CC BY
98
Г. А. Евдонин Е. Н. Попова Е. И. Тагильцева
G. A. Evdonin E. N.Popova E. I. Tagiltseva
Моделирование систем массового обслуживания с взаимопомощью каналов
(на примере телекоммуникационной компании)
Modeling of System of Mass Service with Mutual Aid of Channels (on the Example of the Telecommunication Company)
С
ш Ш
О
Евдонин Геннадий Александрович
Северо-Западный институт управления — филиал
РАНХиГС (Санкт-Петербург)
Доцент кафедры математики и моделирования
социально-экономических процессов
Кандидат технических наук
Попова Екатерина Николаевна
Северо-Западный институт управления — филиал
РАНХиГС (Санкт-Петербург)
Аспирант
Тагильцева Елена Игоревна
Северо-Западный институт управления — филиал
РАНХиГС (Санкт-Петербург)
Аспирант
lenadergacheva@mail .ги
Ключевые слова:
система массового обслуживания, теория массового обслуживания, теория очередей
Статья посвящена выбору варианта организации системы массового обслуживания, обслуживающей неоднородные заявки в зависимости от стоимости содержания каналов и с учетом взаимопомощи между ними.
Получено аналитическое выражение для вероятности образования очереди в системе с взаимопомощью.
Evdonin Guennady Aleksandrovich
North-West Institute of Management branch of the
Russian Presidential Academy of National Economy and
Public Administration (Saint-Petersburg)
Associate professor of the Chair of mathematics and
modeling of social and economic processes
PhD Technical Sciences
Popova Ekaterina Nikolaevna
North-West Institute of Management branch of the Russian Presidential Academy of National Economy and Public Administration (Saint-Petersburg) Graduate student [email protected]
Tagiltseva Elena Igorevna
Saint-Petersburg
North-West Institute of Management branch of the Russian Presidential Academy of National Economy and Public Administration Graduate student lenadergacheva@mail .ru
Key words:
mass service system, Queue theory
Mass service theory,
The article is devoted to the process of selecting one of the options for organization of the system, that serve non-uniform applications, depending on the value of content channels and taking into account the mutual aid between them.
The article describes the analytical expression for the probability of formation of turn in system with mutual aid.
Принятие управленческих решений в хозяйственной практике неразрывно связано с моделированием. Чтобы управляющий орган (в частном случае это может быть одно лицо — управляю-
щий) принял то или иное решение из ряда возможных альтернатив, он должен предвидеть, к каким результатам оно приведет. Экспериментировать в реальной жизни, принимая различные управ-
о
ш
ш
О
ленческие решения и изучая их последствия, нецелесообразно, дорого и практически никогда не представляется возможным. Здесь на помощь приходит математическое моделирование — метод исследования, заключающийся в построении и анализе моделей — аналогов управляющего объекта.
Имея адекватную модель, можно с ее помощью проанализировать эффективность того или иного варианта решения (этап анализа), а затем выбрать (на этапе синтеза) и использовать на практике то решение, которое приводит к желаемым результатам наиболее рациональным путем. Одним из широко распространенных инструментариев моделирования является инструментарий теории массового обслуживания. Эта отрасль прикладной математики позволяет повышать эффективность управления в тех ситуациях, когда необходимо выполнение операций по обработке большого числа схожих «заявок на обслуживание» (ремонт автомобилей на сервисном предприятии, обработка корреспонденции, обслуживание покупателей в супермаркете, сортировка грузовых железнодорожных вагонов и др.).
При организации систем массового обслуживания (СМО) для обработки нескольких типов неоднородных заявок с неизбежностью возникает дилемма: либо создавать одну СМО широкого профиля, обслуживающую заявки всех типов, поступающие на вход системы; либо несколько узкопрофильных, специализированных СМО, каждая из которых обслуживает заявки только одного определенного типа. С позиции классической теории массового обслуживания этот вопрос изучен [2]. Если исходить из обычных характеристик СМО, таких как среднее число занятых каналов, среднее время простоя канала, среднее число заявок в очереди, среднее время ожидания и т.п., то ответ получается однозначным. Предпочтительнее создавать одну широкопрофильную систему, обслуживающую все типы поступающих заявок.
