Моделирование работы краскоподающего механизма трафаретного печатного устройства с ракелем валкового типа Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК: 655.227

С. Н. ЛИТУНОВ

Омский государственный технический университет

МОДЕЛИРОВАНИЕ РАБОТЫ КРАСКОПОДАЮЩЕГО МЕХАНИЗМА ТРАФАРЕТНОГО ПЕЧАТНОГО УСТРОЙСТВА С РАКЕЛЕМ ВАЛКОВОГО ТИПА_

Приводится математическая модель течения жидкости в краскоподающем механизме разрабатываемого трафаретного печатного устройства. Рассматривается течение идеальной жидкости. Модель течения основывается на теории функции комплексного переменного и теории конформных отображений. Получена функция тока и построены линии тока для некоторых параметров течения, позволяющие качественно оценить изучаемое течение.

Одним из важнейших элементов предложенного устройства [ 1 ] является механизм регулирования подачи краски на валик-ракель. Основная задача такого механизма (рис. 1), в отличие от подобных устройств, применяемых в машинах офсетной и высокой печати, заключается в том, что на поверхности валик-ракеля имеется упругая покрышка, выполненная из эластомеров (фотополимера, резины и т.п.).

Гидродинамическое давление, возникающее в зоне течения при работе механизма, воздействует на упругую оболочку, деформируя её. Поскольку жесткость эластомеров значительно ниже жесткости стального ракеля, то деформация упругой оболочки может достигать недопустимо больших значений. Поэтому для проектирования таких устройств необходимо разработать математическую модель, позволяющую моделировать движение жидкости в зоне течения.

Для моделирования таких течений традиционно используются два подхода: применение схемы движения вязкой жидкости с решением уравнения На-вье-Стокса и построение моделей на основе схемы движения идеальной жидкости с решением уравнения Эйлера. Не останавливаясь на известных недостатках первого подхода, отметим основные преимущества второго. Во-первых, более простое решение из-за отсутствия «вязкого» слагаемого. Это позволяет получить аналитические выражения, определяющие основные параметры течения. Во-вторых, возможность получения картины обтекания тел поступательным потоком, что дает возможность качественной оценки полученного решения. В-третьих, схожесть течения вязкой и невязкой жидкости вне тонкого пограничного слоя. Сказанное позволяет сделать вывод в пользу модели течения невязкой жидкости.

Для построения модели рассмотрим течение краски в пространстве между плоским ракелем и цилиндром. В данном случае цилиндр имеет принудительное вращение. Под его действием краска, прилипая к движущейся поверхности, затягивается в пространство между валиком и плоским ракелем. Поскольку в ячейках на поверхности упругой покрышки из зоны течения выносится малое количест-

Рис. 1. Схематичное изображение движения краски в механизме регулирования подачи краски: 1 - валик-ракель; 2 - металлический ракель; 3 - линии тока краски; 4 - циркуляция краски; 5 - упругая покрышка; 6 ~ слой краски

во краски, то основная часть краски поворачивает и движется в обратном направлении. При этом образуется циркуляционное движение краски, обозначенное на рис. 1 цифрой 4. Плоский ракель можно считать абсолютно жестким. При работе такого устройства под действием гидродинамического давления происходит отжатие не плоского ракеля, как в классическом механизме, а упругой покрышки валик-ракеля. Наиболее важными при разработке рекомендаций по проектированию таких устройств являются параметры механизма, обеспечивающие снятие излишков краски с поверхности упругой покрышки и надежное заполнение краской ячеек. При этом необходимо определить давление в пространстве, образованном плоским ракелем, и поверхностью валик-ракеля. Сделаем следующие замечания.

1. Красочный ящик имеет значительную протяженность вдоль оси цилиндра. По этой причине можно рассматривать течение, которое происходит между двумя сечениями, перпендикулярными оси цилиндра и расположенными на малом расстоянии друг от друга.

2. Основную часть рабочего хода данное устройство движется с постоянной скоростью, что позволяет считать движение установившимся.

3. Диапазон скоростей, используемый плоской трафаретной печатью, позволяет считать жидкость несжимаемой.

