Моделирование технологических систем механической обработки с учетом реологии контактных взаимодействий Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.9: 621.833

Моделирование технологических систем механической обработки с учетом реологии контактных взаимодействий

Т. М. Бундур, Д. В. Васильков, Т. Б. Кочина

Дано модельное представление системы звеньев технологической машины при динамическом нагру-жении с учетом реологии в контактном соединении с учетом различных видов технологических воздействий, в том числе резания и трения.

Ключевые слова: технологическая система, моделирование, трение, механическая обработка, реология, контактное взаимодействие.

Используя совокупность динамических моделей технологической системы [1—3], построенную по иерархическому принципу, можно выполнить ряд исследований, связанных с выбором и оптимизацией условий контактных взаимодействий. На рис. 1-5 приведены основные схемы взаимодействия упругой механической системы с контактным трибологическим процессом, которые имеют место в металлорежущих станках.

Схема взаимодействия упругой системы и контактного соединения при одностороннем воздействии (см. рис. 1) подробно моделирует элементы технологической системы механической обработки (ТСМО) типа ползунов и суппортов на направляющих. При моделировании трибосопряжений (см. рис. 2) основными видами контактных соединений являются: неподвижное и подвижное упругодис-сипативное (рис. 2, а); подвижное упругое (рис. 2, б); подвижное жестко-инерционное (рис. 2, в). В металлорежущих станках применяют различные накладки на направляющих из меди, фторлона и других материалов [4]. В этом случае при моделировании трибо-сопряжения необходимо учитывать взаимодействие упругопластической среды с распределенными параметрами с фрикционным эле-

ментом (см. рис. 3). Что же касается процесса резания, то его также можно рассматривать с общих позиций как подвижное трибосопря-жение (см. рис. 4). В различных устройствах редукторного типа широко используются зубчатые передачи [5, 6], в которых также имеется трибосопряжение в контактном соединении зубьев (см. рис. 5).

Важным вопросом при построении схематизированных выше моделей является математическое описание взаимодействия подсистем в процессе трения, т. е. представление оператора, отображающего динамическую характеристику трения. Поскольку существуют различные подходы в описании процессов резания и трения с использованием динамических и квазистатических представлений, то и получаемые модели технологической системы могут различаться существенным образом [7]. Отметим, что то или иное описание, которое может рассматриваться как более или менее правдоподобная аппроксимация исследуемых процессов, всегда опирается на результаты представительного эксперимента, позволяющего идентифицировать соответствующие параметры. Пределы правомерного использования таких моделей всегда ограничены в пространстве параметров, определяющих режимы обработки, что очень сложно установить.

МЕШПООБМБОТК|»

/7/7

///////// Л/ / /// //

Рис. 1. Одностороннее воздействие упругой системы на контактный элемент

Рис. 2. Контактные соединения: а — неподвижное и подвижное упруго-диссипативное; б — подвижное упругое; в — подвижное жестко-инерционное

Рис. 4. Взаимодействие режущего инструмента и заготовки в процессе резания

' 1х> 1г'

Рис. 5. Взаимодействие зубьев одноступенчатой зубчатой передачи

////// /А/ ////А/ /// ///

Рис. 3. Взаимодействие упругопластической среды с распределенными параметрами с фрикционным элементом

гг

< 1

о сх

?7

/7///////У/

Рис. 6. Моделирование движения ползуна при одностороннем воздействии со стороны привода

Здесь представлены два логически обусловленных подхода. Первый из них заключается в использовании без каких-либо упрощающих допущений одной из наиболее полно обоснованных и проверяемых экспериментально моделей. На основе сопоставления результатов, получаемых для нелинейной и линеаризованной моделей, можно оценить степень влияния на динамические характеристики нелинейностей процесса трения. Ниже приведена модель, предложенная в работе [8], с квазистатическим описанием процесса трения. Второй подход основан на выводах относительно чувствительности техно-

логической системы к изменению характеристик трения и необходимости перехода к динамической характеристике процесса трения. На основе такой модели, которую можно считать уточненной по отношению к моделям предыдущего уровня, возможно оценить правомерность используемых допущений при построении моделей низшего уровня.

В рамках первого подхода рассмотрим простейшую динамическую модель технологической системы с трибосопряжением, в основе которой лежит модель, представленная на рис. 6. Схематично представлено моделиро-

1

2

о

Ь

X

т

вание движения ползуна при одностороннем воздействии со стороны привода. Здесь основным объектом является ползун 1 массой т. Точка А ползуна с координатой х определяет его текущее положение. Привод 2 задает движение ползуна посредством упруго-диссипа-тивного соединения с приведенными коэффициентами жесткости сх и диссипации Ьх. Положение точки О является заданной функцией времени f(x0). Дифференциальное уравнение движения ползуна можно записать в виде

тх + bx (x - x0) + сх (x - x0) - F sign x = 0, (1)

где F — сила трения.

