Моделирование рыночного риска Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

УДК 519.24

МОДЕЛИРОВАНИЕ РЫНОЧНОГО РИСКА © Е. В. Силова

Башкирский государственный университет Россия, Республика Башкортостан, 450076 г. Уфа, ул. Заки Валиди, 32.

Тел.: +7 (347) 229 9632.

Email: veavolis@inbox.ru

Рассчитана стоимостная мера риска Value at Risk (VaR) в Exel на примере финансовых инструментов методами оценки рыночного риска методом дельта-гамма, дельта-нормальным методом и методом Монте-Карло. Показано, что для портфеля типа Колл-опцион минус Пут-опцион Vt = Ct- Pt, с одним фактором риска St (цена акции в момент t), метод дельта-гамма наиболее подходящий, так как повышает точность дельта-нормального и гораздо проще и быстрее метода Монте-Карло. По моделированию рыночного риска написано много книг и статей, но в основном это работы зарубежных авторов, в то время как в нашей стране данная область не так хорошо изучена.

Ключевые слова: стоимостная мера риска, метод дельта-гамма, дельта-нормальный метод, метод Монте-Карло, модель Блэка-Шоулза, стохастические дифференциальные уравнения, стохастические процессы.

Введение

Необходимость в оценке риска возникла в связи с крупными финансовыми кризисами, которые произошли в начале 1990х годов, с банками Baring's, Orange County и Metallge sellschaft [4]. Одной из основных проблем для экспертов, работающих в страховом секторе, является неспособность анализировать меры риска математически. Кроме того, математический анализ играет значительную роль в процессе отбора портфеля [3]. Гарри Марковиц был первым [9], кто математически определил и объяснил термин риск в анализе портфеля. Несмотря на то, что Марковиц не использовал слово риск в исходной версии документа, он представил идею максимизации возврата портфеля, минимизируя при этом величину стандартного отклонения от возврата портфеля инвестора [10]. При математическом определении понятия риска дается количественное выражение и принимается во внимание, что возврат портфеля является случайной величиной и что риск - это вероятность потери [11].

В настоящей работе с помощью методов дельта-нормального, дельта-гамма и Монте-Карло посчитан VaR в Exel для портфеля вида Колл-опцион минус Пут-опцион VT = СТ — Рт. Value at Risk (VaR) - стоимостная мера риска. Распространено общепринятое во всем мире обозначение «VaR». Это выраженная в денежных единицах оценка величины, которую не превысят ожидаемые в течение данного периода времени потери с заданной вероятностью. Показатель VaR был введен в обиход с целью повышения эффективности работы с рисками. VAR - это величина убытков, которая с вероятностью, равной уровню доверия (например, 99%), не будет превышена. Следовательно, в 1% случаев убыток составит величину, большую чем VaR [1].

Методы расчета

Для вычисления теоретической стоимости Европейских опционов пут P (опцион на продажу) и

колл C (опцион на покупку) используется модель Блэка-Шоулза, открытая тремя экономистами -Блэком, Шоулзом и Мертоном, за которую в 1997 г. авторы получили Нобелевскую премию.

Уравнение Блэка-Шоулза для стоимости портфеля V

dV 1

,d2V

dV

dt 2

dS?

dS

является аналогом уравнения теплопроводности; St: -цена акции в момент времени а - стандартное отклонение доходности портфеля, К - страйк-цена, г -процентная ставка, q - выплата дивидендов. Начальные и граничные условия для модели Блэка-Шоулза следующие. Для европейского колл-опциона

С(0, 0 = 0 для V £ е [0, Т], С(Б, С) = тах{5 -К, 0},

= Б^^) - е-г(т-)КсМ&-),

1 х У2

где N(x) = йу - функция распределе-

ния стандартной нормальной случайной величины:

ln

d± = ■

а^Т — t Для европейского пут-опциона Р(0, t) = К • e-r(T-t\v te[0, T], P(S, t) = max[K — S, 0},

Pt = e-r(T-t)KpN(d-)—StN(d+),

где

d± = ■

ln{t) — (r±h2)(T — t)

a^T — t

Тогда

Vt = Ct — Pt= St(N(d+) + N(d+)) —

-t

—e-r(T-t) (KcN(d-) + KpN(d-)). Цена базисной акции St в некоторый момент времени t

х2\

St=So• exp

(('S

t + a.W.

(1)

вычисляется из стохастического дифференциального уравнения

^ = + стА^, где Wt - геометрическое броуновское движение (значение случайного процесса в момент Г) [2, 12].

