CC BY
51
Phone: 8(8634)371-649.
The Department of Physics; Head of Department; professor.
Морозов Владимир Николаевич
Главная Геофизическая Обсерватория им. Воейкова, заведующий отделом атмосферного электричества, доктор физико-математических наук, профессор.
E -mail: [email protected]
Россия, Ленинградская область, г. Санкт-Петербург, ул. Карбышева д.7 д.т. 3938678. Тел.: +7(812)3938678.
Morozov Vladimir Nikolaevich
Main Geophysical Observatory of A.I. Voeikov, the Head of Department of Atmospheric Electricity, Doctor of Physico-mathematical Sciences.
E-mail: [email protected].
7, Karbysheva Street, Leningrad region, St.-Petersburg, 3938678, Russia,
Phone: +7(812)3938678.
УДК 621.382.22
. . , . . , . .
МОДЕЛИРОВАНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПОТЕНЦИАЛА В БАРЬЕРАХ ШОТТКИ НА ОСНОВЕ СОЕДИНЕНИЯ SI1-xGEx
В работе обсуждаются вопросы моделирования распределения потенциала в облас-
-Si1-xGex, -
бенностей распределения электрически активных примесей в полупроводнике, обусловленных различными технологическими процессами, применяемыми при изготовлении элементов интегральных схем.
Полупроводниковое соединение Si1-xGex; уравнение Пуассона; молекулярно-лучевая эпитаксия; метод Монте-Карло; ионное легирование; распределение Гаусса; распределе-; .
A.G. Zakharov, S.A. Bogdanov, A.A. Lytyuk
simulation of potential distribution in shottky barriers on
basis of si1-xgex
Simulation of potential distribution in semiconductor space-charge region of metal-Si1-xGex contact is discussed. Characteristics of electrically active impurities distribution in semiconductor, caused by different technological processes for integrated circuits manufacturing, are taken into account during simulation.
Semiconductor compound Si1-xGex; Poisson equation; molecalar-beam epitaxy; Monte-Carlo method; ion implantation; Gauss distribution; Pirson distribution; finite differences method.
Математическое моделирование находит все более широкое применение в . , , -ния технологических процессов и приборов, отличающихся чрезвычайно сложностью и часто неравновесным и нестационарным характером. Кроме того, переход к нанометрическим размерам усилил взаимосвязь между электрофизическими характеристиками элементов твердотельной электроники и технологическими режимами их производства.
Моделирование процесса - эффективный инструмент его оптимизации, характеризуемый по сравнению с экспериментальным подходом быстротой и дешевизной получения информации. Моделирование технологических операций в сочетании с моделированием интегральных схем (ИС) - перспективный подход к проектированию новых ИС и созданию топологии, а также к прогнозированию функциональных и надежностных параметров схемы [1]. Немаловажным качеством математических моделей является также их универсальный характер, что позволяет применять известные методы для решения новых задач.
Совершенствование технологии формирования тонких пленок, отличающихся высокой повторяемостью электрофизических свойств, позволило уделить повышенное внимание исследованию многослойных структур, способных стать основой для создания новых элементов твердотельной электроники. При этом особый интерес вызывают также контакты металл-полупроводник, в которых в качестве полупроводника используются многокомпонентные материалы, обладающие специфическими электрофизическими характеристиками. Одним из таких материалов является полупроводниковое соединение Si1-xGex, основными достоинствами которого являются возможность варьирования ширины запрещенной зоны путем изменения состава соединения, а также более высокая подвижность дырок в Si1-xGex p-типа проводимости по сравнению с подвижностью дырок в кремнии.
Целью настоящей работы является математическое моделирование распределения потенциала в области пространственного заряда (ОПЗ) полупроводника контакта мeтaлл-Si1-xGex в стационарном состоянии с учетом особенностей распределения электрически активных примесей в ОПЗ.
Моделирование распределения потенциала p ( X, y, z) проводилось на основе уравнения Пуассона:
div (££0 grad (p)) = -р(x,y, z,p), (1)
где £ - относительная диэлектрическая проницаемость полупроводника;
£0 - электрическая постоянная;
р(x, y, z, р) - объемная плотность зарядов в ОПЗ.