Однако однозначность исчезает, если ввести в рассмотрение экономический параметр — стоимость содержания ка-
налов. Стоимость вариантов решения управленческой задачи — существенный фактор, который не может игнорироваться. Оказывается, что существует пороговое соотношение затрат на содержание каналов узкого и широкого профиля, отделяющее предпочтительность одного варианта организации обслуживания от другого.
В настоящей работе, в продолжение начатых ранее исследований, делается попытка определения упомянутого порогового соотношения стоимостей содержания каналов с учетом взаимопомощи в той мере, в какой она может быть реализована в телекоммуникационной компании. Ранее авторами была выполнена работа [3], в которой исследуется система, обслуживающая неоднородные заявки. Неоднородность заключается в том, что заявки разных типов требуют разной компетенции лиц, их обслуживающих (разной направленности и разного уровня подготовки).
Работа ориентирована на организацию функционирования конкретной телекоммуникационной компании. Анализ ее деятельности позволяет выделить пять типов заявок: физические лица; корпоративные клиенты; бизнес-центры; операторы (другие телекоммуникационные компании); VIP-клиенты (например, государственные структуры). При этом потоки заявок разных типов различаются своей интенсивностью.
Рассматриваются два варианта организации обслуживания.
Вариант 1. Организуется пять узкопрофильных СМО, предназначенных для обслуживания одного типа заявок. Поступающие заявки сортируются по типам и направляются на обслуживание в соответствующую СМО. Таким образом, могут выстраиваться до пяти очередей. В каждой СМО — своя очередь. Необходимое число каналов каждой СМО определяется следующим образом:
• исходное число каналов получается из условия существования установившегося режима работы (р < 1, где р — приведенная интенсивность
Таблица 1
Число каналов по обоим вариантам организации СМО
Вариант 1 организации СМО
Физические лица Корпоративные клиенты Бизнесцентры Операторы У1Р-клиенты £ Вариант 2 организации СМО
2 36 18 35 34 123 105
С
ш
ш
О
входного потока заявок, п — число каналов);
• далее число каналов увеличивается до тех пор, пока не будет выполнено ограничение на вероятность образования очереди, т. е. пока расчетное значение вероятности образования очереди не станет меньше заданной величины.
Вариант 2. Все поступившие заявки обслуживаются в порядке поступления независимо от типа одной и той же СМО широкого профиля.
Примем условие, адекватное конкретной решаемой задаче, что физически по обоим вариантам число мест в очереди не ограничено. Однако наличие очереди ведет к потере престижа предприятия связи и финансовым потерям, поэтому образование очереди нежелательно. Поэтому нами задано ограничение — вероятность образования очереди не превышает 0,05 (роч. < 0,05).
Еще одним важным практическим аспектом, учитываемым при принятии решения о выборе варианта организации работы, является учет кадровых ограничений. При организации работы по второму варианту обслуживания сотрудники СМО (каналы обслуживания) должны быть специалистами широкого профиля (высокой квалификации). А при организации работы по первому варианту обслуживания требования к квалификации исполнителей ниже: СМО комплектуется специалистами узкого профиля. Специалистам высокой квалификации необходимо платить более высокую заработную плату. Принято, что зарплата специалиста широкого профиля в у раз превышает зарплату специалиста узкого профиля, обозначенную как С, т. е. составляет у-С.
В упомянутой работе [3] найдено необходимое число каналов для обслу-
живания заявок пяти разных типов при ограничении на вероятность образования очереди (роч. < 0,05) при двух вариантах организации обслуживания (см. табл. 1).