Использование теории движения невязкой жидкости позволяет применить для создания математической модели теорию функции комплексного переменного и конформные отображения. Для этого воспользуемся возможностью моделирования сложных потоков путем сложения элементарных потоков. Так как моделируется течение идеальной жидкости, в которой невозможно вихреобразование, для выполнения условия потенциальности течения устремим радиус вихря к нулю, а скорость вращения — к бесконечности, с тем чтобы интенсивность вихря оставалась постоянной. В этом случае вихрь переходит в вихревую нить, которая индуцирует потенциальное течение везде, кроме своего центра, Далее везде под словом «вихрь» понимается вихревая нить, если не оговорено иное.

Расчетная схема потока показана на рис. 2, на котором отмечены элементарные потоки, принимаемые во внимание при моделировании течения. Знаки в выражениях комплексных потенциалов приняты в соответствии с традиционной системой — положительным считается вращение вихря против часовой стрелки. Индексация принята в соответствии с индексом комплексного потенциала [3].

1. Поступательный поток жидкости, имеющий на бесконечности скорость и направленный к горизонтали под углом а. Комплексный потенциал такого течения имеет вид:

(1)

V е'аг-,2

(2)

3. Цилиндр радиуса г3 с циркуляцией, с помощью которого будет моделироваться валик-ракель. Он расположен в точке ъъ. Его комплексный потенциал имеет вид:

. 1

Ш3(г) =

(3)

где г3, С3 — радиус и интенсивность данного элементарного течения соответственно; г3 — координата цилиндра на комплексной плоскости.

4. Вихрь, индуцируемый вращением валик-ракеля (обозначен на рис. 1 цифрой 4). Комплексный потенциал такого потока имеет вид:

\У4(г) = -1С31п(г-г4

(4)

где ъ — комплексная переменная.

2. Цилиндр радиуса т2 с циркуляцией, с помощью которого будет моделироваться плоский ракель. Этот цилиндр для простоты поместим в начало координат комплексной плоскости г. Комплексный потенциал такого течения имеет вид:

где С3, гА

ния вихря. В реальном устройстве цилиндр индуцирует вихрь в красочном ящике. Этот вихрь вращается с некоторым опозданием относительно цилиндра за счет трения в жидкости. Отсюда следует условие |С4| < |СЗ|.

5. Система вихрей, отраженных от цилиндра, расположенного в точке гг комплексной плоскости в результате действия вихря С4, расположенного в точке г4. С учетом того, что точка гг расположена в начале координат, согласно теореме об окружности [2], имеем:

г 2

Ш5(2) = 1С41п(-^--г4). (5)

г

Система отраженных вихрей состоит из двух вихрей, один из которых находится в точке, сопряженной с данной относительно окружности ъ = |г2|, а другой располагается в центре этой окружности.

6. Система вихрей, отраженных от цилиндра, расположенного в точке г3 комплексной плоскости в результате действия вихря С4

-(г4 -г3)).

(6)

где г2 — радиус цилиндра; С2 — интенсивность вихря, помещенного в центр цилиндра и создающего вокруг него циркуляцию.

Таким образом, комплексный потенциал течения, показанного на рис. 2, имеет вид:

1=1

(7)

(-02 -0.1+0])

62

Рис. 2. Расчетная схема для разработки модели течения

В связи с замечанием, сделанным относительно системы отраженных вихрей, в центрах цилиндров образуется вихрь, состоящий из суммы трех вихрей (-С2 -С4 + СЗ) (рис.2).

Для получения течения, отвечающего схеме устройства, показанного на рис. 1, необходимо конформно отобразить вспомогательную область на комплексной плоскости г на область течения, расположенную в комплексной плоскости Т.. Для этого воспользуемся выражением для обратного преобразования Жуковского, которое имеет вид:

(8)

где: с2 = а2 —Ь2; а, Ь — соответственно большой и малый диаметр эллипса.

Знак плюс перед корнем в выражении (8) показывает, что осуществляется отображение внешности круга на внешность эллипса. Тогда в параметрической форме комплексный потенциал течения представляется в виде системы уравнений (7) и (8).

