Комбинаторная модель опционного портфеля Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

ISSN 2311-8768 (Online) Финансовые инструменты

ISSN 2073-4484 (Print)

КОМБИНАТОРНАЯ МОДЕЛЬ ОПЦИОННОГО ПОРТФЕЛЯ

Артур Александрович МИЦЕЛЬа, Михаил Евгеньевич СЕМЕНОВЬ, Маргарита Эдуардовна ФАТЬЯНОВА'^

а доктор технических наук, профессор кафедры автоматизированных систем управления,

Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники; профессор кафедры высшей математики и математической физики; Национальный исследовательский Томский политехнический университет, Томск, Российская Федерация maa@asu. tusur.ru

b кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики и математической физики, Национальный исследовательский Томский политехнический университет, Томск, Российская Федерация sme@tpu.ru

c магистр кафедры высшей математики и математической физики,

Национальный исследовательский Томский политехнический университет, Томск, Российская Федерация mef1@tpu.ru

• Ответственный автор

История статьи:

Принята 20.04.2016 Принята в доработанном виде 07.06.2016 Одобрена 14.06.2016

УДК 51-77 + 330.43: [519.115.1: + 519.245] JEL: С58, С61, G11, G17, G24

Ключевые слова: опцион колл, опцион пут, целочисленное линейное программирование, симплекс-метод, метод Монте-Карло

Аннотация

Тема. Интерес к рынку финансовых продуктов неуклонно растет. При этом брокерские компании стремятся получить максимальный доход при заранее определенной величине убытков. Часто брокеры создают финансовые продукты со стандартными опционными стратегиями. Ввиду этого бывает сложно реализовать различные запросы инвестора. Авторское исследование посвящено описанию подхода конструирования сложных портфелей биржевых опционов.

Цели. Конструирование сложных портфелей - «бычьего» и «медвежьего» структурированных колларов.

Задачи. Изучить основную методику конструирования сложных портфелей биржевых опционов. Разработать коды программы в пакете МайаЬ с применением теории ценообразования опционов для решения задачи линейного программирования (ЗЛП) симплекс-методом и методом Монте-Карло.

Методология. Оптимальный план опционных контрактов колл и пут ЗЛП получен двумя методами: симплекс (для нецелочисленного плана) и Монте-Карло (для целочисленного). Результаты. Сконструированы два сложных портфеля, рассчитанных на рост и падение цен актива: «бычий» и «медвежий» структурированные коллары. Оптимальные план и значение целевой функции найдены методами симплекс и Монте-Карло.

Выводы. Симплекс-метод позволяет находить нецелочисленный оптимальный план, поэтому приходится прибегать к округлению, предварительно проверяя выполнение всех ограничений. Для устранения этого недостатка использован метод Монте-Карло. Однако при решении задачи условия ограничения равенства монетизации и убытка приходится задавать в виде определенного промежутка, в отличие от симплекс-метода, в котором данные величины фиксированы. Оптимальное значение целевой функции прибыли портфеля «бычий» коллар методом Монте-Карло в 1,63 раза больше аналогичного значения, найденного симплекс-методом. Оптимальное значение целевой функции прибыли портфеля «медвежий» коллар симплекс-методом в 1,06 раза больше аналогичного значения, найденного методом Монте-Карло.

© Издательский дом ФИНАНСЫ и КРЕДИТ, 2016

Введение

Конструирование портфелей биржевых опционов - важная задача хеджирования инвестируемого капитала от возможных резких колебаний цен активов. В настоящее время на российском рынке каждая инвестиционная или брокерская компания создает инвестиционные портфели с использованием опционов в различной модификации (структурные, опционные продукты, доверительное управление, торговые роботы). Однако цена подобных продуктов значительна.

Особый интерес для исследований представляет вопрос формирования опционных продуктов (ОП) бесплатного типа либо с заранее заданной ограниченной стоимостью.

Многие авторы современных работ рассматривают вопрос конструирования ОП, учитывая различные факторы: размер инвестируемого капитала, уровень допустимого риска, предпочтения и цели инвестора [1-7]. Данная работа является продолжением исследования [8], в котором производилось построение ОП, рассчитанного на рост базового актива (БА).

В работе [8] оптимизация проводилась без условия целочисленности решения, которая достигалась путем округления полученного значения до целых чисел. Такой подход оправдан, когда округляемые переменные много больше единицы. Однако если они сравнимы с единицей, простое округление решения может приводить к значительным погрешностям как в оптимальном решении, так и в значении целевой функции (в данной задаче целевая функция - доход портфеля).

В нашей работе задача оптимизации решается сразу как задача целочисленного программирования для двух стратегий формирования опционного портфеля, рассчитанных:

1) на рост цены базового актива;

2) падение базового актива. Основные определения

Опционный продукт (опционный портфель, ОП) -инвестиционная стратегия, подобранная индивидуально для клиента исходя из его целей и запросов, сформированная посредством купли-продажи опционных контрактов.

