Моделирование рассеивания примеси низкотемпературных веществ в приземном слое атмосферы Текст научной статьи по специальности «Математика»

P.J., Caines P.E. A globally convergent adaptive predictor/ / Automatica. 1981. №1. P.135—140.

Поступила в редколлегию 20.05.2002

Рецензент: д-р техн. наук, проф. Любчик Л.М.

Плисс Ирина Павловна, канд. техн. наук, ст. науч. сотр., вед. науч. сотр ПНИЛ АСУ ХНУРЭ, член IEEE. Научные интересы: адаптивные системы, искусственные нейронные сети. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел.: 40-98-90. E-mail: [email protected]

Чапланов Алексей Павлович, аспирант кафедры искусственного интеллекта, мл. науч. сотр. ПНИЛ АСУ ХНУРЭ. Научные интересы: искусственные нейронные сети. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел.: 40-98-90. E-mail: [email protected]

Чепенко Татьяна Евгеньевна, аспирантка кафедры искусственного интеллекта, науч. сотр. ПНИЛ АСУ ХНУРЭ. Научные интересы: искусственные нейронные сети. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел.: 40-98-90.

УДК 519.673

МОДЕЛИРОВАНИЕ РАССЕИВАНИЯ ПРИМЕСИ НИЗКОТЕМПЕРАТУРНЫХ ВЕЩЕСТВ В ПРИЗЕМНОМ СЛОЕ АТМОСФЕРЫ

ТЕВЯТПЕВ А.Д., ВЫХОДЦЕВ Е.И.______

Рассматривается модель рассеивания примеси, образующейся в результате аварийного выброса, в приземном слое атмосферы по законам турбулентной диффузии и эффективный метод ее решения.

2. Модель

Прогноз загрязнения атмосферы в результате аварийного выброса или утечки низкотемпературного вещества основывается на использовании решения дифференциального уравнения турбулентной диффузии [2]:

dq дд

dt

■ + u

dx

dq

+ U y---h U-

У dy z

x

dq

dz

d , dq d dq d dq

— kx— +— k„ — + — kz — dx dx dy y dy dz dz

aq + f,

(1)

где q — концентрация примеси в атмосфере; t —

1. Введение

Низкотемпературные вещества (хлор, аммиак, сжиженный природный газ и т.п.) относятся к числу крупнотоннажных химических продуктов. Связанные с ними отрасли промышленности характеризуются большими затратами энергии, высокой степенью концентрации производственных мощностей, что определяет необходимость транспортировки этих веществ на значительные расстояния, а также организации складов и хранилищ на местах производства, потребления и переработки.

Развитая структура и значительные объемы производства, транспорта и хранения низкотемпературных веществ представляют повышенную опасность для окружающей среды и человека в связи с тем, что они являются сильнодействующими ядовитыми веществами (СДЯВ) и относятся к вредным веществам согласно общепринятой классификации. Существующие методики расчета последствий аварийных ситуаций, связанных с разливами, выбросами и утечками низкотемпературных веществ в окружающую среду, дают сильно завышенные результаты, что приводит к дополнительным затратам при составлении плана ликвидации последствий аварии. Поэтому разработка методик, которые давали бы более точные решения, а также позволяли проводить прогностические расчеты для более полного класса внешних условий, является актуальной [1].

В данной работе рассматривается моделирование рассеивания примеси, которая образовалась в результате аварийного выброса, в приземном слое атмосферы по законам турбулентной диффузии с использованием уравнения Х-теории атмосферной диффузии [2,3].

время; x, y, z — координаты; ux, uy, uz — составляющие средней скорости перемещения примеси вдоль осей 0Х, 07,0Z соответственно; kx, k,, kz —

составляющие коэффициента обмена; а — коэффициент, определяющий изменение концентрации за счет превращения примеси; f — функция, описывающая источники примеси. Рассмотрим случай, когда а =0, т.е. инертное поведение примеси.

