Моделирование упругопластического напряженного состояния в области вершины трещины Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.421

Моделирование упругопластического напряженного состояния в области вершины трещины

С.А. Соколов, Д.Е. Тулин

Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого, Санкт-Петербург, 195251, Россия

Для оценки возможности разрушения материала в условиях предельной концентрации напряжений в остром надрезе применяют критерии механики разрушения. Однако в рамках этой концепции затруднительно учесть сложную конфигурацию детали или сварного узла, влияние остаточных напряжений, неоднородность свойств материала, а использование критериев прочности, учитывающих локальную пластичность, требует специальных испытаний. Поэтому разрабатываются критерии прочности, основанные на физических моделях деформирования и разрушения материала. В данной работе развивается методика анализа прочности детали с трещиной, основанная на применении обобщенной теории хрупкого разрушения. С этой целью предложена модель нагружения зоны предразруше-ния перед вершиной трещины при упругопластическом деформировании материала. Структура модели построена на основе ряда допущений и упрощенной схемы нагружения пластической зоны, создаваемой трещиной. Для определения коэффициентов модели выполнено обширное конечно-элементное исследование напряженно-деформированного состояния моделей с краевыми и поверхностными трещинами. Получены характерные зависимости напряжений и деформаций в зоне предразрушения от параметров нагружения. На основании обобщения результатов конечно-элементного анализа вычислены коэффициенты для модели нагружения зоны предразрушения. Сравнение результатов расчета по предлагаемой методике с данными численного анализа показало, что она дает погрешность около 10 %. Предлагаемая модель представляет аналитическое описание процесса изменения первого главного напряжения в зоне предразрушения в ходе нагружения детали. Использование этой модели в критерии хрупкого разрушения открывает возможности его применения для анализа прочности широкого круга деталей и конструкций.

Ключевые слова: механика разрушения, хрупкое разрушение, пластичность, деформация, напряженное состояние, метод конечных элементов, модель пластической зоны

DOI 10.24412/1683-805X-2021-2-34-40

Modeling of the elastic-plastic stress state in the crack tip region

S.A. Sokolov and D.E. Tulin

Peter the Great St. Petersburg Polytechnic University, St. Petersburg, 195251, Russia

The probability of fracture in a material with critical stress concentration at a sharp notch is evaluated using fracture mechanics criteria. However, it is difficult within the fracture mechanics framework to take into account the complex configuration of a solid or welded part, the effect of residual stresses, and inhomogene-ity of material properties. The use of the strength criteria that allow for local plasticity requires special tests. Therefore, strength criteria are developed based on physical models of material deformation and fracture. This paper puts forward a method for analyzing the strength of a part with a crack based on the application of the generalized theory of brittle fracture. A model is proposed for loading the prefracture zone in front of the crack tip during elastic-plastic deformation of the material. The structure of the model is based on a number of assumptions and a simplified loading scheme for the plastic zone induced by the crack. The coefficients of the model are determined in an extensive finite element study of stresses and strains in models with edge and surface cracks. The characteristic dependences of stresses and strains in the prefracture zone on the loading parameters are obtained. By generalizing the finite element analysis results, the coefficients of the model for loading the prefracture zone are calculated. Comparison of the results obtained by the proposed method with the numerical analysis data revealed an error of about 10% for the method. The loading model analytically describes the change in the first principal stress in the prefracture zone of a loaded part. The application of the model to the brittle fracture criterion makes it possible to analyze the strength of a wide range of parts and structures.

Keywords: fracture mechanics, brittle fracture, plasticity, deformation, stress state, finite element method, plastic zone model

