривались.
В чём отличие такого опциона от классических производных инструментов? Приобретение классического опционного контракта, например, колл-опциона (call) европейского типа, предусматривает для покупателя возможность приобрести базовый актив (underlying) по цене исполнения (strike) в заранее определённый момент (expiration). При этом количество базового актива по контракту выражено в заранее известном, определённом сторонами контракта или биржевой площадкой объёме, например, 100 акций, 10 тонн, 1 баррель или 100 MMBtu. В случае рассматриваемого в данной работе опционного контракта базовым активом является урожайность культуры, выращенной определённым сельскохозяйственным производителем на конкретном поле. На величину этого урожая помимо климатических и погодных факторов оказывает влияние своевременность и качество проводимых мероприятий, таких как подготовка почвы, внесение удобрений и так далее.
Результаты, полученные в работе, помимо поддержки в принятии решений сельскохозяйственного производителя или оценки инвестиционной привлекательности проекта могут быть также в дальнейшем использованы при создании «цифровых двойников» для реализации компьютерной модели агропромышленного предприятия с помощью дискретно-событийного имитационного моделирования [10].
Статья организована следующим образом. В разделе 1 проводится построение модели влияния погодных условий и проведённых на поле мероприятий на урожайность СХК. Получены формулы, которые можно использовать в целях дискретно-событийного имитационного моделирования работы производителей СХК. Модель влияния на урожайность получена с использованием процесса Орнштейна — Улен-бека. В разделе 2 приведены соответствующие обоснования выбора базового актива, цены страйк и других параметров модели. Затем с использованием модели ценообразования опционов на бескупонные облигации представлены формулы для расчёта премии колл-опциона европейского типа для опционов на урожайность СХК.
1. Модель влияния на урожайность
Урожайность СХК представляет собой массу собранного урожая, отнесённую к площади поля. Модель влияния на урожайность построена на базе экспертных оценок провизорных потерь урожая в зависимости от проводимых агротехнических мероприятий с учётом погодных факторов. Также в модель включён учёт соответствия характеристик поля планируемой к возделыванию культуре.
1.1. Учёт влияния агротехнических работ сельскохозяйственного производителя
Экспертные оценки провизорных потерь показывают, например, насколько процентов может снизиться величина урожая в физическом выражении в случае невыполнения или несвоевременного выполнения отдельного вида работ по технологической карте возделывания картофеля. Например, если экспертная оценка провизорных потерь для такого вида работ, как «Защита растений от сорняков, болезней, вредителей» составляет 30%, то это означает, что в случае их невыполнения урожай будет на 30 % меньше возможного при прочих равных условиях.
Для дальнейшего изложения обозначим через N — количество дней вегетационного периода, ei — экспертную оценку провизорного влияния работ на урожай, запланированных на i-й день вегетационного периода, don Е {0,1} — признак исполнения работ в i-й день («done or not», 0 — работы не выполнены, 1 — выполнены), dot Е {0,1} — признак отсутствия нарушений сроков выполнения работ, запланированных на i-й день («done on time», 0 — есть нарушения, 1 — нарушений сроков нет).
С точки зрения моделирования урожайности вполне можно ограничиться только одним из показателей. Однако в данной работе не учитываются вопросы себестоимости возделывания СХК, когда даже несвоевременно выполненные работы оказывают влияние на стоимость урожая. Поэтому в целях дальнейшего развития модели учитываются оба показателя: признак выполнения и признак своевременности агротехнических работ. Таким образом, влияние, оказываемое выполненными в i-й день работами, предусмотренными технологической картой, можно представить в виде
В разрабатываемой модели предусматривается, что невыполненный или несвоевременно выполненный вид работ не вносит вклада в будущий урожай, и поэтому его влияние приравнивается к нулю. Таким образом, если ни одно из мероприятий технологической карты не будет выполнено, совокупное влияние на урожай также будет равно нулю. Необходимо отметить, что хотя моменты времени, в которые происходит выполнение работ, являются заранее определёнными технологической картой для возделывания СХК, возможны ситуации, когда по каким-либо причинам работа выполняется ранее или позже установленного срока и тем не менее оценивается экспертом как своевременно выполненная.
1.2. Учёт влияния погодных факторов
В качестве основного показателя, характеризующего погодные условия, в работе используется гидротермический коэффициент (ГТК) Г. Т. Селянинова [11], который отражает текущий уровень влагообеспеченности территории (описание и сравнение с другими показателями приведено в [12]). ГТК рассчитывают только для периодов, когда средняя суточная температура составляет более 10 °С. Значение ГТК в г-м периоде (период расчёта, как правило, составляет один месяц, в котором ^ дней) определяется по формуле
где хк = (хГх + хГ)/2 — средняя суточная температура воздуха (в градусах Цельсия) в к-й день, рк — количество атмосферных осадков (в миллиметрах) за к-й день, хо — пороговое значение температуры для расчёта ГТК (как уже упоминалось, обычно х0 = 10°С).