В той же работе получено пороговое значение коэффициента у = укр. — соотношение заработных плат, отделяющее экономическую предпочтительность одного варианта организации СМО относительно другого, а именно: Укр. = 1,17. При у > укр. более вы-
кр
годен вариант 1 организации, а при у < укр. предпочтительнее вариант 2 организации СМО.
Авторы продолжили исследование в направлении учета взаимопомощи между каналами, что и является предметом настоящей публикации. При рассмотрении СМО с взаимопомощью существенны два фактора:
1) насколько ускоряется обслуживание, когда в нем участвуют несколько каналов;
2) какова «дисциплина взаимопомощи», т. е. когда и как несколько каналов берут на себя обслуживание одной и той же заявки.
Эмпирические наблюдения и результаты математического моделирования показывают, что увеличение числа одновременно работающих каналов не всегда ведет к пропорциональному увеличению скорости обслуживания. В частности, применительно к функционированию рассматриваемой телекоммуникационной компании число одновременно работающих над одной заявкой каналов не должно превышать пяти. Увеличение числа каналов свыше пяти не приводит к увеличению интенсивности обслуживания. Это отражено на рис. 1.
Иными словами, при & < &кр. интенсивность пропорциональна числу кана-
Рис. 1. Интенсивность обслуживания ц(й), как функция числа каналов й, работающих над одной заявкой, имеет вид линейной функции с насыщением
лов, занятых обслуживанием одной заявки. При увеличении й > йкр_ обслуживание уже не ускоряется.
Известно, что при таком виде функции ц(й) взаимопомощь должна быть равномерной [1]. Равномерная взаимопомощь предполагает следующее:
• если заявка пришла и все каналы свободны, то из имеющихся п каналов 5 каналов принимаются за ее обслуживание;
• если в момент обслуживания приходит еще одна заявка, то 5 из оставшихся (п - 5) каналов принимаются за ее обслуживание, т. е. 2 заявки обслуживаются 10 каналами, и т. д;
• если заявка приходит в момент, когда над каждой заявкой работают 5 каналов и свободных каналов нет, то каналы перераспределяются таким образом, чтобы над каждой заявкой работало одинаковое количество каналов. Простой каналов при такой организации минимален.
Граф состояния для такой системы массового обслуживания с взаимопомощью показан на рис. 2.
На рис. 2 обозначено: п — число каналов, у — интенсивность входного потока заявок, ц — интенсивность обслуживания 1 каналом, ц* = 5ц — интенсивность обслуживания 5 каналами, [п/5] — антье — целая часть числа п/5, нумерация состояний по числу заявок, связанных с системой, как обслуживаемых, так и ожидающих в очереди.
^с =
1 +
X
X2
X3
1!- 5ц 2!- 52ц2 3!- 53ц3
хИ , хИ
+... +
Х1-5
И-1
([п]- 1)!. 5И-1 цй-1
5йц5 [5]!-5Ш5]
ц1
X + X2 пц п2ц2
+...
(1
Получим формулу для вычисления вероятности образования очереди в СМО с взаимопомощью. Сначала найдем Р0 — вероятность состояния (все каналы свободны, очереди нет).
Введем приведенную интенсивность потока заявок р = -X, тогда (1) перепишется в виде: ц
-1
+
X X X X X X > ^
«о в! •---— - в[»/5] - в[п/5] + 1 о_ О © ш
И
¥
Зц' ([п/5] -1 )ц* [ге/5]ц* щ
% X XX
щI
пц цI
щ
щ
щ
п\1 пр.
щ
П\1
о
ш
ш
О
Рис. 2. Граф состояний системы с взаимопомошью между каналами
1 Р Р2 Р3
1 + тг-тт + „ +
1!- 5 2!- 52 3!- 53
■ + ... +
Л ]
р р2 р3
(2)
[|]!- 5[I] [|]!- 5[5] ^1 1 1
Учитывая, что установившийся стационарный режим существует только при р < 1,
в круглых скобках в (2) имеем сумму геометрической прогрессии со знаменателем
р < 1, которая при этих условиях сходится. Сворачивая ряд в круглых скобках и зап
писывая более компактно предыдущие слагаемые, окончательно для Р0 имеем:
1-1
Ро =
[5] р X р
р[п] р
к!- 5К
[5 ]!