© Соколов С.А., Тулин Д.Е., 2021

1. Введение

Для прогнозирования прочности элементов стальных конструкций с трещинами могут быть использованы критерии нелинейной механики разрушения (./-интеграл и СТОБ) [1-3 и др.]. Однако эти критерии трудно применимы для прогнозирования прочности узлов сложной конфигурации с трещинами в области сварных соединений в условиях промежуточного напряженно-деформированного состояния, т.е. не соответствующего предельным схемам плоского напряженного состояния или плоской деформации. Критические значения этих критериев требуют проведения специальных испытаний. В ходе развития работ в этой области предложены физические критерии прочности, использующие базовые свойства материала [4-7]. Эти критерии основываются на подходе Нейбера-Новожилова, согласно которому критическим является состояние материала в некоторой локальной области в вершине концентратора. Характеристиками этого состояния являются средние в данной области значения напряжений или деформаций. Указанные критерии базируются на физических моделях деформирования и разрушения материала в области концентрации напряжений. Можно предположить, что они окажутся более эффективными для инженерного применения при проектировании металлических конструкций. Однако для их реализации необходимы аналитические оценки параметров напряженно-деформированного состояния материала в вершине трещины. Этой проблеме посвящены многие работы, в которых аналитическими и численными методами исследовано напряженно-деформированное состояние материала в области вершины трещины при различных условиях на-гружения [8-21]. Однако для трещин в упруго-пластическом материале универсального решения так и не получено.

Данная статья посвящена разработке модели напряженного состояния малой области, расположенной перед вершиной трещины в пластине из упругопластического материала при нагружении по первой моде. Аналитическая модель применима для прогнозирования прочности детали с трещиной.

2. Постановка задачи

Численный анализ напряженно-деформированного состояния стальных образцов с трещинами показал, что перед ее вершиной можно выде-

лить некоторый малый объем материала, который обуславливает условия продвижения трещины [7]. Этот объем назван зоной предразрушения. Размер зоны предразрушения имеет порядок критического раскрытия в вершине трещины и многократно превосходит структурные параметры материала. Было показано, что для анализа прочности детали из конструкционных сталей с трещиной рекомендуется принимать характерный размер зоны предразрушения r0 = 05 мм [7].

К этой зоне может быть применен критерий хрупкого разрушения, согласно которому для возникновения разрушения должны быть выполнены два условия [7, 22]:

сгг >су и с1г > So, (1)

где сгг — среднее по объему зоны предразрушения значение интенсивности напряжений при уп-ругопластическом деформировании:

<r = " C2r)2 + (c2r " a3r)2 + (<3r " a1r)2 ,

с1г, с2г и с3г — средние значения главных напряжения в зоне предразрушения; су и S0 — предел текучести и напряжение отрыва для данного материала.

Для применения этого подхода необходимо иметь методику вычисления напряжения с1г в зоне предразрушения. Данная работа посвящена созданию методики вычисления этого параметра для стальных деталей с краевыми и поверхностными полуэллиптическими трещинами.

3. Допущения и структура расчетной модели

Процесс упругопластического деформирования материала в зоне предразрушения при нагру-жении образца или детали удобно представить в форме функциональной зависимости s1 =f (k) двух безразмерных параметров [7]:

<1r

sr = —

<y

k=■

(2)

Здесь К — коэффициент интенсивности напряжений, вычисленный в предположении абсолютной упругости материала. При упругом деформировании функция 5Г =/(к) линейна: 5Г = С, к. Нарушение линейности этой зависимости связано с возникновением пластических деформаций и характеризует процесс их развития. Как показал конечно-элементный анализ, при нагружении пластин из упругопластического материала с краевыми, сквозными и полуэллиптическими трещинами процесс деформирования зоны предразрушения

Рис. 1. Зависимости параметров деформирования зоны предразрушения для полуэллиптической трещины глубиной а = 12 мм, шириной Ь = 30 мм в пластине толщиной 30 мм: а — ^грем(^) (1), Лг(к) (2), е^к), % (3); б — е^к) в логарифмических координатах

проходит три стадии, которые отражаются на графике функции ¿V =/(к) (рис. 1, а) [8]. На первой стадии при к < к1, где к1 = 1.2, происходит практически упругое деформирование, при котором размер пластической зоны меньше зоны предразрушения г0 или ее напряженное состояние полностью контролируется упругим полем.

Вторая стадия при к1 < к < к2 соответствует локальной пластичности со средними пластическими деформациями в зоне предразрушения не более 1%. На этой стадии повышение значений происходит за счет увеличения коэффициента жесткости напряженного состояния % = а1г/агг (агг — среднее значение интенсивности напряжений в зоне предразрушения). Граница второй стадии к2 соответствует максимуму На третьей стадии, при к > к2, происходит снижение жесткости напряженного состояния и интенсивный рост пластических деформаций и размера пластической зоны. На рис. 1, б видно, что при к> к2 = 4 нарушается степенная зависимость егр(к) (кривая 4 пока-

2 3

зывает график функции ер = у к ). При этом рост происходит в результате деформационного упрочнения. Таким образом, можно предположить,

что именно на второй стадии деформирования могут возникнуть условия для разрушения отрывом. Если этого не произойдет, то на третьей стадии будут прогрессировать пластические деформации.

