Алгоритм определения мест армирования плоского элемента из ортотропного композитного материала, испытывающего ударное воздействие Текст научной статьи по специальности «Физика»

Механика деформируемого твердого тела

УДК 539.3

А.А. Локтев, А.В. Залетдинов, Е.А. Гридасова, Е.В. Запольнова

ЛОКТЕВ АЛЕКСЕЙ АЛЕКСЕЕВИЧ - доктор физико-математических наук, доцент, декан факультета «Информатизация, экономика и управление», заведующий кафедрой «Строительная механика, машины и оборудование» (Московский государственный университет путей сообщения, Москва). Минаевский переулок, 2, Москва, 127055. E-mail: [email protected]

ЗАЛЕТДИНОВ АРТУР ВИЛЬЕВИЧ - кандидат технических наук, консультант, ООО «Аксенчер» (Москва). Площадь Павелецкая, 2, строение 2. Москва, 115054. E-mail: [email protected]

ГРИДАСОВА ЕКАТЕРИНА АЛЕКСАНДРОВНА - кандидат технических наук, доцент кафедры сварочного производства Инженерной школы (Дальневосточный федеральный университет, Владивосток). ДВФУ, Суханова ул., 8, Владивосток, 690850. E-mail: [email protected] ЗАПОЛЬНОВА ЕВГЕНИЯ ВАЛЕРЬЕВНА - младший инженер САПР, Codest International SRL (Москва). Соймоновский пр., д. 7. Москва, 119034. E-mail: [email protected]

Алгоритм определения мест армирования плоского элемента из ортотропного композитного материала, испытывающего ударное воздействие

В настоящей работе был модифицирован подход к задачам динамического воздействия двух твердых тел в рамках волновой теории удара. Сам подход основан на совместном представлении задачи ударного воздействия двух тел, в виде отдельного решения контактной и волновой задачи, а также их последующего объединения с помощью использования граничных условий на контуре области приложения нагрузки. Разрабатываемый метод может быть использован для рассмотрения широкого класса задач о зарождении и распространении волн в сплошных твердых телах после динамического воздействия ударника, имеющего различные механические и геометрические свойства. Одной из таких задач является задача определения мест армирования элементов из композитных материалов высокопрочными нитями или арматурой. В работе предлагается определять места возможного армирования анизотропного композита как точки взаимодействия упругих волн, которые отражаются от верхней и нижней границы плоского элемента. Волновые поверхности появляются в мишени из-за ударного воздействия на нее твердого тела, реологические свойства которого распространяются на зону контакта при непосредственном воздействии ударника. Распространение волновых поверхностей с конечными скоростями становится возможным благодаря использованию волновых уравнений мишени типа Уфлянда-Миндлина-Рейснера, учитывающие деформацию поперечного сдвига и инерцию

© Локтев А.А., Залетдинов А.В., Гридасова Е.А., Запольнова Е.В., 2015

вращения поперечных сечений. Определяющие динамическое поведение точек плоского элемента уравнения позволяют предположить, что его деформирование вне области взаимодействия ударника и мишени происходит, в том числе, и за счет распространения с конечными скоростями упругих волн.

В настоящем исследовании разработана модель учета волновых поверхностей в соударяющихся телах, предложен алгоритм учета различных реологических свойств взаимодействующих тел, основанный на аналитическом методе представления неизвестных величин в виде разложений по пространственной координате и времени, начальных и граничных условиях, конечные интегро-дифференциальные уравнения решаются с использованием численных методов. Необходимость более точного представления о поведении конструкций под действием нагрузки заставляет проектировщиков и исследователей идти по пути усложнения математических моделей процессов и объектов. Актуальной является также задача создания достаточно простой расчетной модели и алгоритмов расчета задач ударного взаимодействия с учетом распространяющихся с конечными скоростями волновых поверхностей, а также их реализация в виде программного приложения алгоритма определения точек взаимодействия прямых и отраженных волн. Разработанный вычислительный алгоритм и программный комплекс протестированы, что позволило определить точки расположения в плоском композите армирующих нитей или стержней с целью обеспечения необходимых жесткостных характеристик всей конструкции.