Опцион колл (пут) дает право купить (продать) базисный актив по цене исполнения в установленные сроки или отказаться от этой покупки.

Фьючерс - производный финансовый инструмент, стандартный срочный биржевой контракт купли-продажи базового актива, при заключении которого стороны (продавец и покупатель) договариваются только об уровне цены и сроке поставки [9]1.

Страйк - фиксированная в опционном контракте цена (цена исполнения), по которой может быть куплен или продан базовый актив в случае исполнения опциона.

Цена ask (bid) - цена продажи (покупки) базового актива. При этом спредом называется разность цен ask и bid [10].

Коллар - синтетическая стратегия, составленная из покупки (продажи) опционов колл и пут. В данном исследовании рассмотрены четыре фактора, влияющие на выбор того или иного финансового продукта.

1 Фельдман А.Б. Производные финансовые и товарные инструменты. M.: Финансы и статистика, 2005. 304 с.

1. Стоимость опционного продукта: отрицательная, положительная и нулевая. Отрицательная (монетизация) - продукт бесплатен для клиента и предполагает первоначальную денежную выплату в момент создания инвестиционного портфеля. Положительная (демонетизация) -стоимость продукта, установленная банком, оплачивается инвестором в момент формирования портфеля. Нулевая - продукт является полностью бесплатным для клиента.

2. Сценарий движения цены базового актива опционного портфеля (например, «бычий» или «медвежий» спред).

3. Ограниченный максимальный уровень убытка, который портфель должен иметь в случае нереализации прогноза движения цены актива инвестора.

4. Максимальная прибыль, которую должен принести портфель, если цена базового актива в момент экспирации опционного продукта совпадет с прогнозируемым значением цены [8].

Входные параметры и обозначения

Следуя статье [8], введем следующие обозначения.

Пусть Ы - рыночная цена БА (акции ПАО «Газпром») на момент экспирации продукта (цена спот). Инвестор имеет прогноз движения цены актива от текущего значения Ып до ожидаемого

Ые, в котором он желает получить максимальный

доход.

В начальный момент времени Тп клиент

приобретает продукт, который исполняется в момент экспирации Т

Обозначим вектор цен страйков опционов колл и пут на фьючерсный контракт:

Sc = (Дер..., Scn) и Sp = (5^,..., Spn), где п - число страйков.

Пусть Е - количество купленных (проданных) опционов с одним страйком. Хс = (Хс^..., Хсп), где

Хс. (-Е < Хс. < Е) - количество опционов колл, которое необходимо купить (продать) со страйком Дс. Хр = (Хр1,..., Хрп), где Хр( (-Е < Хр( < Е) -

количество опционов пут, которое необходимо купить (продать) со страйком Др..

Суммарные выплаты по опционам колл и пут в Кроме того, должно выполняться условие момент экспирации продукта Te [8] равны горизонтальности графика:

n

X Xckmax(M-Sck;0) и X Xpk=°- (3)

k= 1

n 2. На некотором промежутке цены актива

X XPkmax(SPk—M;0)• Mе[max(Scn; Spn); +да] должно выполняться

условие, обеспечивающее ограничение выплат:

Введем вектор средневзвешенных цен опционов

колл и пут: X Xck=0. (4)

k=1

С = (q^.^ С) и P = (P1,^, Pn).

3. Растущий тренд («бычий» наклон) графика В соответствии с ценами ask и bid обозначим функции на промежутке между двумя любыми вектор средневзвешенных цен покупки опционов соседними страйками создается из условия [11] колл и пут:

X Xc- X Xp ¡>0, (5)

Cbld =( C\'d, ... ,Cbn'd ) и SCi^Sq SPj» Sq+1

pbid=(p bid pbid) где (Sq; Sq+1)e[ min (Sc1; Sp1) ;max (Scn; Spn)],

' ' n ' q= 1, n+1 • где Ckd=aCk и Pkd=a Pk, , a = 0,9.

4. Отрицательная стоимость продукта выражается Аналогично введем вектор средневзвешенных цен следукщим °граничением-равенств°м: продажи опционов колл и пут:

Cask_/ ask ask \

= ( C 1 > ... ,Cn ) и k=1

Mon =X [XCk(CbkdVCf)+Xpk(PbidVPf )]< 0. (6)

pask=(p<ask, ... ,pask), 5. Функция денежной выплаты в точке, равной

ожидаемому значению цены базового актива Me,

где Cf =eCk и ракк=Ррк, Р = 1,1 (значения a, Р должна быть положительной: определяются из данных «Доски опционов»

срочного рынка Московской биржи)2. F(C, P, Xp„ Me) > Формула для суммарной прибыли, получаемой в (7)