Для построения модели упругопластического деформирования зоны предразрушения на втором этапе при к1 < к < к2 рассмотрим пластину с краевой трещиной в условиях плоского номинального напряженного состояния. Положим, что пластическая зона перед вершиной трещины имеет размер Вр, который больше размера зоны предразрушения, но существенно меньше толщины пластины ^ и характерного размера трещины а (рис. 2, а). Упругое поле напряжений, окружающее пластическую зону, описывается методами линейной механики разрушения (возможно, с поправками на пластичность).

Если диаграмма растяжения материала описывается билинейной моделью, то после начала текучести первое главное напряжение в зоне пред-разрушения вычисляется как

а1г = (а у + Ср epr)Лr,

(3)

где ерг — средняя интенсивность пластических

Рис. 2. Схема деформирования материала в области вершины трещины: упругая (1) и пластическая зона (2)

деформаций в зоне предразрушения; Gp — модуль упрочнения.

Поскольку в малой области вблизи вершины трещины компоненты упругого поля Cir « c2r, то положим, что и в пластической зоне это соотношение примерно сохраняется [23]. При этом получится стг-г « c1r - c3r (компонента cr3 направлена перпендикулярно поверхности пластины). Подставив в (3) = c1r/cir = cir/(cir - c3r), найдем

a1r =ay +a3r + Gp epr.

Соответственно, параметр sr из (2) можно представить как

Gp

Sr = 1 + S3r + epr,

ay

(4)

где 53г = с3г/су — относительное поперечное напряжение.

Локальную пластическую деформацию ерг в зоне предразрушения при размере пластической зоны ■ а и Ор ■ ^ можно оценить с помощью формулы Нейбера для напряженного состояния в концентраторе, согласно которой [24] К К =а2.

В этом выражении Ке = ерг/еп и К = огг/оп, где сп и еп — номинальные напряжения и деформации в области трещины. Поскольку в данном случае имеются в виду средние параметры напряженного состояния в некотором малом, но конечном объеме г0, то упругий коэффициент концентрации для трещины а является конечной величиной. При подстановке указанных величин получим

^ Ог. = а2.

еп 0п

Величины аеп = етах и асп = отах характеризуют максимальные деформации и напряжения в области вершины трещины при упругом деформировании, которые пропорциональны коэффициенту интенсивности напряжений К и, соответственно, параметру к (2). Поэтому, считая огг = оу, можем записать

ерг = а2 ■еп^ = етах 0тах = у1 к2. (5)

оу су Е

Здесь и далее у будем обозначать коэффициенты пропорциональности, которые в рамках данной модели не зависят от геометрии детали и свойств материала.

Величина 53г = с3г/су в (4) характеризует поперечное напряжение, возникающее в пластической

зоне за счет разности значений коэффициента поперечной деформации материала при упругом ц и пластическом ц деформировании. В упругой области он составляет ц = 0.3, а в пластической зоне ц = 0.5. Если бы эти зоны не были связаны и находились в условиях плоского напряженного состояния, то поперечная усадка пластической зоны 52р была бы больше, чем в упругой области (рис. 2, б). Относительная поперечная деформация упругой области в месте соприкосновения с пластической зоной составила [24]

ez = г х y)],

а пластической области 1

ezp = Y[Сz "Мс* +сy)].

(6)

(7)

Здесь Е — модуль упругости стали; Ер = ог/ег- — секущий модуль [25]. В пластической зоне ог- = су и е1 = ерг = у1 су/Е к2 (5). Следовательно, можно записать Ер = о,/е, = Е/(у1к2).

