Моделирование цифровых фильтров нижних частот Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

МОДЕЛИРОВАНИЕ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ НИЖНИХ ЧАСТОТ

1 2

Гомцян O.A. , Мосоян Д.О. Email: Gomtsyan1157@scientifictext.ru

1Оганес Гомцян Авакович - доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой; 2Давид Мосоян Оганесович - магистрант, кафедра радиоустройств, Национальный политехнический университет Армении, г. Ереван, Республика Армения

Аннотация: при компьютерном моделировании различных цифровых радиотехнических систем часто возникает необходимость исследования данных систем при различных частотах дискретизации и среза. При наличии в системе цифровых фильтров часто приходится варьировать эти параметры. В работе исследованы модели цифровых фильтров нижних частот (ЦФНЧ), расчет коэффициентов которых производится с помощью полученных соотношений при изменении частот среза и дискретизации фильтра, что позволяет без пересчета коэффициентов фильтра для новой частоты дискретизации продолжить моделирование без потери времени.

Ключевые слова: частота дискретизации, билинейное преобразование, порядок фильтра, каскадное соединение.

MODELING DIGITAL FILTERS OF LOWER FREQUENCIES

12 Gomtsyan O.A.1, Mosoyan D.O.2

1Gomtsyan Hovhannes Avakovich - Doctor of technical sciences, Professor, Head of Department; 2Mosoyan David Оvanesovich - Master Student, RADIODEVICES DEPARTMENT, NATIONAL POLYTECHNIC UNIVERSITY OF ARMENIA, YEREVAN, REPUBLIC OF ARMENIA

Abstract: during the computer modelling of various digital radio systems, it is often necessary to investigate these systems at different sampling and cut-offfrequencies. If there are digital filters in the system, you have to vary these parameters. Therefore, we studied models of digital low-pass filters (DLPF), whose coefficients are calculated using the obtained relations for changing the cutoff and sampling frequencies, which allows to continue the simulation without losing time, without recalculating the filter coefficients for the new sampling rate.

Keywords: sampling frequency, bilinear transformation, filter order, cascade connection.

УДК 621.391.26

1 Теоретическая часть.

Цифровые фильтры можно разделить на два основных больших класса: рекурсивные и не рекурсивные, алгоритмы которых во временной области в общем виде описываются следующими соотношениями соответственно [1]

у (п) = F [у (п — 1 ) ,у (п — 2 ) ,. . .х (п),х (п — 1 ) ,. . .] (1) у fa)=F[х(п),х(п — 1 ),...], (2) где х(п) и у(п)- входная и выходная последовательности сигналов, соответственно. Из этих двух алгоритмов более экономичным является первый, т.к. при этом используют данные об уже рассчитанных значениях сигнала у (п) в нескольких предыдущих тактах и повторные расчеты не производятся, как это имеет место во втором алгоритме. Поэтому в дальнейшем будем рассматривать рекурсивные цифровые фильтры (РЦФ).

В частотной области передаточная функция рекурсивного цифрового фильтра представляется следующей моделью [1]

К (г) - 1+2Г= ; А ■: " г - х (:) ' (3)

где г — е°:}ш - аргумент передаточной функции. X(г) — £ П=о*(п) ' г " " - ^ - преобразование последовательности Х(п). ак , /?г- действительные коэффициенты для аппроксимации требуемой частотной или импульсной характеристики фильтров.

Во временной области разностное уравнение цифрового фильтра имеет следующий вид

[1]

У (п) — £ 1= о а кх (п-к)- £ £ 1 р1У (п - I) (4)

Существует несколько форм (схем) построения цифровых фильтр (ЦФ): прямая, параллельная, каскадная и др. из которых наиболее интересной, на наш взгляд, является каскадная, поскольку она чаще встречается и позволяет довольно просто синтезировать фильтры высоких порядков, используя, как правило, элементарные субфильтры первого и второго порядков [1, 2]. При этом передаточную функцию можно представить следующим образом

К (г)—а оГЬм= 1Щ (г) , (5)

где - передаточные функции субфильтров первого или второго порядков, -количество каскадно включенных блоков.