Сила трения F в данном случае является квазистатической характеристикой, интегрально описывающей условия контактного взаимодействия в трибосопряжении ползуна и поверхности, по которой он перемещается.

В рамках второго подхода предоставляется возможность перехода к динамической характеристике трения путем дифференцированного рассмотрения контактного взаимодействия с учетом реологических процессов в трибосопряжении. При этом схема, моделирующая движение ползуна, усложнится путем введения реологических элементов. Структура модели меняется, она становится двухконтурной (рис. 7). Возможности модели расширяются с учетом упругодиссипативных характеристик со стороны звена 3, взаимодействующего с ползуном 1 в направлении оси у посредством упругодиссипативного соедине-

0 = O(x0);

01 = ox(yo);

A = A(x, y)

ж

Oi

7TT

/ /у

о A

t 1

Rn

t

/ / / / /

Рис. 7. Двухконтурная динамическая модель ползуна при одностороннем воздействии со стороны привода

ния с приведенными коэффициентами жесткости Су и диссипации Ьу. Положение точки О^ рассматриваемого звена является заданной функцией времени Дуо). Реология контактного взаимодействия формируется по аналогии с исследованием [9]. Касательная составляющая силы сопротивления Rt представляет собой силу трения, а нормальная составляющая Rn — совокупность подъемной силы, которая моделирует эффект всплывания ползуна при контактном взаимодействии его с поверхностью (с учетом наличия смазки) и силы контактного взаимодействия в нормальном направлении. Система дифференциальных уравнений движения ползуна в данном случае может быть представлена в виде:

mx + Ьх (xx - x0 ) + cx (x - x0 ) = Rt ; (2) my + by (y - yo ) + Cy (y - yo ) = Rn, (3)

где bx, by, cx, Cy — коэффициенты диссипации и жесткости со стороны привода 2 и звеньев, взаимодействующих с ползуном в контактном соединении.

Перейдем к более общему описанию модели. Действие силы сопротивления в трибосо-пряжении рассмотрим как динамическую характеристику, построенную в виде совокупности реологических моделей в касательном (рис. 8) и нормальном (рис. 9) динамических контурах, которые соответственно совпадают с координатными осями х и у. Трибосопряже-ние контактирующих поверхностей ползуна и стола моделируется в виде упругодиссипа-тивных подвесов с подвижными трибоэлемен-тами. Упругодиссипативные подвесы моделируют предварительное смещение в трибосопря-жении в момент начала движения, а также фазы скольжения — схватывания и всплы-вания в процессе движения. Они реализованы в виде развитых реологических моделей с упруго-диссипативными характеристиками кусочно-линейного типа [1]. Подвижные трибоэлементы по аналогии с реологической моделью Сен-Венана в зависимости от характера силового воздействия могут вести себя как абсолютно твердое тело или деформироваться по заданным правилам.

Реология контактного взаимодействия в три-босопряжении моделируется в режимах сухо-

y

3

2

b

c

y

m

R

t

1

МЕШПООБМБОТК|»

x, t

ßtl

Г"

I ЛЛ

Г"

I I

ßt2

I II

к Г А

I Чз I

III

IV

Рис. 8. Реологическая модель контактного взаимодействия в трибосопряжении в касательном динамическом контуре

У, n

II

Г~

cn1

Г

. 1 | ßn3

ßn2

Hb

L

I I cn3 II

J | cn2 ! ,

L-V--"-TJJ

III IV

Rn

Рис. 9. Реологическая модель контактного взаимодействия в трибосопряжении в нормальном динамическом контуре

го и жидкостного трения. В режиме сухого трения (блок I на рис. 8, 9) возможна адгезия в трибосопряжении, а значит, наличие чередующихся фаз схватывания (блок III на рис. 8, 9) и скольжения (блок IV на рис. 8, 9). Взаимодействие между динамическими контурами определяют условия переключения фаз. В режиме жидкостного трения (блок II на рис. 8, 9) формируется масляный клин и ползун всплывает. В данном режиме адгезия между контактирующими поверхностями невозможна. Взаимодействие между динамическими контурами осуществляется на основе принципа координатной связи [9].

Переход из режима сухого трения в режим жидкостного трения моделируется подвижными трибоэлементами Сен-Венана с характеристиками соответственно ßti, ßt3 в касательном контуре (см. рис. 8) и ßni, ßn3 в нормальном контуре (см. рис. 9). Функция переключения между режимами сухого и жидкостного трения может быть записана в виде соотношения

Sgl =

(1 при bti = 1, bn1 = 1, Рт3 = 0, bn3 = 0 — жидкостное трение;

0 при bti = 0, bni = 0, bt3 = 1, bn3 = 1 — сухое трение.