В реальном объекте упругая область и пластическая зона образуют сплошную среду. Следовательно, упругая область, окружающая пластическую, препятствует ее усадке, т.к. |ег| < \е2р\. В результате этого по поверхности их взаимодействия возникают касательные напряжения т3, направленные вдоль фронта трещины, которые создают растягивающие напряжения с3 в пластической зоне (рис. 2, в). Положим, что касательные напряжения пропорциональны разности поперечных деформаций: т3 = у2(егр - ег). При подстановке в это выражение величин (6) и (7) следует учесть, что о2 = 0, т.к. рассматривается случай плоского номинального напряженного состояния. Кроме того, значения ох и оу по линии стыковки упругой и пластической зон не зависят от номинального напряжения (и, следовательно, от параметра к), т.к. соответствуют условию возникновения текучести по равенству. Структуру результирующего выражения можно записать как

^3 = Y2(Y3k "У4).

(8)

Напряжения т3, приложенные по периметру пластической зоны у5Д,, создают растягивающее напряжение о3г, распределенное по ее сечению площадью у6£р2. Выражение для определения этого напряжения с учетом (8) запишем как

C3r = ~2Y2(Y3k2 "Y4). Y 6 Dp2

При локальной пластичности размер пластической зоны Бр пропорционален отношению (К\/<зу)2 [1, 3]. Поэтому с учетом (2) можем записать Вр = у6к2. Подставив это в формулу (9), найдем структуру выражения для вычисления относительного напряжения: ¿3г = а3г/ау. Объединив коэффициенты, не зависящие от к, получим выражение следующего вида:

у 3к2-у 4) = ®1 .

s3r = "

у 6к

Во всех приведенных выражениях величины у- и Ф; являются коэффициентами пропорциональности, которые могут быть определены по результатам численного анализа напряженно-деформированного состояния тела с трещиной.

С учетом изложенного можно записать выражение (4) для вычисления параметра = а1г/ау при к1 < к < к2 в следующей форме:

s; = 1 + 1 Ш1 --^f l + œ3 — k2.

г 11 k2 ) 3 а y

(10)

Это выражение показывает зависимость sr(k), которая положена в основу модели упругопластиче-ского деформирования зоны предразрушения.

4. Численное исследование и определение расчетных коэффициентов

Для определения коэффициентов выражения (10) и граничного значения коэффициента k2 было выполнено исследование процессов деформирования материала в зоне предразрушения методом конечных элементов на ряде моделей, представляющих собой пластины постоянного сечения толщиной t = 10-40 мм с краевыми и поверхностными полуэллиптическими трещинами. Габа-

ритные размеры пластин в 8-1 0 раз превышали размеры трещин. Характерные размеры краевых трещин составляли от 5 до 40 мм. Поверхностные полуэллиптические трещины имели глубину a = (0.2-0.8)t и полуширину по поверхности b = (1.6-5.0)a. Диаграмма растяжения материала аппроксимировалась билинейной зависимостью с модулем упрочнения Gp = 1200-3000 МПа. Размер конечных элементов в области вершины трещины составлял 0.17 мм.

Зона предразрушения выбиралась в такой области фронта трещины, где жесткость напряженного состояния была максимальной. Для краевых трещин эта область находится в середине фронта трещины. Для поверхностных полуэллиптических трещин при указанных соотношениях размеров максимальное значение имело место в самой глубокой точке фронта, которая и рассматривалась как расчетная. По результатам конечно-элементных расчетов строились графики изменения напряжений и деформаций в зоне предразрушения в форме зависимостей sr(k), ^r(k) (рис. 3) и epr(k).

Численный анализ показывает, что в области k < k2 на график зависимости sr(k) мало влияет толщина пластины t и модуль упрочнения Gp, что объясняется весьма малым значением пластических деформаций при таких нагрузках.

Приближенная оценка граничного значения k2 может быть выполнена по алгоритму, полученному на основании анализа численных расчетов (r0 = 0.5 мм) для краевых трещин:

k2 = min[ kf ; kf ], (11)

где

kf=1+0.65^ar0, kf=

Рис. 3. Зависимости £гЕЕМ(к), ¿г(к) (а) и Лг(к) (б) для пластины толщиной ^ = 20 мм с краевой трещиной длиной а. О, о, □ — значения ¿грЕМ (а) и ЛгБЕМ (б) при а = 10, 20 и 40 мм. Стрелками указаны значения к2РЕМ для пластин с трещинами указанных размеров. Зависимости ¿г(к) построены по формуле (13) при а = 10 (1), 20 (2) и 40 мм (3)