Далее будет рассмотрено два подхода к расчёту ГТК. Первый подход основан на сложившейся практике, когда ГТК рассчитывается по окончании календарного месяца. В этом случае в течение срока вегетации влияние погодных факторов на урожайность пересматривается 3-4 раза. Второй подход предусматривает ежедневный расчёт показателя ГТК по данным за предшествующий период, например, 30 дней. В этом случае кумулятивное влияние погодных факторов за прошедший период будет учитываться ежедневно. Процесс будет носить стохастический характер.
mi = eidonidoti.
(1)
На основании некоторых исследований (см. эмпирические зависимости на рис. 2-б в статье [13] и работу [14]) зависимость урожайности картофеля от ГТК условно можно рассматривать как параболическую, когда отклонения наблюдаемого ГТК в любую сторону от оптимального ведут к снижению урожайности. Тогда влияние ГТК в г-м месяце на величину урожая можно условно представить в виде
|Сг — ( г1 , .
Ыг = -д—--, (2)
где (Сг представляет эмпирически определяемый оптимальный ГТК, а д является калибровочным коэффициентом. Он отражает, как может повлиять на урожай максимальное отклонение наблюдаемого ГТК от оптимального в течение месяца. Например, при д = 0.8 и Сг ^ |(Сг возможное отрицательное влияние на урожай составит до 40 %. В приведённых ранее источниках повышенная урожайность картофеля соответствует периодам, когда ГТК лежит в интервале от 1.0 до 1.6. Таким образом, в модели предусмотрено прогнозное снижение урожайности в случае отклонений показателя ГТК от оптимального.
Отметим, что сразу можно определить максимальную величину влияния ГТК на урожайность. В случае сильных отклонений наблюдаемого ГТК от оптимального величина Ытах будет отрицательной. Если отклонений нет или они малы, т. е. наблюдаемый ГТК близок к оптимальному, величина влияния ГТК на урожайность /штах будет близка к нулю и, следовательно, урожайность в данном случае будет максимальной, поэтому /штах = 0. В дальнейшем использование обозначения ытах будет продолжено для последовательного построения модели.
Можно построить показатель ГТК несколько иначе, например, взяв для расчёта данные за последние п дней от текущей даты й
Сп,г = 10 ^Рк / ^ Хк, К = {к Е {й - п + - п + 2,... : хк ^ Хо}.
к£К ' к£К
Примеры полученных значений ГТК при п =30 дней представлены на рис. 1. В этом случае мы получим временной ряд значений ГТК1. Результаты расчёта ГТК за все годы (1894-2020) представлены в дополнительных материалах [15]. В формуле (2) номер г будет соответствовать уже не месяцу, а дню вегетационного периода. Соответствующим образом изменится и калибрующий множитель д на дп. На рис. 2 представлены графики процесса и>30;г(£) при д30 = 0.5.
1.3. Учёт влияния соответствия поля возделываемой культуре
Следующим фактором, включённым в модель, является коэффициент «соответствия поля культуре» р. Он показывает, насколько состав почвы и другие показатели, характеризующие конкретное поле, соответствуют показателям «идеального» поля, необходимого для выращивания СХК. Учитывая характеристики какого-либо определённого сорта СХК, вероятно, можно попробовать построить функцию, определяющую данный коэффициент соответствия, однако в данной работе в целях сохранения простоты модели полагаем, что он определяется на основании экспертной оценки и принимает значения в интервале от 0 до 1. Если поле совершенно не пригодно для выращивания данной СХК, то р ^ 0. Если поле идеально подходит для возделывания, то р ^ 1.
хДля расчётов использовались данные Всероссийского научно-исследовательского институт гидрометеорологической информации — Мировой центр данных (ВНИИГМИ-МЦД) (http://meteo.ru) по Курганской метеостанции с 1894 по 2020 г.
29/04 19/05 08/06 28/06 18/07 07/08 27/08 16/09 06/10
Рис. 1. Динамика ГТК, рассчитанного по климатическим данным за предшествующие 30 дней.
По горизонтальной оси расположены дни вегетационного периода, с 1 мая до 31 октября. Вертикальная ось представляет расчитанные значения ГТК за последние 30 дней. Сплошная линия представляет собой многолетнее среднее арифметическое по значениям ГТК в данный календарный день. Для примера также представлены графики ГТК за 1900, 2000 и 2020 гг.
0.5
Рис. 2. Динамика показателя влияния погодных условий тзо,г при дзо = 0.5. По горизонтальной
оси расположены дни вегетационного периода, с 1 мая до 31 октября. Сплошная линия представляет собой многолетнее среднее арифметическое w30,^ для каждого календарного дня вегетативного периода. Для примера также представлены графики ■т30,г за 1900, 2000 и 2020 гг.
Данный коэффициент выделен отдельно, хотя может быть учтён в показателе, характеризующем мероприятия по подготовке поля до начала периода вегетации. Необходимость отдельного учёта проистекает из-за того, что оценка соответствия поля и оценка подготовки поля к посевной может выполняться различными экспертами или подсистемами «цифрового двойника».
1.4. Модель общего влияния на урожайность
Пусть в начальный момент имеется экспертная оценка а(0), отражающая учёт влияния предварительной подготовки поля, выполненной в предыдущие периоды. Общее текущее влияние на урожайность можно записать в виде
а(1) = а(0) + а(0)(ш1 + и„д) = а(0)(1 + шг + и„д),
а(2) = а(1) + а(1)(ш2 + шп,2) = а(0)(1 + шг + и„д)(1 + ш2 + и„,2),
г
а(£) = а(0) Д (1 + Шi + .
