CC BY
60
УДК 629.7.05:004.9
МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕПЛОВЫХ И ТЕРМОМЕХАНИЧЕСКИХ ЭФФЕКТОВ В ЭЛЕМЕНТАХ МИКРОСХЕМ ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ БОРТОВОЙ АППАРАТУРЫ УПРАВЛЕНИЯ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ
© 2011 Ю. К. Фортинский Воронежская государственная лесотехническая академия
Рассмотрены модели возникновения тепловых и термомеханических эффектов от воздействия рентгеновского излучения. С их помощью определяются величина температуры разогрева и численное значение напряжения в элементах конструкции микросхем.
Радиация, рентгеновское излучение, тепловые эффекты, термомеханические эффекты, температура, напряжение, стойкость, радиационные отказы.
Для моделирования тепловых и термомеханических эффектов предложена динамическая математическая модель. Известно, что данные эффекты возникают при воздействии на изделие рентгеновского излучения с энергией несколько десятков КЭВ, так как оно характеризуется значительным
поглощением [1, 2]. За счёт резкого выделения энергии за очень малые промежутки времени (наносекундный диапазон) в элементах конструкции и кристалле изделия наблюдается мгновенное увеличение температуры и термомеханический удар. На фоне данных явлений наблюдаются ионизационные эффекты.
Для моделирования этих явлений предложено допущение о двухэтапном протекании данных процессов: первый -увеличение температуры и возникновение термомеханического удара в момент воздействия излучения и непосредственно после него, второй - перераспределение тепла и возникновения напряжений в элементах конструкции после воздействия импульса излучения [1, 2].
Поместим рассматриваемое изделие в систему координат. За начало координат возьмем один из нижних углов корпуса, а ось 02 направим перпендикулярно плоскости изделия (рис. 1). Считаем, что поток излучения ортогонален плоскости хОу.
Рис. 1. Общий вид микросхемы в системе координат
Обозначим через & область в пространстве Я3, занимаемую
рассматриваемым изделием. Она состоит из подобластей &, представляющих собой слои конструкции, то есть различные материалы. Пусть Г= д & - граница
области &, Р= д & - границы подобластей &. Обозначим через Г' часть границы Г, представляющую собой верхнюю поверхность корпуса, и через Г" - нижнюю поверхность.
Введём в & равномерную сетку Шъ={(х,у,2)е &} с шагами Ъх,Ьу,Ь2 по
пространственным переменным. Причём шаги выберем таким образом, чтобы узлы сетки содержали внутренние границы Р. Множество внутренних узлов сетки состоит из точек (х,у,2)Е &\и Г *
У
пересечения гиперплоскостей х=Ъх1, У=Ьу], г=И2к, у,к=0±1 ,±2,....
Множество уь граничных узлов состоит из точек пересечения прямых Сх, Су, С2, проходящих через все внутренние узлы (ху,г)Е тн, с границей Г. Множества Ун,х, Уь,у, Ук,г граничных по направлениям ху,г узлов состоят из точек пересечения прямых х=Ъх1, у=Ьу}, 2=кгк соответственно с границей Г области &.
В каждом узле сетки
рассчитываем значение дозы
предложенной формуле
D(xi >У] > zk ) =r(zk ) x
2 max
Х\ J Vkm(E)XEXn(E)Xt
-Pij(E)(zo-Zk)
(1)
tI Emi
Zi(zJ-
f*
0,5x—^~ x
fs
0,
f \ l--j
V * У
f*
0,5xf^~ x
fs
\2/
Л/j
l-
V
по
0,5xfxf x
/ \
Zk0+df<Zk<Zk,-df,
fs S{s-1
8 f °s,s-1
V /
0,
£j(Zk)-
0,
где fkj(E) - линейный коэффициент
ослабления, зависящий от материала слоя в точке (xivy-,Zk); r(zk) - поправочный коэффициент, определяющий рассеяние и взаимное проникновение электроном на границе двух областей; fkm(E) - массовый коэффициент передачи энергии для квантов с энергией E; n(E) - функция, описывающая распределение квантов по спектру энергии от Emin до Emax-
В соотношении (1) для учёта эффектов взаимопроникновения излучения между слоями предложено введение поправочного коэффициента. Величина этого коэффициента была определена экспериментально и рассчитывалась следующим образом:
r(zk )=1<1 (zk ) + ^2(zk) + ZJ (zk )-
-Z4(zk)+Z5(zk)+Z6(zk),
k k0 ’"',ks ;
f* s.f
f 8 ,
0,5x-^— x-^+L f
f 8 ,
1 s s,s+1
z, £ z, < z, -8
k0 k ks s+1
,\-8+1 < zt < z„s;
Z4 (z, )=
k*
f \
1 zi
8s ,
f
0,5xL^— x
k*
f
0,5xL^— x
Zs(zk) =
к* ?k
f , 8 .