Рис. 4. Значения отношения в зависимости от размера трещины а: поверхностные полуэллиптические (7) и краевые трещины (2) при Gp = 1200 МПа; краевые трещины при Gp = 3000 МПа (3)

для поверхностных полуэллиптических трещин:

к2 = 0.8у[а/70. (12)

Значения коэффициентов Ш; в структурной формуле (10) подбирались таким образом, чтобы получить наилучшее приближение к графикам £г(к), построенным по данным численного анализа. В результате было сформировано выражение, описывающее функцию £г(к) в области к < к2 при Gp = 1200-3000 МПа для краевых трещин при а/В < 0.2 и поверхностных полуэллиптических трещин размером а = (0.2-0.8)^. Функция лг(к) при к < к2 описывается выражением

sг = 1.2к при 0 < к < к1,

sr = 1 + UI 1

1

2 , + V-^k2 при k < k < k2.

2 1 E

(13)

Для краевых трещин

U = 1.1 + , V = 1,

для поверхностных полуэллиптических трещин

U = 1.1 + 0254äblt, V = 0.

Примеры зависимостей, полученных по формулам (13), показаны на рис. 3, а (кривые 1-3).

Степень адекватности полученной зависимости оценивалась отношением ds = sr/srFEM, в котором sr определялось по (13) при k = k2 из (11) и (12), а значение srFEM вычислялось методом конечных элементов при k = k2FEM (рис. 3, б). Как видно из рис. 4, суммарная погрешность при расчете по формулам (11)—( 13) лежит в интервале ±10 %.

Таким образом, для вычисления первого главного напряжения в зоне предразрушения a1r = sray необходимо иметь данные о свойствах материала ay и Gp, а также значение коэффициента интенсивности напряжений Кь которое может быть определено численным методом для деталей любой

формы [3, 26]. При этом в расчете используется значение предела текучести при температуре на-гружения детали при испытании или эксплуатации, которое при отрицательных температурах будет выше, чем при нормальной температуре, поэтому возрастает и значение a1r = sray, т.е. чем ниже температура, тем при меньших напряжениях или при меньшем размере трещины будет выполняться условие хрупкого разрушения (1), т.к. напряжение отрыва S0 не зависит от температуры.

5. Заключение

Разработана математическая модель напряженного состояния зоны предразрушения перед вершиной трещины. Структура модели получена на основе ряда допущений о процессе деформирования пластической зоны, а параметры аналитического выражения найдены путем обработки результатов численного исследования напряженно-деформированного состояния деталей с трещинами.

Предлагаемая модель дает возможность вычислять среднее значение первого главного напряжения в зоне предразрушения как a1r = sray с погрешностью около 10 %. Этот результат может быть использован в условии хрупкого разрушения (1) для оценки прочности деталей с трещинами с учетом влияния размера трещины, уровня напряжений и отрицательной температуры.

Литература

1. Матвиенко Ю.Г. Модели и критерии механики разрушения. - М.: Физматлит, 2006.

2. Zhu X.K., Joyce J.A. Review of fracture toughness (G, K, J, CTOD, CTOA) testing and standardization // Eng. Fract. Mech. - 2012. - V. 85. - P. 1-46.

3. Barsom J.M., Rolf S.T. Fracture and Fatigue Control in Structures. Application of Fracture Mechanics. - En-glewood Cliffs, New Jersey: Prentice-Hall, Inc., 1987.

4. Матвиенко Ю.Г. Тенденции нелинейной механики разрушения в проблемах машиностроения. - М.Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2015.

5. Сибилев А.В., Мишин В.М. Установление критерия хладноломкости стальных образцов на основе критерия локального разрушения // Фундаментальные исследования. Технические науки. - 2013. - № 4. -С. 843-847.

6. Sokolov S., Grachev A. Local criterion for strength of elements of steelwork // Mech. Eng. Res. Education. -2018. - V. 12. - No. 5. - P. 448-453.

7. Соколов С.А., Грачев А.А., Васильев И.А. Анализ прочности элемента конструкции с трещиной в условиях отрицательных климатических температур

// Вестник машиностроения. - 2019. - № 11. -С. 42-46.

