CC BY
65
УДК 625.03
A^. Сычева, В.П. Сычев, В.А. Бучкин, Ю.А. Быков
ФГБОУ ВО «Московский государственный университет путей сообщения Императора Николая II»
МОДЕЛИРОВАНИЕ РАБОТЫ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ПУТИ КАК СИСТЕМЫ КВАЗИУПРУГИХ ОРТОТРОПНЫХ СЛОЕВ
Решена задача воздействия подвижного состава на путь на основе моделирования железнодорожного пути как многослойного пространства в полярной системе координат, где каждый из слоев (рельсо-шпальная решетка, балластная призма, грунт насыпи, грунты коренного основания) представлен в виде квазиупругого ортотропного слоя, обладающего цилиндрической анизотропией, характерной жесткостью, причем все слои лежат на основании, представляющем собой упругоизотропное пространство. Использована винклеровская модель, которая предусматривает, что основание есть линейно-деформируемое пространство, на поверхность которого действуют нагрузки, передаваемые через послойно деформируемые полупространства. Дано описание решения задачи в виде волновых уравнений, учитывающих инерцию вращения поперечных сечений и деформацию поперечного сдвига.
Ключевые слова: динамическое воздействие, модель железнодорожного пути, условия взаимодействия слоев, лучевой ряд, условие совместности, волновые уравнения, анизотропные свойства, ортотропная пластина
При моделировании железнодорожный путь, находящийся под воздействием нагрузки от подвижного состава, обычно представляют в виде либо балки бесконечной длины на сплошном упругом (винклеровском) основании [1—4], либо балки бесконечной длины на упругих точечных опорах. В первом случае определяют модуль упругости пути U, во втором — жесткость подрель-сового основания С.
Упругие точечные опоры моделируют как последовательно соединенные упругие элементы (пружины), а именно: узел скрепления, шпала, балластный слой. Общая жесткость Собщ соединенных пружин n определяется как:
1^1 оЩ =Х С, (1)
где С. — жесткость пружины, заменяющей элемент верхнего строения пути.
Согласно классической схеме [1] воздействия подвижного состава на железнодорожный путь, приложение импульса силы от колеса подвижного состава к поверхности катания рельсов вызывает появление аналогичных импульсов, воздействующих на шпалу и балласт и через них на земляное полотно [1, 5—7]. Для определения напряжений в балласте предварительно находят величины давления на расчетную и соседние шпалы по схеме, приведенной на рис. 1.
Расчет элементов пути на прочность ведется по допускаемым напряжениям, которые ограничивают максимальные расчетные напряжения от поездной нагрузки [1]:
« < [а]. (2)
Установлены следующие виды допускаемых напряжений: растяжения в кромке подошва рельса [ок] = 240 МПа; смятие в прокладках железобетонных шпал [оШ] = 7,5 МПа; сжатия в балласте под шпалой в подрельсовой зоне [оо] = 0,4 МПа; сжатия на основной площадке земляного полотна [оН] = 0,1 МПа. Напряжения на основной площадке земляного полотна оН, МПа, на глубине Н определяются под расчетной шпалой с учетом давлений, передаваемых двумя соседними шпалами по формуле [1]:
О = 0Н0 + 0Н1 + (3)
где оН0 — напряжения под действием расчетной шпалы на глубине Н от ее подошвы; о оН2 — напряжения под воздействием соседних шпал на глубине Н от их подошв.
Рис. 1. Схема расчета напряжений по основной площадке земляного полотна
напряжения в балласте под расчетной и соседними шпалами находятся как напряжения при смятии. нормальные вертикальные напряжения от расчетных давлений под подошвами шпал оо, оо1, оо2 на глубине Н определяются на основе решения плоской задачи теории упругости при рассмотрении шпального основания как однородной изотропной среды.
