Моделирование сквозных технологий на основе нечетких отображений Текст научной статьи по специальности «Математика»

Моделирование сквозных технологий на основе нечетких отображений

Носов АД.

СТАНДАРТИЗАЦИЯ, СЕРТИФИКАЦИЯ И УПРАВЛЕНИЕ КАЧЕСТВОМ

УДК 621.793 НосовА.Д.

МОДЕЛИРОВАНИЕ СКВОЗНЫХ ТЕХНОЛОГИЙ НА ОСНОВЕ НЕЧЕТКИХ ОТОБРАЖЕНИЙ

Метизный бизнес специфичен. Лидирующие позиции предприятия, работающего в этой отрасли, на рынке определяются не только качеством и соответствием ГОСТам и техническим условиям, но также наличием и объемом изделий, необждимых покупателю. Чем больше диапазон изделий, тем больше возможностей для завоевания рынка. В связи с этим, успех метизного бизнеса определяется не только качеством отдельных видов изделий, но и качественными характеристиками производимою сортамента в целом. Понятие «Качество», сложное и многоплановое само по себе, применительно к метизам имеет особую специфику.

В предлагаемой статье приведена методология управления качеством сортамента метизных изделий с учетом особенностей сквозной технологии их производства. Для начала определимся с характеристикой параметров сортамента метизов как элемента нечёткого множества. Партию однородной продукции (проволока, лента, определённый вид крепежа и т.д.) можно характеризовать набором численных параметров, аналогичных характеристикам отдельного образца этой продукции. Как объект управления партия сортамента - это вектор параметров x . Диапазон изменения отдельного компонента этого вектора x определяется физической природой показателя, который характеризуется этим параметром и особенностями изучаемого сортамента. Так, диапазон изменения возможных диаметров катанки определяется сложившейся технологией металлургического передела. Диапазон изменения механических свойств канатной проволоки вполне определяется действующей системой стандартов и т.д. Размерность вектора X - это количество контролируемых и управляемых параметров. Предлагаемый подход не требует ограничения размерности вектора X, т.е. количества параметров изучаемого сортамента.

Однако набор численных параметров недостаточно полно характеризует партию продукции, сортамент цеха, любой набор образцов однородной продукции. Все измеряемые или вычисляемые параметры в реальности не могут быть определены однозначно, а лишь с некоторой степенью определённости. Степень определённости зависит от ряда факторов. Во-первых, все параметры зависят от измерений, которые имеют систематическую и случайную погрешность. Во-вторых, измерения производятся выборочно и поэтому реальные характеристики партии имеют некоторый диапазон разброса относительно измеренного параметра. В-третьих,

существуют факторы субъективного характера: квалификация специалистов, производящих измерения, стремление поставщика улучшить показатели продукции и др. Совокупность этих факторов может быть охарактеризована степенью неопределенности |д(х) для каждого компонента X, вектора X .

Таким образом, параметры партии продукции как объекты управления следует рассматривать как элементы нечёткого множества с функцией принадлежности |Д.

Каждый передел с точки зрения изменения параметров партии можно рассматривать как отображение Ф пространства параметров одного вида продукции в пространство параметров того же или другого вида, например пространства параметров катанки в пространство параметров проволоки, пространство параметров проволоки в себя на дальнейших переделах. Однако процесс переработки продукции также не является строго детерминированным. Это обусловлено нестабильностью физических параметров процесса обработки, особенностями инструмента, человеческим и другими факторами. Таким образом, преобразование параметров в процессе производства также носит нечёткий характер, т.е. функцию ф следует рассматривать как нечёткое отображение ф .

Обычным, четким отображением (многозначным) ф множества X во множество Y называется, вообще говоря, произвольное подмножество декартова произведения X х Y , то есть фс X х Y. Множество X называется областью определения отображения, a Y -областью значении. Для фиксированного элемента x е X области определения отображения его образом при отображении ф называется множество ф|=х*): {y eY :(x*,у) еф}. Иногда на отображение

накладывается дополнительное условие, что образ любого элемента должен состоять не более чем из одного элемента. В этом случае говорят об однозначных (функциональных) отображениях. Образом множества A с X при отображении ф называется объединение образов всех элементов A, то есть множество ф^А): UФ^с) {у gY :3xeA,(x,у)еф.

x eA

Для отображения ф из X в Y обратным отображением ф-1 называется такое отображение из Y в X, что

Вестник МГТУ им. Г. И. Носова. 2009. № 1.

