Моделирование систем массового обслуживания с потоками Эрланга Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С ПОТОКАМИ ЭРЛАНГА

© Абрамов П.Б.*, Славнов К.В.*

Военный учебно-научный центр Военно-Воздушных Сил «Военно-Воздушная академия им. проф. Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина»,

г. Воронеж

В статье приводятся результаты моделирования одноканальных систем массового обслуживания с ожиданием, когда дисциплина обслуживания имеет распределение Эрланга. Результаты сопоставлены с расчетами классической теории, и получены коэффициенты коррекции, позволяющие учесть последействие в системах массового обслуживания.

Ключевые слова система массового обслуживания, последействие, коэффициенты коррекции.

Моделирование систем массового обслуживания (СМО) в настоящее время приобретает все большую актуальность. Это обусловлено прежде всего тем фактом, что современные системы и сети передачи и обработки информации по своей сути являются системами массового обслуживания.

Вместе с тем, представляется незаслуженно забытым такой классический подход, как метод расширения пространства фазовых состояний системы. Как известно [1], он основывается на аппроксимации потоков событий в системе массового обслуживания потоками Эрланга. Распределение времени как случайной величины между событиями в потоке Эрланга описывается гамма-распределением с целочисленными параметрами. Порядок потока Эрланга может быть достаточно просто оценен на основе выборки случайного процесса, методом сравнения математического ожидания временного интервала между событиями и дисперсии этой величины, согласно следующему выражению:

ш1

Кэ = Ш2 (1)

7

где ш - математическое ожидание, а а - среднеквадратическое отклонение значения временного интервала между событиями в стохастическом потоке. После этого достаточно ввести на соответствующем переходе графа Кэ - 1 псевдосостояний, увеличив в Кэ раз интенсивности потоков событий на

* Преподаватель кафедры Автоматизированных систем управления, кандидат технических наук, доцент.

* Старший преподаватель кафедры Информационной безопасности, кандидат технических наук.

вновь полученных дугах графа состояний системы, чтобы модель стала марковской, оставаясь при этом вполне адекватной моделируемым процессам.

Следует отметить, что подобный подход осложняется целым рядом затруднений, в силу чего не получил широкого распространения. Прежде всего, при расчете порядка потока по формуле (1) вероятнее всего будет получено не целое значение. Округление результата может привести к значительным погрешностям. Кроме того, при больших значениях последействия введение псевдосостояний существенно увеличивает количество уравнений в системе, описывающей моделируемый процесс.

Вместе с тем, основные положения данного метода были сформулированы в 30-40-е годы ХХ столетия, когда возможности математических вычислений являлись весьма и весьма ограниченными. Современное развитие компьютерных технологий позволяет успешно преодолеть указанные трудности и получить полезные для практики расчетные соотношения для немарковских систем массового обслуживания.

Рассмотрим одноканальную СМО с ожиданием, в которой дисциплина обслуживания не может быть смоделирована простейшим потоком событий. Подобная модель представляется вполне адекватной для выделенных серверов локальных информационных сетей. Действительно, имеет место очередь, так как пришедшие заявки ожидают обслуживания, а значения временных интервалов их обслуживания, как правило, группируются около некоторого значения, что не отвечает экспоненциальному закону распределения.

В качестве отправной точки рассуждений возьмем классическую модель СМО с ожиданием. Граф переходов и состояний системы приведен на рис. 1.

Рис. 1. Граф состояний и переходов одноканальной СМО с очередью

Здесь т - количество мест в очереди, X - интенсивность входящего простейшего потока заявок, ^ - интенсивность обслуживания заявок в канале. Будем полагать, что поток обслуженных заявок с достаточной точностью аппроксимируется потоком Эрланга порядка Кэ. Составим граф состояний и переходов для модели с введенными псевдосостояниями. Для одноканальной СМО с очередью в одно место он будет иметь вид, приведенный на рис. 2.

Можно видеть, что граф существенно усложняется, не только из-за введения псевдосостояний, но также потому, что из каждого псевдосостояния возможен переход в старшее по номеру состояние графа 52. При увеличении количества мест в очереди происходит дальнейшее усложнение, с воз-

никновением переходов из Б2к в 53, из 53к в 54, и так далее. Количество уравнений, описывающих динамику модели, также существенно возрастает с увеличением порядка потока Эрланга Кэ.