Однако с позиций строительной механики железнодорожный путь можно смоделировать как многослойную систему, состоящую из отдельных слоев различной жесткости, лежащую на основании, представляющем собой упруго-изотропное пространство [6, 8—10]. Винклеровская модель предусматривает, что основание есть линейно-деформируемое пространство, на поверхность которого действуют нагрузки, передаваемые через послойно деформируемые полупространства. Применимость этих условий к расчету прочности элементов верхнего строения пути обоснована тем, что при малых прогибах они могут
рассматриваться как линейно-деформируемые среды [2]. Передача давления, осадка и сжатие отдельных слоев многослойных систем зависят от толщин отдельных слоев и их модулей упругости, а также возможности смещения одного слоя по поверхности другого в процессе деформации [11—13]. Однако на самом деле верхнее строение пути лежит на грунтовом основании земляного полотна, которое представляет собой нелинейно-деформируемое анизотропное пространство [3, 4].
Оценка закономерности распределения напряжений в многослойной анизотропной среде земляного полотна и основания земляного полотна — процесс сложный. Трудность этой задачи возрастает с увеличением числа слоев. Обычно ограничиваются тремя слоями: шпалы, представленные как гибкие пластины, опирающиеся на упругое полупространство, балласт и земляное полотно. Причем верхний слой имеет больший модуль упругости, чем нижний. Распределение напряжений под подошвой шпалы принимается в виде линейной зависимости — путем «спрямления» кривой напряжения, фактически действующего в многослойном основании. Эта линейность обусловлена относительно малыми напряжениями, возникающими в деформируемом слое по сравнению с расчетной предельной прочностью подшпального основания.
Шпалы изготавливают из бетона, который является структурно неоднородным анизотропным материалом с относительно высокой прочностью на сжатие и хуже воспринимает растягивающие усилия. Известно, что жесткость железобетонной шпалы существенно выше, чем деревянной, при этом возникает опасность появления в ней трещин под действием поездной нагрузки и повышенного давления на балластный слой и земляное полотно. Это вызвано тем, что при укладке железобетонных шпал модуль упругости верхнего слоя сопоставим с модулем упругости второго нижнего по отношению к первому слою — балластному, что приводит к противоречию с рекомендациями строительной механики [2—4, 14—16].
Ранее в [4—6] предлагалось динамическое поведение железнодорожного пути описывать волновыми уравнениями, учитывающими сдвиговые деформации поперечных сечений и инерцию их вращения, а для определения перемещений применить асимптотические разложения неизвестных величин по пространственной координате и времени (лучевые ряды). При этом моделировались анизотропные свойства земляного полотна, зависимость силы взаимодействия от местных деформаций и учитывались реологические свойства грунта земляного полотна и местности, по которой проходит железная дорога. Динамическое приложение нагрузки от колесной пары к рельсу кор-релировалось со скоростью деформирования всей конструкции железнодорожного пути.
Предлагается каждый из указанных выше слоев моделировать в виде квазиупругого ортотропного слоя, обладающего цилиндрической анизотропией в полярной системе координат, и описывать волновыми уравнениями, учитывающими инерцию вращения поперечных сечений и деформации поперечного сдвига, что, в свою очередь, позволит выявить влияние волновых эффектов и колебательных процессов на конечные характеристики поведения полотна [17—20]:
и 1А
вг9 -Г дг
1 д!^ V г 592 )
д ( 5ф
—<- В — г-^ + и-
-(Вваг + Вк)
( д2
