CC BY
128
П.Б. Абрамов,
кандидат технических наук, доцент, Военный учебно-научный центр Военно-воздушных Cu.ii «Военно-воздушная академия им. профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина» (г. Воронеж)
А.В. Леньшин,
доктор технических наук, доцент, Военный учебно-научный центр Военно-воздушных Cun «Военно-воздушная академия им. профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина» (г. Воронеж)
ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ МНОГОКАНАЛЬНЫХ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С УЧЕТОМ ПОСЛЕДЕЙСТВИЯ В ПОТОКАХ ОБ СЛУЖЕННЫХ ЗАЯВОК
ESTIMATION OF MULTI-CHANNEL MASS SERVICE SYSTEMS PARAMETERS CONSIDERING POSTACTION IN STREAMS
OF SERVED DEMANDS
Приводятся результаты аналитического моделирования многоканальных систем массового обслуживания для случая, когда потоки обслуженных заявок аппроксимируются потоками Эрланга. Результаты моделирования сопоставлены с расчетами классической теории, получены коэффициенты коррекции, позволяющие учесть последействие в системах массового обслуживания.
Results of analytical modelling of multi-channel mass service systems are discussed for a case when streams of the served demands are approximated by Erlang streams. Results of modelling are compared with classical theory calculations, and on this basis correction factors are received, allowing to consider postaction in mass service systems.
Моделирование многоканальных систем массового обслуживания (СМО) является весьма актуальным в условиях современного развития сложных технологий. При этом, как показано в [1], существенную роль играет учет свойств потоков событий, моделирующих потоки поступающих заявок и обслуженных заявок. Учет фактора последействия в канале обслуживания одноканальной СМО с очередью приводит к необходимости коррекции вероятности отказа СМО в 1,6—1,7 раза.
В связи с этим существенный научный интерес представляет исследование данного аспекта для многоканальных СМО с отказами. Научный подход, позволяющий оценить влияние последействия в потоках событий на параметры многоканальных СМО, изложен и обоснован в [2].
Для любого стохастического потока при аппроксимации потоком Эрланга последействие определяется согласно выражению
где m — математическое ожидание; О — среднеквадратичное отклонение значения временного интервала между событиями в потоке.
Примем допущение об идентичности характеристик каналов СМО. При одновременном функционировании двух каналов СМО математическое ожидание времени обслуживания очередной заявки составит величину m/2, при функционировании трех
(1)
каналов СМО — величину m/3 и т.д. Вместе с тем, дисперсия каждой из этих случайных величин остается прежней и равной а1. Следовательно, коэффициенты КЭ для большинства переходов многоканальной СМО будут иметь нецелочисленное значение.
Граф состояний и переходов для многоканальной СМО с введенными псевдосостояниями на переходе —So будет иметь вид, представленный на рис. 1. Можно видеть, что граф существенно усложняется по сравнению с классическим. При этом для нецелочисленных значений КЭ неизвестно, сколько именно вводить псевдосостояний. Количество уравнений, описывающих динамику модели, также существенно возрастает с увеличением порядка потока Эрланга К Э.
Рис. 1. Граф состояний и переходов для многоканальной СМО
Вместе с тем, как показано в [2], переход £1—£0 (а также аналогично и другие переходы) можно представить в виде марковской цепи (рис. 2).
Рис. 2. Фрагмент графа, приведенный к марковской цепи Это представление основано на свертке множества псевдосостояний к единственному состоянию, возможность чего обусловлена особенностями марковских форм с открытыми входами и выходами [3]. Значения коэффициента Ккорр для потоков событий приведены в табл. 1 с точностью до 10-4 для нагрузки СМО р = 0,1...1,5 и последействия в потоке Кщ = КЭ = 2...10.