г=1
Если в какой-либо из дней нет запланированных мероприятий, то ш, = 0. Величина считается по данным за последние п дней. С учётом (1) и (2) для картофеля текущее значение общего влияния а(£) вышеперечисленных факторов в конце дня £ может быть представлено в виде
а(г) = а(0) ]] ( 1 + eidonidoti - д„| .
^ V ^п^ )
Необходимо отметить, что для другой СХК слагаемое в скобках, отвечающее за влияние погодных факторов, может иметь другой вид, поскольку урожайность различных СХК по-разному «отвечает» на величину ГТК. Для учёта влияния отклонения ГТК от оптимального можно вводить пороговое значение или представлять такое влияние в виде кусочно-заданной функции. Вместо ГТК могут использоваться и другие показатели [12], в том числе и их комбинации. Состав сельскохозяйственных работ в технологической карте и экспертные оценки в первом слагаемом также могут отличаться.
Динамика влияния на урожайность а(£) представляет собой кусочно-детерминированный процесс. В момент, когда в г-й день своевременно выполнено мероприятие из технологической карты (экспертные оценки doni =1 и doti = 1), а(£) увеличивается на положительную детерминированную величину е^ Если работы, предусмотренные регламентом, не выполнены или выполнены с нарушением сроков (экспертная оценка doti = 0), то величина влияния а(£) сохраняет своё значение, поскольку нет вклада данного вида работ в повышение урожайности.
Помимо этого, между событиями, предусмотренными технологической картой возделывания СХК, происходит изменение а(£), учитывающее влияние текущих погодных факторов и^, из (2). На рис. 2 приведены примеры динамики величины и^. Отметим, что по определению данный процесс ограничен сверху величиной итах, а ширину полосы и, следовательно, её нижнюю границу определяет калибровочный множитель дп. По построению в случае картофеля влияние погодных факторов характеризуется степенью отклонения от оптимальных параметров, и поэтому любое и,, из (2) не увеличивает а(£).
В случае, когда все виды работ своевременно выполнены (т. е. ёоп = 1, ёо^ = 1, г = 1,... , N), а погодные факторы были наиболее благоприятными (wi ^ 0, г = 1,... , N), влияние на будущий урожай будет максимальным:
N
1(0)П(1 +. (3)
i=1
Поскольку величина максимального влияния расчитывается за весь период вегетации (й = N), включая момент сбора урожая, она, домноженная на коэффициент р, является и максимально возможным коэффициентом размножения (отношение массы собранного урожая к массе семенного материала):
N
мтах = ра(0)Ц(1 +
i=1
Сравнение данной величины с фактическим коэффициентом размножения на исторических данных позволяет провести согласование значений экспертных оценок а(0), р и е^ Авторы намерены привести статистические оценки в другой публикации, где будут рассмотрены вопросы калибровки моделей.
Определим также нормированную величину текущего общего влияния на урожайность а(£) в виде
а(+) * 1 + е^оп^о^ — дп Сп>1\
0(£) = 0^ = П-i \+е ^ , (4)
атах . 1 + ei
i=1
принимающую значения в интервале (0,1), что можно обеспечить выбором калибрующего множителя дп.
Чтобы найти ожидаемое значение влияния на урожайность на момент сбора урожая, заметим, что текущее значение общего нормированного влияния на урожайность а(£), определяемое по формуле (4), можно представить как стоимость бескупонной дисконтной облигации со случайной ставкой и непрерывным начислением процентов.
Заметим также, что, как показано на рис. 2, процесс и(£) протекает с «возвращением к среднему». Такая динамика может быть описана с помощью давно и хорошо изученного случайного процесса Орнштейна — Уленбека, см., например, [16], или [17]. В данной статье мы следуем этому традиционному подходу, поэтому рассмотрим однофакторную модель равновесия Васичека [18], описывающую эволюцию мгновенной процентной ставки и цену соответствующей облигации с помощью указанного процесса.
Данная модель подходит по нескольким причинам. Прежде всего модель описывает процесс с возвратом к среднему, что отвечает моделируемой динамике а(£). В то же время в данной модели ставка может принимать отрицательное значение, что соответствует ситуации преобладающего влияния негативных погодных факторов в модели влияния на урожайность.
1.4.1. Модель Васичека
Модель Васичека построена на нескольких предположениях ((А.1)-(А.3) в [18]):
• Мгновенная процентная ставка следует непрерывному марковскому процессу.
• Цена Р(£, в) дисконтной облигации определяется оценкой в момент времени £ динамики {г(т),£ ^ т ^ в} процесса мгновенной ставки в течение срока существования облигации.
а
тах
• Рынок эффективен, то есть отсутствуют транзакционные издержки, информация доступна всем инвесторам одновременно, каждый инвестор действует рационально (предпочитает возможности с максимальным доходом и использует всю доступную информацию). Данное предположение подразумевает, что инвесторы имеют однородные ожидания и что прибыльный безрисковый арбитраж невозможен.