Ключевые слова: динамическое воздействие, неклассическая пластина, упругие волны, ортотропные свойства, отраженные волны, полиномы Лежандра, вычислительный алгоритм, программный комплекс.

Динамическим воздействиям подвергаются практически все конструкции на различных этапах жизненного цикла: при изготовлении, монтаже, а также при эксплуатации в нормальных и экстремальных условиях. Возникает необходимость выработки общих подходов и методик к расчету армирования конструкций и созданию перспективных композиционных материалов для строительства и машиностроения. Для выбора мест армирования композитной пластинки предлагается определить наиболее нагруженные точки, в которых встречаются сонаправленные и противоположно направленные волновые фронты.

В настоящем исследовании получил дальнейшее развитие метод, основанный на представлении неизвестных величин в виде разложений по времени и пространственной координате вдоль направления распространения волновых поверхностей, которые появляются при динамическом воздействии на плоскую мишень. После приложения динамической нагрузки от контура области воздействия распространяются с конечными скоростями упругие волны, поскольку считается, что материал мишени не изменяет своих свойств во все время деформирования, то скорости волн являются величиной постоянной и зависящей только от механических характеристик элемента, процесс их распространения напрямую влияет на деформирование мишени. Отечественные и зарубежные исследователи предпринимали попытки учесть широкий спектр вопросов, учитывающих свойства области приложения динамической нагрузки [2, 6, 7, 9-11], волновые процессы в плоских телах [1, 2, 6, 10, 11], анизотропные свойства материала пластинки [4, 6, 10, 12], но при этом чаще всего изучались отдельные аспекты динамического воздействия на плоские элементы конструкций, а не весь комплекс параметров конструкции и приложения нагрузки, также не был составлен единый вычислительный алгоритм. Динамическое поведение пластины описывается уравнениями типа Уфлянда-Миндлина-Рейснера, имеющими гиперболическую структуру и учитывающими сдвиговые деформации и инерционные составляющие вращения поперечных сечений [6, 8, 10]

2 2 2 х \ 2

д ф 1 дф 1 д ф 1 с сгаг +сз д ¥ с2 +сз дф 12с4 (дм \ д ф

дг2 + г дг + г2 дв2 г2 с1 ф+ с1г дгдв схг2 дв+ с1 [ дг Фф дт2 '

ВЕСТНИК ИНЖЕНЕРНОЙ ШКОЛЫ ДВФУ. 2015. № 1 (22)

(

d w dp

dr2 dr

+ £4 ( dw_ £4

q V rdr r J £

f

d w dy

\

r2d02 rdO

d_w

dr:

(1)

(

d u 1 du dr2 r dr

Л 2 9 2

c3 d u c2 u c2 <rr + c3 d v c2 + c3 dv _ d u

2 ~,n2 „ „2 „ ,„ „ . 2 я/j a_2

У

c1r de2 c1 r2 c1 r drdd c1r2 ^^ dr2

c2 d ^£3

Г n2

c11 de2 c

d v 1 dv v + -

d r2 r d r r2

Л 2 2

c3 d u c 2 + c3 du _ d v

У

q r d rde cr2 de dr

d y 1dy y d r2 r d r r2

! c2 d y , <e+c3 d P ! c2 +c3 + 12c51 H¥\ = .

c/ de Cf drde c/ de c (r de J

d2y

drr

h h h

где Dr = -Br, De = - Be, D* = -B*, Cr = hBr, Ce = hBe, Q = hBk,

De = D<e+ 2Dk, Br =

Ea

E„

1 ~G<G,

B=

Ea

r <e

1 -<<

Bk = Gre, Br =

E„

r <e

1 -<<

r<e

5

1 -<r<e

, Bk = Gre, E<r = E<e, K = —, Dr, De , Cr, Ce , Er, Ee и <e - жесткости изгиба,

6

растяжения-сжатия, модуль Юнга и коэффициент Пуассона для направлений r, e ; Grz, Ge -модуль сдвига в плоскостях, указанных в индексе нижнего регистра; w(r,6), u(r,0) и v(r,0) -перемещения по нормали и касательным в направлениях r, e соответственно; (pr,e) и y(r,0) -функции углов поворота в двух тангенциальных направлениях c1 = Erj (1 -<< <e)P,