Таблица 1
Значения коэффициента КШррХ104 для потоков событий
Нагрузка р=1т Коэффициент последействия в немарковском потоке Код
2 3 4 5 6 7 8 9 10
0.1 9756 9674 9633 9608 9591 9580 9571 9564 9558
0.2 9524 9362 9280 9231 9199 9175 9157 9144 9133
0.3 9302 9063 8943 8870 8821 8786 8760 8739 8723
0.4 9091 8778 8619 8523 8459 8412 8378 8351 8329
0.5 8889 8504 8308 8190 8110 8053 8011 7977 7950
0.6 8696 8242 8011 7870 7776 7709 7658 7619 7587
0.7 8511 7991 7725 7564 7456 7378 7320 7274 7238
0.8 8333 7750 7452 7270 7149 7061 6996 6944 6903
0.9 8163 7519 7189 6989 6854 6757 6685 6628 6582
1.0 8000 7297 6938 6719 6572 6466 6387 6324 6275
1.1 7843 7085 6696 6460 6301 6187 6101 6034 5980
1.2 7692 6881 6465 6212 6042 5920 5828 5756 5698
1.3 7547 6685 6243 5975 5794 5664 5567 5490 5429
1.4 7407 6497 6031 5747 5557 5420 5316 5236 5171
1.5 7273 6316 5826 5529 5329 5186 5077 4993 4925
Для сравнения с результатами классической теории массового обслуживания были проведены расчеты вероятности отказа по формуле
рп 1
РО1К КЛ п , (2)
^ р‘Ь!-
п! ХТ!
І=1
где р = 1т— нагрузка системы массового обслуживания.
В результате были получены коэффициенты коррекции Ккорр, приведенные в табл. 2, на которые необходимо умножить классические результаты с целью получения параметров немарковской многоканальной системы массового обслуживания
Р
К = ОТК корр р
рОТК КЛ
Таблица 2
Коэффициент коррекции Ккорр_2Скап для вероятности отказа двухканальной СМО
Нагрузка СМО р=1т Коэффициент последействия в немарковском потоке Код
2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 20 200
0,2 1,049 1,067 1,076 1,088 1,098 1,107 1,115 1,119 1,122 1,133 1,139 1,154
0,4 1,093 1,128 1,149 1,176 1,196 1,212 1,224 1,234 1,241 1,263 1,274 1,306
0,6 1,129 1,183 1,212 1,250 1,279 1,301 1,319 1,333 1,343 1,375 1,392 1,439
0,8 1,157 1,224 1,262 1,308 1,343 1,370 1,392 1,408 1,421 1,460 1,481 1,540
1,0 1,176 1,254 1,298 1,349 1,388 1,418 1,442 1,46 1,475 1,518 1,541 1,606
1,2 1,189 1,274 1,322 1,376 1,416 1,447 1,472 1,491 1,505 1,550 1,574 1,640
1,4 1,197 1,286 1,336 1,390 1,430 1,461 1,485 1,504 1,518 1,562 1,585 1,650
1,6 1,200 1,291 1,343 1,395 1,434 1,464 1,486 1,504 1,518 1,560 1,582 1,642
1,8 1,201 1,292 1,344 1,394 1,430 1,458 1,480 1,496 1,509 1,548 1,568 1,623
2,0 1,200 1,289 1,340 1,388 1,422 1,448 1,467 1,483 1,495 1,530 1,548 1,597
2,2 1,197 1,285 1,334 1,379 1,411 1,434 1,452 1,466 1,477 1,509 1,525 1,569
2,4 1,194 1,279 1,326 1,368 1,397 1,419 1,435 1,447 1,457 1,486 1,500 1,539
2,6 1,190 1,272 1,317 1,356 1,383 1,402 1,417 1,428 1,437 1,463 1,476 1,510
2,8 1,185 1,264 1,307 1,343 1,368 1,386 1,399 1,409 1,417 1,440 1,452 1,481
3,0 1,181 1,256 1,297 1,330 1,353 1,369 1,381 1,391 1,398 1,418 1,428 1,454
3,2 1,176 1,249 1,288 1,318 1,339 1,354 1,364 1,373 1,379 1,397 1,406 1,429
3,4 1,171 1,241 1,278 1,306 1,325 1,338 1,348 1,356 1,361 1,378 1,386 1,406
3,6 1,167 1,233 1,268 1,294 1,312 1,324 1,333 1,339 1,344 1,359 1,366 1,384
3,8 1,162 1,226 1,259 1,283 1,299 1,310 1,318 1,324 1,329 1,342 1,348 1,363
4,0 1,158 1,219 1,250 1,272 1,287 1,297 1,304 1,310 1,314 1,326 1,331 1,345
Графики зависимостей коэффициента коррекции ККорр_2снап от нагрузки для двухканальной СМО приведены на рис. 3 и рис. 4. Последнее число в наименовании каждой кривой характеризует последействие в потоке обслуживания Кщ .