Рис. 2. Граф состояний и переходов для одноканальной СМО с очередью в одно место

Вместе с тем, для приведенного на рис. 2 графа вполне обоснованно могут быть составлены и решены уравнения Колмогорова-Чепмена, а затем рассчитаны вероятности состояний для немарковской модели согласно выражению:

Р. = Р р

(2)

С целью оценки параметров немарковских СМО было проведено аналитическое моделирование динамики системы для количества мест в очереди от одного до пяти и коэффициента потока Эрланга, равного Кэ = 2. Результаты расчета вероятности отказа Ротк в обслуживании заявки приведены в таблице 1.

Таблица 1

Вероятность отказа Ротк в обслуживании заявки

к=1

Нагрузка СМО, А/ц Число мест в очереди

1 2 3 4 5

0,4 0,1090 0,0450 0,0190 0,0080 0,0037

0,6 0,1970 0,1170 0,0730 0,0048 0,0032

0,8 0,2820 0,2040 0,1580 0,1280 0,1070

1,0 0,3570 0,2910 0,2530 0,2290 0,2130

1,2 0,4220 0,3690 0,3410 0,3260 0,3160

1,4 0,4780 0,4360 0,4170 0,4080 0,4030

1,6 0,5250 0,4930 0,4800 0,4740 0,4720

1,8 0,5650 0,5410 0,5320 0,5280 0,5270

2,0 0,6000 0,5810 0,5740 0,5720 0,5720

2,5 0,6670 0,6570 0,6540 0,6540 0,6450

3,0 0,7160 0,7100 0,7090 0,7080 0,7080

3,5 0,7520 0,7490 0,7480 0,7480 0,7480

Продолжение табл. 1

Нагрузка СМО, А/ц Число мест в очереди

1 2 3 4 5

4,0 0,7800 0,7780 0,7780 0,7780 0,7780

5,0 0,8210 0,8200 0,8200 0,8200 0,8200

6.0 0,8490 0,8490 0,8480 0,8480 0,8480

7,0 0,8690 0,8690 0,8690 0,8690 0,8690

8,0 0,8850 0,8850 0,8850 0,8850 0,8850

9,0 0,8970 0,8970 0,8970 0,8970 0,8970

Для сравнения с результатами классической теории были проведены расчеты вероятности отказа по формуле [2]:

р = рт+' • а -р) (3)

отк^лас 1 т+2 ^ '

1 - Р

где р = X /^ - нагрузка системы массового обслуживания.

В результате были получены коэффициенты коррекции Ккорр, приведенные в таблице 2, на которые необходимо умножить классические результаты с целью получения параметров немарковской СМО:

Ротк Ккорр Ротклас (4)

Таблица 2

Коэффициент коррекции Ккорр для вероятности отказа СМО

Нагрузка СМО, А/ц Число мест в очереди

1 2 3 4 5

0,4 1,0583 1,1538 1,1875 1,3333 1,4800

0,6 1,0707 1,1818 1,3036 1,4545 1,6842

0,8 1,0763 1,1792 1,2951 1,4382 1,6212

1,0 1,0689 1,1548 1,2402 1,3392 1,4200

1,2 1,0657 1,1460 1,2222 1,2988 1,3680

1,4 1,0622 1,1295 1,1880 1,2401 1,2753

1,6 1,0585 1,1129 1,1566 1,1880 1,2103

1,8 1,0541 1,1018 1,1343 1,1528 1,1659

2,0 1,0508 1,0901 1,1124 1,1260 1,1349

2,5 1,0406 1,0666 1,0792 1,0864 1,0932

3,0 1,0347 1,0519 1,0598 1,0599 1,0615

3,5 1,0287 1,0417 1,0447 1,0462 1,0476

4,0 1,0236 1,0332 1,0360 1,0373 1,0373

5,0 1,0186 1,0237 1,0250 1,0250 1,0250

6.0 1,0143 1,0180 1,0180 1,0180 1,0180

7,0 1,0105 1,0140 1,0140 1,0140 1,0140

8,0 1,0091 1,0114 1,0114 1,0114 1,0114

9,0 1,0079 1,0090 1,0090 1,0090 1,0090

Графики зависимостей коэффициента коррекции Ккорр от нагрузки СМО приведены на рис. 3.