0 5x-±L x-^- x k
fs 8,-1
0,
Z6(zk)=
0,
k* ck
f 8 ,
0,5x^- x-^±L k
f 8
1 s s,s+1
zk0 < zk < Ss+zk0’
Vj
, zk-8 < zk < zk;
r \ 1--*
V 's'-1
,z, < z, < z, +8 ,,
Ю k ,0 s-1
z +8 <z < z '
*0 s-1 *k - *ks>
z £ z £ z -8
k0 k ks s+1
,zk -8 < z < z
’ ks s+1 k ks
где /л{* - массовый коэффициент
фотопоглощения материалом области &*, /Лц - массовый коэффициент поглощения, ё*, и ё{++1 - величины пробегов
фотоэлектронов в материалах &, и
&+1, соответственно, ё^^ и ё^*+1 -
г!
Б_
о
5+1
• *
г!
В5
/ - V, І/ \Г
о
.5-1
81
и-5-1
Рис. 2. Явление фотоэлектрического эффекта на границах раздела областей
С
фотоэлектроны, вылетающие из слоя & 6 в &6-1 и &6+1
фотоэлектроны,
влетающие в и5 из и + „
/
- фотоэлектроны, влетающие в и5 из и5-1)
величины пробегов фотоэлектронов,
образующихся в материалах 6-1, ,6+1 слоёв,
и
д
5+1
- величины пробегов комптон-электронов в материалах и5, и
1
и и
5+1
соответственно,
д:
д:
6,6-1 ’ 6,6+1
величины пробегов фотоэлектронов, образующихся в материалах 6-1, 6+1 слоёв.
На рис. 2 показано
взаимопроникновение частиц на примере фотоэффекта.
Для решения задачи резкого выделения тепла и последующего его перераспределения предложено рассматривать две задачи. Первая состоит в определении поля температур непосредственно после воздействия напряжений сжатия, расширения и оценки стойкости к тепловым и термомеханическим эффектам, вторая - в моделировании распределения температурного поля после воздействия из-за перераспределения температур, деформации конструкции вследствие этого возникновения напряжений. При этом оценка стойкости осуществляется через квантованные моменты времени.
Вначале в соответствии с динамическим рассмотрением задачи выбирается шаг квантования по времени т. Для каждого момента времени Ц=рт, р=0,1,2,... рассчитывается распределение температуры и напряжения растяжения-сжатия.
Проведя расчёты указанным образом, будем иметь распределение температуры и напряжений в каждый момент времени Ц с начала воздействия импульса (^0).
Для определения поля температур введём обозначения: с=с(х,у,2) -
теплоёмкость в точке (х,у,2), С . =с6,
4 \(х,у,2)Е &6 ’
материала с
р=р(х,у,£) - плотность
к°°рдинатой (хуг1 р (^ &6=р,
х=х(х,у,2) - коэффициент
теплопроводности в точке (х,у,2), А(ъу.ф &-=Х6, Т=Т(хуг;{) - температура в
точке (х,у,2) в момент времени t.
