CC BY
12Прикладная математика
УДК 535.21:62-50
И. В. Краснов
Институт вычислительного моделирования Сибирского отделения Российской академии наук, Россия, Красноярск
И. М. Шкедов
Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева, Россия, Красноярск
МОДЕЛИРОВАНИЕ РЕЖИМОВ ОПТИМАЛЬНОГО ЛАЗЕРНОГО ВОЗДЕЙСТВИЯ ПРИ ДВУХСТУПЕНЧАТОЙ ФОТОИОНИЗАЦИИ АТОМОВ
Обсуждены оптимальные режимы лазерного воздействия при двухступенчатой фотоионизации атомов, полученные на основе численного решения соответствующих задач оптимального управления.
Прогресс, достигнутый в области оптического манипулирования атомами и молекулами, показал, что лазерное излучение является гибким управляющим средством, с помощью которого можно целенаправ-ленно изменять состояния атомов. Область практического применения целенаправленного лазерного воздействия на атомы широка: фотохимия, спектроскопия и детектирование атомов и молекул, глубокое охлаждение и локализация атомов, лазерное разделение изотопов, квантовая информатика и нанотех-нологии.
Концепция оптимальных лазерных воздействий, основанная на применение теории оптимального управления, развивалась в работах [1-3] и впоследствии в других публикациях (см., например, [4] и содержащиеся там ссылки). Нами же будут рассмотрены режимы оптимальных лазерных воздействий при двухступенчатой фотоионизации атомов, полученные путем численного решения соответствующих задач оптимального управления. Оказалось, что эти задачи являются вырожденными [5] и принцип расширения множества допустимых Б [6] является эффективным методом их решения.
Управление резонансным излучением. В рамках модели некогерентного взаимодействия излучения с атомом задача оптимального управления максимальной ионизацией атомов имеет вид
j _
J = - J R(t)x2 dt® min,
dxl d t
= x2 - u (x1 - x2), x1 (0) = 1,
dx2 dt
= -[R(t) +1]x2 + u(x -x2), x2(0) = 0,
dx3 ~ch
= u, x3(0) = 0, x3 (t j ) = Ej- , u (t) >0, 0 <t<t f ,
(1) (2)
(3)
(4)
(5)
где х, X - нормированные заселенности основного и возбужденного состояний; и = и/у, Я = Я/у - безразмерные скорости индуцированных процессов испус-
кания и поглощения резонансного излучения и ионизации возбужденного состояния; у - вероятность
спонтанного распада; t = t - у - безразмерное время.
Переход к производной задаче осуществляется посредством соотношений
Xi = x + X, X2 = (x - x) exp(2X). (6)
Объявив новой управляющей функцией
w(t) = exp(-2 x3) (7)
и решая производную задачу, получим выражение для оптимального управления исходной задачи (1)...(5) при R(t) = R0 = const, зависящее от значения параметра p (см. рисунок):
u (t) =
p < 1
Р =
E18(t) + u (t), te[0, t1 ], 0 т e [t1., tj ], ej , te[0, tj ], p > 1,
exp(-2Ej ) ^ + R + exp [-(R + 1)tj ]j
(8)
(9)
1 + — l{1 - exp [-(R0 +1)t j ]}
где E1 - амплитуда 5-импульса E1 < Ef; u (t) - магистральный участок управления.
R(tVR0
u%(t)
0.8 0.6 0.4 0.2 0
/ / — / 1 1 / [ -1- ч 1 1 1 ч 2 ^ . ----ч 4 Ч. ч ч. ч \ ч >— ч 1 R0 = 2 Ef = 8 t* = 1 : :
1 - 1 S. Ч -
1 1 ' 1 ' 1 1 1 1 1 -
4.0
2.0
1.0
3.0
Вид оптимального воздействия (2) для формы резонансного импульса (1)
т
Решетневскце чтения
Управление ионизирующим излучением. Задача оптимального управления формой импульса ионизирующего излучения с заданной энергией Е^ в безразмерных переменных формулируется следующим образом:
J = xl (t f ) + x2 (tf ) ® min,
dx —
—1 = -R (t)(x - x2) + x2, Xj(0) = 1, d t
= R (t)(x1 - x2) - x2 - Ux2, x2(0) = 0,
d t
—3 = и, x3(0) = 0, x3(t f ) = E d t f
U (t) > 0, 0 <t<t f,
f
(10) (11)
(12)
(13)
(14)
где R (t) и u(t) - скорости индуцированных резонансных процессов и фотоионизации соответственно, нормированные к скорости спонтанного распада возбужденного состояния у.
Эта задача также решена с помощью применения принципа расширения. Оптимальный лазерный импульс фотоионизирующего излучения при R = R = const имеет вид
U(t) =
Ef 5(t-t f ), t e [0, t f J, p > 1 0, te[0, tj ],
P < 1,
(15)
P =
U + E15(t-t f ), te^t1, t f ]
exp(-Ef ) ^ + rR+1 exp [-(2R0 + 1)t f ] j {1 - exp [-(2 R0 +1) t f J}
(16)
где и найдено численно методом проекции градиента, й = const
Для практически более реалистичной ситуации профилированного во времени импульса резонансно-
где t - пара-
— t t го излучения R (t) = R0—exp 1 — t [ t
метр, определяющий его длительность, решение включает в себя пассивный и особый участки, а также 5-образный импульс (см. рисунок).
Таким образом, помимо прикладного аспекта -поиска эффективных режимов целенаправленного воздействия на состояния атомов - методы оптимального лазерного управления атомами имеют важный теоретический аспект: они являются утонченным средством понимания самой физики взаимодействия когерентного поля с квантовыми системами.
Библиографичесие ссылки
1. Краснов И. В., Шапарев И. М., Шкедов И. М. Эффективное опторазрядное разделение газов // Письма в Журн. техн. физики. 1980. Т. 6, № 20. С. 1227-1230.
2. Krasnov I. V., Shaparev N. Ya., Shkedov I. M. Optimal Control of Resonance Radiation Processes // Optics Communications. 1980. Vol. 34, № 2. P. 181-184.
3. Краснов И. В., Шапарев Н. Я., Шкедов И. М. Оптимальные лазерные воздействия. Новосибирск : Наука, Сиб. отд-ние, 1989.
5. Кротов В. Ф., Гурман В. И. Методы и задачи оптимального управления. М. : Наука, 1973.
6. Гурман В. И. Принцип расширения в задачах управления. М. : Наука, 1985.
4. Werchnik J., Cross E. K. U. Quantum Optimal Control Theory // J. of Physics B: Atomic Molecular and Optical Physics. 2007. Vol. 40. P. 175-211.
I. V. Krasnov
Institute of Computational Modelling, Russian Academy of Science, Siberian Branch, Russia, Krasnoyarsk
I. M. Shkedov
Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev, Russia, Krasnoyarsk
SIMULATION OF OPTIMAL REGIMES OF LASER ACTION IN TWO-STEP FOTOIONOZATION ATOMS
Optimal regimes of laser action in two-step photoionization of atoms, which were obtained on the base of numerical solution of the corresponding optimal control problems are discussed.
© Краснов И. В., Шкедов И. М., 2011