момент экспирации пр0дукта, примет вид [8]: Принципы формирования портфеля

F (C P Xc Хр M) = «медвежий» коллар

Хек [-(C" уС^ ) +max (M-Sck ;0)] + (1) 1. Величина максимального убытка портфеля на +Хрк [-(Pf v Pf) + max (Spk -M ;0)]j ' промежутке M e[ max (Scn; Spn);+»] должна

быть ограничена, то есть должны выполняться условия:

=X

Здесь знак v означает «или». Принципы формирования портфеля «бычий» F(С,P ,Xc ,Xp,M = max(Scn;Spn))=-L

(8)

X XCk=0.

k = 1

коллар

1. Величина выплат портфеля на промежутке цены

актива Ые[0;тт(Дс,;Др,)] должна быть „ „ ,

1 1 2. Величина выплат портфеля на промежутке

ограничена: ые[0;тш(ДсДр,)] должна быть ограничена,

F(C, Р, Хс, Хр, Ы = min(Sc1; Др,)) = (2) что обеспечивается условием

п

I Хрк=0. (9)

k=1

2 Официальный сайт срочного рынка Московской биржи. URL: http://moex.com/ru/derivatives (дата обращения: 03.04.2016).

3. Падающий тренд графика функции на промежутке между двумя любыми соседними страйками создается из условия [ 11]

£ Xc- £ Xpj< 0,

Sc^Sq SPj> Sq+1

(10)

ГДе _( Sq ; Sq + l)e[ min (Sc 1; Spi ) ;max ( Scn ; Spn)],

q=1, n + 1.

4. Отрицательная стоимость продукта выражается следующим ограничением-равенством:

n

Mon =£ [Xc,(CbbdVCf ) + Xpk(pfvPaksk)]<0. (11) k=1

5. Функция денежной выплаты в точке, равной ожидаемому значению цены базового актива M

должна быть положительной:

F(C, P,Xc,Xp,M) > 0.

(12)

Построение опционного продукта «бычий» коллар

Пусть инвестор 22.02.2016 выдвинул прогноз движения цен акций ПАО «Газпром» от текущего значения3 Mn = 138,8 руб. до ожидаемого значения

на 15.06.2016 Me = 155 руб., в котором он желает

получить максимальный доход. При этом инвестор хочет получить Mon = 1 000 руб. наличными в момент приобретения продукта и ограничить максимальный убыток величиной Lu = 10 000 руб.

1. Для удовлетворения предпочтений инвестора сформируем портфель из n = 6 маржируемых опционов колл на фьючерсный контракт на обыкновенные акции ПАО «Газпром» и n = 6 маржируемых опционов пут с одним сроком

исполнения

" 4

страиками .

(15.06.2016)

различными

На рынке акций один лот содержит одну акцию, однако на срочном рынке торговля идет не лотами, а контрактами. Объем фьючерсного контракта на акции ПАО «Газпром» - 100 акций, следовательно,

3 Котировки акций ОАО «Газпром».

URL: http://www.finam.ru/profile/moex-akcii/gazprom (дата обращения: 03.04.2016).

4 Контракт «Маржируемый опцион колл на фьючерсный контракт на обыкновенные акции ОАО «Газпром».

URL: http://moex. com/ru/contract. aspx?code=GAZR-6.16M150616CA%2014000 (дата обращения: 03.04.2016); Контракт «Маржируемый опцион пут на фьючерсный контракт на обыкновенные акции ОАО «Газпром». URL: http://moex.com/ru/contract.aspx?code=GAZR-6.16M150616PA%2014000 (дата обращения: 03.04.2016).

страйки на бирже - это цены акций, умноженные на 100.

С учетом изложенного текущая цена фьючерса на акции Mn = 13 880 руб., ожидаемое значение БА

Me = 15 500 руб. Введем вектор страйков опционов

колл и пут:

Sc = (13 500, 14 000, 14 500, 15 000, 15 500, 16 000) и Sp = (12 000, 12 500, 13 000, 13 500, 14 000, 14 500)5.

2. Сформируем векторы средневзвешенных (расчетных) цен опционов колл и пут в соответствии с конкретным страйком. Их можно получить, используя спецификацию и «Доску опционов» срочного рынка FORTS Московской биржи (табл. 1 и 2)6.

3. В данном исследовании принято, что количество опционов, которые можно купить (продать), Е = 10. Формула для суммарной прибыли (1) примет вид:

F(C, P, Xc, X M) = Xc1[-(1 068,3 V 1 305,7)+ + max(M - 13 500; 0)] + Xc2[ + max(M - 14 000; 0)] + Xc3 + max(M - 14 500; 0)] + Xc4 + max(M - 15 000; 0)] + Xc5 + max(M - 15 500; 0)] + Xc6 + max(M - 16 000; 0)] + Xp1 + max(12 000 - M; 0)] + Xp2 + max(12 500 - M; 0)] + Xp3 + max(13 000 - M; 0)] + Xp4 + max(13 500 - M; 0)] + Xp5 + max(14 000 - M; 0)] + Xp6[ + max(14 500 - M; 0)].