69

СТАНДАРТИЗАЦИЯ, СЕРТИФИКАЦИЯ И УПРАВЛЕНИЕ КАЧЕСТВОМ

(у, х) е ф-1 ^ (x, у) еф. Образ элемента y* е Y при обратном отображении будем обозначать ф-1 (у* ).

Очевидно, он является подмножеством множестваX.

Итак, четкое отображение - это подмножество декартова произведения XxY области определения и области значений. Перейдём к определению и содержательной интерпретации понятия «нечеткое отображение».

Естественно, по аналогии с чётким, определить нечёткое отображение как нечеткое подмножество Xх Y . Тогда нечеткое отображение ф множества X в множество Y можно описать его функцией принадлежности рф : X х Y —> [0; 1] (рис. 1). Функция принадлежности

(х,у) определяет степень достоверности того, что точка у принадлежит образу точки х при нечетком отображении ф . Как образом элемента х* е X при четком отображении было четкое подмножество множества Y, также образом х* е X при нечетком отображении будет нечеткое подмножество множества Y с функцией

Рис. 1. Функция принадлежности нечеткого отображения

Рис. 2. Образы точек при нечетком отображении

принадлежности рф (х*,уj . Образом четкого множества при нечетком отображении будет объединение образов его элементов рф(Л) (=у) : sup рф (х,у) .

хеЛ

Для завершения обобщение понятия образа на нечеткий случай необходимо определить образ нечеткого множества при нечетком же отображении. Понятно, что образы элементов нечеткого множества должны объединяться с учетом степени принадлежности этих элементов нечеткому множеству. Запишем формулу для образа четкого множества следующим эквивалентным образом, через функцию принадлежности четкого множества Л

hp(Л)(у}: suP min[KA(х);hp(х,у)]. (1)

xeX

Эта формула уже допускает непосредственное обобщение на нечеткий случай, что позволяет дать следующее определение.

Определение 1. Образом ф(Aj нечеткого множества Л с X при нечетком отображении ф : X ^ Y

называется нечеткое подмножество множества Y с функцией принадлежности (рис. 2).

hpлу}: suPmin[^ (х);(ху)]. (2)

Э > хeX

В частности, если отображение ф: X ^ Y четкое,

то формулу (2) можно упростить, так как под знаком минимума остаются только образы точки у при обратном четком отображении ф~1 (рис. 3). Действительно,

м-фШ(у : suPmin[^4 (х);цф(x,$] suP ЦЛ(х) =

Ч ) х eX х :Ф(х)=у

= Su P ЦЛ- ( х ).

хЕф 1 (у )

Как видно из предыдущих рассуждений, понятие образа нечеткого множества при нечетком отображении позволяет Лицу, принимающему решение (ЛПР), вычислять нечеткую реакцию системы на нечеткие же управляющие воздействия. Тем не менее, для теории принятия решений гораздо важнее обратная задача -найти действия, которые приводят к желаемому результату.

Решить данную задачу позволяет понятие прообраза нечеткого множества.

Определение 2. Прообразом Л с X нечеткого множества B с Y при нечетком отображении Ф: X ^ Y называется объединение всех нечетких множеств 5 таких, что их образ принадлежит нечеткому множеству B~, т.е. таких, что

suPmin [ра (х); рф(^ у)]< Ув (у) ^Bcex у е Y .

xeX

Содержательно, прообраз нечеткого множества B с Y - это «максимальное» нечеткое множество Л с X , переходящее в B при нечетком отображении Ф: X ^ Y .

Таким образом, чтобы для некоторой нечеткой реакции системы определить то действие (возможно, нечеткое), которое приводит к данной реакции, необ-ждимо найти прообраз нечеткого множества реакции.