c2 = Ee/(1 -<<e)p? c3 = Gre|p, c4 = KGrzlP, c5 = KGezlP, Ч\ = Ф/Pc\, P- плотность материала мишени, q - внешняя нагрузка (в данном случае от ударного воздействия), R1 - радиус сферического бойка ударяющего тела.

Величины с1, С2, с3, с4, с5 , используемые в выражениях (1), определяют квадраты скоростей волновых поверхностей (их количество определяется реологическими свойствами материала плоской мишени), индексы у величины с отвечают за тип волновой поверхности: 1, 2 определяют квазипродольные волновые поверхности, на фронтах которых преобладают напряжения растяжения-сжатия, данные волны расширяются по координатным осям r и e, индекс 3 определяет квазипоперечную волновую поверхность, на фронте которой преобладает сдвиг в плоскости re, индексы 4, 5 определяют квазипоперечные волновые поверхности, на фронтах которых преобладают сдвиговые усилия по направлениям нормальным плоскостям rz, ez. Согласно выражениям для скоростей волновых поверхностей, приведенных в описательной части к формулам (1), их значения напрямую зависят от механических свойств материала мишени в соответствующих направлениях. Таким образом, набор скоростей волновых поверхностей однозначно определяет упругие свойства плоского элемента.

Решение уравнений (1) предлагается искать в пространстве изображений, для этого нужно использовать преобразование Лапласа, перейдя от величин p, y, w, u, v, q1 и M к их представлению в пространстве Лапласа - p, y, W, u, v, qx и M

P.

1 _ 1 c2 _ c<r + c3

rr +~Pr + — P,ee —2—P + ^r—3 У,г0 ■

2 ' r2 c1

1 r

r

qr

c2 + c3

cr

P,e+"

12c

4(w,r -p) = -pp2 + M,

c

4

c

1

c

3

c

1

c

1

ВЕСТНИК ИНЖЕНЕРНОЙ ШКОЛЫ ДВФУ. 2015. № 1 (22)

с4 (_ _ 1 _ ф 1 _ 1 _ ^ _2_.

— I wгг-фг +-^г--+ -Г ^вв--¥в\ = + Ч1Б1паъ (2)

с1 ^ г г г£ г )

и гг + —и г +

с

3

2 и, вв 2 + с1г2 с1 г

с2 и , с2°г + с3

сг

с2 + с3

сг

V в= ир + ^ СОБа1 СОБа2,

с2 тг

с1г

1_

V +— V--

,гг ,г 9

г г2 )

ав+с3 -

+ ——3 и гв + с1 ,

с2 + с3,- _™2 , -

и в = vp + СОБ Щ Б1П а2,

с1

1 _

¥. гг +-¥г —т

с2 -

гг г ,г 2

V г г ) с1

+

2 ¥,вв+-

Оп+ с, _

с г

-ф,гв+-

с0 + с^ _ 12с<

с

-фп+-

сг

1 _

-w,в-¥ V г

\

- 2

= -¥Р ,

здесь р - параметр пространства изображения, величины в нижнем регистре г и в определяют частную производную по представленной переменной.

Все виды имеющихся в (2) линейных и угловых перемещений, а также внешнюю нагрузку ^(¿,г, в), появляющуюся из-за динамического воздействия через контактную силу Р(0, предлагается записать в виде степенных рядов со сферическими функциями, основными элементами которых являются полиномы Лежандра [6]:

да да

Х=ЕХХ

п=0 т=0

Г

Р

2п+т 2п+1

V

СОБ — IСОБ (тв).