(4)

Характеристики подвижных трибоэлемен-тов Р1 = 1, Рз = 0 (соответственно для контуров х и п) указывают на то, что первый подвижный трибоэлемент является абсолютно твердым телом, а третий трибоэлемент выключа-

ется. Это означает, что в контактном взаимодействии участвует блок II, а блок I выключен. При Р1 = 0, Рз = 1 первый подвижный трибоэлемент выключается, а третий трибо-элемент является абсолютно твердым телом. Это означает, что в контактном взаимодействии участвует блок I, а блок II выключен. Переход в режим жидкостного трения возможен при появлении масляного слоя между контактирующими поверхностями, что определяется условием

У >

сп 3 Ar

Gy + суУст

= D,

(5)

где Аг — фактическая площадь контакта; спз — коэффициент контактной жесткости в нормальном контуре; Оу — проекция силы тяжести ползуна на ось у; уст — статическая деформация упругого элемента с коэффициентом жесткости су.

В режиме жидкостного трения проекции силы сопротивления соответственно:

Tf Rf + Rf = -цспзу; Tf Rf + Rf =- bt 3Х.

(6) (7)

Здесь m — коэффициент трения; Tf

грж и Тп —

постоянные времени в динамических контурах при жидкостном трении, Ттж = ТЩ* = Ц/ Хо, где 1х — предварительное смещение ползуна.

В режиме сухого трения (блок I на рис. 8, 9) молекулярно-механическое взаимодействие меж-

I

ß

b

R

1

ду контактирующими поверхностями в три-босопряжении проявляется в динамике контактных взаимодействий через последовательное формирование и разрыв адгезионных связей [1, 2]. Принципиально адгезионный процесс имеет место при выполнении следующих условий

5ки > ^

(8)

где 5кге — контактная нормальная деформация; [5кге] — контактная нормальная деформация, начиная с которой имеет место адгезионный процесс, и

V < [ит],

(9)

где и% — относительная касательная скорость в контактной паре; [ит] — относительная контактная касательная скорость.

Величины [5ки] и [ит] зависят от материала контактирующих поверхностей, состояния поверхностей, наличия окисных пленок и пр.

В зависимости от выполнения условий (8) и (9) можно рассмотреть следующие режимы.

• Условия (8) и (9) не выполняются. Если это носит постоянный характер, то контактные процессы являются чисто механическими. Если это носит временный характер, то это означает переход от адгезионного контакта к механическому.

• Условия (8) и (9) выполняются. Это означает статический (неподвижный) контакт или переход от механического контакта к адгезионному.

• В динамических режимах движения величины 5кп и ит являются переменными 5кге(£) и ит(£), так что условия (8) и (9) в процессе движения могут периодически выполняться или нарушаться.

Установлено [2, 10], что в подвижных трибо-логических системах возможны режимы с устойчивым формированием и разрушением адгезионных связей (рис. 10, кривая 3), неустойчивым режимом формирования и разрушения адгезионных связей и развитием релаксационных автоколебаний (рис. 10, кривая 2) и режимы движения при высоких скоростях без формирования адгезионных связей и без развития релаксационных автоколебаний (рис. 10, кривая 1).

Механизм формирования и разрушения адгезионных связей в контактирующих поверх-

Рис. 10. Упругопластические характеристики в три-босопряжении в касательном направлении при молеку-лярно-механическом взаимодействии:

1 — Чисто механический процесс; имеет место при высоких скоростях приложения нагрузки; упругая система устойчива в динамическом смысле; релаксационные автоколебания отсутствуют; предварительное смещение равно своему механическому значению ха; сила трения при скольжении постоянна; 2 — молекулярно-механический процесс; имеет место в широком диапазоне скоростей приложения нагрузки; моле-кулярно-механический процесс и, следовательно, упругая система неустойчивы в динамическом смысле; в точке О переход из фазы схватывания в фазу скольжения и в режим релаксационных автоколебаний; предварительное смещение имеет некоторое адгезионное слагаемое хр и составляет величину хпр; сила трения при скольжении переменна, так как имеет место адгезионный процесс и измененяется несущая способность контактного соединения в касательном направлении; 3 — устойчивый молекулярно-механический процесс; имеет место при весьма малых скоростях приложения касательной нагрузки; нет перехода к скольжению; скорость перемещения весьма мала; смещение может быть велико

ностях является причиной развития колебаний в касательном и нормальном контурах контактирующих поверхностей.

Одновременное выполнение условий (8) и (9) в макропредставлении может быть сформулировано в виде

Р < Ч

± сд

(10)

где Рсд — сдвигающее усилие в контакте; Чн — несущая способность контакта.

Несущая способность контакта Чн определяется как сумма молекулярной Чмол и механической Чмех составляющих,

Ч = Ч + Ч

н мол мех

(11)

и представляет собой полное значение силы трения, полученное на основе двухчленного закона трения [1].

