CC BY
111
С. Ю. Торилов, В. И. Жеребчевский, К. А. Гриднев, В. В. Лазарев
МОДЕЛИРОВАНИЕ РАСПАДА ЯДЕРНЫХ СИСТЕМ, ОБРАЗУЮЩИХСЯ В РЕАКЦИЯХ С ТЯЖЁЛЫМИ ИОНАМИ*
Введение. На сегодняшний день существует значительное количество моделей, позволяющих достаточно точно описать процессы взаимодействия атомных ядер в широком диапазоне энергий. Как правило, такие модели создаются с учётом специфики задачи, стоящей перед исследователями. Они содержат большое количество параметров, привязанных к условиям задачи, и требуют детального понимания физики протекающих процессов.
Однако в последнее время появились работы, нацеленные на более широкий спектр задач, содержащие сразу несколько подходов для облегчения извлечения узкоспециальных параметров, прибегающих к различным систематикам. В качестве примера можно привести проект NRV, разработанный специалистами из Дубны (Россия) [1], который охватывает большое число задач, но является скорее методическим, нежели научно-исследовательским; проект LISE, разработанный Российско-Американской кол-лаборацией [2], являющийся вспомогательным средством при расчётах с применением сложных систем транспортировки и регистрации ионов с энергиями в десятки-сотни мегаэлектронвольт на нуклон, а также проект EMPIRE [3], разработанный и поддерживаемый группой физиков национального ядерного центра в Брукхейвене (США). Последний является набором программ, охватывающих большую область ядерно-физических моделей, однако он нацелен в основном на обработку и систематизацию экспериментальных данных.
Тем не менее остаётся значительная потребность в модели, позволяющей описывать статистические распады ядер при сравнительно невысоких энергиях возбуждения, когда в выходном канале образуется кластер или даже совокупность кластеров. Кроме того, при достаточно хорошей параметризации, такая программа может быть полезна для промышленного производства радиоактивных изотопов. Существующие несколько вариантов программ, описывающих статистические процессы в ядерных реакциях, либо позволяют получить сечение слияния ядер, либо ориентированы только на испарительную модель, либо допускают только каналы с участием протона и нейтрона. Программы PACE [4] и CASCADE [5] требуют дополнительного расширения для учёта углового момента и случая вылета нескольких сложных частиц.
В данной работе рассматривается вопрос о построении модели на основе механизма Хаузера—Фешбаха, достаточно полно описывающей распад компаунд-ядра, образованного в реакциях с тяжёлыми ионами при минимальном количестве исходных параметров. При этом:
1) учтены угловые моменты и возбуждения для образованной системы и выходного канала;
2) параметризированы коэффициенты проницаемости;
3) параметризировано выражение для плотности уровней;
* Работа была выполнена на средства федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009—2013 годы, контракт № П 793, а также при финансовой поддержке гранта РФФИ № 09-02-00141-а.
's< С. Ю. Торилов, В. И. Жеребчевский, К. А. Гриднев, В. В. Лазарев , 2011
4) учтены возможность многочастичного распада и случай, когда выходной канал содержит кластеры.
Распад составного ядра. Формализм Хаузера—Фешбаха [6] основан на предположении статистического распада компаунд-ядра, так что сечение распада в канал с можно записать в виде:
°(с) = £ З^з (Ех), (1)
3
где .1 — спин образованного состояния, а суммирование осуществляется по всем доступным в реакции угловым моментам; Ех — энергия его возбуждения; 03(Ех) — сечение образования компаунд-ядра. Отношение парциальной ширины распада г)с) к полной
( ) Г(с)
4С) = -р-- (2)
г 3
Здесь
Гз = £г3с). (3)
с
Парциальная ширина связана с интегралом по доступному фазовому простран-
тз(с) ству Р) :
р(^,7)Г^ = ^Р]с), (4)
где р(Ех, .1) — функция плотности уровней для компаунд-ядра.