Основываясь на первом предположении, процесс изменения мгновенной процентной ставки моделируется как гауссово-марковский стохастический процесс (гг)г>0 на вероятностном пространстве (П, Т, Р) с фильтрацией (Т)г>0:
^г = а (г0 — г) + а^Ш, а, г0, а > 0, (5)
где г — текущая процентная ставка, г0 — средняя ставка, а — скорость возврата к среднему значению, а — среднеквадратичное отклонение относительных приращений мгновенной процентной ставки (волатильность), Ш(£) — стандартный вине-ровский процесс.
Из второго предположения следует, что цена облигации Р(£,Т) является функцией мгновенной ставки г(£), т.е. Р (£, Т) = Р (£,Т, г(£)), где Т означает время погашения облигации. Тогда с помощью леммы Ито получаем, что цена облигации удовлетворяет стохастическому дифференциальному уравнению
^Р = Р (^(£,Т,г)^ + а(£,Т,г)^Ш),
где
г) = Р(£ 1Т г) + а(г0 — г)Рг + 1 , (6)
а(£'Т'г) = — аРг. (7)
Здесь и далее ¡х := §Х.
Из сравнения динамики безрискового портфеля (состоящего из двух облигаций в соотношении, исключающем стохастический компонент ) с безрисковой процентной ставкой определяется рыночная цена риска (превышение текущей мгновенной ставки облигации над безрисковой ставкой на единицу волатильности, формула (14) в [18])
А(*,г) = Щ^Т—Г1 • <8)
которая является одинаковой для облигаций с разными сроками погашения. На безарбитражном рынке все облигации в один и тот же момент времени имеют одну и ту же рыночную цену риска. Данная функция не определяется внутри модели и должна быть задана, исходя из эмпирических наблюдений, связывая между собой цены облигаций с разными сроками погашения и исключая тем самым возможный арбитраж.
Подставив в полученное выражение (8) формулы (6) и (7), получим уравнение временной структуры:
Р + (а(г0 — г) + Аа)Рг + 2 а2Ргг — гР = 0.
Цены облигаций можно найти из этого уравнения, задавая динамику процентной ставки г(£) и функцию рыночной цены риска А(£, г) при граничном условии
Р(Т, Т, г) = 1 (выплата номинала при погашении). В модели Васичека (при постоянном Л) цена облигации определяется как
Р(*, Т, г) = ехр {В(К« - г) - (Т - *)К« - ^В2 } ,
где
В = 1(1 - е-^)), К« = го + - - ^.
а а 2а2
Временная структура процентных ставок (кривая доходности), отражающая зависимость доходности к погашению К(*, т) от срока до погашения т = Т - определяется по формуле
К(*, т) = -11п(Р(*, * + т)) = К« + 1 В(г - К«) + В2. т т 4ат
Для облигации с большим сроком до погашения (т ^ то) доходность к погашению К(*, т) стремится к К«.
1.4.2. Модель влияния на урожайность
В модели влияния на урожайность роль мгновенной ставки играет величина г(*) = 1п(1 + т(*) + ^(¿)). Данная величина может принимать отрицательные значения в те моменты, когда преобладает негативное влияние погодных факторов. Калибровочный множитель д из (2) служит для выполнения неравенства 1 + т(*) + > 0. Представим непрерывную динамику ежедневного влияния г (*) по аналогии с (5) в виде
йг = а(г0 - + а, г0, а > 0,
где Ж(*) — стандартный винеровский процесс. Величины а, г0 и а здесь означают те же параметры, что и в модели Васичека, но относятся уже к модели влияния на урожайность.
Проделав все аналогичные вычисления, получим, что нормированная величина влияния на урожайность в момент * (при граничном условии Г(Т, Т, г) = 1 и постоянном Л) может быть представлена в виде
а(*, Т, г) = ехр |В(К« - г) - (Т - *)К« - ааВ2} , (9)
а временная структура влияния будет описываться выражением
К(*, т) = -11п(г(*, * + т)) = К« + 1В (г - Я«,) + В2. (10)
т т 4ат
Величины т, В и К« здесь определяются по тем же формулам, что и в модели Васичека, но со значениями для модели влияния на урожайность.
При получении формул используется «срок погашения» Т для нормированной величины влияния й(*, Т, г). Заметим, что он не совпадает с моментом сбора урожая по той причине, что негативное влияние погодных факторов не позволяет величине й(*, Т, г) достичь значения «номинала». Данный «срок погашения» отражает время, которое должно пройти от текущего момента до момента, когда й(Т, Т, г) = 1, которое совпадает со временем сбора урожая только в случае идеальных погодных условий в течение всего срока вегетации.
Величину Т можно определить, учитывая, что в начальный момент нормированное влияние на урожай определяется как а(0,Т, Г) = а0/атах, поэтому из уравнения временной структуры (10) сразу получаем, что
Т = — —— 1П ( а0
R(0,T) V«ma
В случае облигаций кривая доходности (временная структура процентных ставок R(t,T)), согласно основным теоретическим направлениям, отражает или действия определенных групп участников (теория сегментации), или предпочтения участников относительно ликвидности (теория ликвидности) или ожидания участников рынка относительно будущей динамики процентных ставок (теория ожидания). На практике кривые доходности не наблюдаются явно. Вместо этого они должны оцениваться по наблюдаемым ценам облигаций, как, например, в [19] или [20]. В [21] содержится обзор современного положения в данной области исследований и много полезных ссылок на соответствующие работы.