При моделировании использовались следующие приближения:
♦ отсутствие зарядовых состояний на границе раздела металл-
,
;
♦
;
С учетом указанных приближений выражение для объемной плотности заряда может быть записано следующим образом:
р(x,y,z,р) = q (Nuc(x,y,z,р)+NSI(x,y,z,p)+NT(x,y,z,p)), (2) Nuc (x, y, z, p) = p (x, y, z, p) - n (x, y, z, p),
Nsi (x ^ z p) = N+(x ^ z p) - N-(x ^ z p),
Nt (x y, ^ p) = Ntd (x y, ^ p)- Nta (x y, z,p),
где q - величина заряда электрона;
p(x,y,z,p), n(x,y,z,p) - концентрации свободных носителей в ОПЗ
;
И+ (х, у, г,р), И- (х, у, г,р) - концентрации ионизированных атомов основной легирующей примеси донорного и акцепторного типа соответственно;
(х, у, г, р) , И-а (х, у, 2, р) - концентрации ионизированных глубоких энергетических уровней (ГУ) донорного и акцепторного типа соответственно.
Концентрации электронов п (х, у, 2,р) в зоне проводимости и дырок р (х, у, 2,р) в валентной зоне могут быть вычислены на основе выражений [2]:
п( х ^ г,Р) _ ИЛ/2, (3)
р( x, y, 2,р)_ад'/2, (4)
где: N = 2
К = 2
2лтсТ3/2
7~& .
"2тпукГ13/2
к
- ;
- ;
г = 2_->; г „ = 2_->2"г
Р\!2 =2п к + ( су ^1/2 =2п ІТ+ ( ё)
0 1 + ехР(п - 01 + ехР( -
~2 I-----—---- ----- ^/2 = 2п/2 J-Р (у~—Р\ - интегралы
0 і . ^ п , 0 1 + ехр
Ферми половинного индекса;
тс, - эффективные массы электрона в зоне проводимости и дырки в ва-
лентной зоне соответственно;
к - постоянная Больцмана;
Т - температура;
И- постоянная Планка;
. Е-Ес Ес -Еу Е г _ г г - Е; -Ес ±р
^п _ кТ , ^ _ кТ _ кт, ^р ^п ^, - кТ при
веденные разности энергий;
Е - энергия электрона в зоне проводимости;
Ес - ;
Е- величина ширины запрещенной зоны;
Е^ - величина энергии уровня Ферми.
Выражения для концентраций ионизированных атомов основной легирующей примеси донорного и акцепторного типа, соответственно, имеют следующий вид [2]:
К+= К,
1- 1
1 + в ехр(-ё'-Са ).
К
(5)
Иа 1+ва ехрка+ся+я’ (6)
где Иа, Иа - концентрации атомов основной легирующей примеси донорного и
, ;
А, Ра - ;
Г Еа - Ес Г Еа - Ес
С,а _---------, Ьа _---------- - приведенные разности энергии.
кТ кТ
Концентрации ионизированных ГУ, обусловленных атомами примесей и дефектами кристаллической решетки полупроводника, могут быть определены следующим образом [3, 4]:
------СрР + Вп--------, (7)
* «Ср + СрР + Вр + Вп К)
Сп + Вр
Спп + Срр + Вр + Вп
где - концентрации ГУ;
и;а_иш-—^, (8)
Сп _ (УпУп, Ср _ (ТрУр - вероятности захвата электрона, дырки ГУ;
Вп _ Спп( х. у, р) , Вр_Ср р( х. у р) ;
/о 1 /о
(Гп , (7р - сечения захвата для электронов и дырок соответственно;
Уп, Vр - тепловые скорости электронов и дырок соответственно;
/ _______________1________- функция распределения Ферми, отражаю-
0 Г-\Е, ' " ' Л
1+ Р, ехР|
щая степень заполнения ГУ;
- фактор вырождения ГУ;
Е( - величина энергии ионизации ГУ.
Для получения различных профилей распределения легирующей примеси в 811-хвех, как правило, применяются следующие методы легирования: легирование в процессе роста полупроводникового слоя, например, во время молекулярно-( ), .
МЛЭ широко применяется для изготовления структур на основе 811-хвех, так как позволяет получать слои различной толщины как однородно легированные, так и со сложным профилем распределения легирующей примеси. При этом точность уровня легирования и толщины слоя соблюдаются очень высокой. В математических моделях МЛЭ моделируется эволюция системы, состоящей из подложки атомов или молекул, посредством моделирования кинетики либо методом Монте-Карло, либо методом молекулярной динамики, либо с помощью некоторой комбинации этих методов. В большинстве моделей используется метод Монте-Карло [5].