В случае эмиссии лёгких частиц интеграл по фазовому пространству может быть записан в виде [6]
РзС) = 9с £ £ [ Ть (ЕЩе> + Е + д - ЕхМЕ, (5)
г (Ь,и)3
где дс — коэффициент, зависящий от спина вылетающей частицы, а Т^(Е) — коэффициент проницаемости для случая углового момента Ь. Дельта-функция обеспечивает закон сохранения энергии, ег — энергия возбуждения дочернего ядра; д — энергия реакции. Суммирование осуществляется по всем конечным состояниям дочернего ядра г, а также по всем доступным в системе угловым моментам (Ь,1 ).1; Ь — угловой момент относительного движения вылетающей частицы; I — спин дочернего ядра. Таким образом, в данном подходе для определения сечения необходимо получить коэффициенты проницаемости и функцию плотности уровней. Точный квантово-механический подход к решению данной задачи не всегда возможен, что заставляет использовать полуклассические модели. Применение параметризации неизвестных величин модели, как правило, приводит к дополнительному ограничению на область её применения, поэтому в работе рассматривалось взаимодействие ионов с массовыми числами от 12 до 40.
Параметризация коэффициентов проницаемости. Последовательное определение сечения реакции в рамках оптической модели предполагает следующую зависимость от длины волны, углового момента и коэффициентов проницаемости:
о^ = пХ2 Е(2/ +!)Т1, (6)
I
при этом коэффициент проницаемости определяется из выражения для сдвига фазы 5;
Т = 1 — | ехр(2г5;)|2 (7)
Подобное определение требует знания оптического потенциала, который не всегда известен для данной реакции или выбранного интервала энергий. Сегодня существует большое число параметризаций оптических потенциалов, однако они неприменимы, когда необходимо рассчитать вылет экзотического кластера (например, 6№, 8Ве) или ядра в возбуждённом состоянии. По этой причине мы использовали модифицированную модель Хилла—Уиллера [7] для определения коэффициентов проницаемости во входном канале и модель, развитую в работе [8], для выходного канала. В модели Хил-ла—Уиллера рассматривается туннелирование частицы через параболический барьер:
Т;(Е)
2п(Е; — Е)1 1
1 + ехр -
ЙЮ;
(8)
где Е) — высота барьера (сумма реальной части ядерного оптического потенциала, кулоновского и вращательного барьеров), а ЙЮ; — его кривизна. Ядерный потенциал был выбран в виде
К(Д,) = -У0ехр^^. (9)
Здесь Уо и й являются подгоночными параметрами, Ка = го(А^р/‘3 + А^3) — сумма радиусов налетающего ядра и ядра мишени. Подгонка параметров проводилась так, чтобы выражение (8) корректно описывало изменение коэффициентов проницаемости при разных энергиях и угловых моментах по сравнению с предсказаниями оптической модели (7), а выражение (6) давало хорошее согласие с экспериментальными результатами по исследованию сечения слияния ядер. Поскольку данная задача представляется слишком широкой для столь малого числа подгоночных параметров, в работе рассматривались только составные ядра с массой 24 ^ А ^ 60 (А = Ар + А1 — масса составного ядра). Кроме того, для оценки сечения слияния проводилось сравнение с расчётами на основе квазиклассического потенциала [9]. Подгонка осуществлялась по реакциям слияния с применением пучков и мишеней из указанного массового диапазона, причём рассматривались в основном самосопряжённые ядра. В результате были получены усреднённые параметры: с1 = 0,315 + 0,0111^4 (фм), Цу = 109,245 — 0,84А (МэВ) и гп = 0,982 (фм).
При использовании найденных параметров получено хорошее согласие во всем интервале масс, за исключением областей, где в результате реакции лёгких самосопряжённых ядер имеют место квазимолекулярные резонансы. Но для случая налетающих протонов, нейтронов и а-частиц согласие значительно хуже, и в рамках такого потенциала не удается найти параметры, обладающие такой же простой зависимостью от массы. Поэтому для таких каналов применялся метод подгонки многопараметрическими выражениями на основе оптических потенциалов и табулированных данных [8].
Параметризация выражения для плотности уровней. В настоящее время существует несколько методов, позволяющих описать функцию плотности уровней [10, 11]. Однако наиболее точные из них либо описывают случаи малых возбуждений, либо относятся к области тяжёлых ядер. В данной работе рассматривался вариант, способный описывать распределение плотности уровней при значительных (до 50 МэВ) энергиях возбуждения и высоких (до 50Й) значениях угловых моментов. В случае газа
Ферми с эквидистантным распределением уровней можно записать
= ^_______1 ехр[2у/д(Дж - 6)
Р( х) 12уДоа'/* (Ех- 6)5/4 > ( °)
где а — параметр плотности уровней; 5 — сдвиг по энергии, обусловленный эффектами спаривания, и 0 — параметр обрезания по спину, который пропорционален (12)1/2 - среднему значению квадрата проекции спина одночастичного состояния на ось Z вблизи уровня Ферми. Зависимость функции плотности уровней от спина при энергиях выше ираст-линии
[ р, ^ (2] + 1) р (Ех^) = —ехр
— + 1) 2 а2
Р(ЕХ). (11)
Ниже ираст-линии плотность равна нулю. Энергию ираст-состояний можно оценить как Еуг = 1 (1 + 1)Й2/20, где 0 — момент инерции ядра, зависящий только от его радиуса.