70

Вестник МГТУ им. Г. И. Носова. 2009. № 1.

Моделирование сквозных технологий на основе нечетких отображений

Носов АД.

Можно, однако, заметить, что далеко не любое нечеткое множество имеет непустой прообраз при нечетком отображении.

Пустота прообраза «одноточечного» множества имеет простое содержательное объяснение. Это множество можно интерпретировать, как желание ЛПР получить единственный исход с положительной достоверностью, обеспечив нулевую достоверность остальных исждов. Но это невозможно, так как поведение системы нечетко и выбор любого действия приводит к нескольким возможным исходам. Вывод здесь прост -ЛПР должен ставить перед собой реальные цели, смягчая требования к нечеткому множеству результата.

Вычисление прообразов нечетких множеств имеет важное прикладное значение. В то же время вычисление «по определению» весьма трудоемко. Следующий результат позволяет дать более простую характеризацию прообраза нечеткого множества B с Y , пригодную для численной реализации.

Определим следующие четкие множества:

N :={(х, у) е! х Y : рф (х, y) >цв (у)} - множество пар элементов из области определения и области значений отображения, в которых значение функции принадлежности отображения строго превышает значение функции принадлежности множества B .

Nx := {у е Y : (х, у) е N} - «срез» множества N при фиксированном х е X ;

X0 := {х е X : Nx Ф0} - множество элементов области определения, для которых множество Nx не пусто.

Функция принадлежности прообраза A с X нечеткого множества (рис. 4) B с Y при нечетком отображении ср: X ^ Y описывается выражением

[inf Vb (У), х е X »A (Х ЬГ 0

[1, х е X \ X0

(4)

Рассмотрим решения в нечетких условиях. Итак, мы обобщили на нечеткий случай понятия отображения, образа и прообраза множеств. Этого нам хватит для того, чтобы сформулировать и решить простейшую задачу принятия решения в условиях нечеткой информации.

Задача формулируется так. Есть множество X возможных действий ЛПР и множество Y состояний управляемой системы. ЛПР в различной степени устраивают различные состояния системы - он стремится достичь своей цели, задаваемой нечетким подмножеством G с Y. Для достижения своей цели центр выбирает действия так, чтобы удовлетворить ограничениям на действия, задаваемые нечётким подмножеством C с X. Состояние, в которое переходит систе-ма в зависимости от действия ЛПР, описывается нечетким отображением ф: X ^ Y . Задача ЛПР состоит в том, чтобы определить действие (возможно, нечеткое), которое позволило бы ему одновременно достичь цели G и удовлетворить ограничениям C .

Предположим, что отображение ф тождественно и множество действий совпадает с множеством результа-

тов. В этом случае и цель, и ограничения являются подмножествами одною итого же множества X, а нечеткое множество D действий, которые одновременно и достигают цели, и удовлетворяют ограничениям, равно пересечению нечетких множеств цели и ограничений, D = 6П C . Тогда множество D и является решением задачи достижения нечеткой цели.

Однако, каким образом искать решение задачи в том случае, когда отображение ф не является тождественным? В этом случае нечеткие подмножества ограничений C и цели G непосредственно не сравнимы, т.к. являются подмножествами разных пространств, X и Yсоответственно.

Рис. 3. Образ нечеткого множества при нечетком отображении

Рис. 4. Прообраз нечеткого множества при нечетком отображении

Вестник МГТУ им. Г. И. Носова. 2009. № 1.

71

СТАНДАРТИЗАЦИЯ, СЕРТИФИКАЦИЯ И УПРАВЛЕНИЕ КАЧЕСТВОМ

Однако мы можем отобразить множество цели G во множество действий, найдя его прообраз g при

отображении ф - нечеткое множество действий, приводящих к заданной нечеткой цели без учета ограничений. Тогда, аналогично рассмотренному выше случаю, решением задачи будет пересечение gflC прообраза цели с множеством ограничений.

Описанный выше способ решения задачи достижения нечеткой цели называется подходом Беллмана-Заде [1]. Он основан на представлении множества цели и множества ограничений как подмножеств одного пространства и является одной из самых ранних моделей принятия решения в условиях нечеткой информации.