Основные элементы модели МЛЭ 811-хвех, легируемого примесью, по аналогии с моделью МЛЭ ваАБ, приведенной в [5], могут быть следующими. В начальный момент подложка представляет собой идеальный монокристалл кремния. Потоки элементов состоят из атомов кремния, германия и примеси. Падающие атомы участвуют в процессах адсорбции, а также миграции и встраивания в кристалл. Эти процессы моделируются в виде случайных последовательностей элементарных
.
Для получения тонких легированных слоев широко используется метод ионного легирования, позволяющий вводить в полупроводник ионы различных элементов и получать требуемые величины и заданные распределения концентрации [6]. Распределение примеси, внедренной путем ионной имплантации, может быть описано либо методом Монте-Карло, либо аналитическим приближением [7].
С помощью метода Монте-Карло моделируются физические процессы, происходящие при торможении отдельных частиц. Ядерные столкновения можно описать формулой торможения [7]:
1 f ЛТ7 Tmax
s (E)=- NI -И hd°, (9)
N У dx )n 0
где Sn (E) - тормозная способность (удельная потеря энергии ионом с энергией E);
N - атомная плотность мишени;
„ . MM2 „ -
T = 4-1—2— E - максимальная энергия, которая может быть передана
max ( + M2 )2 при лобовом столкновении двух атомов;
Tn = Tmax sin2 ^ - передаваемая энергия;
do - дифференциальное сечение столкновения;
M1, M2 - массы атомов мишени и имплантируемой примеси;
а - угол рассеяния.
Местоположения рассеивающих атомов выбираются случайными. Результатом моделирования торможения достаточно большого числа частиц является случайное распределение их траекторий.
Преимущество метода Монте - Карло заключается в присущем ему прямом соответствии реальным физическим событиям, а основной недостаток - большие затраты машинного времени дл я получения статистически надежных результатов. В связи с этим действительные распределения примесей аппроксимируются анали-
, . Наиболее распространенными среди них являются функция Гаусса и функция Пирсона [7]. Далее аналитические приближения с целью упрощения будут записаны для одномерного случая.
Гауссовские распределения чрезвычайно полезны для быстрой оценки распределения пробегов имплантированных ионов или вычисления толщин маски. -деляется выражением [6]:
Q (( - Rv )2
N(x) = Qfn exp(-\—^), (10)
ARpv 2п 2 ARp
x - ;
Q - ;
RP - средняя величина проекции пробега ионов;
ARP - .
Многие экспериментальные данные показывают, что простое описание профилей имплантации неадекватно для большинства примесных атомов в полупро-
,
моменты более высоких порядков. Особенно полезной в этом случае является функция Пирсона с 4 моментами [7]. Распределение Пирсона имеет вид:
Е(х) _ к[ь2 (х - Кр )2 + Ъх (х - Кр)+Ьо
X
X ехр
Ъ1 / Ъ2 + 2а
V4Ъ2Ъ0 - Ъ12
2Ъ2 (х - Кр )+ Ъ1 74Ъ2Ъ0 - Ъ12
(11)
а _ Ъ1 _
АКру(р + 3)
Ъо _
Ъ2 _
АКр 2(4в - 3Т2)
- (2в-3у-6)
А _ 5р-6у1 -9,
+«.
где К - коэффициент, определяемый из условия нормировки |Е(х)йх _ 1;
у - асимметрия; в - изгиб профиля.
Параметры Кр, АКр, у, в в выражении (10) связаны с моментами И, 112, И, И4 распределения Е(х) следующими соотношениями:
И _ Кр _ |хЕ (х)йх И _ }(х - Кр )(х)йх, г _ 2,3,4,
АКр _^и2, г_и/аку в_И/Ак4.
Асимметрия характеризует изгиб профиля, а эксцесс - степень плавности вблизи вершины профиля.
Соотношение между моментами третьего и четвертого порядков должны выбираться таким образом, чтобы удовлетворять неравенству:
в>Дг
48 + 39т2 + 6(у2 + 4)/2 32-у2
Чтобы получить профиль распределения, необходимо дозу легирования Q умножить на функцию распределения Пирсона Е(х) :
N (x) = QF ( x).
(12)
, (1-8)
(9-12), , -
димость использования численных методов. Наиболее распространенными методами решения уравнения Пуассона в численном виде являются метод конечных разностей (МКР) и вариационные методы. В виду универсальности МКР и большей простоты его программной реализации по сравнению вариационными методами, он был выбран для решения системы (1-8).