Эту функцию необходимо максимизировать при ограничениях (2)-(7), которые примут следующий вид:

[0; 12 000): 1 Xp1 + ... + Xp6 = 0,

804,6 V 983,4) +

582,3 V 711,7) +

403,2 V 492,8) +

265,5 V 324,5) +

165,6 V 202,4) +(13)

167,4 V 204,6) +

248,4 V 303,6) +

359,1 V 438,9) +

505,8 V 618,2) +

692,1 V 845,9) +

919,8 V 1 124,2) +

[12 000; 12 500) [12 500; 13 000) [13 000; 13 500) [13 500; 14 000) [14 000; 14 500) [14 500; 15 000)

5 Там же.

6 Там же.

-(Xp2 + ... + Xp б) > 0, -(XP3 + ... + Xp б) > 0, -(XP4 + ... + Xp б) > 0, Xc1 - (Xp5 + Xp6) > 0, Xc1 + Xc2 - Xp6) > 0, Xc1 + Xc2 + Xc3) > 0,

(14)

и

[15 000; 15 500): Xc1 + ... + Xc4 > 0, [15 500; 16 000): Xc1 + ... + Xc5 > 0, [16 000; +œ): Xc1 + ... + Xc6 = 0;

F(C, P, X, Y, M = 12 000) = -Lu = -10 000; (15)

Xc J ( 1068,3 V1305,7 )+Xc2 ( 804,6 V 983,4) + Xc з(582,3 V711,7)+Xc 4( 403,2V492,8) + Xc 5( 265,5 V 324,5 )+Xc6 (165,6V202,4 )+ Xp1( 167,4 V 204,6 )+Xp2 (248,4V303,6) + Xp3(359,1V438,9 )+Xp4 (505,8V618,2 )+ Xp5(692,1 V845,9)+Xp6 (919,8 V 1124,2 )=-1000,

(16)

F(C, P, Xc, Xp, 15 500) > 0.

-10< Xc,.< 10;-10 < XP,-<10, Xct,Xpt e Z,j = 1,6.

(17)

(18)

Последнее условие означает, что переменные Хс Хр. принадлежат множеству целых чисел.

на 15.06.2016 Me = 125 руб., в котором он желает

получить максимальный доход. При этом инвестор хочет получить Mon = 1 000 руб. наличными в момент приобретения продукта и ограничить максимальный убыток величиной Lu = 10 000 руб.

Для удовлетворения предпочтений инвестора банк формирует портфель из n = 6 маржируемых опционов колл на фьючерсный контракт на обыкновенные акции ПАО «Газпром» и n = 6 маржируемых опционов пут с одним сроком исполнения 15.06.2016 и различными страйками8.

С учетом объема фьючерсного контракта текущая цена фьючерса на акции Mn = 13 880 руб.,

ожидаемое значение БА Me = 12 500 руб. Вектор

страйков опционов колл и пут:

i, S = (13 500, 14 000, 14 500, 15 000, 15 500, 16 000) и

Таким образом, получена модель целочисленного линейного программирования [12]7.

4. Из указанной функции суммарной выплаты следует, что факт наличия логической операции «или» в каждом слагаемом при Хе{ и Xp{ приводит

к решению комбинаторной задачи. Нетрудно показать, что количество комбинаций цен bid и ask для n опционов, входящих в портфель, составляет 2n. Следовательно, мы получим 2n целевых функций F(C, P, Xc, Xp, M), которые необходимо максимизировать. Эти функции будут отличаться коэффициентами при переменных.

Возвращаясь к исходной задаче и формуле (13), можно увидеть, что в F(C, P, Xc, Xp, M) входит по шесть переменных Xci,i =1,6 и шесть переменных Xpf,i = 1,6, то есть всего 12, следовательно, получится 4 096 комбинаций. Столько же комбинаций коэффициентов в ограничениях (15)-(17).

Таким образом, для каждого набора переменных Xc и Xp нужно решить 4 096 раз задачу линейного программирования и найти оптимальное решение.

Построение опционного продукта «медвежий» коллар

Пусть инвестор 22.02.2016 выдвинул прогноз движения цен акций ПАО «Газпром» от текущего значения M = 138,8 руб. до ожидаемого значения

7 Лунгу К.Н. Линейное программирование. Руководство к решению задач. Москва: Физматлит, 2005. 128 с.

Sp = (12 000, 12 500, 13 000, 13 500, 14 000, 14 500)9.