При прогнозе загрязнения воздуха основной интерес представляет определение ожидаемых концентраций у земной поверхности. Для приземного слоя характерно значительное изменение с высотой скорости ветра, температуры и турбулентности. Для наиболее часто наблюдаемых метеорологических условий распределение коэффициентов турбулентного обмена kx, ky, kz и скорости ветра u с

высотой z носят степенной характер. Эта степенная зависимость определяется путем аппроксимации реального профиля kx, ky, kz и u . Для расчета реального профиля используется зависимость [3 ]:

kz =

D + ki — при z < h, zi

D + ki — при z > h, zi

(2)

где zi — высота измерения скорости ветра; D — коэффициент молекулярной диффузии. Чтобы установить этот коэффициент, воспользуемся формулой для определения коэффициента диффузии бинарной смеси [4]:

54

РИ, 2002, № 2

г m Jt 3(M, + M 2)/ 2M iM 2

[d12]° = OX»262^--2 . , (3)

№22 й'21 J*(Ti2 )

здесь p — давление, атм.; T — температура, K;

. kT

T12 = ; Mi, M 2 — молекулярные веса компо-

є12

нентов; aj2 ,є12 /k — параметры потенциальной энер-

ст1 +ст 2 I----

ГИИ молекулы; СТ12 =-2---; Єі2 = 4є1є2 •

Коэффициент диффузии для плотных газов рассчитывается по формуле:

Где

D12 ~

D 0 d12

Yl2 ’

(4)

2 з Y12 - 1 + — nn1°i

f Qj + 4a 2 Л V 4a1 + 4a2 J

H— кл.2 a о 3 2 2

4ai + a 2 V 4ai + 4a 2;

+...

Величина

Q(l,s)* (T * ) =.

2

(s + i)!T*s+2 J0 задается табличными значениями, зависящими от

параметров l, s, T * [4]. На основании этих табличных данных была построена апроксимационная

функция для q(14)*T*) при 0.3 < T* < 400 , которая имеет следующий вид:

ГГт* g*2s+3Q(l)*(g*)dg* Jo

Q(U)*(x) = i.33277 -0.0854794 In 16187x-

хности; L' — масштаб Монина - Обухова, определяемый по степени вертикальной устойчивости;

функция J определяется следующим образом:

J (х) =

x^i + 0.54х| °'8 х < 0

i + 0.9 х 0.53х, х > 1.

,0 < х < i

х

(6)

Расчет профиля скорости ветра с учетом высоты основывается на зависимости

4 -'

u = Uj —

Inf

z0

(7)

Выражение (2) для kz отражает то обстоятельство, что с увеличением высоты размеры вихрей, обуславливающих турбулентный обмен, возрастают в приземном слое (z < h ) и сравнительно мало изменяются при z > h , принимая некоторые характерные масштабы. Для вихрей этого масштаба можно полагать, что атмосферная турбулентность, выше приземного слоя, имеет примерно изотропный

характер, вследствие чего здесь кх « ку « kz. На

наиболее низких уровнях kx и ky примерно равны

между собой, естественно, изменяются с высотой, так как на подстилающей поверхности они должны быть равны нулю. Однако степень возрастания с

высотой для kx и ky меньше, чем для kz , поскольку влияние подстилающей поверхности на вертикальную компоненту коэффициента обмена должно быть большим, чем на горизонтальную. Этому условию приближенно удовлетворяет соотношение, предложенное Берляндом [3]:

+ 0.000077778 х +

0.420577 0.404464

2

2.48342 4.90945 5.46147 3.78737

+--------------:--+-----;---------— +

х

х

х

х

х

ky = k 0 u, (8)

так как в приземном слое u растет примерно логарифмически с высотой z , а kz ~ z . Принимая, что при z = h имеет место равенство k0uh = kh , можно найти k0 по uh и kh.

i.66069 0.446515 0.0670726 0.00430381

+ „7 _ „8 + „9 _ „10

Для определения kj используется следующее выражение, которое справедливо в пределах приземного слоя [3]:

С поверхностью почвы примеси обычно слабо взаимодействуют. Попав на нее, примеси здесь не накапливаются, а с турбулентными вихрями снова уносятся в атмосферу. Поэтому с достаточной точностью принимается, что средний турбулентный поток примеси у земной поверхности мал, т.е.

k1 =

x2ui

In ZL

z0

(5)

Здесь c — постоянная Кармана (c=0.38); z0 — эффективная шерховатость подстилающей повер-

kz

dq

dz

= 0

z=0

(9)

При аварийных выбросах (разливах) время действия источника ограничено, т.е. 3l: f\t>i = 0 . Кроме этого, на практике представляет интерес

РИ, 2002, № 2

55

определение области, внутри которой уровень концентрации превышает предельно допустимую кон -центрацию. Исходя из этих предпосылок, можно рассматривать распределение концентрации в конечной области q . Чтобы установить границы этой области, можно воспользоваться стандартной методикой МЧС для определений возможной зоны загрязнения СДЯВ. Согласно этой методике, область q можно представить в виде цилиндра с основанием радиуса R и высотой H .