Рассмотрим вначале процесс мгновенного разогрева. Изменение температуры в каждой точке области & происходит лишь за счёт поглощения
энергии излучения и
уравнением
дТ дБ , . _ Л
ср —=, (х,у,£)єи, і>0, д і д і
описывается
(2)
ср
д Т д
д і д х
X
дТ_ д х
д_ д У
X
дТ_ д У
+-
д_ д 2
X
дТ_ д 2
(6)
, (х,у,і)є и, і>і .
где В=В(х,у,1;Х) - доза, полученная
каждым слоем. С учётом начального условия
Т(х,У,2’'0) = Тнач (Х,У,2) , (Х,У,2)£ ии
(3)
получим задачу Коши, которая решается аналитически, и её решение имеет вид [1, 2]
Т(х,У,і;і) =---------------------
с(х,У,2)р(х,У,2)
+ Тнач (х,У’2)’ (х,У,2)С и.
В(х,У,і;і)-
(4)
Поскольку значение і0 мало, для удобства вычислений можем считать за начальное время і=0.
Значение температуры в начальный момент времени определяется на предыдущем этапе и вычисляется по формуле
Т(х,У,і;0)=Т0(х,У,і), (х,У,і)є и.
(7)
На границе области & происходит теплообмен с окружающей средой, который описывается граничными условиями третьего рода
Необходимо определить значение температуры Т в момент времени, когда действие импульса прекращается:
Т0(х,у,2) = —----^------Р(х,у,2^0)+
с(х,у,1)р(х,у,1) (5)
+ Тнач (X,У,Z), (х,У,2)Е &.
Функция описывает распределение температуры в структуре изделия непосредственно после действия импульса. Значение дозы Б(х,у,г;10) рассчитывается
в узлах сетки по формуле.
Теперь переходим ко второй задаче, которая должна быть решена в
соответствии с предложенным подходом. Действие внешнего источника
прекращается, и в течение некоторого времени происходит перераспределение температуры, которое в области & описывается уравнением теплопроводности с переменными коэффициентами [1, 2]:
-Х
дТ_ д п
-в(Тр-Т\
(ху,ї)єд и
(х,У,2)ед и
(8)
Поскольку область & неоднородна, то на границах раздела подобластей & должны выполняться условия сопряжения
[%
\(х,У,г)єд и
5=1,...,3,
X
д Т д п„
(х,У,2)єд и
(9)
где д и - граница области и, д и5 -граница подобласти и5, Ь - коэффициент теплопереноса, Тср - температура среды, п - нормаль к границе и, п5 - нормаль к границе и5, [Т] - скачок функции Т(ху,г) при переходе через границу и5.
Таким образом, получена краевая задача для уравнения теплопроводности в области и є Я3. Перераспределение тепла происходит в течение некоторого времени ітса, по истечении которого температура корпуса и кристалла сравнивается с температурой окружающей среды. Момент времени ітах прогнозируется и обычно составляет 1000 секунд. Таким образом, приходим к математической задаче [1, 2].
В цилиндре д=&*[0 £ t £ гпак]
требуется найти непрерывную функцию Т(х,у,1-Л), где (х,у,2)Е &,
удовлетворяющую уравнению
ср =div(xgradT),
ді
(х,У,г)є и, і>0,
начальному условию Т(х,У,2;0)=Т0, (х,У,2)є и, граничному условию дТ
-X
дп
(10)
(11)
(12)
и условиям сопряжения на границах раздела структурных слоёв
(а)
ШР-Та))
Ьи ди
X
дЛ
д и
где
и=х,У2,
а
+3
-(р+1)Т
- шаг
квантования по времени.
Изложенный подход позволяет определить динамику изменения
температур и оценить время потери работоспособности вследствие
превышения температурой активных
элементов кристалла предельно-
допустимых значений.