Таким образом, имеются три параметра для описания функции р(Ех, 1):
1. Параметр плотности уровней для данной области масс и энергий был выбран в форме, предложенной Гримесом [12]. При сравнении с экспериментальными данными лучшее согласие было получено для случая, когда а = 0,23 + 0,086А. Такое выражение оказывается значительно ближе к экспериментальным данным, чем общепринятая параметризация Гильберта—Камерона.
2. Сдвиг по энергии можно вычислить как разность между экспериментальным значением энергии связи и теоретическим, полученным на основе модифицированной формулы Вайцзеккера. В данной работе применялась модификация, полученная Пирсоном [13].
3. Сравнение с экспериментальными данными показывает, что параметр обрезания в случае его выражения через проекцию спина оказывается мал. В работе использовалась параметризация для жёсткой сферы [12]
о2 = 0,0145А5/3^ (12)
где ядерная температура
Распад составного ядра с испусканием лёгких заряженных частиц. В качестве примера рассмотрим результат эксперимента по исследованию высокоспиновых состояний в ядре 22N6 в реакции 14С(12С,2а)180 [14]. Энергия пучка составляла 44 МэВ, что соответствует резонансу в системе 12С+14С с угловым моментом 18Й [15]. В работе [16] показано, что в случае, если энергия в системе центра масс ядер углерода соответствует возбуждению квазимолекулярного резонанса, в механизме заселения состояний вращательных полос промежуточного ядра неона начинают с высокой вероятностью преобладать прямые процессы. На рис. 1 представлен экспериментальный спектр возбуждённых состояний 18О и полученные теоретические данные. Показаны наиболее интенсивно заселяемые состояния. Поскольку мишень имела в своем составе около 20 % 12
изотопа С, на рисунке тонкой штриховой линией показаны состояния, соответствующие уровням ядра 16О. В согласии с данными работы [16] результат эксперимента не совпадает с теоретическими предсказаниями. В работе [14] было показано, что такой
Рис. 1. Экспериментальный спектр (гистограмма) реакции 14С(12С,2а)18 С:
тонкий пунктир и тонкая сплошная линия — теоретические предсказания интенсивности заселения состояний ядер 16 О и 18 О соответственно; жирный пунктир — фон, обусловленный случайными совпадениями; жирная сплошная линия — суммарный спектр
а2 + 180,
переход большей частью осуществляется путём реакции 14С(12С, а1)22N6 где первая а-частица появляется в результате прямого процесса. В то же время имеется хорошее согласие для относительных вероятностей заселения первого и второго возбуждённых состояний ядра 180. Это согласуется с данными работы [15], в которой были приведены спектры распада во второе возбуждённое состояние, содержащие очень узкие резонансы в функции возбуждения. Расчёт на основе формулы (8) показывает, что критический угловой момент в системе ядер 12С+14С действительно близок к 18Й.
Расширенный метод Хаузера—Фешбаха для описания бинарных распадов составных ядерных систем. Теперь можно перейти к расчётам сечений выходных каналов, которые в статистических моделях основываются на расширенном формализме Хаузера—Фешбаха (РМХФ) [17]. Данный метод предполагает компаунд-ядро достаточно возбуждённым, чтобы реализовывалась статистическая модель, которая может также применяться и для продуктов распада [6]. Вероятность деления пропорциональна фазовому пространству в «делительной точке» [17]. Таким образом, массовое распределение осколков деления рассматривается как бинарный распад, который может быть исследован таким же способом, что и испарение лёгких заряженных частиц из компаунд-ядра в расчётах по статистической модели (расширение обычного формализма Хаузера—Фешбаха [6] на делительные процессы). Этот подход — альтернатива модели переходных состояний, в которой для расчёта сечений образования фрагментов в выходных каналах используется формализм «седловой точки», а в лёгком и среднем массовом диапазонах компаунд-ядер конфигурации «седловой точки» совпадают с конфигурациями «делительной точки». Поэтому теория РМХФ с расчётами для «делительной точки» может описать всё многообразие экспериментальных данных по сечениям в указанном массовом диапазоне. Результаты сравнения эксперимента с вычислениями по РМХФ [17-19] показывают согласие и хорошую интеграцию этой модели в процесс изучения распадающихся составных систем. В РМХФ с использованием формализма «делительной точки» парциальная делительная ширина определяется с помощью плотности уровней конечных фрагментов реакции с соответствующим интегрированием по всему фазовому пространству аналогично формуле (5), но с учётом возбуждения образовавшихся осколков:
/ / / р1ь (еь )р1н (еН )Ть(Е)5(£ь + ЕН + Е + Я — Ех)АеЬ АеН АЕ- (14)
(1ь ,1н)1
Здесь индексы Ь и Н соответствуют случаям лёгкого и тяжёлого осколков. Тогда высота центробежного барьера в «делительной точке» выражается в виде
У{Ь) = УССШ1 + 9 д2 Ь{Ь + 1), (15)
где — приведённая масса, а размеры «делительной точки» (расстояние между осколками) К и кулоновская энергия оцениваются по формулам
К = Еь + Кн + 3, (16)
Кои1 = ZLZн <?/Ка, (17)
где А — параметр модели.