Выберем направление оси 0X так, чтобы оно совпало с направлением скорости ветра. Таким образом, окончательное уравнение имеет вид:

dq dq

д 2 q

д2 q д dq

----Ь U — kr — + kv — Н---------k7----h f (10)

dt dx X ^-2 v Я. .2 z Л7 J (10)

dx

cy2 dz dz

n

qn(t) =Z 4 itypk. (16)

k=1

Входящие в формулу (16) неизвестные функции

4 (t) будем определять из системы дифференциальных уравнений

9nan (t) + Rna (n)(t) = f (n)(t), a(n) (0) = a(n),

(17)

где Rn

[-I 117,k=n

, Фk , Фj\c \J k=1 , Pi^k, Фj

\j,k=n

J, k=1 ,

a(n)(t) = a (t),..., al (t)},

со следующими краевыми: q\ дп= 0

kz d-q = 0 (11)

dz z=0,z=H

и начальными условиями:

q|,=0=0. (12)

3. Метод решения

Задачу (10)-(12) можно записать в виде:

|q- + Cu = f (t) (13)

с начальными условиями:

q\t=0=0, (14)

где C — дифференциальный оператор в некотором сепарабельном гильбертовом пространстве H с областью определения D(C) = Dc , которая линейна и плотна в гильбертовом пространстве H ; q = q(t) и f = f (t) — функции от t, значения которых суть элементы пространства H . Будем считать, что функция f (t) непрерывна в промежутке 0 < t < l, где і некоторое положительное число.

Применим к задаче (13), (14) метод Бубнова— Галеркина [5]. Выберем координатную систему:

ФЬ Ф2,-Фп (15)

подчиняющуюся следующим условиям: 1) Фп є Dc,(n = 1,2,...); 2) элементы фі,Ф2,---Фn,... линейно-независимы при любом n ; 3) система (15) полна в Dc.

Будем искать приближенное решение задачи (13), (14)в виде

f (n)(t) = {( f (t), Ф1),...,( f (t), Фп )},

(фk,Фj) = |фkФjdQ.,

Q

kk ф jC = (f>k, ф j).

Для определения вектора a(n) нужно решить систему

n

k, фakn) = 0 . (18)

k=1

Вопросы устойчивости и сходимости данного мето -да рассмотрены в работах [5,6].

Литература: 1..Цыкало А.Л. Методика расчета концентраций экологически опасных веществ в атмосфере при авариях и утечках. М.: ГСССД МР 96-92, 1992.32с.

2. Атмосферная турбулентность и моделирование распространения примесей // Под ред. Ф.Т.М. Нъюстад-та и X. Ван Допа. Л.: Гидрометеоиздат, 1985. 351с.

3. Берлянд М.Е. Прогноз и регулирование загрязнения атмосферы. Л.: Гидрометеоиздат, 1985. 277 с. 4. Гирш-фелъдер Дж., Кертисс Ч., Берд Р. Молекулярная теория газов и жидкостей. М.: Изд-во иностр. лит., 1961. 930с. 5. Михлин С.Г. Численная реализация вариационных методов. М.: Наука, 1966. 432с. 6.Вишик М.И. Задача Коши для уравнений с операторными коэффициентами, смешанная краевая задача для систем дифференциальных уравнений и приближенный метод их решения // Матем. сб. 1956. №39(81) Ч.1. С.51-148.

Поступила в редколлегию 21.12.2001

Рецензент: д-р техн. наук, проф. Петров Э.Г.

Тевяшев Андрей Дмитриевич, д-р техн. наук, профессор, зав. каф. ПМ ХНУРЭ. Научные интересы: системный анализ и теория оптимального стохастического управления. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14.

Выходцев Евгений Иванович, аспирант кафедры ПМ ХНУРЭ. Научные интересы: математическая физика, теория R-функций, компьютерное моделирование. Адрес: Украина, 61058, Харьков, ул. Данилевского, 8, кв. 130, тел. 43-87-84.

56

РИ, 2002, № 2