2Р)

(3)

—г

* = Р(р2) ±±( 4п + 3) Р2п+1 \ СОБ —1 ] Р2п+! | СОБ — IСОБ (тв),

(4)

V п=0 т=0

в данных выражениях Я - радиус плоского круглого элемента, моделирующего мишень; г1 -координата места динамического воздействия ударника на мишень; х - величина, которая может принимать значения основных перемещений ф, щ, w, и, V; данные величины представляются в пространстве изображений, о чем и говорит черта сверху, Р(р) - представляет зависимость силы взаимодействия от параметра пространства изображений.

Для определения коэффициентов рядов (3), (4) воспользуемся их представлением в виде рядов Лорана вблизи исследуемой точки мишени [4, 5]

0 01 12 23 3 — 2

Х 2п+т = Х2п+т 8 + Х2п+т 8 + Х2п+т 8 + Х2п+т 8 , где 8 = р .

(5)

Подставляя ряды (3), (4) с учетом соотношений (5) в систему (2) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях е, получим системы линейных алгебраических уравнений, из которых найдем коэффициенты соотношений (5):

Щ2п+т = Р ( Р ) Р ,ф\п+т = Р (Р)

с1 R3cosа3

с4 а3

- р

, ¥2п+т = Р (Р) Р

В3

\

1+А А

V А

Р (р) ^1СОБа1 с

А3

А

1,

В3

<Р2п+т = Р ( Р ) ВТ Р А1

А

-2 - А+Д2

Р(р)Л,1СОБа1 ^ \ Д3 --1--1-1—Т"

А13 с4 V А3

(6)

щ2п+т =

Р (р)с1 (А3 - А^СОБЩ) - ф2п+т (А13А22 - А23А2)

ш'+1

г2п+т

4

(А3В| - А23В2 ]/(В23А3 - В3 А23 ),

с

с

3

с

1

ВЕСТНИК ИНЖЕНЕРНОЙ ШКОЛЫ ДВФУ. 2015. № 1 (22)

Ф2п+т

г+1 Г2п+т

Р (р) С

в3

Л с а3 ( В23 А - В3 А23 )

1 (Аз3 -А2^1С08аз)-

с4 а3 х '

Г А

А3 А3 - А3 А3 + А-А1 а2 а2 а1 + 3 V А1 )

3 _ ? г3 3 г _ ? г2 1+1 ? г3 г

™2п+т " -Ч ¥2п+т, ™2п+т = Ч ^2п+т - Ч ^2п+т , у

" ¥3п+т

43 Вз2 - а2 В2+В3

V А1 )

...1+2 ¿3-г,1 г2п+тА1 В2

2,, ,г+1

^3,, ,1

с08 а1р (р) ор (т23 с08 а2 - Т[3 81п а2)

2п+т

т3о3 - я3т23

2п+т

= С08 а1 81п а

Р (Р) Яр v3п+тТ2

2 ^

3 ^ . "З+п+т С08 (тв) + С08 а1 С08 а2Р (Р) Яр У2п+тТ3

3 , "2п+т 3 3

О з яз

у:

(и2++ш С0й (тв) + С08 а1 С08 а2Р (р) Бр) ОЗ - (уЗ+++т С08 (тв) + С08 а181п а2Р (р)Ор) О3

2п+т

Т13О| - О13Т23

Выражения (6) вычисляются для конкретной точки пластинки и места удара, т.е. г ив принимают определенные значения.

После обратного преобразования Лапласа можно записать перемещения как функцию времени, двух координат и силы взаимодействия на пластинку:

X(ф,в,т) =

(1 -°в°г ) Ь

т X х

яКс Ег 0 п=0 т=0

ЛК 4п + 3) Р (Т1 )Рзп+1

( (лг^ 008 —1

V V

Р

2п+1

с (Л

С08 -

V V

С08

(тв):

(7)

Х<°п+т°1ГаС (Т-Т1) + Х2и+т (Т-Т1) + ■

12п+т

(Т-Т1)3

X

+ -

2п+т

(Т-Т1)5

120

где Вггае (т-т^) - дельта-функция, от исходного временного интервала.

Данное выражение связывает перемещения с силой динамического воздействия на мишень. Для однозначного определения перемещений, а через них и напряжений в различных точках мишени, необходимо использовать уравнения, связывающие контактную силу и перемещения точек пластинки и граничные условия.