Данный метод был применён для исследования реакций 36Аг + 24Mg, ядра пучка 36Аг при энергии 195 МэВ и 32Б + 24Mg, ядра пучка 32Б при энергии 163 МэВ. В расчётах использовались две возможности метода: расчёты сечений бинарных распадов с применением только РМХФ формализма (формула (5)) и расчёты с применением РМХФ плюс учёт каскадных процессов, так называемые РМХФ-КАСКАД расчёты.
Строилась кривая выходов фрагментов распада составной ядерной системы в виде за-
висимости сечения образования фрагментов о от их зарядового числа Z. На рис. 2 показаны результаты расчётов для распада составного ядра 6с^п, образованного в реакции 36Аг + 24Mg. Входные параметры реакции определялись с помощью соответствующих теоретических расчётов. Угловой момент Ь определялся с помощью расчётов на основе модели жидкой капли с учётом диффузности поверхности и вращения ядер. Значение Ь для ядра 6с^п составило « БОЙ.
Другой входной параметр 3 — размер «шейки» для данной реакции выбирался исходя из линейной зависимости 3 от массы компаунд-ядра
3 = 0,112(А - 24,6Б) (18)
и в нашем случае составил 3 = 3,9 фм.
На рисунке приведены результаты расчётов с использованием только РМХФ формализма (пунктирные гистограммы), а также ХФМ-КАСКАД расчёты (сплошные гистограммы). Аналогичная процедура была проделана и для другой исследуемой реакции. Результаты расчётов для распада составного ядра 56№, образованного в реакции 32S+24Mg, показаны на рис. 3. Угловой момент в данном случае составил « 46Й, а размер «шейки» из формулы (18) составил 3,5 фм.
Из анализа полученных распределений хорошо просматривается так называемый «чётно-нечётный» эффект для области Z с 11 по 22 для ядер 6с^п и области Z с 6 по 18 для ядер 56№, который заключается в превышении выходов фрагментов с чётными зарядовыми числами над выходами фрагментов с нечётными зарядовыми числами. Этот эффект в указанных зарядовых областях хорошо коррелирует с аналогичным эффектом, обнаруженным экспериментально [20].
Сравнение приведённых расчётных данных показало хорошее согласие используемого теоретического подхода с экспериментальными результатами, полученными в реакциях 36Аг + 24 Mg и 32 S + 24 Mg [21].
Обнаружено также довольно большое сечение образования различных изотопов Сг ^ = 24). Данный факт может объясняться интенсивными каскадными процессами испускания заряженных частиц возбуждённой составной системой. Эти результаты прекрасно совпадают с расчётами по испарительным моделям, где также наблюдаются довольно большие выходы изотопов Сг.
Рис. 2. Зависимости сечений фрагментов распада составного ядра 6с^п, образованного в реакции 36 Аг + + 24Mg, от их зарядового числа Z
Рис. 3. Зависимости сечений фрагментов распада составного ядра 56Ni, образованного в реакции 32S + 24Mg, от их зарядового числа Z
Выводы. Полученные в работе результаты позволяют сделать вывод о применимости рассмотренной модели к случаю, когда система из двух ионов лёгкой или средней групп масс образует компаунд-ядро с последующим делением или испарением лёгких частиц. Показано, что в этом случае удается корректно описать спектр возбуждённых состояний остаточного ядра и массовый выход из реакции.