1,8

1,6

1,4

1,2 -

0

2

4

6

8

Р

Рис. 3. Зависимость коэффициента Ккорр от нагрузки системы массового обслуживания

Индекс переменной по оси ординат соответствует количеству мест в очереди СМО.

Характер полученных зависимостей определяется несколькими факторами. При увеличении нагрузки вероятность отказа Ротк в любом случае стремится к единице. Поэтому и коэффициент коррекции также стремится к единичному значению. При уменьшении нагрузки до нуля напротив, вероятность отказа Ротк стремится к нулю, как в марковской, так и в немарковской системе. Следовательно, коэффициент коррекции также обращается в единицу:

Ккорр = И™ Ккорр =1

(5)

Экстремум функциональной зависимости наблюдается при нагрузках СМО, близких к единице. Это отвечает наиболее вероятным режимам работы системы, когда вероятность отказа составляет величину порядка Ротк = 0,05...0,2. Таким образом, увеличение значения вероятности отказа в обслуживании заявки в 1,5-2 раза исключительно по причине той или иной дисциплины обслуживания в канале представляется весьма существенным для оценки возможностей СМО при разработке и проектировании аппаратуры передачи и обработки информации в инфокоммуникационных сетях. Полученные результаты находят также практическое подтверждение, поскольку из опыта проектирования вычислительных сетей известна целесообразность обеспечения 15-20 % запаса пропускной способности сервера с целью обеспечения требуемых показателей системы.

Список литературы:

1. Таха Хемди А. Введение в исследование операций / Пер. с англ. - 7-е издание. - М.: Издательский дом «Вильяме», 2005. - 912 с.

1

2. Вентцель Е.С. Исследование операций. - М.: Советское радио, 1972. -552 с.

3. Абрамов П.Б. Основы теории марковских форм с внешними потоками событий [Текст]: монография. - Воронеж: Издательско-полиграфический центр «Научная книга», 2014. - 185 с.

4. Абрамов П.Б. Применение элементов теории марковских форм для моделирования немарковских процессов на основе метода фаз Эрланга // В сб. «Информатика: проблемы, методология, технологии. Материалы XIV Междуародной научно-методической конференции». - Воронеж: ВГУ, 2014. -С. 33-37.

ЭКОЛОГИЧЕСКИЙ МОНИТОРИНГ ИНФРАЗВУКОВЫХ И ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ ТРАНСПОРТНОГО ПОТОКА

© Графкина М.В.*, Свиридова Е.Ю.*

Московский государственный машиностроительный университет (МАМИ),

г. Москва

В работе приведены результаты исследований малоизученных ин-фразвуковых и низкочастотных электромагнитных полей транспортного потоков в городской среде; показана зависимость уровней данных полей от интенсивности движения, удаленности от автомагистралей, режима работы и скорости транспортных средств.

Ключевые слова экологический мониторинг, электромагнитное поле, инфразвуковое поле, транспортный поток, интенсивность движения.

Транспортный поток - негативный фактор воздействия на окружающую среду и одна из основных причин ухудшения экологической обстановки в условиях городской застройки. Автомобиль является не только источником вредных выбросов в атмосферу и шумового загрязнения, но и создает ин-фразвуковые и низкочастотные электромагнитные поля.

Эти негативные факторы не воспринимаются основными рецепторами человека, и зачастую люди недооценивают опасности, исходящей от источников электромагнитных и инфразвуковых полей.

При этом среди зарегистрированных последствии электромагнитного излучения человека - повреждение основных функций организма, в т.ч. по-

* Заведующий кафедрой «Экологическая безопасность автомобильного транспорта», доктор технических наук, профессор.

* Доцент кафедры «Экологическая безопасность автомобильного транспорта», кандидат технических наук.