Контактная сила связана с перемещением пластинки в месте взаимодействия известным функциональным уравнением, описывающим движение ударника после начала контакта с мишенью [4, 10]:

1 '

*)=у* - -1Р(ч)(г - ч Н

(8)

где у({)=а(1)+w(i) - полное перемещение ударника в направлении удара, т - масса ударника, ^ -время, отсчитываемое с момента касания ударника и мишени, ^ - переменная интегрирования.

Зависимость о() и Р(?) определяется при решении контактной задачи. Поскольку скорости ударного воздействия невелики, то можно пренебречь инерцией местного смятия материала в месте контакта и использовать соотношение Герца, полученное для статической контактной задачи

а (г ) = ЬР (г)

2/3

(9)

3

х

1/3

где Ь = ((9—2 (к1 + к)2)^вЯ) , к1 =(1 -а^Е1, к = (1 -агав)1Е, а1, Е1 - коэффициент Пуассона

и модуль упругости для ударника.

Решение уравнения (8) находится численно с помощью ЭВМ, исходя из предположения, что на

каждом достаточно малом интервале (п -1) т < I < пт неизвестные величины изменяются линейно

Р (пт) = (Рп - Рп-1 )/т. (10)

После подстановки выражений для прогиба мишени (7) в заданной точке, т.е. при фиксированных значениях координат г, в , и местного смятия (9) в уравнение (8) получим нелинейное интегродифференциальное уравнение относительно контактной силы, которое можно решить, используя итерационную схему Тимошенко [1, 8, 9].

Данная процедура чаще всего используется при представлении неизвестных величин в виде разложений в ряды по специальным функциям: функциям Бесселя, полиномам Лежандра и т.д. Это связано с тем, что уравнение, получаемое из (8) после подстановки зависимостей для перемещений точек мишени в виде разложений в ряды по специальным функциям, является достаточно сложным интегродифференциальным уравнением с суммированием по двум индексам, например, как выражение (7).

Предлагаемый эффективный метод характеризуется составлением интегродифференциального уравнения, описывающего поведение точек насыпи с учетом широкого спектра параметров материалов взаимодействующих тел и самого воздействия, которое на последнем этапе решается численно. Для использования данного метода разработан следующий алгоритм.

1. Определение положения зоны взаимодействия ударника и мишени.

2. Выбирается модель взаимодействия двух тел, в зависимости от их реологических свойств, формы и скорости воздействия [4, 6, 11].

3. Формулируются граничные условия на контуре области контакта [6, 11].

4. Решается волновая задача с точностью до переменных коэффициентов в асимптотических разложениях неизвестных перемещений и усилий.

5. Результат решения волновой задачи в виде отрезков степенных рядов подставляется в уравнения, описывающие контактную задачу. При этом коэффициенты выражения для перемещений представляются в виде соотношений (3), записанных вблизи исследуемой точки (5).

6. Из полученных систем алгебраических уравнений определяются переменные коэффициенты в разложениях для неизвестных перемещений.

7. Определяется характерное время протекания волнового процесса или процесса взаимодействия тел.

8. Определяется минимальный временной интервал для линеаризации неизвестных величин в итоговых определяющих выражениях. Предполагается, что на каждом элементарном интервале (п-1)т </<пт неизвестные функции ведут себя линейно.

Приведённая численная процедура используется для определения точек встречи прямых и отраженных от границ мишени упругих волн и может быть реализована в математических пакетах или при помощи использования языков программирования.

В рамках данного исследования был усовершенствован программный комплекс [3], реализующий математическую модель распространения волн в упругой среде. Комплекс предоставляет большие вычислительные возможности и в то же время позволяет пользователю проследить влияние того или иного параметра на конечные величины на каждом этапе моделирования и расчета, что отличает его от существующих коммерческих приложений. Также перед разработкой программы была создана функциональная модель в нотации ГОEF0 (рис. 1) для более точного понимания функций, которые должен выполнять программный комплекс.