Можно предположить, что временная структура в случае влияния на урожайность будет иметь вид, аналогичный часто наблюдаемой на практике возрастающей кривой доходности на рынке облигаций. Это может быть вызвано тем, что по аналогии с долговым рынком урожайность может измениться больше, если до момента сбора урожая будет оставаться больше времени. Тем не менее для простоты модели будем предполагать, что временная структура влияния на урожайность является постоянной и не зависит от времени до «погашения», т. е. R(t, т) = const. Тогда из формулы (10) при т ^ то получим, что
д- —2
lim R(t, т) = R^ = ro + — - ^, (11)
т а 2а2
T =--—^_ inf . (12)
и, следовательно,
Т = -
2а2г0 + 2аАа — а2
Величины г0, <г, а и А в правой части выражения (12) могут быть определены из фактических наблюдений или исторических данных (методом «обращения кривой доходности», см., например, § 22.2 в [22]), а величины а0 и атах задаются экспертом. Также калибровку модели можно провести с помощью методов, предложенных в работах [23-26].
Замечание 1. Хорошо известно, что применение гауссовского процесса Орнштей-на — Уленбека к моделированию физических и социальных явлений не всегда адекватно описывает ситуацию. Модификация модели путем замены в уравнении (5) винеровского процесса Ш кусочно-детерминированным (или даже просто кусочно-линейным) процессом приводит к тому, что процесс г(£) обладает теперь уже ограниченной вариацией, что позволяет надеяться на устранение недостатков традиционного подхода (см. [27]). Подробная статья на эту тему будет опубликована позже.
2. Модель ценообразования опционов на урожайность
Далее в работе рассмотрена следующая ситуация. Есть две стороны контракта: производитель и покупатель сельскохозяйственной продукции. Покупатель уплачивает премию и получает право на приобретение урожая после его сбора. Сельхозпроизводитель получает премию и берёт на себя обязательство вырастить урожай и продать его покупателю.
При этом покупатель, например, крупная торговая сеть, заранее гарантирует цену при будущей закупке урожая, но ставит условие на минимальный объём или минимальную урожайность, если величины привести к площади посевов сельскохозяйственного производителя. Например, один опционный контракт может соответствовать урожаю с одного гектара.
Другими словами, покупатель приобретает колл-опцион европейского типа на урожай СХК с заранее определённого поля, обрабатываемого сельхозпроизводителем в соответствии с технологической картой. При этом ценой страйк является минимальная урожайность.
2.1. Базовый актив и цена страйк в модели влияния на урожайность
В качестве базового актива предлагается рассматривать величину нормированного влияния на урожай й(*, Т, г ). Текущее значение определяется по формуле (4). Ожидаемое значение в момент * находится из (9).
Чтобы впоследствии перейти к урожайности У, достаточно умножить значение й(*,Т, г) на соответствующие константы:
У = г(*,Т, г)атахРЗ,
где атах находится из (3), коэффициент р (если он не был изначально учтён в а(0)) описан в разделе 1.3 и в — масса семенного материала в расчёте на один гектар. Цена страйк Ку, выраженная при заключении контракта в терминах урожайности, в модель включается как
К = .
атахрв
По построению величина й(*,Т, г) аналогична бескупонной дисконтной облигации, поэтому можно воспользоваться результатами работы [28], где впервые получена формула для стоимости колл-опциона европейского типа для таких облигаций.
2.2. Опцион на бескупонную дисконтную облигацию
Рассмотрим опцион на дисконтную бескупонную облигацию со сроком погашения ТЬ, превышающим срок действия опциона Т0 (ТЬ > Т0). Данное условие необходимо для того, чтобы избежать эффекта приближения погашения, когда цена облигации стремится к номиналу. Формула для цены опциона впервые получена в работе [28], где использовалась модель динамики процентной ставки (5), как в модели [18]. В предположении, что облигация с ценой Р(г, *,ТЬ) будет погашена в момент времени ТЬ, автором получена формула (см. (9) и утверждение в [28]) для цены европейского колл-опциона на облигацию.
2.3. Опцион на урожайность
Формулы для цены колл-опциона европейского типа на урожайность имеют вид, аналогичный формулам для бескупонной дисконтной облигации:
С(г,*,Т0,Ть,К) = й(*,Ть,г (й) - К й(*,Т0,г (й - ар), (13)
где N (ж) — кумулятивная функция стандартного нормального распределения, К — цена исполнения опциона. Функция конечной выплаты имеет вид
Ф(Т0, К) = шах(й(Т0, Ть, К(Т0, Ть - Т0)) - К, 0),
где Т0 — момент сбора урожая (экспирации опциона), ТЬ — срок «погашения», определяемый по формуле (12), а К(Т0,ТЬ - Т0) определяется из (11). Чтобы найти значения величин, входящих в (13), используются следующие формулы:
й = ар 1Па(*,Т0,г)К + 2ар, =2а3(1 е )(1 е ) .