дг V дг
д V
дiw 52фЛ удв2дг дв2
+ ив1 ф +
удг 59 V гдв) дгдв)
+ В91 В
г 39 г
г
^ 1 д 2 <5\|/Л
г д92
( дw ^ къ д2ф +КНвГ2\--ф 1 = -р--2-;
Г"1 дг V 12 дг2
кв,
/д2w дфЛ дг2 дг
С
Г2
Гд2 и + 1 ди^ дг2 г дг
+ кв^ -
г
—-ф) + кв^~ дг 1 г
д 2 ду г592 д9
= Р
д 2 2
дг1
С — д^и __ С и +
+Ск 2 1п2 С9 2 +
г2 д92 г2
+ Ск )-
1 д 2у
д 2ы
„ \ 1 ду д и
г дгд9 г2 д9 дг
С
г2 д92
+ Ск
^ д2V 1 ду
дг
2 г дг
(Сг09+ Ск )-
1 д 2и
„ \ 1 ди д2у + (С9 + Ск ))— = рА—г-;
V 9 к,г2 д9 дг2
Ве"
1 д3^ 1 I 15 2у п
^---1_ Ве--т + Вк
г дг2де г I е г де2 к
г дгд9
д2 г^д^ - ^ _д_Г1 д^-
Г дг21 г де VГдг I г де ^
■V
_ 1Г1 дм_ Г [ Г де
_Ве 1 д> + Вк~г
(и ае+ Вк)
3
д ^
д V
дг2де дгде
2
д ^ дф дедг де
, 1 д^ ^ Нъ д2у • + КЬОе-1---V | = -р--^,
е2г де | 12 дг2
(5)
(6)
(7)
(8)
где Вг = — Бг, Д, = —Б,,Вк = — Бк,С = ,С0 = НБ,,Ск = НБк, ВГЙ = ВгаЙ +
12
+ 2Вк, Бг =
12 I Ба =
12
г 5
^— Бк = £0 Ега=Е^, К = -, Б, Б0 и С,
' и л ' к г г о г' 0 г
1 -стг а0 1 -стг а0 6
С0 — жесткости изгиба и растяжения-сжатия для направлений г, 9, соответственно; Вк — жесткость кручения; Ск — жесткость сдвига; Е Е9 и ог, о9 — модуль упругости и коэффициент Пуассона для направлений г, 9, соответственно; Gz, G — модуль сдвига в плоскостях гг и 9г, соответственно; ^ (г, 9) — нормальное перемещение срединной плоскости; и(г, 9) и у(г, 9) — тангенциальные перемещения срединной поверхности соответственно по координатам г, 9; ф( г, 9) и у(г, 9) — произвольные искомые функции координат г, 0.
Для определения неизвестных функций, входящих в (4)—(8), предлагается использовать разложения в степенные ряды по пространственной координате и времени [4, 5, 17]:
3
Z ( ,, t ) = Х [ Z ,(k ) 1
t - S] H (t - s G ) { G
(9)
= 7 + - 7 -
^'(k ) '(k )'
знаки «+» и «-»
k=0k !
где Z — искомая функция; Z,(U) = dkZ/dtk, относятся к значениям производной Z,(k), подсчитанным перед волновой поверхностью 2 и за ней, соответственно; t — время; s — длина дуги, отсчитываемая вдоль луча; G — нормальная скорость волны S; H(t - s/G) — единичная функция Хевисайда .
Для определения коэффициентов лучевого ряда (9) для искомых функций необходимо продифференцировать определяющие волновые уравнения (4)—(7) k раз по времени, взять их разность на различных сторонах волновой поверхности 2 и применить условие совместности для перехода от скачка производной от функции Z по координате к скачку производной от искомой функции по времени более высокого порядка:
dZ.
( k )
ds
- [ Z,( k+1) ]-
S[ Z,( k ) ]
Si
(10)
где d/dt — 5-производная по времени на поверхности волнового фронта.
В общем случае рассматриваем осесимметричную задачу, в которой волновые характеристики не зависят от угла 0, при этом уравнения (4)—(8) принимают упрощенный вид.
Для определения силы, передаваемой одним слоем на другой, и динамического перемещения конструкций каждого слоя необходимо найти поперечное перемещение w(t) [21], которое входит в системы уравнений (4) и (5). Остальные уравнения в случае осесимметричной задачи представляют собой независимые подсистемы, вследствие чего неизвестные функции перемещений, определяемые из соотношений (6)—(8), не влияют на исследуемые динамические характеристики, поэтому в дальнейшем ограничимся рассмотрением только уравнений (4) и (5). Коэффициенты лучевого ряда (9) для искомой функции найдем, воспользовавшись методикой сращивания двух решений, полученных в зоне взаимодействия колеса и рельса и вне ее. в результате из уравнений движения (4), (5) для определения скачков искомых величин с точностью до произвольных констант получим систему рекуррентных дифференциальных уравнений:
1 -
1 -
pG2 в
pG
5ю
ю
2 \
'ф(£+1)
= 2-
KG
rz J
X"(k+1) - 2
5*
SX
)+ Gr "1юф(к )+ brGXw(k )+ F^(k-i);
где X
( )
w
(k+i)
S2®.