Рис. 1. Функциональная структура программного комплекса в нотации IDEF0

Впоследствии вышеприведённые схемы и диаграммы легли в основу реализации программного комплекса, написанного в среде разработки Delphi 7.

Для нормальной работы приложения необходимо наличие величин Ег, Ев, <ег, ев, р, h, изучаемого временного отрезка t, параметра гашения волны при отражении (0</<1). На рис. 2 изображена зависимость изменения координаты перемещения волны от времени со следующими начальными данными: Ег = 50 ГПа, Ев = 30 ГПа, ег = 0.3, <в = 0.3, р = 1600 кг/м , h = 0.4 м, t = 0.25 с, / = 0.5.

Рис. 2.Зависимость изменения координаты перемещения волны от времени

на интервале в 0.025 с

На рис. 2 изображены точки пересечения прямых и отражённых волн, достаточно чётко видно, что прямые и отражённые волны взаимодействуют в разных точках пластинки от 0 до к. Даже при таком небольшом временном интервале определить точки пересечения вручную представляется достаточно сложным. Поэтому было принято решение вынести точки пересечения на отдельную диаграмму (рис. 3 и 4). На рис. 3 изображены точки, в которых пересеклись прямые и отражённые волны. Зелёным цветом обозначены точки, где волны взаимно гасили характеристики друг друга, красным - где, наоборот, происходило усиление волновых характеристик. Рисунок 4 показывает только те точки пересечения прямых и отражённых волн, где произошло усиление.

Рис. 3. Точки пересечения прямых и отражённых волн (однонаправленные -красные и разнонаправленные - зелёные)

Рис. 4. Точки пересечения прямых и отражённых волн, в которых происходило усиление волновых характеристик за счёт их сонаправленности

Дальнейший анализ данных показывает, что наибольшее число «усиливающихся» взаимодействий находится ровно посередине пластинки. Самая большая суммарная интенсивность зафиксирована после истечения 0.2184 секунды с начала численного эксперимента (рис. 5). На рис. 5 показан увеличенный фрагмент графика зависимости изменения координаты перемещения волны от времени. Кружком выделена точка, в которой наблюдалась наибольшая совокупная интенсивность волны.

Рис. 5. Увеличенный фрагмент графика зависимости изменения координаты перемещения волны от времени на интервале 0.025 с

Если после воздействия по окончании определённого отрезка времени наблюдаются точки, в которых встречаются разнонаправленные волны, то необходимо укреплять плиту от расслаивания материала, и, напротив, если наблюдаются точки, в которых волны двигаются со направленно, т.е. усиливают напряжение, то необходимо укреплять полотно от деформации сжатия. В обоих случаях средством усиление может служить дополнительное армирование протяженными элементами из материалов с высокими абсолютными величинами механических характеристик. Эксперименты показывают, что шаг армирования должен быть не меньше 25% от высоты объекта. Помимо существенного усиления напряжения в середине объекта, наблюдались локальные максимумы на расстоянии У и % высоты объекта.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бирюков Д.Г., Кадомцев И.Г. Упругопластический неосесимметричный удар параболического тела по сферической оболочке // ПМТФ. 2005. Т. 46, № 1. С. 181-186.

2. Егорычев О.А., Егорычев О.О., Прохорова Т.В. Собственные колебания упругой пластинки, шарнирно опертой по контуру, находящейся внутри деформируемой среды // ПГС. 2012. № 12. С. 20-21.

3. Залетдинов А.В. Программная реализация математической модели распространения волн, образующихся от ударного воздействия, в изотропной пластинке. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2011610885 от 20.01.2011. М.: Федеральная служба по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам, 2011.

4. Локтев А.А. Динамический контакт ударника и упругой ортотропной пластинки при наличии распространяющихся термоупругих волн // Прикладная математика и механика. 2008. Т. 72, вып. 4. С. 652-658.

5. Abrate S. Modelling of impact on composite structures. Compos Struct. 2001(51):129-138.

6. Achenbach J.D., Reddy D.P. Note on wave propagation in linear viscoelastic media. Z. Angew. Math. Phys. 1967(18): 141-144.