Функция выплат будет такой, как для «бычьего» коллара (13), а ограничения, согласно выражениям (8)-(12), примут вид:

[0; 12 000):Xp1 + ... + Xp6 = 0,

[12 000; 12 500): -(Xp2 + ... + Xp6) < 0,

[12 500; 13 000): -(Xp3 + ... + Xp6) < 0,

[13 000; 13 500): -(Xp4 + ... + Xp6) < 0,

[13 500; 14 000): Xc1 - (Xp5 + Xp6) < 0, (19)

[14 000; 14 500): Xc1 + Xc2 - Xp6) < 0,

[14 500; 15 000): Xc1 + Xc2 + Xc3) < 0,

[15 000; 15 500): Xc1 + ... + Xc4 < 0,

[15 500; 16 000): Xc1 + ... + Xc5 < 0,

[16 000; +<»): Xc1 + ... + Xc6 = 0,

F(C, P, X, Y, M = 16 000) = -Lu = -10 000,

F(C, P, Xc, Xp, 12 500) > 0.

8 Контракт «Маржируемый опцион колл на фьючерсный контракт на обыкновенные акции ОАО «Газпром». URL: http://moex.com/ru/contract.aspx?code=GAZR-6.16M150616CA %2014000 (дата обращения: 03.04.2016); Контракт «Маржируемый опцион пут на фьючерсный контракт

на обыкновенные акции ОАО «Газпром». URL: http://moex.com/ru/contract.aspx?code=GAZR-6.16M150616PA %2014000 (дата обращения: 03.04.2016).

9 Там же.

Дополнение, связанное с монетизацией,

определяется формулой (16), а область

допустимых значений переменных -ограничениями (18).

Методы решения ЗЛП

Традиционным является метод последовательного улучшения плана (симплекс-метод)10, который разработан Джорджем Данцигом (1947). Идея состоит в целенаправленном изменении плана (решения) с последовательным увеличением величины целевой функции при переходе к следующему плану.

Будем называть оптимальным значением целевой функции величину Fopt(C, P, Xcop(, Xpop(, M), а

оптимальным планом - вектор (Xcop{, Xp),

состоящий из n переменных (по n/2 опционов колл и n/2 - пут с различными страйками).

В данном исследовании для 12 переменных 4 096 раз решается ЗЛП путем создания цикла в скрипте программы Matlab. Для реализации симплекс-метода использована функция linprog пакета, с помощью которого было получено нецелочисленное решение.

Основной недостаток симплекс-метода в том, что получаемый оптимальный план является нецелочисленным. Встроенная функция целочисленного программирования в пакете Matlab отсутствует, как и в пакетах Mathcad и Excel. Таким образом, приходится округлять параметры (XcQpt, Xpop) до целых значений,

предварительно проверяя выполнение всех ограничений. В данном исследовании мы решили попробовать устранить этот изъян путем решения задачи целочисленного программирования.

Для этого можно использовать метод Гомори или метод ветвей и границ [13]. Алгоритмы этих способов достаточно сложны, поэтому лучше использовать метод Монте-Карло. Он позволяет получить целочисленный оптимальный план, и таким образом можно избежать округления.

Идея проста: с помощью метода Монте-Карло проводится «розыгрыш» случайных чисел [14]11 с заданным законом распределения, имитирующих случайные независимые переменные модели (входные переменные). Подставляя эти переменные в модель, далее вычисляют зависимые

переменные и выполняют их анализ. Для реализации такого метода решения задачи формирования опционного портфеля в пакете Mathcad был написан код программы.

Решение ЗЛП методом Монте-Карло состоит в

генерации целочисленных переменных (X, X ),

c p

каждая из которых изменяется в интервале [-10, 10]. Вычисление переменных проводится по формуле {-10 + 20п}, где n ~ Щ0,1) - случайная величина с равномерным законом распределения из интервала от [0,1); {•} - операция округления числа.

Допустимое множество портфелей (количество комбинаций, удовлетворяющих всем

ограничениям (14), (18), (19), составило 5 132 комбинации. Из этого множества выбирается один портфель с теми ценами бумаг bid и ask из 4 096 комбинаций, при которых достигается максимум целевой функции (суммарной прибыли). В результате были получены оптимальный план (Xcopt, Xpop) и максимальное значение целевой

функции Jp/Q P Xcopp XpopP M

Результаты формирования портфелей

В соответствии с условиями ограничений и суммарной функции выплаты была решена линейная оптимизационная задача: «бычий» структурированный коллар в пакете Matlab.

В результате симплекс-методом было получено: maxF(C, P, Xcopt, Xpopt, Me = 15 500) = 8 795,2 руб.

Причем найдены оптимальные доли вложений опционов колл и пут:

Xcopt = (-0,67; -1,2; 10; 1,87; -10; 0) и

Xpopt = (0; 0,67; 10; -10; 9,33; -10).

При падении цены ниже 13 000 руб. уровень максимального убытка ограничен величиной 10 000 руб.

Методом Монте-Карло в пакете Mathcad получены следующие значения.