F
ф(*-1)
Ф(*-1) _ Gr-1
St
%(*) =[ф,(*+1) S®
{k)+ Gr-Xw{k)- G^(k)+ Fw(k-11
(11)
(12)
St2
M* _1) St
= hKGH
+ G 2r
-1
S2 X
F
(k-i)
Si2
(-i)- Gr-i + g
S®
= r0 + Gt,
, _ SXw(*_1) , ^2 _ brG S* + brG2*_1)'
Si
ф(к-i) + G 2r-1®
St
ф(к-i)'
Полагая в (11) и (12) к = -1, 0, 1, 2, 3, получим скачки соответствующего порядка на первой волне:
рС«2 = , ХЦ0)= 0;
-,(1)
„(1) _ (1) -1'2 у (1) _ & (1) -1/2. Юф(0) _ С0 Г1 ' Уш(1) _ г С0 Г1 .
л г
(1) (1) -1/2 , 1 (Е 1Л 4(1) = С1 Г1 + 2
V Е 4 ,
с(1)с(1)г-3'2 -1 с(1) —С,1^1'2;
х(1) _ П
(1)
с«^2 +1
5
V Е 4 у
П(1)с(1)г-3/2 _ IП(1) ^с«г1/2 2 е.
^ с21)?1-1/2+2
V Е 4 у
С1^"3" -1С(1) ^^с1(1)г11/2 + 2 е
+1 с(1)2 £ с01)г13/2 -1 8 е2 ° 1 8
9 - Ее
V4 Е у
Е±-1 V Е 4 У
С (1)2С(1)Г-5/2 и с0 '1 '
г л Вг а(1)2 1 1 , G(2)2 где /г = 1--— = 1--— < 0, — = 1--, г, = 1--- = 1 -
G
(2)2
/Г
Б„
а
(1)2
> 0.
Аналогичным образом на второй волне находим:
р а(2)2 = Кв„, 0;
У(2) _ с(2)г-1/2 „(2) _ а(2) (2)г-1/2. ™(0) _ С0 '2 ' Шф(1) _ " С0 '2 '
у(2) _ -1/2 1 ~(2) „(2)г-3/2 + 1 ~(2) О, П) хп ; Лп(1) _ С1 Г2 ^ С0 Г2 + Т ^ -С0 Г2 ;
1
ю(2) = 0(2) Ь.
ЮФ(2) ^ е
С(2)гТ 1/2 + 3С(2)С02)Г2-3/2 +1—е^г^12 8 2 е
Х(2) _ _(2)_-1/2 1 ф)р(2)г-Ъ12 1 Ь (2) (2) 1/2 1 ^ ~(2)2 (2) 3/2 + ЛМ2) _С2 2 - С1 2 С1 Г2 — ^ С0 2 +
2 е
8 е2
128 0 2
(13)
(14)
(15)
(16) (17)
(18)
(19)
(20) (21)
(22)
Найденные скачки позволяют записать выражения для искомых функций прогиба (осадки каждого плоского слоя) и поперечной силы в виде отрезков лучевых рядов с точностью до произвольных постоянных с(а) (а = 1, 2) (/ = = 0, 1, ... 4), которые находятся из граничных условий:
2 4 1 к
»1Й-СЫ н(Vа);
(23)
» К м!11
( 5х ^а)
-X м а (а)-1 + —^М. а (а)-1 -ю(а)1) (к) 5 г (к-1)
(а) п>
Л
(У а)к Н (Уа) , (24)
где уа = г - (г - г0)а(а) 1, величины Х(а) , ю(а) и их 5-производные рассчитыва-
ются при у = 0.
г
Таким образом, составляя для каждого слоя (рельс — шпала, шпала — балласт, балласт — земляное полотно) систему уравнений и решая их, можно варьировать характеристики различных слоев и модули их упругости, определяя оптимальную толщину балластного слоя или нашпальных и подшпальных прокладок и т.п.
Библиографический список
1. Шахунянц Г.М. Расчеты верхнего строения пути. М. : Трансжелдориздат, 1959. 264 с.
2. Коган А.Я. Расчеты железнодорожного пути на вертикальную динамическую нагрузку // Труды ВНИИЖТ. М. : Транспорт, 1973. Вып. 502. 80 с.