8. Васильев И.А., Соколов С.А. Исследование упруго-пластического напряженно-деформированного состояния пластины с трещиной // Деформация и разрушение материалов. - 2020. - № 3. - С. 16-20.

9. Kim Y.J., Son B., Kim Y.J. Elastic-plastic finite element analysis for double-edge cracked tension (DE(T)) plates // Eng. Fract. Mech. - 2004. - V. 71. - P. 945-966.

10. Tarafder M., Tarafder S. Modelling of Crack-Tip Blunting Using Finite Element Method. Report NML-GAP0088-03-2006. - Jamshedpur: National Metallurgical Laboratory, 2006.

11. Zhang J., He X.D., Suo B., Du S.Y. Elastic-plastic finite element analysis of the effect of compressive loading on crack tip parameters and its impact on fatigue crack propagation rate // Eng. Fract. Mech. -2008. - V. 75. - P. 5217-5228.

12. Ji X., Zhu F. Finite element simulation of elastoplastic field near crack tips and results for a central cracked plate of LE-LHP material under tension // Acta Mech. Sinica. - 2019. - V. 35(4). - P. 828-838. - doi 10. 1007/s10409-019-00846-1

13. Stepanova L. V., Adylina E.M. Stress-strain state in the vicinity of a crack tip under mixed loading // J. Appl. Mech. Tech. Phys. - 2014. - V. 55. - P. 885-895.

14. Beliakova T.A., Kulagin V.A. The eigenspectrum approach and T-stress at the mixed-mode crack tip for a stress-state-dependent material // Proc. Mater. Sci.: 20th Eur. Conf. Fracture (ECF20). - 2014. - V. 3. -P. 147-152.

15. Hajdu S. The investigation of the stress state near the crack tip of central cracks through numerical analysis // Proc. Eng. - 2014. - V. 69. - P. 477-485.

16. Jovanovic D.B. Stress state and deformation (strain) energy distribution ahead crack tip in a plate subjected

to tension // Facta Univ. Mech. Automat. Control Robotics. - 2002. - V. 3. - No. 12. - P. 443-455.

17. Kotousov H.Z., Fanciulli A., Berto F. On the evaluation of stress intensity factor from displacement field affected by 3D corner singularity // Int. J. Solids Struct. - 2013. - V. 78-79. - P. 131-137.

18. Kumar B., Chitsiriphanit S. Significance of K-domi-nance zone size and nonsingular stress field in brittle fracture // Eng. Fract. Mech. - 2011. - V. 78. -No. 9. - P. 2042-2051.

19. Shawn A., Nagaraj K. Effects of the strain-hardening exponent on two-parameter characterizations of surface-cracks under large-scale yielding // Int. J. Plasticity. - 2011. - V. 27. - P. 920-939.

20. Seitl S., Knesl Z., Vesely V., Routil L. A refined description of the crack tip stress field in wedge-splitting specimens—A two-parameter fracture mechanics approach // Appl. Comput. Mech. - 2009. - No. 3. -P. 375-390.

21. Steuwer A., Rahman M., Shterenlikht A., Fitzpat-rickM.E., Edwards L., Withers P.J. The evolution of crack-tip stresses during a fatigue overload event // Acta Mater. - 2010. - V. 58. - P. 4039-4052.

22. Копельман Л.А. Основы теории прочности сварных конструкций. - СПб.: Лань, 2010.

23. Линьков А.М. Пластическая деформация шайбы, впаянной в пластину // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. - 1971. - № 1. - C. 80-85.

24. Нейбер Г. Концентрация напряжений. - М.-Л.: Гостехиздат, 1947.

25. Качанов Л.М. Основы теории пластичности. - М.: Наука, 1969.

26. Соколов С.А., Тулин Д.Е. Методика вычисления коэффициента интенсивности напряжений для трещины в области концентратора напряжений // Изв. ТулГУ. Тех. науки. - 2020. - № 5. - С. 328-335.

Поступила в редакцию 06.11.2020 г., после доработки 19.02.2021 г., принята к публикации 22.02.2021 г.

Сведения об авторах

Соколов Сергей Алексеевич, д.т.н., проф., проф. СПбПУ, sokolov-sa@rambler.ru Тулин Даниил Евгеньевич, асп. СПбПУ, graftulin@gmail.com