Оптимальное значение целевой функции:

maxF(C, P, Xcop, Xpp, Me = 15 500) = 10 500 руб.

Оптимальные планы:

10Давыдов Е.Г. Элементы исследования операций. М.: КноРус, 2010. 158 с.

11 Иванов В.В., Никифорова В.Д., Сергеева И.Г., Шевцова С.Г. Рынок ценных бумаг. М.: КноРус, 2008. 284 с.

Xc

opt

Xp

opt

(2; 1; 3; 2; -7; -1) и (2; -2; 7; 2; -5; -4).

Размер монетизации: Mon = 1 000 руб.

Уровень максимального убытка: Lu = -10 000 руб. (рис. 1).

В соответствии с условиями ограничений и суммарной функции выплаты также была решена ЗЛП: «медвежий» структурированный коллар в пакете Matlab.

В результате симплекс-методом было получено значение суммарной функции выплаты:

maxF(C, P, Xcop, Xpopt, Me = 12 500) = 12 223 руб.

Были найдены оптимальные доли вложений опционов колл и пут:

Xcop[ = (-10; 9,33;-10; 10; 0,67; 0) и

Xpopt = (0; -10; -1,55; 10; 2,22; -0,67).

При падении цены ниже 15 500 руб. уровень максимального убытка ограничен величиной 10 000 руб.

Методом Монте-Карло в пакете Mathcad получены следующие значения. Оптимальное значение целевой функции:

maxF(C, P, Xcop, Xpopt, Me = 12 500) = 13 000 руб.

Оптимальные планы: Xcop[ = (-2; -4; -2; 0; 6; 2) и

Xpopt = (0; -2; 0; -4; -1; 7).

Размер монетизации Mon = 1 000 руб.

Уровень максимального убытка Lu = -10 000 руб. (рис. 2).

Как следует из анализа рис. 1, функции выплаты методов симлекс и Монте-Карло «бычьего» структурированного коллара на промежутке монотонного роста находятся друг от друга примерно на величину двух страйков (1 000 руб.). Особенно это нетрудно заметить при величине целевой функции

F(C, P, Xc, Xp, M) = 0.

Однако на рис. 2 для портфеля «медвежий» структурированный коллар наблюдается

примерное наложение графиков функций выплат, причем при значении цены актива М ~ 13 600 руб. величина целевой функции

F(C, Р, Хс, Хр, М) = 0.

Заключение

В представленной работе проведено описание методики конструирования сложных портфелей биржевых опционов с учетом целей инвестора: ограничения максимального убытка, денежной выплаты в момент формирования продукта и сценария поведения базового актива (рост и падение).

В соответствии с этим были сформированы опционные портфели: «бычий» структурированный коллар, рассчитанный на рост базового актива, и «медвежий» структурированный коллар,

рассчитанный на падение.

В качестве основной математической задачи рассматривалась задача линейного программирования с определенным набором ограничений в виде неравенств и равенств. Решение проводилось с использованием симплекс-метода и метода Монте-Карло путем программирования в пакете МаЙаЬ.

Основной недостаток симплекс-метода -нецелочисленный оптимальный план, ввиду чего приходится прибегать к округлению.

Для получения целочисленного оптимального плана использован метод Монте-Карло. Основная идея решения ЗЛП состоит в генерации случайных чисел и(0, 1), с помощью которых формируются целочисленные переменные (Х, У).

Значения переменных должны удовлетворять всем ограничениям ЗЛП и рассчитывать максимум целевой функции. Точность решения зависит напрямую от количества сгенерированных значений (Х, У).

Благодаря целочисленности переменных количество комбинаций, хотя и достаточно большое (5 132), но конечно. В исследовании проведено около 2,1-10 итераций, то есть в каждой из 4 096 комбинаций было проведено 5 132 генерирования значений (Х, У).

Достоинство данного метода - получение целочисленного оптимального плана.

Таблица 1

Расчетная стоимость опционов колл на фьючерсы, руб. Table 1

Estimated cost of call options on futures, rubles

Страйк опциона колл, Sci 13 500 14 000 14 500 15 000 15 500 16 000

Расчетная цена, C{ 1 187 894 647 448 295 184

Расчетный bid, C'b"' 1 068,3 804,6 582,3 403,2 265,5 165,6

Расчетный ask, C™k 1 305,7 983,4 711,7 492,8 324,5 202,4

Источник: разработано авторами Source: Authoring

Таблица 2

Расчетная стоимость опционов пут на фьючерсы, руб. Table 1

Estimated cost of put options on futures, rubles

Страйк опциона пут, Spi 12 000 12 500 13 000 13 500 14 000 14 500

Расчетная цена, Pt 186 276 399 562 769 1 022

Расчетный bid, P'b"1 167,4 248,4 359,1 505,8 692,1 919,8

Расчетный ask, P** 204,6 303,6 438,9 618,2 845,9 1 124,2

Источник: разработано авторами Source: Authoring

Рисунок 1

График зависимости значения суммарной функции выплаты от рыночной цены базового актива (метод симплекс и Монте-Карло, «бычий» коллар)