3. Сычева А.В. Об оценке свойств подбалластных материалов железнодорожного пути // Труды ВНИИЖТ. Железнодорожный транспорт в современных условиях. М. : ИНТЕКСТ, 2000.
4. Loktev A.A. Dynamic contact of a spherical indenter and a prestressed orthotopic Uflyand-Mindlin plate // Acta Mechanica. 2011. Vol. 222. No. 1—2. Рр. 17—25.
5. Локтев А.А., Залетдинов А.В., Сычева А.В. Расчет осадки полотна железнодорожного пути от действия динамической нагрузки с помощью лучевого метода // Нелинейный мир, 2013. № 11. С. 67—76.
6. Локтев А.А., Сычева А.В., Чернояров О.В. Задачи динамического воздействия на плоские конструкции при моделировании работы железнодорожного полотна. М. : Агентство интеллектуальной собственности на транспорте (АИСнТ), 2014. 288 с.
7. Abrate S. Localized impact on sandwich structures with laminated facing // Applied Mechanics Reviews. 1997. Vol. 50. No. 2. Pp. 69—82.
8. Olsson R., Donadon M.V., Falzon B.G. Delamination threshold load for dynamic impact on plates // International Journal of Solids and Structures. 2006. Vol. 43. No. 10. Pp. 3124—3141.
9. Thomas T.Y. Plastic Flow and Fracture in Solids : Mathematics in Science and Engineering. ZAMM — Journal of Applied Mathematics and Mechanics. 1962. vol. 42. No. 4—5. pp. 218—219.
10. Achenbach J.D., Reddy D.P. Note on wave propagation in linear viscoelastic media // Zeitschrift fur angewandte Mathematik und Physik ZAMP. 1967. Vol. 18. No. 1. Рр. 141—144.
11. Malekzadeh K., Khalili M.R., Olsson R., Jafari A. Higher-order dynamic response of composite sandwich panels with flexible core under simultaneous low-velocity impacts of multiple small masses // International Journal of Solids and Structures. 2006. Vol. 43. No. 22—23. Pp. 6667—6687.
12. Agostinacchio M., Ciampa D., Diomedi M., Olita S. parametrical analysis of the railways dynamic response at high speed moving loads // Journal of Modern Transportation. 2013. Vol. 21 (3). Pp. 169—181.
13. Abrate S. Modelling of impact on composite structures // Compos Struct. 2001. Vol. 51 (2). Pp. 129—138.
14. Chen P., Xiong J., Shen Z. Thickness effect on the contact behavior of a composite laminate indented by a rigid sphere // Mechanics of Materials. 2008. Vol. 40. No. 4—5. Pp. 183—194.
15. Christoforou A.P., Elsharkawy A.A., Guedouar L.H. An inverse solution for low-velocity impact in composite plates // Computers and Structures. 2001. Vol. 79. No. 29—30. Pp. 2607—2619.
16. Kukudzjanov V.N. Investigation of shock wave structure in elasto-visco-plastic bar using the asymptotic method // Archive of Mechanics. 1981. Vol. 33. No. 5. Pp. 739—751.
17. Loktev A.A., Gridasova E.A., Kramchaninov V.V. The method of determining the locations of reinforcing elements in a composite orthotropic plate undergoing dynamic impact. Part 1. Wave problem // Applied Mathematical Sciences. 2015. Vol. 9. No. 71. Pp. 3533—3540.
18. Loktev A.A., Gridasova E.A., Kramchaninov V.V., Stepanov R.N. The method of determining the locations of reinforcing elements in a composite orthotopic plate undergoing dynamic impact. Part 2. Calculation algorithm // Applied Mathematical Sciences. 2015. Vol. 9. No. 71. Pp. 3541—3547.
19. Loktev A.A., Gridasova E.A., Zapol'nova E.V. Simulation of the railway under dynamic loading. Part 1. Ray method for dynamic problem // Contemporary Engineering Sciences. 2015. Vol. 8. No. 18. Pp. 799—807.
20. LoktevA.A., Gridasova E.A., SychevA.V., StepanovR.N. Simulation of the railway under dynamic loading. Part 2. Splicing method of the wave and contact solutions // Contemporary Engineering Sciences. 2015. Vol. 8. No. 21. Pp. 955—962.