Передаточные функции субфильтров первого и второго порядков описываются следующими уравнениями

К}1 ' (г)— (6)

к}2'м—«

При реализации РЦФ в различных формах возникают эффекты, связанные с квантованием входного воздействия, поскольку при умножении или сложении результат округляется или усекается, что приводит к ошибкам в расчетах. Кроме того, может произойти также и смещение полюсов передаточной функции ЦФ, что приводит к его нестабильности. Исследования показывают, что с ростом порядка фильтра эти смещения при прямой форме реализации увеличиваются [3]. Поэтому в прямой форме нежелательна реализация фильтров выше второго порядка. В этом случае, следует отдать предпочтение каскадной схеме с соответствующим подбором масштабирующих множителей.

В ряде публикаций [1-3] достаточно подробно изложены основные методы синтеза цифровых фильтров, которые, в конечном итоге, сводятся к определению коэфицентов ак и Как известно, существуют несколько методов расчета РЦФ, наиболее распространенным из которых является метод расчета по (аналоговым) фильтрам непрерывного времени с преобразованием области в область при помощи соответствующей замены переменных по методу билинейного преобразования. При этом будем считать, что имеется устойчивый аналоговый фильтр-прототип с передаточной функцией К (р) , где в общем случае р представлена в виде оператор преобразования Лапласа р — Е + ]'0. . Если заменить оператор р на некоторую рациональную функцию от г,

отображающую мнимую ось ]0. на единичную окружность в плоскости г, то получится фукция К (г) , которая на окружности принимает те же значения, что и функция К (р) , определенная на мнимой оси. При этом зависимость между р и г имеет по определению следующий вид

г = ер 1 т = е( *+>ш) т, (8)

где Т - период дискретизации, а оператор р1 = а + ]' со отображает частоты на плоскости

г.

Как видно из (8) эта зависимость имеет нелинейный характер. Если теперь просто заменить на , то полученное выражение для не будет рациональной функцией и не может быть реализовано. Поэтому для замены было предложено билинейное преобразование вида [2, 3]

(9)

Подставив (8) в (9) можно получить другую запись этого преобразования

р=--^т. (10)

Заменив величину р в передаточной функции К (р) на выражение (10), получим передаточную функцию цифрового фильтра , которая является действительной

рациональной функцией от .

Соотношение между частотами среза полосы пропускания аналогового фильтра 0.с и соответствующего цифрового фильтра сс имеет следующий вид

= (11)

Отсюда видно, что эта зависимость нелинейная и частота среза аналогового фильтра изменяется, т.е. происходит, так называемая, деформация частот. Следовательно, для корректного преобразования 0.с в сс следует задаться определенной частотой 0.с. Однако, практически, во всех справочниках приводятся передаточные функции нормированных аналоговых фильтров, у которых 0.с = 1 . С целью "денормировки" прежде, чем осуществить преобразование (10) во [2] предлагается предварительно использовать замену оператора р, например, для фильтров нижних частот, на Отметим, что рассмотренные два

2

преобразования несколько усложняют вычисления и, кроме того, множитель - в (9) и (10) можно не учитывать. Тогда для ЦФНЧ окончательно получим

^с = Ьд (12)

Р=(13)

Из (11) нетрудно получить и другую зависимость между £2с и сс.

шс=--аг с Ь д(^р) (14)

Выражения (12) и (14) дают возможность синтезировать ЦФ по аналоговому типу по следующей методике:

1. по справочникам выбирается требуемая передаточная функция фильтра-прототипа, далее производится двойная (или одинарная) замена оператора для получения передаточной функции ЦФ в виде отношения полиномов по степеням г ~1;

2. задаются частоты дискретизации , среза полосы пропускания и затухание на этой частоте, а также переходная частота соп и затухание Ап на этой частоте требуемого

ЦФ;

3. вычисляется порядок фильтра .

Определив порядок фильтра, можно синтезировать его каскадным соединением субфильтров первого и второго порядков, как было отмечено ранее.

2 Результаты расчетов.

Ниже приводится методика расчета субфильтров, причем, в качестве аналоговых используются фильтры нижних частот Баттерворта, имеющие известные преимущества и недостатки перед другими типами фильтров [1].