Величины й(*, Т0,г) и й(*,Ть,г) можно найти из (9). В случае облигаций соответствующие значения цен Р(*, Т0, г) и Р(*, Ть, г) являются непосредственно наблюдаемыми на рынке. Остальные величины определяются по эмпирическим наблюдениям.
Заключение
Построенная модель влияния на урожайность на примере картофеля позволила учесть погодные факторы, соответствие поля возделываемой культуре, а также полноту и своевременность выполнения агротехнических мероприятий для максимизации урожая. Представление влияния на урожайность в виде бескупонной дисконтной облигации позволило применить результаты, ранее полученные для оценки динамики цен таких облигаций и ценообразования опционов на них.
Данная модель может быть использована для текущей оценки будущей урожайности картофеля и после некоторой модификации для других сельскохозяйственных культур. Разработанная модель также может быть инкорпорирована в программно-аппаратный комплекс «цифрового двойника» сельскохозяйственного предприятия или в алгоритм оценки страховой премии при индексном страховании в сельском хозяйстве.
Список литературы
1. Савин И. Ю., Барталев С. А., ЛупянЕ. А. [и др.]. Прогнозирование урожайности сельскохозяйственных культур на основе спутниковых данных: возможности и перспективы // Современные проблемы дистанционного зондирования Земли из космоса. 2010. Т. 7. № 3. С. 275-285.
2. NgN., LoomisR. S. Simulation of growth and yield of the potato crop // Simulation of plant growth and crop production. 1984. P. 147.
3. Van Keulen H., Penning De Vries F. W. T., Drees E. M. A summary model for crop growth // Simulation of plant growth and crop production. 1982. P. 87-97.
4. Van DiepenC. A., Wolf J., van Keulen H. [etal.]. WOFOST: a simulation model of crop production // Soil Use and Management. 1989. Vol. 5, no. 1. P. 16-24.
5. Ritchie J. T., GriffinT. S., JohnsonB.S. [etal.]. SUBSTOR: functional model of potato growth, development and yield // Modelling and parameterization of the soil-plant-atmosphere system: a comparison of potato growth models. 1995. P. 401-435.
6. KoomanP. L., Haverkort A. J. Modelling development and growth of the potato crop influenced by temperature and daylength: LINTUL-POTATO // Potato Ecology and Modelling of Crops under Conditions Limiting Growth: Proceedings of the Second International Potato Modeling Conference, held in Wageningen 17-19 May, 1994 / ed. by A. J. Haverkort, D. K. L. MacKerron. Dordrecht : Springer Netherlands, 1995. P. 41-59.
7. Haverkort A. J., Franke A. C., Steyn J. M. [et al.]. A robust potato model: LINTUL-POTATO-DSS // Potato Research. 2015. Vol. 58, no. 4. P. 313-327.
8. Keating B. A., Carberry P. S., Hammer G. L. [etal.]. An overview of APSIM, a model designed for farming systems simulation // European Journal of Agronomy. 2003. Vol. 18, no. 3. P. 267-288.
9. BorusD., Parsons D., BoersmaM. [etal.]. Improving the prediction of potato productivity: APSIM-Potato model parameterization and evaluation in Tasmania, Australia // Australian Journal of Crop Science. 2018. Vol. 12, no. 1. P. 32-43.
10. Макаров В. Л., Бахтизин А. Р., Бекларян Г. Л. Разработка цифровых двойников для производственных предприятий // Бизнес-информатика. 2019. Т. 13, № 4. С. 7-16.
11. Селянинов Г. Т. О сельскохозяйственной оценке климата // Труды по сельскохоз. метеорологии. 1928. Т. 20. С. 165-177.
12. Черенкова Е. А., Золотокрылин А. Н. О сравнимости некоторых количественных показателей засухи // Фундамент. и приклад. климатология. 2016. Т. 2. С. 79-94.
13. Сайдак Р. В. Зависимость эффективности удобрений от гидротермических условий // Агроеколопчний журнал. 2014. № 4. P. 74-78.
14. Ульяненко Л. Н., ФилипасА. С., АмелюшкинаТ. А. Урожайность картофеля в зависимости от пластичности сорта и гидротермического коэффициента // Плодородие. 2011. № 6 (63). С. 41-42.
15. DyshaevM. M. Daily Calculation of the 30-day Selyaninov Hydrothermal Indicator (Kurgan, 1894-2020). 2021. DOI: 10.5281/zenodo.5204427.
16. Grimmett G., StirzakerD. Probability and Random Processes. Oxford : Oxford University Press, 2001.
17. Ш^иряевА.Н., Булинский А. В. Теория случайных процессов. М. : Физматлит, 2005.
18. Vasicek O. An equilibrium characterization of the term structure // Journal of Financial Economics. 1977. Vol. 5, no. 2. P. 177-188.
19. Nelson C.R., SiegelA.F. Parsimonious modeling of yield curves // The Journal of Business. 1987. Vol. 60, no. 4. P. 473-489.
20. DieboldF.X., LiC. Forecasting the term structure of government bond yields // Journal of Econometrics. 2006. Vol. 130, no. 2. P. 337-364.
21. GurkaynakR. S., Wright J. H. Macroeconomics and the term structure // Journal of Economic Literature. 2012. Vol. 50, no. 2. P. 331-367.