21. Evans G.R., Jones B.C., McMillan A.J., Darby M.I. A new numerical method for the calculation of impact forces // Journal of Physics D: Applied Physics. 1991. Vol. 24. No. 6. Pp. 854—858.
Поступила в редакцию в феврале 2016 г.
Об авторах: Сычева Анна Вячеславовна — кандидат технических наук, доцент, доцент кафедры зданий и сооружений на транспорте, Московский государственный университет путей сообщения Императора Николая II, 125993, г. Москва, ул. Часовая, д. 22/2, 8 (495) 799-95-78, [email protected];
Сычев Вячеслав Петрович — доктор технических наук, профессор, профессор кафедры транспортного строительства, Московский государственный университет путей сообщения Императора Николая II, 125993, г. Москва, ул. Часовая, д. 22/2, 8 (495) 799-95-78, [email protected];
Бучкин Виталий Алексеевич — доктор технических наук, профессор, профессор кафедры проектирования и строительства железных дорог, Московский государственный университет путей сообщения Императора Николая II, 127994, г. Москва, ул. Образцова, д. 9, стр. 9, 8 (495) 681-13-40, [email protected];
Быков Юрий Александрович — доктор технических наук, профессор, профессор кафедры проектирования и строительства железных дорог, Московский государственный университет путей сообщения Императора Николая II, 127994, г. Москва, ул. Образцова, д. 9, стр. 9, 8 (495) 681-13-40, [email protected].
Для цитирования: Сычева A.В., Сычев В.П., Бучкин В.А., Быков Ю.А. Моделирование работы железнодорожного пути как системы квазиупругих ортотропных слоев // Вестник МГСУ. 2016. № 3. С. 37—46.
A.V. Sycheva, V.P. Sychev, V.A. Buchkin, Yu.A. Bykov
MODELING OF RAILWAY TRACK OPERATION AS A SYSTEM OF QUASI-ELASTIC
ORTHOTROPIC LAYERS
In this paper the authors give a solution to the problem of the impact of a rolling stock on the rail track on the basis of modeling a railway track as a multi-layered space, introducing each of the layers is a quasi-elastic orthotropic layer with cylindrical anisot-ropy in the polar coordinate system. The article describes wave equations, taking into account the rotational inertia of cross sectional and transverse shear strains. From the point of view of classical structural mechanics train path can be represented as a multilayer system comprising separate layers with different stiffness, lying on the foundation being the elastic-isotropic space. Winkler model provides that the basis is linearly deformable
space, there are loads influencing its surface. These loads are transferred through a layered deformable half-space. This representation is used in this study as an initial approximation. For more accurate results of the deformation of a railway track because of rolling dynamic loads it is proposed to present a railway track in the form of a layered structure, where each element (assembled rails and sleepers, ballast section, the soil in the embankment, basement soils) is modeled as a planar quasi-elastic orthotropic layer with cylindrical anisotropy. The equations describing the dynamic behaviour of flat element in a polar coordinate system are hyperbolic in nature and take into account the rotational inertia of the cross sectional and the transverse shear strains. This allows identifying the impact on the final characteristics of the blade wave effects, and oscillatory processes.
In order to determine the unknown functions included in the constitutive equations it is proposed to use decomposition in power series in spatial coordinate and time. In order to determine the coefficients of ray series for the required functions, it is necessary to differentiate the defining wave equations k times on time, to take their difference on the different sides of the wave surface, and apply the consistency condition for the transition from the jump of the derivative of a function in the coordinate to the jump of the derivative of a sought function in time of higher order.
The proposed approach allows considering the whole structure of the railway track in the form of a set of layers, making for each layer (rail — sleeper; sleeper — ballast; ballast — ballast bed) a system of equations and solving them. Therefore it is possible to vary the characteristics of different layers and their modules of elasticity, determining the optimal thickness of the ballast layer or oversleeper and undersleeper strips.