На практике задача ставится не только получить достаточно точную оценку риска, но и оптимизировать затраты на ее вычисление. Это подразумевает работу по выбору метода, который будет более подходящим для конкретного портфеля. Эти подходы к оценке VaR могут быть разделены на две группы. Первая группа измеряет риск через первоначальное определение стоимости в начальный момент времени, а затем использует производные для определения возможных изменений. Дельта-нормальный метод использует производную первого порядка стоимости портфеля V по цене актива или дельту (греческое обозначение в теории опционов) и подразумевает нормальность будущих распределений доходностей [7]. Метод дельта-гамма использует производные первого и второго порядка в разложении Тейлора стоимости портфеля V по цене 5 (дельту и гамму) [8]. Дельта-гамма повышает точность аппроксимации дельта-нормального метода.

Вторая группа методов измеряет риск, полностью переоценивая портфель. В эту группу входит метод Монте-Карло [6] или метод стохастического моделирования, основанный на моделировании случайных процессов с заданными характеристиками. Изменения цен активов генерируются случайным образом в соответствии с заданными параметрами распределения, например математическим ожиданием ^ и волатильностью ст.

Результаты

Данные для нашего портфеля: 5о = 100 -начальная цена акции, ц = 0.08 - математическое ожидание доходности портфеля, as = 0.2 - стандартное отклонение доходности портфеля, г = 0.01 - процентная ставка, Кс = 120 - цена исполнения колл-оп-циона, Т = 5 лет - время погашения, Кр = 80- цена исполнения пут-опциона, а = Ж_1(0.99) = 2.33 является обратной к функции стандартного нормального распределения с 99%-ным доверительным уровнем.

Дельта-нормальный метод

В дельта-нормальном методе используется формула

VAR=|Лo|•(aa-ц)•So, (2)

0 — характеризует изменение стоимости опци-

Д

она при изменении цены базового актива во время t= 0,

Д=

55,

Дельта Д(: стоимости портфеля:

д^ _ д(С. — Р:) _ дС дР: дБ(- дSt дSt дSt, Для произвольного параметра х:

§ = — е-г(Т-«КсН№)] =

дЫ(^)

дБ. де-г(Т-:)кс

--+ Б дх

дN(d-)

-г(Т-:)кг

дх

Так же отметим, что

1 дd± (Ё±)2

где

дN(d±)

-=--е 2 ,

дх дх

(Ё±)2 Ster(T-t) .1

е ~ = )±2е-у.

Через у обозначим

У =

Таким образом дС дБ: , ^

дх дх 1

2

Б ег(Т-:) л

2а2(Т — t) де-г(Т-:)Кг

дх

■ N(d-) +

1 дd+ -М)! 1 дd- _№)

V2п дх

е—— — Кге-г(Т-:)

= "дх^

С V2П дх де-г(Т-:)Кс

е 2 =

дх

■N(d1-) +

1 Л:ег(Т-«\ 2 дd: -) е-у 1

' \ Кс

дх

— Ксе-г(Т-« —(

1 Л:ег(Т-«\+2 _ дd;

. . е-У-

V2П \ Кс / дх

дх

де-г(Т-:)КС "дх

1 / Б:КС \2 _ дd:

^^Ц)+

:Кс V -уд£Т_ е дх

1 ( Б,-Кс _ дd;

= (■

\ 2 дd1 ■) е-У"д>2" =

= --+

дх

дх

1 V _vд(d+ —d-)

+ ^('ег(Т-«)

дх

Теперь вычислим ДС (дельта колл-опциона в момент времени £). И затем найдем ГС (частную производную второго порядка стоимости колл-опциона по фондовой цене). Итак, имеем

ДС= дСт = N(dí) — 0 + 0 = N(d+), (3)

с _ д2С^ ехр(—М^-) Г =

дБ2 Б0а-/2ПТ ' Аналогично, для произвольного параметра х,

дР^е^^-) — StN(dí)] =

де-г(Т-:)К

дх

де-г(Т-:)К , ^ дБ: , ^

1

е

+

1 { StK V

V2nVer(T-t))

"y—3X— =

Öe-r(T-t)K ч ÖSt ,

N(d-)_ öTN(d+) +

3(aVT-t)

+

dx 1

StK _

-y-

Эх

Таким образом, дельта пут-опциона:

Д?=дРг = ^№), ^др ехр(—Г"

дБ2

(4)

S0aV2nT

Следовательно, используя (3) и (4), получим дс= = N^2) = 0.471192 и дР

Др= = N^+0 = -0.20204.

В результате дельта портфеля будет

д^ дС дPt

дs; = ac;-дs; = N(d+)+N(d+) = a673227.