Figure 1

Chart of dependence of the values of total payment function on the market price of underlying asset (Simplex and the Monte Carlo methods, bullish collar)

Источник: разработано авторами Source: Authoring

Рисунок 2

График зависимости значения суммарной функции выплаты от рыночной цены базового актива (методы симплекс и Монте-Карло, «медвежий» коллар)

Figure 2

Chart of dependence of the values of total payment function on the market price of underlying asset (Simplex and the Monte Carlo methods, bearish collar)

• Метод Монте-Карло Симплекс-метод

20 ООО

О. 15 000

-15 000

Рыночная цена БА на момент экспирации продукта Л/7, руб

Источник: разработано авторами Source: Authoring

Список литературы

1. Агасандян Г.А. Формулы паритета и представления портфелей для двумерных опционов / Труды Шестой межд. конф. MLSD'2012. М.: ИПУ РАН, 2012. Т. I. С. 174-183.

2. Zhukov P. Default Risk and Its Effect for a Bond Required Yield and Volatility. Review of Business and Economics Studies, 2014, vol. 2, no. 4, pp. 87-98.

3. Селюков В.К., Сорокин И.Ю., Барсукова О.А. Управление рисками финансовой организации при портфельном инвестировании на российском фондовом рынке // Экономика и управление: проблемы, решения. 2014. № 1. С. 33-39.

4. Сарафанов Н.С. Стратегии торговли опционами на фондовом рынке в условиях кризиса / Инновационные направления развития АПК и повышение конкурентоспособности предприятий, отраслей и комплексов - вклад молодых ученых: м-лы межд. конф. Ярославль, Ярославская ГСХА, 2012. С.260-266.

5. Jackwerth J.C. Recovering Risk Aversion from Option Prices and Realized Returns. Review of Financial Studies, 2000, no. 2.

6. Мысочник В.А. Опционные стратегии // Успехи современной науки. 2015. № 4. С. 38-42.

7. Кибзун А.И., Соболь В.Р. Модернизация стратегии последовательного хеджирования опционной позиции // Труды института математики и механики УРО РАН. 2013. № 2. С. 179-192.

8. Курочкин С.В., Пичугин И.С. Структурированный коллар: построение сложных опционных продуктов // Рынок ценных бумаг. 2005. № 14. С. 64-68.

9. Буренин А.Н. Форварды, фьючерсы, опционы, экзотические производные. М.: НТО 2008. 512 с.

10. Натенберг Шелдон, Ник Антилл. Опционы: волатильность и оценка стоимости. Стратегии и методы опционной торговли. М.: Альпина Паблишерз, 2011. 546 с.

11. Курочкин С.В. Функции выплат, реализуемые с помощью опционных стратегий // Экономика и математические методы. 2005. № 3. С. 135-137.

12. Сухинин М.Ф. Численное решение задач линейного программирования и вычисление границ спектра симметричной матрицы. Москва: Физматлит, 2002. 160 с.

13. Ковалев М.М. Дискретная оптимизация (целочисленное программирование). М.: Либроком, 2011. 191 с.

14. Пономарев М.В. Расчет цен опционов азиатского типа методом Монте-Карло / сб. трудов молодых ученых и сотрудников кафедры вычислительной техники СПбНИУ ИТМО / под ред. Т.И. Алиева. СПб: СПБНИУ ИТМО, 2012. С. 47-52.

ISSN 2311-8768 (Online) ISSN 2073-4484 (Print)

A COMBINATORIAL MODEL OF OPTION PORTFOLIO

Artur ^ MITSEL'a, Mikhail E. SEMENOVb, Margarita E. FAT'YANOVA^

Financial Instruments

a Tomsk State University of Control Systems and Radio Electronics, Tomsk, Russian Federation maa@asu. tusur.ru

b National Research Tomsk Polytechnic University, Tomsk, Russian Federation sme@tpu.ru

c National Research Tomsk Polytechnic University, Tomsk, Russian Federation mef1@tpu.ru

• Corresponding author

Article history:

Received 20 April 2016 Received in revised form 7 June 2016 Accepted 14 June 2016

JEL classification: C58, C61, G11, G17, G24

Keywords: call option, put option, integer linear programming, Simplex method, Monte-Carlo method

Abstract

Subject The study addresses an approach to building complex portfolios of stock options.

Objectives The aim is to design complex portfolios, namely, bull and bear market collars based on

equity options. The objectives are to study the basic procedure for building complex portfolios of

equity options; to implement the proposed approach using the MATLAB software.