22. БьоркТ. Теория арбитража в непрерывном времени. М. : МЦНМО, 2010.
23. Abu-Mostafa Y. S. Financial model calibration using consistency hints // IEEE Transactions on Neural Networks. 2001. Vol. 12, no. 4. P. 791-808.
24. Cotton P., FouqueJ.-P., Papanicolaou G., Sircar R. Stochastic volatility corrections for interest rate derivatives // Mathematical Finance: An International Journal of Mathematics, Statistics and Financial Economics. 2004. Vol. 14, no. 2. P. 173-200.
25. Rodrigo M. R., Mamon R. S. An alternative approach to the calibration of the Vasicek and CIR interest rate models via generating functions // Quantitative Finance. 2014. Vol. 14, no. 11. P. 1961-1970.
26. SousaJ.B., Esquivel M. L., GasparR. M. Machine learning Vasicek model calibration with Gaussian processes // Communications in Statistics — Simulation and Computation. 2012. Vol. 41, no. 6. P. 776-786.
27. Ratanov N. E. Ornstein — Uhlenbeck processes of bounded variation / N. E. Ratanov // Methodology and Computing in Applied Probability. 2020. Vol. 23. P. 925-946.
28. JamshidianF. An exact bond option formula // The Journal of Finance. 1989. Vol. 44, no. 1. P. 205-209.
Поступила в 'редакцию 29.09.2021.
После переработки 03.11.2021.
Сведения об авторах
Дышаев Михаил Михайлович, кандидат физико-математических наук, заведующий лабораторией финансового моделирования, Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия; e-mail: Mikhail.Dyshaev@gmail.com.
Ратанов Никита Евгеньевич, доктор физико-математических наук, профессор, ведущий научный сотрудник, Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия; e-mail: nikita.ratanov@csu.ru.
Дергилев Василий Петрович, кандидат сельскохозяйственных наук, ЮжноУральский научно-исследовательский институт садоводства и картофелеводства (Филиал ФГБНУ УрФАНИЦ УрО РАН), Челябинск, Россия; e-mail: dergilevvp@gmail.com. Лазарев Андрей Александрович, научный руководитель ООО «Агратор», Челябинск, Россия; e-mail: lazarev@agrex.pro.
Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal. 2021. Vol. 6, iss. 4. P. 512-528.
DOI: 10.47475/2500-0101-2021-16411
YIELD CROP SIMULATION FOR OPTIONS PRICING M.M. Dyshaev1a, N.E. Ratanov1b, V.P. Dergilev2c, A.A. Lazarev3d
1 Chelyabinsk State University, Chelyabinsk, Russia
2South Ural Research Institute of Horticulture and Potato Growing, Chelyabinsk, Russia 3LLC «Agrator», Chelyabinsk, Russia
aMikhail.Dyshaev@gmail.com, bnikita.ratanov@csu.ru, cdergilevvp@gmail.com, dlazarev@agrex.pro
Mathematical models of yield and options pricing for crop yield have been developed. For this purpose, a one-factor Vasicek equilibrium model was used, describing the evolution of the instant interest rate and the price of a discount zero coupon bond. Based on the options pricing model for discount zero coupon bonds, a model of options pricing on crop yields is obtained. The price of a European call option is based on current weather conditions in the region and takes into account the operations (and their timeliness) that the farmer has performed to increase crop yields.
Keywords: crop yield forecasting, digital twins, Vasicek model, crop yield options pricing.
References
1. Savin I.Yu., Bartalev S.A., Lupyan E.A. [et al.]. Prognozirovanie urozhaynosti sel'skokhozyaystvennykh kul'tur na osnove sputnikovykh dannykh: vozmozhnosti i perspektivy [Forecasting crop yields based on satellite data: opportunities and prospects]. Sovremennye problemy distantsionnogo zondirovaniya Zemli iz kosmosa [Modern problems of remote sensing of the Earth from the cosmos], 2010, vol. 7, no. 3, pp. 275-285. (In Russ.).
2. NgN., LoomisR.S. Simulation of growth and yield of the potato crop. Simulation of plant growth and crop production. 1984. P. 147.
3. Van Keulen H., Penning De Vries F.W.T., Drees E.M. A summary model for crop growth. Simulation of plant growth and crop production. 1982, pp. 87-97.
4. Van Diepen C.A., Wolf J., van Keulen H. [etal.]. WOFOST: a simulation model of crop production. Soil Use and Management, 1989, vol. 5, no. 1, pp. 16-24.
5. Ritchie J.T., Griffin T.S., Johnson B.S. [et al.]. SUBSTOR: functional model of potato growth, development and yield. Modelling and parameterization of the soil-plant-atmosphere system: a comparison of potato growth models, 1995, pp. 401-435.
6. Kooman P.L., Haverkort A.J. Modelling development and growth of the potato crop influenced by temperature and daylength: LINTUL-POTATO. Potato Ecology And modelling of crops under conditions limiting growth: Proceedings of the Second International Potato Modeling Conference, ed. by A.J. Haverkort, D.K.L. MacKerron. Dordrecht, Springer Netherlands, 1995. Pp. 41-59.