Key words: dynamic impact, railway track model, the conditions of interaction between layers, ray series, consistency condition, wave equations, anisotropic properties, orthotropic plate
References
1. Shakhunyants G.M. Raschety verkhnego stroeniya puti [Calculations of the Surface Track Structure]. Moscow, Transzheldorizdat Publ., 1959, 264 p. (In Russian)
2. Kogan A.Ya. Raschety zheleznodorozhnogo puti na vertikal'nuyu dinamicheskuyu nagruzku [Calculations of Vertical Dynamic Load of a Railway Track]. Trudy VNIIZhT[Works of the Research Institute of Railway Transport]. Moscow, Transport Publ., 1973, no. 502, 80 p. (In Russian)
3. Sycheva A.V. Ob otsenke svoystv podballastnykh materialov zheleznodorozhnogo puti [On the Evaluation of the Properties of Underballast Materials of Railway Track]. Trudy VNIIZhT. Zheleznodorozhnyy transport v sovremennykh usloviyakh [Works of the Research Institute of Railway Transport. Railway Transport in Modern Conditions]. Moscow, INTEKST Publ., 2000. (In Russian)
4. Loktev A.A. Dynamic Contact of a Spherical Indenter and a Prestressed Orthotropic Uflyand-Mindlin Plate. Acta Mechanica, 2011, vol. 222, no. 1—2, pp. 17—25. DOI: http:// dx.doi.org/10.1007/s00707-011-0517-8.
5. Loktev A.A., Zaletdinov A.V., Sycheva A.V. Raschet osadki polotna zheleznodorozhnogo puti ot deystviya dinamicheskoy nagruzki s pomoshch'yu luchevogo metoda [Settlement Calculation of a Railway Track under Dynamic Loads Using Ray Method]. Nelineynyy mir [Nonlinear World]. 2013, no. 11, pp. 67—76. (In Russian)
6. Loktev A.A., Sycheva A.V., Chernoyarov O.V. Zadachi dinamicheskogo vozdeyst-viya na ploskie konstruktsii pri modelirovanii raboty zheleznodorozhnogo polotna [Dynamic Effect on Flat Designs in the Simulation of Railway Track Operation]. Moscow, Agentstvo intellektual'noy sobstvennosti na transporte (AISnT) Publ., 2014, 288 p. (In Russian)
7. Abrate S. Localized Impact on Sandwich Structures with Laminated Facings. Applied Mechanics Reviews. 1997, vol. 50, no. 2, pp. 69—82. DOI: http://dx.doi.org/10.1115/1.3101689.
8. Olsson R., Donadon M.V., Falzon B.G. Delamination Threshold Load for Dynamic Impact on Plates. International Journal of Solids and Structures. 2006, vol. 43, no. 10, pp. 3124—3141. DOI: http://dx.doi.org/10.1016/j.ijsolstr.2005.05.005.
9. Thomas T.Y. Plastic Flow and Fracture in Solids : Mathematics in Science and Engineering. ZAMM — Journal of Applied Mathematics and Mechanics. 1962, vol. 42, no. 4—5, pp. 218—219. DOI: http://dx.doi.org/10.1002/zamm.19620420426.
10. Achenbach J.D., Reddy D.P. Note on Wave Propagation in Linear Viscoelastic Media. Zeitschrift für angewandte Mathematik und Physik ZAMP. 1967, vol. 18, no. 1, pp.141—144. DOI: http://dx.doi.org/10.1007/BF01593905.
11. Malekzadeh K., Khalili M.R., Olsson R., Jafari A. Higher-Order Dynamic Response of Composite Sandwich Panels with Flexible Core under Simultaneous Low-Velocity Impacts of Multiple Small Masses. International Journal of Solids and Structures. 2006, vol. 43, no. 22—23, pp. 6667-6687. DOI: http://dx.doi.org/10.1016/j.ijsolstr.2006.02.001.
12. Agostinacchio M., Ciampa D., Diomedi M., Olita S. Parametrical Analysis of the Railways Dynamic Response at High Speed Moving Loads. Journal of Modern Transportation. 2013, vol. 21 (3), pp. 169—181. DOI: http://dx.doi.org/10.1007/s40534-013-0022-y.
13. Abrate S. Modelling of Impacts on Composite Structures. Compos Struct. 2001, vol. 51 (2), pp.129—138. DOI: http://dx.doi.org/10.1016/S0263-8223(00)00138-0.