Methods The optimum plan for call and put options is prepared under the Simplex method (for the

non-integer plan) and the Monte-Carlo method (for integer plan) to solve the linear programming

problem.

Results We built two complex portfolios based on bull and bear structured collars for falling and rising price of asset. The optimum plan and the objective function value were obtained under the Simplex method and the Monte-Carlo method.

Conclusions and Relevance The Simplex method allows us to find the non-integer optimum plan, therefore, it is necessary to round the obtained result and check all restrictions. To eliminate this deficiency, we applied the Monte-Carlo method. The optimum value of the objective function of the bull collar portfolio under the Monte-Carlo method is 1.63 times more than the corresponding value under the Simplex method. The optimum value of the objective function of the bear collar portfolio under the Simplex method in 1.06 times more than the corresponding value under the Monte-Carlo method.

© Publishing house FINANCE and CREDIT, 2016

References

1. Agasandyan G.A. Formuly pariteta i predstavleniya portfelei dlya dvumernykh optsionov. V. kn: Trudy Shestoi mezhd. konf. MLSD'2012, T. 1 [Formulae of the parity and portfolios for two-dimensional options. In: Proceedings of the Sixth International Conference MLSD'2012, Volume 1]. Moscow, Trapeznikov Institute of Control Sciences of Russian Academy of Sciences Publ., 2012, pp. 174-184.

2. Zhukov P. Default Risk and Its Effect for a Bond Required Yield and Volatility. Review of Business and Economics Studies, 2014, vol. 2, no. 4, pp. 87-98.

3. Selyukov V.K., Sorokin I.Yu., Barsukova O.A. [Risk management of the financial organization in the event of portfolio investment in the Russian share market]. Ekonomika i upravlenie: problemy, resheniya = Economics and Management: Problems, Solutions, 2014, no. 1, pp. 33-39. (In Russ.)

4. Sarafanov N.S. [Strategies of option trading in the stock market under crisis]. Innovatsionnye napravleniya razvitiya APK i povyshenie konkurentosposobnosti predpriyatii, otraslei i kompleksov vklad molodykh uchenykh: m-ly mezhd. konf [Proc. Sci. Conf. Innovative Areas of Agribusiness Development and Increase in the Competitiveness of Enterprises, Branches and Complexes: The Contribution of Young Scientists]. Yaroslavl, Yaroslavl SAA Publ., 2012, pp. 260-266.

5. Jackwerth J.C. Recovering Risk Aversion from Option Prices and Realized Returns. Review of Financial Studies, 2000, no. 2.

6. Mysochnik VA. [Option strategies]. Uspekhi sovremennoi nauki = Modern Science Success, 2015, no. 4, pp. 38-42. (In Russ.)

7. Kibzun A.I., Sobol' V.R. [Modernizing the strategy of consecutive hedging of option position]. Trudy instituta matematiki i mekhaniki URO RAN = Proceedings of Institute of Mathematics and Mechanics of Ural Branch of RAS, 2013, no. 2, pp. 179-192. (In Russ.)

8. Kurochkin S.V., Pichugin I.S. [A structured collar: creating complex options]. Rynok tsennykh bumag = Securities Market, 2005, no. 14, pp. 64-68. (In Russ.)

9. Burenin A.N. Forvardy, fyuchersy, optsiony, ekzoticheskie proizvodnye [Forwards, futures, options, and exotic derivatives]. Moscow, NTO Publ., 2008, 512 p.

10. Natenberg Sh. Optsiony: volatil'nost' i otsenka stoimosti. Strategii i metody optsionnoi torgovli [Option Volatility & Pricing: Advanced Trading Strategies and Techniques]. Moscow, Al'pina Pablisherz Publ., 2011, 546 p.

11. Kurochkin S.V. [The functions of payments implemented through option strategies]. Ekonomika i matematicheskie metody = Economics and Mathematical Methods, 2005, no. 3, pp. 135-137. (In Russ.)

12. Sukhinin M.F. Chislennoe reshenie zadach lineinogo programmirovaniya i vychislenie granits spektra simmetrichnoi matritsy [Numerical solution to linear programming problems and calculating the spectrum boundaries of the symmetric matrix]. Moscow, Fizmatlit Publ., 2002, 160 p.

13. Kovalev M.M. Diskretnaya optimizatsiya (tselochislennoe programmirovanie) [Discrete optimization (integer programming)]. Moscow, Librokom Publ., 2011, 191 p.

14. Ponomarev M.V. Raschet tsen optsionov aziatskogo tipa metodom Monte-Karlo. V kn.: Sbornik trudov molodykh uchenykh i sotrudnikov kafedry vychislitel'noi tekhniki SPbNIU ITMO [Asian option pricing under the Monte Carlo method. In: Collection of works of young scientists and Computer Science Chair staff of ITMO University]. St. Petersburg, ITMO University Publ., 2012, pp. 47-52.