Полученные зависимости свидетельствуют о сохранении в многоканальных СМО тенденций, выявленных для одноканальных СМО с ожиданием [1]. Коэффициенты коррекции вероятности отказа СМО имеют явно выраженный максимум в наиболее актуальной области нагрузок системы, составляющих р = (0,6...0,8)п , где п — количество каналов СМО. При этом значения самого коэффициента коррекции составляют величину 1,6—1,7. Таким образом, подтверждается тезис о настоятельной необходимости учитывать фактор последействия в потоках обслуженных заявок с целью получения адекватных оценок параметров СМО.
Рис. 3. Зависимость коэффициента Ккарр_2съап от нагрузки двухканальной СМО
для последействия Кщ = 2...8
17
16
Ю;огг_2С113ш_:0
Ккогг_2С11а11_20. Ккоп_2СЬт_200 1 4
13
12
1 1 1
/ V
/ ч . . ' ч
/ ч
" 1 4 -
* ■/
- '7 X •• N. - .4, ч _
У
• I | 1 1
Рис. 4. Зависимость коэффициента Ккорр_2скап от нагрузки двухканальной СМО для последействия Кпд = 10, 15, 20 и 200
Вместе с тем необходимо еще раз подчеркнуть нетривиальность и сравнительную сложность методики решения рассмотренной в данной статье задачи. Это касается выбора коэффициентов коррекции для интенсивностей потоков обслуженных заявок на каждом из переходов графа состояний системы. Так, например, если последействие в потоке обслуженных заявок ц составляет 8, а отношение 1т = 1, то для перехода £1— £0 в табл. 1 следует выбрать ячейку именно для указанных значений. А для перехода £2—£1 интенсивность обслуживания вдвое выше, последействие же, напротив, ниже, но уже в четыре раза. Поэтому для перехода £2—£1 следует выбрать ячейку, где Кщ = 2 , а
1т = 0,5. Для иллюстрации соответствующие ячейки в табл. 1 выделены.
В п-канальной СМО ситуация еще более усложняется. Для большинства из переходов потребуется не только подстановка известных табличных значений коэффициента коррекции интенсивности потока событий, но также решение интерполяционной задачи для каждого конкретного случая, поскольку исходные данные для обращения к таблице не будут в точности соответствовать ее графам. Представляется, что в силу невысоких значе-
ний второй производной интерполируемой функции достаточную инженерную точность расчетов может обеспечить простая линейная интерполяция. Последнюю можно выполнить поочередно, например, сначала между строками таблицы, получив дополнительную строку для требуемого значения нагрузки р, а затем в этой строке — между ближайшими к требуемому значениями последействия в потоке обслуженных заявок.
ЛИТЕРАТУРА
1. Абрамов П.Б., Леньшин А.В. Оценка параметров систем массового обслуживания при аппроксимации дисциплины обслуживания потоками Эрланга // Вестник Воронежского института МВД России. — 2012. — N° 2. — С. 13—18.
2. Абрамов П.Б., Леньшин А.В. Об одном подходе к оценке параметров многоканальных систем массового обслуживания с учетом последействия в потоках обслуженных заявок // Вестник Воронежского института МВД России. — 2012. — № 3. — С. 156—161.
3. Абрамов П.Б. Модель стационарного режима динамики средних с внешними потоками событий // Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика. — 2012. — № 6. — С. 43—49.