7. Haverkort A.J., Franke A.C., Steyn J.M. [et al.]. A robust potato model: LINTUL-POTATO-DSS. Potato Research, 2015, vol. 58, no. 4, pp. 313-327.
8. KeatingB.A., Carberry P.S., Hammer G.L. [et al.]. An overview of APSIM, a model designed for farming systems simulation. European Journal of Agronomy, 2003, vol. 18, no. 3, pp. 267-288.
The work of M. M. D. and N. E. R. was carried out with the financial support of the RFBR and the Chelyabinsk region within the framework of the scientific project no. 20-41-740020. The work of V. P. D. and A.A.L. was carried out with the financial support of the Innovation Assistance Fund within the framework of the project No. 46GS1CPS9-D2/61769.
9. BorusD., Parsons D., BoersmaM. [et al.]. Improving the prediction of potato productivity: APSIM-Potato model parameterization and evaluation in Tasmania, Australia. Australian Journal of Crop Science, 2018, vol. 12, no. 1, pp. 32-43.
10. MakarovV.L., Bakhtizin A.R., Beklaryan G.L. Razrabotka tsifrovykh dvoynikov dlya proizvodstvennykh predpriyatiy [Development of digital doubles for manufacturing enterprises]. Biznes-informatika [Business Informatics], 2019, vol. 13, no. 4, pp. 7-16. (In Russ.).
11. Selyaninov G.T. O sel'skokhozyaystvennoy otsenke klimata [On agricultural climate assessment]. Trudy po sel'skokhozyaystvennoy meteorologii [Works on agricultural meteorology], 1928, vol. 20, pp. 165-177. (InRuss.).
12. Cherenkova E.A., Zolotokrylin A.N. O sravnimosti nekotorykh kolichestvennykh pokazateley zasukhi [On the comparability of some quantitative indicators of drought]. Fundamental'naya i prikladnaya klimatologiya [Fundamental and applied climatology], 2016, vol. 2, pp. 79-94. (InRuss.).
13. SaydakR.V. Zavisimost' effektivnosti udobreniy ot gidrotermicheskikh usloviy [Dependence of fertilizer efficiency on hydrothermal conditions]. Agroekologichniy zhurnal [Agroecological journal], 2014, no. 4. pp. 74-78. (InRuss.).
14. Ul'yanenko L.N., FilipasA.S., Amelyushkina T.A. Urozhaynost' kartofelya v zavisimosti ot plastichnosti sorta i gidrotermicheskogo koeffitsienta [Potato yield depending on the plasticity of the variety and the hydrothermal coefficient]. Plodorodiye [Fertility], 2011, no. 6 (63), pp. 41-42. (In Russ.).
15. Dyshaev M.M. Daily calculation of the 30-day Selyaninov hydrothermal indicator (Kurgan, 1894-2020). 2021. DOI: 10.5281/zenodo.5204427.
16. Grimmett G., StirzakerD. Probability and Random Processes. Oxford, Oxford University Press, 2001.
17. Shiryaev A.N., Bulinskiy A.V. Teoriya sluchaynykh protsessov [Theory of Random Processes]. Moscow, Fizmatlit Publ., 2005. (InRuss.).
18. Vasicek O. An equilibrium characterization of the term structure. Journal of Financial Economics, 1977, vol. 5, no. 2, pp. 177-188.
19. Nelson C.R., SiegelA.F. Parsimonious modeling of yield curves. The Journal of Business, 1987, vol. 60, no. 4, pp. 473-489.
20. Diebold F.X., Li C. Forecasting the term structure of government bond yields. Journal of Econometrics, 2006, vol. 130, no. 2, pp. 337-364.
21. GUrkaynak R.S., Wright J.H. Macroeconomics and the term structure. Journal of Economic Literature, 2012, vol. 50, no. 2, pp. 331-367.
22. BjorkT. Arbitrage theory in continuous time. Oxford, Oxford University Press, 2004.
23. Abu-Mostafa Y.S. Financial model calibration using consistency hints. IEEE Transactions on Neural Networks, 2001, vol. 12, no. 4, pp. 791-808.
24. Cotton P., FouqueJ.-P., Papanicolaou G., Sircar R. Stochastic volatility corrections for interest rate derivatives. Mathematical Finance: An International Journal of Mathematics, Statistics and Financial Economics, 2004, vol. 14, no. 2, pp. 173-200.
25. Rodrigo M.R., Mamon R.S. An alternative approach to the calibration of the Vasicek and CIR interest rate models via generating functions. Quantitative Finance, 2014, vol. 14, no. 11, pp. 1961-1970.
26. Sousa J.B., Esquivel M.L., Gaspar R.M. Machine learning Vasicek model calibration with Gaussian processes. Communications in Statistics — Simulation and Computation, 2012, vol. 41, no. 6, pp. 776-786.
27. Ratanov N.E. Ornstein — Uhlenbeck processes of bounded variation. Methodology and Computing in Applied Probability, 2020, vol. 23, pp. 925-946.
28. JamshidianF. An exact bond option formula. The Journal of Finance, 1989, vol. 44, no. 1, pp. 205-209.
Accepted article received 29.09.2021.
Corrections received 03.11.2021.