Выделение в твёрдом теле энергии за время, меньшее, чем необходимо для расширения и разгрузки, приводит к возникновению в нём напряжений сжатия. Характерное время распространения
механических напряжений в твёрдом теле определяется отношением пути, проходимого возмущениями, к скорости звука в веществе. Для плоского двумерного слоя
X
д Т
д п„
(13)
Ъ_
(15)
Для решения данной задачи предложен метод суммарной
аппроксимации, который позволяет рассчитать значения температуры в узлах трёхмерной сетки с определённым шагом квантования по времени. Тогда значение температуры определяется решением
последовательностью
уравнений
1 д Т(2) 3 д і
Чо при і ,1<і<і 2 ,
Р+
Р+
1 д Т
(3)=ЬТ при ір+2<і<ір+Г.
3 д і (х,У,2)є и\и Г5
р+-
одномерных
(14а)
(14б)
(14в)
с условиями:
Т(1/хуг;0)=Т0(хуг),
Т(а)(х,У,2;і а-1 )=Т(а-1)(х,У,2;і а-1 ) , а = 1,2,3 ,
' 7 р+---------- ' 7 р+-----------------
3 3
где т - время прохождения среды возмущением; Узв - скорость звука.
Максимальная величина сжимающих напряжений определяется по формуле
а=
ваАТ 1-2у
(16)
где Е - модуль Юнга; а - коэффициент линейного расширения; V - коэффициент Пуассона; АТ - увеличение температуры.
Приняв допущение о малом изменении размеров области, получаем выражение
а=
аЕАТ
12
(17)
Это максимальное напряжение сжатия, которое будет в том случае, если выделение энергии в твёрдом теле происходит мгновенно. Если время выделения энергии в твёрдом теле
п
Т
Т
сравнимо с характерным временем распространения волны напряжения (4>т) или больше него, то эти напряжения не достигнут максимальных значений вследствие разгрузки слоя одновременно с поступлением энергии. В этом случае выражение (17) принимает вид
аЕАТ
12~'
(17а)
где ка - коэффициент, показывающий степень механической разгрузки слоя за время действия импульса.
Коэффициент ка зависит от физикомеханических свойств материала и поэтому различен для разных материалов. Кроме того, существует и его зависимость от длительности импульса по закону 10(е~а1 -в~в‘), где коэффициенты 10, а, Ь
определяются экспериментально для различных материалов.
В первом приближении предложено считать
амплитуда каждой из волн равна / <Утах. Распространяемые волны сжатия проходят через всю структуру и отражаются от её свободных границ, как волны расширения, которые наиболее опасны. Волны расширения,
распространяющиеся в структуре от разных свободных границ,
интерферируют, что ведёт к сложению амплитуд волн и резкому увеличению растягивающих напряжений. При прохождении волн через структуру происходит затухание волн, которое выражается в том, что амплитуда волны уменьшается по закону Л=Лое~аа.
Кроме того, в многослойной
структуре, физико-механические свойства слоёв которой различны, величины растягивающих напряжений зависят от коэффициентов прохождения и отражения на границах слоёв
2Я2
пр. 1,2
Я1+Я2
отр.1,2
Я2-Я1
В-1+В-2
(19)
I
если к<КвТи если И3Ут„
(18)
где
I
V
Т
V и 0
определяется
экспериментально из соотношения
к=
1-е
Таким образом, определено напряжение сжатия. Как правило, данное напряжение не приводит к разрушению материала, так как динамическая прочность на сжатие очень велика.
Следующим процессом, который проходит в многослойной структуре, будет генерация волн напряжения, исходящих из слоёв, где возникают напряжения. Если описать разгрузку в виде двух волн, направленных к каждой из поверхностей слоя, то максимальная
где кпр1,2 - коэффициент прохождения из 1-го во 2-й слой; котр1,2 - коэффициент отражения между 1-ым и 2-ым слоем; Я -акустическое сопротивление Я=р¥зв.
Если акустическое сопротивление одного материала много меньше другого, то такой материал будет свободной границей.
Помимо термомеханического удара наблюдаются напряжения, возникающие вследствие расширения конструктивных элементов от выделившегося в них тепла. При классическом подходе эти явления рассматривались без учёта габаритных размеров конструкции, а оценка напряжения проводится в момент времени непосредственно после воздействия импульса.