Далее оценим Д0, рассматривая частную производную первого порядка стоимости портфеля относительно курса акций при £ = 0.

dVt dCt dPt

öSt St-S0 = öSt St-S0 dSt

St-S0

So, а, г, Л"с, Кр даны.

\o= N(dl

Где

До= N(d+) + N(d+).

(5)

d+ =

1п©+(г+2Ит

aVT

ln(l2ü) + (001 +

(0,1+°f)

d+ =

0.2V5

'"(KPH + MT

aVT

l"(^)-(ü.ü1+Ü22)5

0.2^5

Высчитываем и N(^2) и подставив

числа в (5), получим следующий результат

Д0= N^2) + N^2) = 0.673227 ^ |Д0| = Д0.

Используя формулу (2) получаем VаR = Д0 • (аа - • Б0 = = 0.673227 • (2.33 • 0.2 - 0.08) • 100 = = 25.9865622.

Метод дельта-гамма

В этом методе

7аД = |Д0|(аа - ^ - ^((аа - Ю^)2, (6) где |Д0|(аа - ц)50 уже известно из дельта-нормального метода. Способом дополнения дельта-нормального подхода является рассмотрение в разложении Тейлора производных более высокого порядка.

Tt =

d2Vt d2 (Ct — Pt) d2Ct d2Pt

ÖS2 dSt2 dSt2 öS2' Гамма колл-опциона находится как

с _ ^ _ exp(—^-Зр-)

t = öSt2 = S0aV2rcT и гамма пут-опциона

-p _ 92Pt _ exP(—'(d2^)

(d+)2

ГР = = _

t Б0а-^2гсТ

Затем, при t = 0, получим д2С(- д2Р(-

дБ2"

= 0.008946,

= 0.012638.

Г=

dSt2 s s

t St-S0 Применяя (6)

= —0.00369.

St-S0

1

7аД = 25.98657 - - • (-0.00369) ■

• ((2.33 • 0.2 - 0.08) • 100)2 = 28.73689.

Метод Монте-Карло

В методе Монте-Карло курс акций во время £ представляется формулой (1), где геометрическое броуновское движение ^^—^(0, &), и если представить

^ =,м + о-Х,Х—N(0,1) (стандартное нормальное распределение), тогда будем иметь = .

Теперь уравнение (1) перепишется как

5t = So • exp(( ß

—) t + aXVt ).

Далее определим е, как случайную величину из выборки стандартно нормально распределенных случайных величин. Итак, е = М-1(У) , где М-1 является обратной функцией для функции стандартного нормального распределения и У - любая случайная величина, период С = 1. Таким образом,

= -V ехр ((и - у) • 1 + ест^).

Теперь предполагается, что е может принимать любые значения, то есть е= 1.2,...

Шаг 1: выполним первое моделирование, чтобы получить

5, = 50 • ехр ((0.08 - + 0.2 • е).

Шаг 2: выполним 10000 моделирований 51 в Ехе1. Следовательно, получим

51= ... для ¿ = 1,2,......,10000 ^

1 2 10000

Шаг 3: базовый Портфель имеет структуру = - Р(., тогда в течение времени £ = 1 71 = С1 - Р1

= (51ВД) - *с • е"

--Кг-1) .

N(d-)) —

Так, получив 10000 различных значений 51, мы соответственно получим 10000 значений стоимости портфеля

2

5

и

Шаг 4: теперь, будем ранжировать полученные значения портфеля в момент времени Ь = 1, начиная с маленьких и заканчивая наибольшими. Затем, мы выбираем 100-ю самую маленькую стоимость портфеля, и обозначаем ее как У1 вследствие 99%-го доверительного уровня. Таким образом, используя формулы VaR, получаем

УаЯ = У0-У1 = 27.1375476.

Выводы

Установлено, что для данного портфеля метод дельта-гамма из рассмотренных является более подходящим, по следующим причинам:

1. Дельта-гамма использует данные дельта-нормального метода и является методом, который повышает точность дельта-нормального VaR;

2. Реализация этого подхода проще и быстрее по сравнению с моделированием Монте-Карло.

Рассмотренные методы отражают равновесие между точностью модели, скоростью и простотой вычисления. Скорость особенно важна для портфелей с большим количеством факторов риска.

ЛИТЕРАТУРА

1. Bouchaud J. P., Potters M. Theory of Financial Risk and Derivative Pricing: From Statistical Physics to Risk Management / Ed. Cambridge University Press, 2004. 400 p.

2. Brigo D., Mercurio F. Interest Rate Models: Theory and Practice / Springer Finance - 2nd edition, 2006. 982 p.

3. Capinski M., Zastawniak T. Mathematics for Finance. An Introduction to Financial Engineering / Ed. Springer, London, 2011. 336 p.