Молекулярная и механическая составляющие несущей способности контакта определяются согласно выражениям:

Т S + S — S 'тол мол мол ]

Тмел^ мех + ^мол =

мол мол мол мол мах'

(12) (13)

где Тмол — постоянная времени процесса адгезионного взаимодействия; вмол мах — несущая способность контакта при полном насыщении молекулярных связей; Тмех — постоянная времени механических процессов в трибосопряже-нии; т — коэффициент трения между контактирующими поверхностями; N — нормальное усилие в контакте.

Постоянная времени Тмол может быть упрощенно представлена выражением

Т = Т — b/c

мол мех

(14)

Sg2 =

f 1 при ßt2 = 1, ßn2 = 1 — фаза схватывания;

0 при ßt2 = 0, ßn2 = 0 — фаза скольжения.

(15)

Характеристики подвижных трибоэлемен-тов ß2 = 1 (соответственно для контуров t и п) указывают на то, что второй подвижный три-боэлемент является абсолютно твердым телом. Это означает, что в контактном взаимодействии участвует блок III. При ß2 = 0 второй подвижный трибоэлемент выключается. Это означает, что в контактном взаимодействии участвует блок IV. При этом отслеживаемые условия переключения (8) и (9) трансформируются следующим образом:

— U

(Gy + cyyст )[S кп J

Ж < [Vt ].

(16)

(17)

где Ь и с — коэффициенты диссипации и жесткости в реологическом элементе среды, прилегающей к поверхностям контакта.

Анализ полученных результатов показывает, что динамическое контактирование не может рассматриваться как механический процесс, связанный только с упругопластически-ми контактными деформациями, и для его адекватного описания необходимо рассматривать адгезионные процессы, которые протекают в условиях переменных нормальных контактных деформаций и скоростей скольжения, что позволяет говорить о закономерностях динамической адгезии в контактных соединениях. Это относится к контактным соединениям различного типа в условиях динамических нагрузок при малых и реверсивных перемещениях.

Соотношения (11)-(14) могут быть интерпретированы применительно к рассматриваемым реологическим моделям. В режиме сухого трения (блок I на рис. 8, 9) переход из фазы схватывания в фазу скольжения и обратно моделируется подвижным трибоэлементом Сен-Венана с характеристиками соответственно Рх2 в касательном контуре (см. рис. 8) и Рп2 в нормальном контуре (см. рис. 9). Функция переключения между фазами скольжения и схватывания может быть записана в виде соотношения

Четвертый трибоэлемент имеет особенность, связанную с тем, что при его отключении упру-годиссипативные элементы блока IV остаются в деформированном состоянии.

При динамическом нагружении для описания упругопластических характеристик контактных соединений в фазах схватывания и скольжения могут быть использованы обобщенные соотношения:

Ттсхв Я£хв + Щхв = - (Ьт1Х + ст1х); (18)

Тсхв Щ™ + Щхв = - (ЬП1У + сп1УУ; (19)

Тск ятск + Щск = - Сп2У; (20)

Тск Кк + Щк =- ЬТ2Х, (21)

где Т£хв, т°хв, Т£к, Тпк — постоянные времени молекулярно-механических процессов в динамических контурах, Т£хв = Ьх1/сх1; Тпхв = Ьп1/сп1;

ТСК = Тпк = Ьх2/сп2; Ьх1, схЪ Ьn1, cn1, Ьх2, сп2 — упругодиссипативные характеристики в три-босопряжении.

Теперь можно записать систему уравнений движения ползуна (2), (з), которая учитывает изменяющийся характер контактного взаимодействия на основе молекулярно-механического представления. При наличии развитых реологических моделей с учетом выражений (4), (6), (7), (15), (18)-(21) данная система уравнений может быть записана в следующем виде:

тх + Ьх (х - х0) + сх (х - х0) =

= В£хв + Щк + ВЖ; (22)

ту + Ьу (у - у о) + Су (у - у0) =

= ВПхв + ВПк + ВЖ; (23)

г1 = х; ^2 = X; 2з = у; 24 = у;

= Втсхв; 26 = Впхв; 27 = Втск; 28 = впк; ^д = втж; гю = вж. (30)

Тогда система уравнений (22)-(29) с учетом (30) может быть представлена в матричном виде

Тсхв всхв + В£хв =

= -(Ьт1 х + ст1х)(1 - Ч^1)2; (24)

Т£хв ВПхв + ВПхв = = -(Ьп1у + сп1у)(1 - 8§1)8§2; (25)

2 = Бг + 5,

(31)

где Б — (10 х 10)-матрица коэффициентов со следующими отличными от нуля элементами:

Ь1,2 = Ь3,4 = 1;

ТтскВтск + Втск = -Сп2у(1 - 8§1)8§2; (26) ТскВПк + ВПк = -Ьт2х(1 - 8§1)8§2; (27) Ттж Втж + Втж = -цспзув§1; (28)

Тж Вж + Вж =- Ьтз *8§1. (29)

В системе уравнений (22)-(29) заложены следующие допущения:

контактное взаимодействие имеет дискретный характер;

• движение начинается из фазы схватывания;

• фазы схватывания и скольжения чередуются в динамике контактного взаимодействия;

• чередование фаз осуществляется немгновенно и с учетом соответствующих постоянных времени;

• контактное взаимодействие в установившемся режиме движения имеет регулярный характер;

• в фазе скольжения происходят чисто механические процессы и сила сопротивления смещению пропорциональна нормальному давлению;

• в фазе схватывания осуществляются мо-лекулярно-механические процессы;

• схватывание (адгезия) носит односторонний характер.