14. Chen P., Xiong J., Shen Z. Thickness Effect on the Contact Behavior of a Composite Laminate Indented by a Rigid Sphere. Mechanics of Materials. 2008, vol. 40, no. 4—5, pp. 183—194. DOI: http://dx.doi.org/10.10167j.mechmat.2007.07.003.
15. Christoforou A.P., Elsharkawy A.A., Guedouar L.H. An Inverse Solution for Low-Velocity Impact in Composite Plates. Computers and Structures. 2001, vol. 79, no. 29—30, pp. 2607—2619. DOI: http://dx.doi.org/10.1016/S0045-7949(01)00113-4.
16. Kukudzjanov V.N. Investigation of Shock Wave Structure in Elasto-Visco-Plastic Bar Using the Asymptotic Method. Archive of Mechanics. 1981, vol. 33, no. 5, pp. 739—751.
17. Loktev A.A., Gridasova E.A., Kramchaninov V.V. The Method of Determining the Locations of Reinforcing Elements in a Composite Orthotropic Plate Undergoing Dynamic Impact. Part 1. Wave Problem. Applied Mathematical Sciences. 2015, vol. 9, no. 71, pp. 3533— 3540. DOI: http://dx.doi.org/10.12988/ams.2015.52180.
18. Loktev A.A., Gridasova E.A., Kramchaninov V.V., Stepanov R.N. The Method of Determining the locations of reinforcing elements in a composite orthotropic plate undergoing dynamic impact. Part 2. Calculation algorithm // Applied Mathematical Sciences. 2015, vol. 9, no. 71, pp. 3541—3547. DOI: http://dx.doi.org/10.12988/ams.2015.53252.
19. Loktev A.A., Gridasova E.A., Zapol'nova E.V. Simulation of the Railway under Dynamic Loading. Part 1. Ray Method for Dynamic Problem. Contemporary Engineering Sciences. 2015, vol. 8, no. 18, pp. 799—807. DOI: http://dx.doi.org/10.12988/ces.2015.57204.
20. Loktev A.A., Gridasova E.A., Sycheva A.V., Stepanov R.N. Simulation of the Railway under Dynamic Loading. Part 2. Splicing Method of the Wave and Contact Solutions. Contemporary Engineering Sciences. 2015, vol. 8, no. 21, pp. 955—962. DOI: http://dx.doi. org/10.12988/ces.2015.57209.
21. Evans G.R., Jones B.C., McMillan A.J., Darby M.I. A New Numerical Method for the Calculation of Impact Forces. Journal of Physics D: Applied Physics. 1991, vol. 24, no. 6, pp. 854—858. DOI: http://dx.doi.org/10.1088/0022-3727/24/6/009.
About the authors: Sycheva Anna Vyacheslavovna — Candidate of Technical Sciences, Associate Professor, Department of Buildings and Structures on the Transport, Moscow State University of Railway Engineering (MIIT), 22/2 Chasovaya str., Moscow, 125993, Russian Federation; +7 (495) 799-95-78; [email protected];
Sychev Vyacheslav Petrovich — Doctor of Technical Sciences, Professor, Department of Transport Construction, Moscow State University of Railway Engineering (MIIT), 22/2 Chasovaya str., Moscow, 125993, Russian Federation; +7 (495) 799-95-78; [email protected];
Buchkin Vitaliy Alekseevich — Doctor of Technical Sciences, Professor, Department of Railway Design and Construction, Moscow State University of Railway Engineering (MIIT), 9-9 Obraztsova str., Moscow, 127994, Russian Federation; +7 (495) 681-13-40; [email protected];
Bykov Yuriy Aleksandrovich — Doctor of Technical Sciences, Professor, Department of Railway Design and Construction, Moscow State University of Railway Engineering (MIIT), 9-9 Obraztsova str., Moscow, 127994, Russian Federation; +7 (495) 681-13-40; [email protected].
For citation: Sycheva A.V., Sychev V.P., Buchkin V.A., Bykov Yu.A. Modelirovanie raboty zheleznodorozhnogo puti kak sistemy kvaziuprugikh ortotropnykh sloev [Modeling of Railway Track Operation as a System of Quasi-Elastic Orthotropic Layers]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2016, no. 3, pp. 37—46. (In Russian)