4. Elliott Robert J. and Kopp P. Ekkehard. Mathematics of Financial Markets / Springer Finance - 2nd edition, 2004. 356 p.

5. Foollmer H. and Schied A. Stochastic Finance in Discrete Time / Ed. Walter de Gruyter, Berlin, 2002. 432 p.

6. Glasserman Paul. Monte Carlo Methods in Financial Engineering / Ed. Springer, 2003. 596 p.

7. Jorion P. Financial risk manager handbook / Wiley - 4th edition, 2007. 736 p.

8. Jorion P. Value at Risk. The New Benchmark for Managing Financial Risk / Ed. McGraw-Hill, New York, 2009. 624 p.

9. Markowitz H. M. Portfolio selection // The Journal of Finance. 1952. Vol. 7. No. 1. Pp. 77-91.

10. Markowitz H. M. Portfolio Selection: Efficient Diversification of Investments / New York: Wiley, 1959. 356 p.

11. Scherer B. Portfolio Construction and Risk Budgeting / Ed. Risk Books, London, 2002. 248 p.

12. Shreve S. Stochastic Calculus for Finance II, Continuous-Time Models / Ed. Springer, 2004. 570 p.

Поступила в редакцию 16.10.2017 г.

ISSN 1998-4812

BecTHHK EamKHpcKoro yHHBepcHTeTa. 2017. T. 22. №4

929

SIMULATION OF MARKET RISK © Е. V. Silova

Bashkir State University 32 Zaki Validi Street, 450076 Ufa, Republic of Bashkortostan, Russia.

Phone: +7 (347) 229 96 32.

Email: veavolis@inbox.ru

The idea of the need for risk management arose for the first time due to a series of major financial crashes in the early 1990s. The general conclusion from these events was the realization of the fact that a huge amount of money can be lost due to weak control and management of financial risks. Therefore, large financial institutions initiated the beginning of research in this area. The most popular risk measure is known as Value at Risk, and denoted by VaR. In this work, VaR was calculated in Exel on the example of financial instruments by following methods of market risk assessment - Delta-Normal, Delta-Gamma, and Monte Carlo Simulation. It is shown that for the portfolio of the Call-option minus Put-option type, VT = CT - PT, which is of a single risk factor St (stock price at time t), Delta-Gamma Method is more convenient to use due to the following reasons: Delta-Gamma approach provides results similar to those provided by the Delta-Normal method; the implementation of this approach is easier and faster in comparison with Monte Carlo simulation; Delta-Gamma VaR increases the sensitivity of Delta-Normal VaR. The considered methods reflect the balance between calculation speed, ease of implementation, and accuracy of the model. Speed becomes a very important parameter for large portfolios affected by multiple risk factors.

Keywords: value at risk, Delta-Gamma method, Delta-Normal method, Monte Carlo simulation, Black-Scholes model, stochastic differential equations, stochastic processes.

Published in Russian. Do not hesitate to contact us at bulletin_bsu@mail.ru if you need translation of the article.

REFERENCES

1. Bouchaud J. P., Potters M. Theory of Financial Risk and Derivative Pricing: From Statistical Physics to Risk Management. Ed. Cambridge University Press, 2004.

2. Brigo D., Mercurio F. Interest Rate Models: Theory and Practice / Springer Finance - 2nd edition, 2006.

3. Capinski M., Zastawniak T. Mathematics for Finance. An Introduction to Financial Engineering. Ed. Springer, London, 2011.

4. Elliott Robert J. and Kopp P. Ekkehard. Mathematics of Financial Markets / Springer Finance - 2nd edition, 2004.

5. Foollmer H. and Schied A. Stochastic Finance in Discrete Time. Ed. Walter de Gruyter, Berlin, 2002.

6. Glasserman Paul. Monte Carlo Methods in Financial Engineering. Ed. Springer, 2003.

7. Jorion P. Financial risk manager handbook / Wiley - 4th edition, 2007.

8. Jorion P. Value at Risk. The New Benchmark for Managing Financial Risk. Ed. McGraw-Hill, New York, 2009.

9. Markowitz H. M. The Journal of Finance. 1952. Vol. 7. No. 1. Pp. 77-91.

10. Markowitz H. M. Portfolio Selection: Efficient Diversification of Investments / New York: Wiley, 1959.

11. Scherer B. Portfolio Construction and Risk Budgeting. Ed. Risk Books, London, 2002.

12. Shreve S. Stochastic Calculus for Finance II, Continuous-Time Models. Ed. Springer, 2004.

Received 16.10.2017.