Для удобства математических построений перейдем в пространство переменных состояния. Вектор переменных состояния г будет иметь вид:

Ь2,5 = Ь2,7 = Ь2,9 = Ь4,6 = Ь4,8 = Ь4,10

т

Ь2,1 = ; Ь2,2 = ; Ь4,3 = -

т

т

т

Ь4,4 = ; Ь5,5 = -

Ь5,1 = -

Ьу

т

Ст1 Тсхв

Тсхв

(1 - 8§1)8§2;

Ь5,2 = -

Ь

т1

Тсхв

(1 - 8§1)8§2;

6,6

Ь6,3 =

Ь6,4

__1_

Тсхв Ап

Сп1

Тсхв п

(1 - 8§1)8§2;

Ьп1

Тсхв п

(1 - 8§1)8§2;

; Ь7,3 = -

сп2

Тхск

(1 - 8§1)8§2;

Ь7,7 =-Тк; ^8,2 =-- 8§1)8^2;

-Ч 1п

Ь88 =--—; 3 = -^сж38§1;

8,8 тск 9,3 тж

= Тж; ^10,2

Ь

п3

1

Тж 8^1; Ь!.0Д0 тж 1п 1п

Ч — (10 х 1)-вектор возмущения со следующими отличными от нуля компонентами:

Ьх сх Ьу су

82 = тг20+тгг10; 34 = тг4 о+тг3 о ■

1

В системе дифференциальных уравлений (31) заложены две функции переключения Sgl и Sg2. Соотношения для их определения (4) и (15) основываются на физических условиях контактных взаимодействий в трибосопряже-нии (5), (16) и (17). Построенная система дифференциальных уравнений является методологической основой для исследования трибо-сопряжений в механической системе при динамическом нагружении.

В соответствии с приведенной выше схематизацией рассмотрим механические системы редукторного типа. К ним относятся ступенчатые и бесступенчатые электромеханические приводы, редукторы различного вида и другие механизмы, в основу которых положена передача движения с использованием зубчатых передач [11, 12]. Будем рассматривать крутильную цепную механическую систему, которая образована звеньями с сосредоточенными инерционными параметрами и соединениями с линейными упругодиссипативными характеристиками [3]. Реальные механические системы станочных приводов образуются, как правило, различными механическими передачами и участками валопровода. Наличие передач усложняет структурную схему и соответствующий анализ динамических процессов, поэтому возникает важная задача упрощения структуры динамических моделей такого вида.

Рассмотрим схематично крутильную систему привода (рис. 11). Будем обозначать инерционные вращающиеся звенья (зубчатые колеса зубчатых передач, шкивы передач гибкой связью и пр.) в виде дисков с моментами инерции относительно осей вращения Jj (полагая Jj = const; j = 1, ..., n; n — число звеньев). Упругодиссипативный момент соединения между j-м и (j + 1)-м звеньями будем обозначать

Mj, j+1 = cj, j+1(Фj - Фj+l) +ßj,j+1(фj -фj+1)'

(32)

a) I

с12

ß12

J2

c23

II

J'2 ß23

б).

I I I I

n-2

ßn-

2,n-1 n 1

Jn -1

cn-1,n

ßn-1

c12 c23 c34 cn-2, n-1 cn-2, n

jj- jj- ß^4 [f [f

ß 12 ß23 ßn-2, n-1 ßn-2, n

Jn

Jn

Jn

¿2 ¿3 .. _ .. ^

Рис. 11. Схематизация крутильной системы привода с приведенными параметрами

Определение параметров, входящих в выражение момента (32), подробно рассмотрено в работах [11, 13].

Уточним понятие кинематического передаточного отношения передач между к-м и т-м валами, полагая все звенья кинематической цепи абсолютно жесткими, как отношение соответствующих угловых скоростей &к и ют:

= wk/wm,.

(33)

Очевидно, что в случае цепной крутильной системы при последовательном расположении передач (см. рис. 11, а) имеем

lk,s = П lk,s-s=k+m

(34)

где фу, фу+1 — углы поворота у-го и (у + 1)-го звеньев с сосредоточенными инерционными параметрами; су, у+1 — коэффициент крутильной жесткости соединения; Ру, у+1 — коэффициент линеаризованного сопротивления при представлении упругодиссипативной характеристики соединения по схеме упруговязкого тела.