7. Agostinacchio M., Ciampa D., Diomedi M., Olita S. Parametrical analysis of the railways dynamic response at high speed moving loads. J. of Modern Transportation. 2013(21): 169-181.

8. Loktev A.A. Dynamic contact of a spherical indenter and a prestressed orthotopic Uflyand-Mindlin plate. Acta Mech. 2011(222)1-2:17-25.

9. Loktev A.A. Non-elastic models of interaction of an impactor and an Uflyand-Mindlin Plate. Intern. J. of Engineering Science. 2012(50);1:46-55.

10. Olsson R., Donadon M.V., Falzon B.G. Delamination threshold load for dynamic impact on plates. Internat. J. of Solids and Structures. 2006(43):3124-3141.

11. Thomas T.Y. Plastic Flow and Fracture in Solids. N.Y.; L., Acad. Press, 1961.

12. Tiberkak R., Bachene M., Rechak S., Necib B. Damage prediction in composite plates subjected to low velocity impact. Compos Struct. 2008(83):73-82.

THIS ARTICLE IN ENGLISH SEE NEXT PAGE

Mechanics of Deformable Solids

Loktev A. A., Zaletdinov A.V., Gridasova E.A., Zapol'nova E.V.

ALEXEY A. LOKTEV, Doctor of Physical-Mathematical Sciences, Professor, Dean of the Faculty of Informatization, Economics and Management, Head of the Department of Structural Mechanics, Machinery and Equipment, Moscow State University of Railway Engineering, Moscow. 2 Minaevsky Lane, Moscow, Russia, 127055, e-mail: [email protected]

ARTUR V. ZALETDINOV, Candidate of Technics, Consultant, LLC "Accenture", Moscow. 2 Paveletskaya Squre, bild. 2, Moscow, Russia, 115054, e-mail: [email protected] EKATERINA A. GRIDASOVA, Candidate of Technics, Associate Professor of Welding Engineering, School of Engineering, Far Eastern Federal University, Vladivostok. 8 Sukhanova St., Vladivostok, Russia, 690050, e-mail: [email protected]

EVGENIYA V. ZAPOL'NOVA, Junior Engineer SAPR, Codest International SRL, Moscow. 7 Soimonovskii Ave, Moscow, Russia, 119034, e-mail: [email protected]

The algorithm to determine the spots to reinforce the flat element of orthotropic composite material when shock is applied

The paper presents a modified method of approach to the dynamic effects of two rigid bodies in the context of the wave theory of impact. The approach is based on undertaking a joint task: that of the impact of two bodies as an individual solution of the contact task and the wave one as well as their subsequent combination through the use of boundary conditions on the contour of the loading area. The devised technique may be applied when dealing with a wide range of tasks concerning wave generation and transmission in rigid bodies after a dynamic impact of a tool having various mechanical and geometrical properties. One of the tasks is that of determining the spots to reinforce the elements made of composite materials by high strength threads or fittings. In the present paper, it is proposed to determine the spots of the eventual reinforcement of anisotropic composite as points of interaction of elastic waves reflecting from the upper and lower boundaries of the flat element. Wave surfaces appear in the target due to the impact upon its rigid body, whose rheological properties cover the directly affected contact zone. The advance of wave surfaces having terminal velocity has been made possible owing to the wave equation of the Uflyand - Mindlin - Reissner model taking into consideration both transverse shift deformation and rotary inertia of cross-sections. The equations determining the execution behaviour of the points of the flat element enable one to suggest that the latter's deformation outside the area of the interaction of the impact tool and the target may be caused also by the advance of elastic waves with terminal velocities.