Литература
1. Zagrebaev V., KozhinA. Nuclear Reactions Video (knowledge base on low energy nuclear physics) // JINR Report No. E10-99-151, Dubna, 1999. 18 p.
2. Tarasov O.V., BazinD. LISE+—+: Radioactive beam production with in-flight separators // Nucl. Instr. Meth. Phys. Res. (B). 2008. Vol. 266. N 19. P. 4657-4664.
3. Herman M., Capote R., Carlson B. V. et al. EMPIRE: Nuclear Reaction Model Code System for Data Evaluation // Nucl. Data Sheets. 2007. Vol. 108. N 12. P. 2655-2715.
4. GavronA. Statistical model calculations in heavy ion reactions // Phys. Rev. (C). 1980. Vol. 21. N 1. P. 230-236.
5. PuhlhoferF. On the interpretation of evaporation residue mass distributions in heavy-ion induced fusion reactions // Nucl. Phys. (A). 1977. Vol. 280. N 1. P. 267-284.
6. Hauser W., Feshbach H. The Inelastic Scattering of Neutrons // Phys. Rev. 1952. Vol. 87. N 2. P. 366-373.
<u s
g 10 d
IS о
i ' i 1 i ' i 1 i ■ i ' i ■ i ' i
10 20 30
Z
100
<u s к
s 10d
о
—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I-
1
10 20 Z
1
7. HillD., Wheeler J. Nuclear Constitution and the Interpretation of Fission Phenomena // Phys. Rev. 1953. Vol. 89. N 5. P. 1102-1145.
8. Murthy K. H. N., GuptaS. K., Chatterjee A. Transmission coefficients for light projectiles // Z. Phys. (A) 1982. Vol. 305. N 1. P. 73-79.
9. VasL., Alexander J. Systematics of fusion barriers obtained with a modified proximity potential // Phys. Rev. (C). 1978. Vol. 18. N 5. P. 2152-2161.
10. Kaneko K., Schiller A. Spin distribution of nuclear levels using the static path approximation with the random-phase approximation // Phys. Rev. (C). 2007. Vol. 75. N 4. P. 044304-1-044304-10.
11. Von EgidyT., Bucurescu D. Systematics of nuclear level density parameters // Phys. Rev. (C). 2005. Vol. 72. N 4. P. 044311-1-044311-20.
12. Huang P., Grimes S. M., Massey T. N. Level densities for nuclei with 20 < A < 41 // Phys. Rev. (C). 2000. Vol. 62. N 2. P. 024002-1-024002-12.
13. Pearson J. M. The Quest for a Microscopic Nuclear Mass Formula // Hyperfine Interactions 2001. Vol. 132. P. 59-74.
14. Torilov S. Yu., Brenner M., Goldberg V. Z. et al. High-spin excitations in 22Ne and their classification into rotational bands // Eur. Phys. J. (A). 2011 (In print.)
15. Freeman R. M., BasrakZ., HaasF. et al. Resonant and nonresonant behavior of the heavy-ion reaction 14C+12C // Phys. Rev. (C). 1992. Vol. 46. N 2. P. 589-596.
16. LedouxR. J., Ordonez C. E., Bechara M. J. et al. Selective alpha particle decay of 12C+12C resonances to excited 20Ne rotational bands observed in the 12C(12C,a)20Ne reaction // Phys. Rev. (C). 1984. Vol. 30. N 3. P. 866-877.
17. Matsuse T., Beck C., Nouicer R., Mahboub D. Extended Hauser-Feshbach method for statistical binary decay of light-mass systems // Phys. Rev. (C). 1997. Vol. 55. N 3. P. 1380-1393.
18. Sanders S. J., Szanto de Toledo A., Beck C. Binary decay of light nuclear systems // Phys. Rep. 1999. Vol. 311. N 6. P. 487-551.
19. BeckC., Mahboub D., Nouicer R. et al. 35Cl+12C asymmetrical fission excitation functions // Phys. Rev. (C). 1996. Vol. 54. N 1. P. 227-236.
20. Von Oertzen W., Zherebchevsky V., Gebauer B. et al. Fission decay of N = Z nuclei at high angular momentum: 60Zn // Phys. Rev. (C). 2008. Vol. 78. N 4. P. 044615-1-044615-19.
21. Жеребчевский В. И. Бинарный и тройной кластерный распад ядерных систем средней группы масс: дис. ... канд. физ.-мат. наук. СПб., 2007. 107 с.
Статья поступила в редакцию 14 декабря 2010 г.