Виды передач при этом не конкретизируются, а потери в передачах не учитываются. Последнее приемлемо практически для всех зубчатых передач и передач с гибкой связью.

Воспользовавшись линейной (линеаризованной) характеристикой деформируемого звена согласно (32), обозначим через ск к+1РЙ ^+1(^ = 1, п - 1) соответственно коэффициент жесткости и коэффициент сопротивления в модели исходной механической системы с передачами между

J

j

n-1

с

n-2,n-1

J

Jn-2

валами. Введем в качестве исходной системы координат углы поворота инерционных звеньев (рис. 11, а)

ф1 = Ф1; Ф2. Ф3» ..•' Фп~1 > ФП = Фп;

Ф2', Ф3', •••, ФШ-1. (35)

Моменты инерции звеньев относительно осей вращения, расположенных соответственно на валах I, II, ..., п - 1, обозначим

¿1' = ¿1, ¿2» ¿3» •••, , ^тг = ¿п. (36)

Составим выражения для кинетической энергии Г, потенциальной энергии Л и дис-сипативной функции Релея Ф [14]:

т = 21с1 [ ¿Ж')2 + ¿к+1 (Фк+1 )2

2 к=1

1 п-1_ 9

Л = 2 X ск,к+1(Фк -Фк+1)2;

2 к=1

1 п-1 — 0

ф = 2 ЕР;М;+1(Фк;-Фк+1)2 •

2 к=1

1

т = ^ х

2

к=1

1 п-1

Л = 2 X ск, й+1(Фй - Фк+1 )

2 к=1

2

1 п-1

ф = 2 ХРй, к+1(фй -фй+1)2.

2 к=1

Здесь приняты следующие обозначения:

= (+ -к-1,^к )

к = 2,п; Jl = Jl'; Jn = J'n;

_ - -2 ск,к+1 = ск,к+11к,1;

2

Рк,к+1 = Рк,к+1-к,1; к = 1,п - 1

модели. Цепная крутильная модель с приведенными параметрами показана на рис. 11, б, где стрелками условно показано соответствие между исходной и приведенной моделями. Модель с приведенными параметрами имеет упрощенную структуру и не содержит передач, что существенным образом упрощает динамические расчеты. Будем полагать, что инерционные и упругодиссипативные параметры рассматриваемых моделей являются приведенными.

Система дифференциальных уравнений движения крутильной модели согласно рис. 11, б, если воспользоваться уравнениями Лагранжа второго рода и выражениями (41)-(43), будет представлена в виде

(37)

(38)

(39)

ф + Бф + Сф = f (£),

(45)

Примем, как это обычно делается в практике, в качестве вала приведения вал двигателя и введем приведенные (редуцированные)

координаты _

Ф1 = Ф1'; Фк = Фк /¿к-1,1» к = 2 п. (40)

Тогда выражения (37) — (39) принимают вид:

(41)

(42)

(43)

где ф^) — п-компонентный вектор обобщенных координат с компонентами согласно (35); В, С — (п х п)-матрицы, элементы которых определяются через известные инерционные и упругодиссипативные параметры модели; f(t) — п-компонентная вектор-функция внешних воздействий.

Для рассматриваемой модели механической системы согласно рис.11, б матрицы В и С имеют простую трехдиагональную структуру. Вектор-функция /(£), если считать входными системы вращающий момент двигателя Мд(£) и момент сил сопротивления Мс(^, имеет отличные от нуля компоненты fl(t) = Мд/J 1 и f2(t) = Мс^п.

Для обеспечения идентичности математического аппарата и удобства вычислений система (45) может быть приведена к виду (31) в пространстве переменных состояния. Введем в рассмотрение (2т х 1)-вектор переменных состояния г с компонентами

=

[фг(к)+1 для к = 2 - +1;

[ф1(к) для к = 2ц

Ь{к) = 1п1| -\, - = 1, ..., т.

(46)

(44)

Система уравнений (45) в пространстве переменных состояния (46) преобразуется к виду:

Параметры ¿к, к = 1,п, ск, к+1, Рк, к+1, к = = 1,п - 1 являются приведенными параметрами

г21 -1 = г21;

(47)

] = т ] =т

22г = - 2 ¿22г - 2 сг, ¿22г-1 + й;

)=1 }=1

г = 1, ..., т. (48)

Система уравнений (47)-(48) в матричном виде соответствует выражению (31).