В настоящей работе предложена модель, которая позволяет учесть габаритные размеры конструкции изделия и производить оценку напряжений в момент времени, когда эти напряжения достигают максимального значения.
1
Задача расчёта термомеханических напряжений в трёхмерной области включает в себя три уравнения равновесия [1, 2]:
д х д у д г д т д 0 д ту
ху Л- у Л- гу ^0
д г
д о г
д г
(20а)
(20б)
0
д х д у шесть уравнений деформаций
д 2£х , д 2 -у д 2 Уху
д у2 д х2 д хд у ’
д Ууг , д Ух д Уху
д_ д г
2
д х д у д г
2 " д 2 7 уг
д г2 д у2 д уд г
д_ д х
д Ух , д Уху д Уу
д у д г д х
д 2 -г I ________£_
д хд у ’
,д2 -х д уд г’
(21а)
(21 б)
д х2 д г2 д гд х’
д_ д у
д Уху , д Уу, д Уг
д г д х д у
д гд х ’
(21 в)
Е 1+у
Е Тху:
1
Е
1 + У
(22а)
£у=-^(0у-У*(0г+0х))+аТ ■
Е V
(22б)
- г = Т*(0 Г^(0 х + 0 у))+аТ
Е
Ух:
1 * 1+у
или в обратной форме
0х=Х (х + £у+£г-3аТ )+2С* (х-аТ )
Е
Тху 1 + у* Уху ,
0~=Х (х+-у+-г-3аТ )+2&* (ух-аТ )
у
Е
Туг ] + у* ^у2 ,
0 =* ( -х+-у +-г -3аТ )+2&* ( - -аТ )
Е
(23 а)
(23 б)
(20в)
совместности где X
■ =------------------у
хг т , * / хг’’
1 + У
* т-.*
V Е
Ляме, G
(1+у)(1-2у )
Е*
2(1+у)
(23 в)
- коэффициент модуль сдвига,
шесть уравнений обобщённого закона Г ука в прямой
-Х = Е*(0х-У(0у + 02))+аТ ,
Т(ху,г^р)
а*= | а* (Т)ёТ - температурный
Та(х,у,г)
коэффициент расширения.
На нижней части поверхности выполняются кинематические граничные условия в перемещениях и=0, у=0, н=0, (24)
а на остальных частях поверхности задаются статические граничные условия в напряжениях
0х1+Тухт + ТгхП = 0 ,
Тху1+0ут+ТгуП = 0 ,
Тхг1+Тугт + 0П = 0 , (25)
где 0х , 0у , 0г , Тху , Туг , Тгх - компоненты
тензора напряжений; £х, -у, , Уху, У у,,
угх - компоненты тензора деформаций; и , V, н - перемещения по х, у и г, соответственно; I, т , п - направляющие косинусы нормали п к поверхности д О .
На основе данного подхода получаем задачу расчёта термомеханических напряжений в трёхмерной многосвязной области д 0 х д Т т д
д х ду д г
(22в) д Тг+ д т„ д
«■+“ т«=0 дТху.+д0±+дТу.=0
д х д у д г
0
д х ду д г
д Ч д 2 еу д 2 Уx
д у2 д х2 д хд у ’
д Y>* , д у2Х д Уху
д_ д z
д 2 £
д х д у д z
______= д 2 Ууг
д z2 д у2 д уд z ’
д Ух , д Уху д У:
д 2 £г |___________z_
д хд у ’
/yz
д у д z д х
д 2 д 2 Уzx
,д 2 £х
д уд z’
д_ д х
д \ ___________
д х2 д z2 д zд х’
/ д Уху ,д Ууг д Ух } д 2 £у
д_ д у
о.,=
--2
д zд х ’
о.