Однако оптимизационные задачи принятия решений чаще формулируются в другой форме - в форме задачи математического программирования.

Четкая задача математического программирования состоит в максимизации функции ф(х) - критерия эффективности - на множестве допустимых действий C с X, то есть в поиске допустимого действия х* е Argmax ф(x), доставляющего максимум критерия эффективности. Простейшее обобщение этой задачи на нечеткий случай можно получить, если допустить, что множество ограничений C может быть нечетким, оставив критерий эффективности четким.

Можно решить задачу максимизации обыкновенной, четкой функции на нечетком множестве, «от-нормировав» на единицу максимизируемую функцию, заменить ее нечетким множеством цели G с функцией принадлежности pG (х) х)/supф(х ) и вос-

х'еХ

пользоваться подхэдом Беллмана-Заде [1]. Однако это не совсем корректно, так как нормировка именно на единицу представляется малообоснованной.

Список литературы

1. Беллман Р., Заде Л. Вопросы принятия решений в расплывчатых условиях // Вопросы анализа и процедуры принятия решений. М.: Мир, 1976.

2. Гун Г.С. Квалиметрические модели управления качест-вом металлопродукции // Вестник МГТУ им. Г.И. Носова. 2003. № 1. С. 102-108.

Другой подход к решению задачи оптимизации при нечетких ограничениях основан на понятии уровня нечеткого множества.

В этом подхэде задача максимизации функции на нечетком множестве, по сути, заменяется совокупностью задач максимизации функции на множествах уровня множества допустимых альтернатив. При этом, если альтернатива х е X максимизирует критерий эффективности ф(х) на множестве Сх уровня Хе [0,1] , то мы, грубо говоря, считаем, что степень принадлежности этой точки нечеткому решению равна X.

Более формально, если Сх := ]х е X : рС~ (х) >Х} -множество уровня нечеткого множества допустимых

альтернатив, N (X): <!х=е X: ф( х) =sup ф( х^1 -

[ х'еДА) ' ’)

множество точек максимума критерия эффективности на этом множестве уровня, то решением задачи оптимизации называется нечеткое множество Д с X с функцией принадлежности

(х) = sup X . (5)

к хе N(A.)

Можно показать, что если точка х е X принадлежит решению с ненулевой достоверностью, то есть х е suPP Лд , то р = (х) р, (х) .

Нечеткому решению Д задачи соответствует нечеткое значение максимума критерия эффективности ф(Д j - образ нечеткого решения Д при

отображении ф.

List of literature

1. Bellman R., Zade L. Solution issues in the vague conditions // Analysis and procedure issues of solutions. M.: World, 1976.

2. Gun G.S. Qualimetry models of quality control of metal production // Vestnik MSTU named after G.I. Nosov. 2003. № 1. P. 102-108.

УДК 65.01.1.004.12

СалганикВ.М., Песин A.M., БережнаяГ.А., Тимошенко В.И., ТарасовВ.А.

РАЗРАБОТКА СИСТЕМЫ СБАЛАНСИРОВАННЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ В ОБЛАСТИ КАЧЕСТВА С УЧЕТОМ ОГРАНИЧИВАЮЩИХ ФАКТОРОВ

В настоящее время встречается все больше публикаций и выступлений с критикой стандартов ИСО серии 900 и основанных на них систем менеджмента качества соответственно. Основными недостатками называют оторванность СМК от бизнеса и отсутствие встроенных показателей эффективности [1-3]. В качестве решения этой проблемы предлагают создавать различные интегрированные системы менеджмента

(ИСМ) на базе уже существующих СМК, сертифицированных на соответствие ИСО 9000 [1, 4, 5].

В ГОУ ВПО «МГТУ им. Г.И.Носова» на кафедре обработки металлов давлением ведется работа по созданию подобной ИСМ, которая основана на принципах стандартов ИСО серии 9000 и сбалансированной системы показателей (ССП), интегрированной с теорией ограничений (Т О) (рис. 1).

72

Вестник МГТУ им. Г. И. Носова. 2009. № 1.