Исследование фаз скольжения и схватывания при обработке резанием осуществлено на основе различных подходов [1, 15]. Взаимодействие режущего инструмента и заготовки в фазе скольжения рассматривается как взаимодействие твердых тел. При этом тангенциальная сила формируется на основе макропредставления как величина, пропорциональная нормальной составляющей силы резания. В фазе схватывания между подсистемами вводится элемент сплошной среды — стружка, который определяет условия взаимодействия между режущим инструментом и заготовкой. При этом контактное взаимодействие между стружкой и поверхностью режущего инструмента формируется на основе микропредставления и определяется несущей способностью контакта £н. Под несущей способностью контакта понимается максимальное значение силы, обеспечивающей переход из фазы схватывания в фазу скольжения по аналогии с выражением (11). Переход из одной фазы в другую формируется самой динамической системой путем последовательных фазовых переходов. Условия осуществления фазовых переходов определяются кинематическими и силовыми характеристиками взаимодействия подсистем.

Рассмотрена наиболее представительная модель ТСМО малой размерности, полученная в ограниченном частотном диапазоне при аппроксимации полной динамической модели ТСМО. Данной модели соответствуют четыре обобщенные координаты, причем она включает две подсистемы: подсистему заготовки с координатами <1, и подсистему инструмента с координатами <73, <74 (рис. 12, а). Взаимодействие между подсистемами осуществляется в процессе резания и отображается двумя упру-годиссипативными элементами в касательном и нормальном направлениях с параметрами Ьт и сп, Ьп (рис. 12, б).

Система дифференциальных уравнений состояния рассматриваемой модели является нелинейной вследствие нелинейности харак-

а) б)

Рис. 12. Модельное представление динамики контактных взаимодействий при обработке резанием: а — четырехконтурная модель взаимодействия подсистем заготовки и режущего инструмента; б — реология контактных взаимодействий в зоне резания

теристик взаимодействия подсистем, так как исследуемый процесс представляет собой совокупность фаз скольжения и схватывания. В фазе скольжения поведение модели описывается на основе традиционного подхода, например, с использованием постоянных запаздывания. При рассмотрении фазы схватывания для получения упругодиссипативных характеристик необходимо выбрать вид реологической модели в зоне стружкообразования. Расчетно-экспе-риментальные исследования показали применимость для конструкционных материалов достаточно простых реологических моделей Фойхта и Максвелла [16, 17].

Силовое взаимодействие в каждой из указанных фаз осуществлено линеаризованными уравнениями, что дает возможность применить метод аппроксимации нелинейных характеристик кусочно-линейными функциями [1]. В соответствии с данным методом, модифицированным для условий рассматриваемой задачи, система уравнений движения (31) модели ТСМО записана в виде системы дифференциальных уравнений с кусочно-постоянными коэффициентами. Вектор переменных состояния г имеет следующие компоненты:

21 = 22 = 23 = 24 = <?2; У5 = ?з; Уб = <?з;

У7 = У8 = ?4; У9 = Рг; У10 = рх; У11 = хс; У12 = 2с» (49)

где <1, <2, <3, <4 — обобщенные координаты модели; хс, гс — контактные деформации в зоне резания по осям х и г; Рх, Рг — составляющие силы резания по тем же осям.

Таблица 1

Значения функции Я£(м) в режимах контактного взаимодействия

№ и у10 Режим

1 и > Ък Рх(г) 0 Скольжение

2 и = ук, йъ/йг < 0 > «и 0 Скольжение (переходный режим)

3 и = ук, йъ/йг < 0 < Ян 1 Переход

4 и < Ък < «н 1 Схватывание

5 и < ък > Ян 1 Схватывание (переходный режим)

6 и = Ък, йъ/йг > 0 < Ян 1

7 и = Ък, йъ/йг > 0 > Ян 0 Переход

Фазовые переходы формируют функцию переключения в§(и), принимающую значения 0 или 1 в зависимости от условий

!3®(и) =

[0 при и > |1 при и <

(50)

где и = V + у6 - у2, — критическая скорость, при которой начинают активно формироваться адгезионные связи.

Условие переключения фаз (50) соответствует выражению (9). При этом условие (8) выполняется автоматически. Функция переключения 8§(и) в выражениях (50) принимает значение 0 в фазе скольжения и 1 в фазе схватывания. В табл. 1 представлены выражения для функции 8§(и) в соответствующих режимах контактного взаимодействия.

Молекулярно-механические процессы, протекающие при взаимодействии режущего инструмента и заготовки, могут быть описаны следующей системой дифференциальных уравнений по аналогии с (31). При этом (12 х 12)-матрица Б имеет следующие отличные от нуля элементы:

¿1,2 = ¿3,4 = ¿5,6 = ¿7,8 = 1;

¿2,10 = —¿2,1 = VТд212 ; ¿4,3 = ¿4,9 = - " V Тд22;

¿6,5 = ¿6,10 = -1 Тд32 ; ¿8,9 = —¿8,7 = V Тд242;

¿9,9 = - V ТР ; ¿10,10 = - VТд' ¿11,11 = - ст/ Ьт;

¿12,12 = -си1Ьи ; ¿2,2 = -Тд11/ Тд12; 4,4 = - Тд22 ; ¿6,6 = - Тд31/Тд32;