о
д z д х д у
\ у
=Х (£х+£у+£2-ЗаТ )+2G(£х-ат), E
= 1+v Уху ’
=* (£х+£у+£г-3аТ )+2G (£у-аТ ) =
E
' =-----У
у? 1+у 6*’
^ (£х+£у+£г-3аТ )+2G (£z-aT ) >
(26)
E
-Ух
1+V
На нижней части поверхности ставятся кинематические граничные условия в перемещениях и=0, v=0, н=0, (27)
а на остальных частях поверхности задаются статические граничные условия в напряжениях
0х1+Тухт + Тгхп = 0 ,
Тху1+0ут+Тгуп = 0 ,
Тхг1+Тугт + 0 гП = 0
ГДе 0х , 0у ,
уг -
(28)
т ,х - компоненты
Уху 5 У у
Ляме; G=
E
2(1+v)
J a(T)dT
Т(ху.Ы.)
модуль сдвига;
температурный
тензора напряжений; ех угх - компоненты тензора деформаций; и , V, н - перемещения по х, у и г, соответственно; I, т, п - направляющие косинусы нормали п к поверхности д О; Е - модуль Юнга; V - коэффициент vЕ
Пуассона; Х =---------- - коэффициент
(+)(1^)
Т0 (х,у,г)
коэффициент расширения.
Для решения этой задачи рассматриваемая конструкция представляется как кусочно-однородное тело, т.е. тело, состоящее из отдельных частей с различными, но постоянными в пределах каждой из них, физико-механическими характеристиками. В качестве начального распределения температуры используется полученное при расчёте тепловых эффектов динамическое поле температур.
Стойкость к рентгеновскому излучению по тепловым и термомеханическим эффектам определяется с помощью нахождения максимальных уровней рентгеновского излучения, при которых не происходит катастрофических отказов.
Библиографический список
1. Ачкасов, В. Н. Разработка средств
автоматизации проектирования
специализированных микросхем для управляющих вычислительных комплексов двойного назначения [Текст] / В.Н. Ачкасов, В.М. Антимиров, В.Е. Межов, В.К. Зольников. - Воронеж: Воронеж. гос. ун-т, 2005. - 240 с.
2. Фортинский, Ю. К. Автоматизация управления и проектирования в электронной промышленности [Текст] / Ю.К. Фортинский, В.Е. Межов, В.К. Зольников, П.П. Куцько. -Воронеж: Воронеж. гос. ун-т, 2007. - 275 с.
References
1. Achkasov, V.N. Designing of computer-aided facilities for designing specialized microcircuits for double-purpose operating computer complexes [Text] / V.N. Achkasov, V.M. Antimirov, V.Ye. Mezhov, V.K. Zolnikov. - Voronezh: Voronezh State University, 2005. -240 p.
2. Fortinsky, Yu.K. Automation of management and designing in electronic industry [Text] / Yu.K. Fortinsky, V.Ye. Mezhov, V.K. Zolnikov, P.P. Kutsko. - Voronezh: Voronezh State University, 2007. - 275 p.
MODELING THERMAL AND THERMOMECHANICAL EFFECTS IN ELEMENTS OF MICROCIRCUITS FOR THE DESIGN OF AIRCRAFT CONTROL AIRBORNE
EQUIPMENT
© 2011 Yu. K. Fortinsky Voronezh State Academy of Forestry Engineering
The paper deals with the proposed models of initiation of thermal and thermo mechanical effects under the influence of x-ray radiation. The warming-up temperature and the numerical value of pressure in elements of microcircuits are defined.
Radiation, х-гау radiation, thermal effects, thermomechanical effects, temperature, pressure, stability, radiation failures.
Информация об авторах
Фортинский Юрий Кирович, кандидат технических наук, докторант кафедры вычислительной техники и информационных систем, Воронежская государственная лесотехническая академия, wkz@rambler.ru. Область научных интересов: управление и поддержка принятия решений в экономических системах и автоматизация проектных работ.
Fortinsky Yury Kirovich, candidate of technical sciences, doctoral of the department of computer facilities and information systems, Voronezh State Academy of Forestry Engineering, wkz@rambler.ru. Area of research: management and support of decisionmaking in economic systems and automation of design works.