Для нормированного аналогового фильтры нижних частот Баттерворта первого порядка из [3] находим его передаточную функцию

(15)

Произведя первую замену р на р / —с, получим следующее выражение

(Р \ _ 1 _ —с к \Ду — 1 + р/—с — р + —с (1 6)

Далее, осуществив вторую замену

1

V =

1 + г-1 г + 1'

получим

с

К (г) —-1 ■ 1 7)

0 + _—£

1 *с + г+ 1

Опуская промежуточные выкладки, окончательно получим

ап + а, г-1

К(г) = ° 1 , , 18)

где коэффициенты фильтра равны

а о — а 1— ——; В1 — 1—^

о 1 — с: 1 — с: 1'

причем, — с — Ь д ^ — Ь д с — 2 7гЕс, а^ — 1- частота дискретизации.

В соответствии с этой передаточной функцией составим разностное уравнение

фильтра во временной области, с помощью которого можно осуществить моделирование данного цифрового фильтра

у (п) — аох (п) + а1х (п — 1 ) — р1 у (п — 1) (19)

Отметим, что начальное условие можно выбрать нулевым.

Общая методика расчета ЦФ по аналоговому типу приведена в [1,2]. Воспользуемся рекомендациями, приведенными в этих публикациях и рассмотрим пример расчета порядка фильтра ЦФ со следующими данными: частота дискретизации I; — 32 кГц; частота среза полосы пропускания Ес — 3 . АкГц и затухание на этой частоте А с — 3 дБ; переходная частота Еп — 8 кГц и затухание на этой частоте Ап= 20дБ.

Как известно, ФНЧ Баттерворта определяется квадратом модуля его передаточной функции, равным [2]

\К(]ш)\2=-

Ы-)

(20)

Тогда из приведенных выше данных имеем

^ (ОСТ\ ^ прс ^ п.3,4 „ , . , ^ (О1пТ\ ^ прп ^ п.8 .

Ь д Ш — Ьд^С — Ьд —=0,346; ЬдШ — Ьд1п — Ьдз8 — 1

Так как на переходной частоте затухание выбрано 20дБ (10 раз), то из (20) можем записать

N

1 +

шпТч

tg m

+ ГШСТЛ

tflC-f-).

N

1 +

0,346

= 10

Откуда определим порядок фильтра п = 3 . Такой фильтр можно синтезировать, например, каскадным соединением трех субфильтров первого порядка или двух субфильтров второго и одного субфильтра первого порядков.

Рис. 1. Амплитудно-частотные характеристики ФНЧпервого порядка

3 Заключение.

Отличительной особенностью предложенной методики является то, что при необходимости синтезировать фильтр, не требуется определять коэффициенты для новой частоты среза и дискретизации, т.к., задав их, расчет производится по полученным формулам. Таким образом, можно варьировать эти частоты и исследовать характеристики фильтров, не осуществляя каждый раз новый расчет этих коэффициентов.

В нашей работе осуществлено компьютерное моделирование амплитудно-частотной характеристики субфильтра первого порядка по вышеприведенным формулам при разных и (рис. 1).

Список литературы /References

1. Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. 2-е изд. / Пер. с англ. М.: ООО "Бином-Пресс", 2007.

2. Голд Б., Рэйдер Ч. Цифровая обработка сигналов / Пер. с англ.; Под ред. А.М. Трахтмана. М.: Сов. радио, 1973.

3. Оппенгейм А.В., Шафер Р.В. Цифровая обработка сигналов / Пер. с англ.; Под ред. С.Я. Шаца. М.: Связь, 1979.

4. БогнерР., Константинидис А. Введение в цифровую фильтрацию / Пер. с англ.; Под ред. Л.И. Филлипова. М.: Мир, 1976.

5. Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов / Пер. с англ.; Под ред. Ю.Н.Александрова. М.: Мир, 1978.

6. Мизин И.А., Матвеев А.А. Цифровые фильтры (Анализ, синтез, реализация с использованием ЭВМ). М.: Связь, 1979.

7. Рекурсивные фильтры на микропроцессорах / А.Г. Остапенко, А.Б. Сушков и др.; Под ред. А.Г. Остапенко. М.: Радио и связь, 1988.