The paper presents also a model for considering wave surfaces in colliding bodies, an algorithm of considering various rheological properties of interactive bodies based on the analytical method which represents unknowns like decompositions in space and time, starting and boundary conditions, and numerical methods to solve finite integro-differential equations. The need for a more accurate notion of the behaviour of structures under loading makes mathematical models of processes and objects more complicated. Relevant is also to derive a rather simple computational model and algorithms to compute the tasks of impact interaction with regard to the advancement of surface waves having terminal velocities as well as their actuialisation in the form of a software application of the algorithm to determine the points of interaction of direct and reflected waves. The developed computational algorithm and software system have been tested, which allowed determining the points of location of the reinforcing filaments or rods in the planar composite in order to provide the necessary stiffness of the whole structure.

Key words: dynamic impact, non-classical plate, elastic waves, orthotropic properties, reflected waves, Legendre polynomials, computational algorithm, software package.

REFERENCES

1. Birukov D.G., Kadomtsev I.G. Elasto-plastic non-axisymmetric impact of a parabolic body upon a spherical shell. Prikl. Mekh. Tekh. Fiz. 2005(46)1:181-186 (in Russ.). [Birjukov D.G., Kadomcev I.G. Uprugoplasticheskij neosesimmetrichnyj udar parabolicheskogo tela po sfericheskoj obolochke // PMTF. 2005. T. 46, № 1. S. 181-186].

2. Egorychev O.A., Egorychev O.O., Prokhorova T.V. Natural vibrations of an elastic plate that is joint-supported on the contour inside of the deformable medium. Ind Civil Eng ("PGS"), 2012;12:20-21. (in Russ.). [Egorychev O.A., Egorychev O.O., Prohorova T.V. Sobstvennye kolebanija uprugoj plastinki, sharnirno opertoj po konturu, nahodjashhejsja vnutri deformiruemoj sredy // PGS. 2012. № 12. S. 20-21].

3. Zaletdinov A.V. Software implementation of the mathematical model of the propagation of waves generated from impact, in an isotropic plate. Certificate of state registration of the computer program No. 2011610885 from 20.01.2011. M., Russian Federal service for intellectual property, patents and trademarks, 2011. (in Russ.). [Zaletdinov A.V. Programmnaja realizacija matematicheskoj modeli rasprostranenija voln, obrazujushhihsja ot udarnogo vozdejstvija, v izotropnoj plastinke. Svidetel'stvo o gosudarstvennoj registracii programmy dlja JeVM № 2011610885 ot 20.01.2011. M.: Federal'naja sluzhba po intellektual'noj sobstvennosti, patentam i tovarnym znakam, 2011].

4. Loktev A.A. Dynamic contact of an intender and an elastic orthotropic plate in the presence of propagating thermoelastic waves. Prikl. Mat. Mekh. 2008(72)4:652-658 (in Russ.). [Loktev A.A. Dinamicheskij kontakt udarnika i uprugoj ortotropnoj plastinki pri nalichii rasprostranjajushhihsja termouprugih voln // Prikladnaja matematika i mehanika. 2008. T. 72, vyp. 4. S. 652-658].

5. Abrate S. Modelling of impact on composite structures. Compos Struct. 2001(51):129-138.

6. Achenbach J.D., Reddy D.P. Note on wave propagation in linear viscoelastic media. Z. Angew. Math. Phys. 1967(18): 141-144.

7. Agostinacchio M., Ciampa D., Diomedi M., Olita S. Parametrical analysis of the railways dynamic response at high speed moving loads. J. of Modern Transportation. 2013(21): 169-181.

8. Loktev A.A. Dynamic contact of a spherical indenter and a prestressed orthotropic Uflyand-Mindlin plate. Acta Mech. 2011(222)1-2:17-25.

9. Loktev A.A. Non-elastic models of interaction of an impactor and an Uflyand-Mindlin Plate. Intern. J. of Engineering Science. 2012(50)1:46-55.

10. Olsson R., Donadon M.V., Falzon B.G. Delamination threshold load for dynamic impact on plates. Internat. J. of Solids and Structures. 2006(43):3124-3141.

11. Thomas T.Y. Plastic Flow and Fracture in Solids. N.Y.; L., Acad. Press, 1961.

12. Tiberkak R., Bachene M., Rechak S., Necib B. Damage prediction in composite plates subjected to low velocity impact. Compos Struct. 2008(83):73-82.