Для реализации МКР по методике, изложенной в [8], в рассматриваемой области составлялась разностная схема. Решением полученной таким образом системы алгебраических уравнений являлись значения сеточных функций в узлах сетки, которые приближенно считались равными значениям искомых функций. С целью упрощения рассматриваемой задачи, моделирование осуществлялось для одномер,
решения. С учетом этого, дискретизированное уравнение (1) может быть записано :
где (рх, рп - граничные значения потенциала;
р л - величина диффузионного потенциала.
Решение (13) с учетом (14) осуществлялось итерационно, методом Зейделя. В качестве начального приближения величина потенциала в узлах сетки выбиралась равной 0. Расчет проводился до тех пор, пока величина максимальной разности значений потенциала на двух последовательных слоях не становилась меньшей заданного значения Т. Для оценки используемого численного метода проверка разностной схемы осуществлялась на известном аналитическом решении уравнения (1) [9].
В работе показано, что синтез адекватной математической модели распределения потенциала в ОПЗ полупроводника контакта металл - 811-хвех является
,
затратами аппаратных ресурсов. Использование разумных допущений позволяет упростить задачу и получать адекватные решения. Результаты моделирования могут быть полезны при проектировании быстродействующей элементной базы на .
1. Пирс К.и др. Технология СБИС: В 2-х кн. Кн.1; Пер. с англ. / Под ред. С. Зи. - М.:
Мир,1986. - 404 с.
2. Блекмор Дж. Статистика электронов в полупроводниках; Пер. с англ / Под ред. J1.J1. Коренблита. - М.: Мир, 1964. - 392 с.
3. Lhermite H. et al. Analysis of the field effect in metal-oxide-small grain polysilicon structure - experimentation and modeling // IEEE transactions on electron devices. - May 1988. - vol.15. - №5.
— ( NUC ( Pi , xi ) + NS! ( Pi , xi ) + NT ( Pi , xi )), (13)
где г - номер узла сетки г _ 1, п ;
И - шаг сетки.
Граничные условия имеют следующий вид:
P =Pd , Pn = 0,
(14)
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
4. Фистуль В.И. Введение в физику полупроводников. - 2 изд., перераб. и доп. - М.: Выс-
, 1984. - 352 .
5. Песков Н.В. Численное моделирование миграции атомов Ga в молекулярно-лучевой эпитаксии GaAs // Математическое моделирование. - 1995. - T. 7. №3.
6. Мейер Дж., Эриксон Л., Дэвис Дж. Ионное легирование полупроводников (кремний и германий); Пер. с англ./Под ред. Гусева В.М. - М.: Мир, 1973. - 296 с.
7. . . - . -
сов; Пер. с англ. B.J1. Кустова и др. Под ред. Суриса РА. - М.: Радио и связь, 1988. - 496 с.
8. Турчак Л.И., Плотников П.В. Основы численных методов: учебное пособие. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 304 с.
9. Зи С. Физика полупроводниковых приборов. Кн.1; Пер. с англ. - М.: Мир, 1984. - 456 с.
Захаров Анатолий Григорьевич
Технологический институт федерального государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Южный федеральный университет» в г. Таганроге.
E-mail: [email protected].
347928, г. Таганрог, пер. Некрасовский, 44.
.: 8(8634)371-663.
Zakharov Anatoliy Grigorievich
Taganrog Institute of Technology - Federal State-Owned Educational Establishment of Higher Vocational Education “Southern Federal University”.
E-mail: [email protected].
44, Nekrasovskiy, Taganrog, 347928, Russia.
Phone: 8(8634)371-663.
Богданов Сергей Александрович
Технологический институт федерального государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Южный федеральный университет» в г. Таганроге.
E-mail: [email protected]
347928, г. Таганрог, пер. Некрасовский, 44.
.: 8(8634)371-663.
Bogdanov Sergey Aleksandrovich
Taganrog Institute of Technology - Federal State-Owned Educational Establishment of Higher Vocational Education “Southern Federal University”.
E-mail: [email protected]
44, Nekrasovskiy, Taganrog, 347928, Russia.
Phone: 8(8634)371-663.
Лытюк Александр Анатольевич
Технологический институт федерального государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Южный федеральный университет» в г. Таганроге.
E-mail: [email protected]
347928, г. Таганрог, пер. Некрасовский, 44.
.: 8(8634)371-663.
Lytyuk Aleksandr Anatolievich
Taganrog Institute of Technology - Federal State-Owned Educational Establishment of Higher Vocational Education “Southern Federal University”.
E-mail: [email protected].
44, Nekrasovskiy, Taganrog, 347928, Russia.
Phone: 8(8634)371-663.