-5[5] п-р
(3)
Теперь, имея выражение для Ро, руководствуясь графом, приведенным на рис. 2, можно записать выражение для вероятности образования очереди Р :
Роч. = 1 -
Р +
[5] р X—
к!- 5к
- Р +
)[5] - Рп
X (р
[5]!- 5п к=[5]+1
КЙ
(4)
Используем (4) для подбора числа каналов, исходя из ограничения на вероятность образования очереди (роч. < 0,05). Результаты расчетов сведены в табл. 2.
Находим новое пороговое соотношение зарплат у*кр., отделяющее предпочтительность одного варианта организации СМО от другого:
1С4С = 92у *С;
У
. = 104
кр. 92
= 1,13.
Таким образом, при у > у* — предпочтителен вариант 1 организации СМО,
кр
а при у < у*кр — вариант 2.
-1
Таблица 2
Число каналов по двум вариантам организации СМО с взаимопомощью между каналами
Вариант 1 организации СМО
Физические лица Корпоративные клиенты Бизнесцентры Операторы VIP-клиенты S Вариант 2 организации СМО
2 30 15 29 29 104 92
Рассмотренный подход к решению конкретной управленческой задачи, связанный с деятельностью телекоммуникационной компании, может быть использован для решения более широкого круга управленческих задач. В данном случае важен не столько сам полученный численный результат, сколько методика его получения, детально описанная в статье.
В заключение хотелось бы отметить, что важной задачей дальнейшего совершенствования управленческой деятельности является подготовка специалистов по управлению, владеющих арсеналом современных знаний и навыков в области управления, включая математическое моделирование. Другой важнейшей задачей является установление более тесных и содержательных связей между разделами наук, обслуживающих процесс управления. Дальнейшее успешное решение теоретических и практических задач управления возможно только совместными усилиями математиков, психологов, социологов, экономистов и представителей других отраслей науки.
Литература
1. Вентцель Е. С. Исследование операций. М.: Советское радио, 1972. 560 с.
2. Вентцель Е. С. Исследование операций. Задачи, принципы, методология. М.: Высш. шк., 2001. 208 с.
3. Евдонин Г. А., Корнилова Е. Н. Выбор структуры системы массового обслуживания применительно к функционированию телекоммуникационной компании // Материалы II Международной конференции «Государство и бизнес. Вопросы теории и практики: моделирование, менеджмент, финансы». СПб.: СЗАГС, 2010.
4. Новиков Д. А. Моделирование организационных систем // Материалы I Международной конференции «Государство и бизнес. Вопросы теории и практики: моделирование, менеджмент, финансы». СПб.: СЗАГС, 2009.
5. Таранцев А. А. Инженерные методы теории массового обслуживания. СПб.: Наука, 2007. 175 с.
References
1. Ventsel E. S. Research of operations. M.: Sovietskoye radio, 1972. 560 p.
2. Ventsel E. S. Research of operations. Tasks, principles, methodology. M.: Vysshaya shkola, 2001. 208 a
3. Evdonin G. A., Kornilova E. N. Choice of structure of system of mass service in relation to functioning of the telecommunication company. // Materials II of the International conference "State and business. Issues of theory and practice: modeling, management, finance" SPb.: SZAGS, 2010.
4. Novikov D. A. Modeling of organizational systems // Materials I of the International conference "State and business. Issues of theory and practice: modeling, management, finance". SPb.: SZAGS, 2009.
5. Tarantsev A. A. Engineering methods of the theory of mass service. SPb.: Nauka, 2007. 175 p.