¿8,8 = -Тд4^Тд42; ¿10,9 = - Тр; ¿9,1 = —¿9,5 = кх/Тр ; ¿9,2 = —¿9,6 = кг/Тр;

(12 х 1)-вектор-функция Я имеет следующие отличные от нуля компоненты:

в2 = Ст/^12 (У11 - У1 + У5)&ё(и);

в6 = Ст/Тд32 (У11 - У1 + У5)8£(и);

% = СПгд42 (У11 - У1 + У5)в^(и);

в4 = Си!Тд22 (У11 - У1 + У5)в^(и); »и = ттЬ5кс/Ъ% 8г(и); «12 = ттЪ5йе/(Ъ^а ^М;

Та11, Та

, Тд42 —

Ггр ГТ1 ГТ1 гл

д1^ д12< д21, Тд22, Тд31, Тд32, Тд41, постоянные времени; Тр, Тд — постоянные запаздывания; кх, кг — коэффициенты обратной связи; тт — предел текучести материала заготовки; кс — коэффициент приведения к зоне схватывания; та — коэффициент пропорциональности при молекулярном взаимодействии.

На основе общего подхода разработаны модели кусочно-линейного типа для трех видов объектов исследования: поступательно перемещающихся исполнительных механизмов привода, замкнутых участков валопровода механизмов редукторного типа, технологических систем механической обработки. В дальнейшем будут исследованы вопросы параметризации рассмотренных моделей и результаты моделирования.

Литература

1. Васильков Д. В., Вейц В. Л., Шевченко В. С. Динамика технологической системы механической обработки. СПб.: Инструмент, 1997. 230 с.

2. Васильков Д. В., Максимов О. Г., Хитрик В. Э.

Математическая модель контактных динамических взаимодействий упругой системы в процессе резания на базе молекулярно-механических представлений // Машиностроение и автоматизация производства: межвуз. сб. Вып. 5. СПб.: СЗПИ. 1997.

3. Динамика приводов технологических машин с самотормозящимися механизмами: в 5 ч. Ч. 1. Схематизация приводов технологических машин / В. Л. Вейц, Д. В. Васильков, И. А. Гидаспов, Е. З. Шнеерсон; под общ. ред. В. Л. Вейца. СПб.: Изд-во ПИМаш, 2002. 183 с.

4. А. с. № 178639. Способ повышения плавности перемещения контактирующих деталей и точности установки их в заданном положении, например ползунах, на направляющих скольжения / В. Л. Вейц, В. Л. Доб-рославский, Ф. С. Панов. М., 1966.

5. Артоболевский И. И. Теория механизмов и машин. М.: Наука, 1975. 639с.

6. Вейц В. Л., Кочура А. Е., Мартыненко А. М. Динамические расчеты приводов машин. Л.: Машиностроение, 1971. 352с.

7. Васильков Д. В. К вопросу о динамике технологических систем механической обработки // Металлообработка. 2001. № 3. С. 5-7.

8. Геккер Ф. Р. Динамика машин, работающих без смазочных материалов в узлах трения. М.: Машиностроение, 1983. 280 с.

9. Kудинoв B. A. Динамика станков. М.: Машиностроение, 1967. 359 с.

10. Хитpик B. Э., Шмaкoв B. A. Нестационарная характеристика трения скольжения в задачах динамики машин // Нелинейные задачи динамики и прочности машин / Под ред. В. Л. Вейца. Л.: Изд-во ЛГУ, 1983. С. 152-175.

11. Дeтaли и механизмы металлорежущих станков. Т. 2: Шпиндели и их опоры, механизмы и детали приводов / Д. Н. Решетов, В. В. Каминская, А. С. Ла-пидус [и др.]; под ред. Д. Н. Решетова. М.: Машиностроение, 1972. 520 с.

12. Справочник по автоматизированному электроприводу / Под ред. В. А. Елисеева, А. В. Шинянского. М.: Энергоатомиздат, 1983. 616 с.

13. Васильков Д. В., Вейц В. Л., Лонцих П. А. Колебания в приводах металлорежущих станков. Иркутск: Изд-во Иркутск. гос. техн. ун-та, 1997. 200 с.

14. Лойцянский Л. Г., Лурье А. И. Курс теоретической механики: в 2 т. Т. II: Динамика. М.: Наука, 1983. 640 с.

15. Васильков Д. В., Кочина Т. Б. Силы резания при высокоскоростной обработке сплавов на никелевой основе инструментами из минералокерамики // Металлообработка, 2011. № 4 (64), 2011. С. 10-13.

16. Васильков Д. В. Формирование реологических свойств поверхностного слоя материалов // Машиностроение и автоматизация производства: межвуз. сб. Вып. 3. СПб.: СЗПИ, 1996. С. 94-99.

17. Вейц В. Л., Максаров В. В., Лонцих П. А. Динамика и моделирование процессов резания при механической обработке. Иркутск: РИО ИГИУВа, 2000. 189 с.