Сделаем следующее замечание. Согласно [2, с. 350, 351] вихревая нить при конформном отображении переходит в вихревую нить, которая имеет в центре бесконечную скорость вращения. Это создает особенность в поле течения. Для того чтобы избежать особенностей, воспользуемся тем, что при вращении вязкой жидкости образуется область, которая вращается без перемешивания, то есть как твердое тело. Радиус такой области определяется выражением

R; :

2Р

, где i— номер вихря; G.— интенсивность

1-того вихря; р — плотность жидкости; Ротм — давление на границе вихря, в данном случае атмосферное давление, В этом случае вихревая нить носит название «кольцевой вихрь». При конформном отображении кольцевой вихрь отображается в эллиптический вихрь. При этом необходимо учитывать то, что в нашем случае кольцевые вихри имеют разные радиусы, так как имеют разные интенсивности. Исключив из системы (7), (8) параметр г, проведя несложные, но громоздкие преобразования и сохраняя принятую индексацию, получим выражение для комплексного потенциала течения в плоскости Ъ\

<ol:(Z)= £to,(Z), 1=1

(9)

где — комплексные потенциалы течений, отображенных на комплексную область Ъ. Разделив полученные выражения на действительные и мнимые части, получим выражение для функции тока искомого течения:

Vt(Z)=ZviMZ),

i=l

(10)

М = ^<х2-у4-с2) + (2ху)2 , Р:

г, , 2ху © = аГС19-2—4^2,

где п — степень корня, который извлекается из комплексного числа (в данном случае п = 2); к — номер периода комплексного числа.

Для цилиндра с циркуляцией, расположенного в точке Ъг, функция тока имеет вид:

_ 2 cosa(y + Msin (3) - sin a(x + M cos p)

W, Z — v Го -= « •

(x + Mcosp) +(y + Msin0)

(x + Mcospp+ + (y + MsinP)2 '

Для цилиндра с циркуляцией, расположенного в точке , функция тока имеет вид:

т = у г2ссда((у-уз) + КмпР)-8П1а((х-Хз) + Нсо8Р) 3 ((Х-Хз) + Кс05р)2+((у-уз) + Яз1пЭ)2

- 1п^((х-х3) + Ксо5Р)2+((у-у3) + Иэтр)2

Это выражение аналогично предыдущему, но отличается от него наличием слагаемого, определяющего сдвиг центра цилиндра относительно начала координат.

Для вихря, условно индуцируемого цилиндром, расположенным в точке Ту функция тока имеет вид:

4»<(Z) = -G4 In

r2(x + RcosP)2

- x4)2 +

(x + R cos p)2 + (у + R sin P)2

+ (_[2<y + RsinP>2__+ y4)2

(x + RcosP)2 + (y + R sin p)2

Для системы отраженных вихрей, полученных отражением вихря расположенного в точке Ъ^ от цилиндра, расположенного в точке Т2, выражение функции тока имеет вид:

4/s(Z) = G„ln

1

г?(х + RcosP)2 ,

2 4 / +

(х + RcosP)2 + (у + Rsin Р) +(

r2(y + Rsinp)2 .

(x + RcosP)2 +(y + RsinP)2

Для системы отраженных вихрей, полученных отражением вихря С4, расположенного в точке Ъ^ от цилиндра, расположенного в точке , выражение функции тока имеет вид:

Vo(Z) = G<ln

гз (Iх ~ хз) + Rcosp)

((х -х3) +RcosP) +((у -у3) + RsinP)'

--(х4 -ХЛ))2

+(

r,2»y-y3) + RsmP)2

((х - х3) + RcosP) +((у - уз) + RsinP)

7 + 1У4-У:.))

где ViH — функции тока для элементарных потоков, отображенных на комплексную (Z) плоскость Z.

Для сплошного равномерного потока отображенная функция тока имеет вид:

y,(Z) = -sina +RsinP ,

где a — угол, под которым сплошной поток направлен к горизонтальной оси;

0 2лк

В этом выражении присутствует дополнительное слагаемое у3, которое определяет сдвиг цилиндра относительно начала координат.

Для расчета линий тока в плоскости 7. согласно полученным выражениям разработана программа «Линии тока» мя пакета МаШСас!. Для примера на рис. 3 показаны линии тока обтекания тонкой пластинки с циркуляцией. Эволюция линий тока в зависимости от интенсивности циркуляции вокруг валик-ракеля (цилиндра, расположенного в точке Ъ^, показана на рис. 4.

Рис. 3. Пример линий тока обтекания пластинки с циркуляцией, расположенной в начале координат, сплошным равномерным потоком, направленным под углом 25 0 к горизонтали

С =0,8 Г.,; V =2,5

Рис. 5. С2=5; Сэ=2; С=0,8 Г3; У.,=2,5

Рис. 6. С=5; С0=3; в =0,8 Г3; У..=2,5

Введение циркуляции вокруг пластинки в выражение для комплексного потенциала вызвано тем, что на концах пластинки скорость течения равна бесконечности, что не соответствует реальному потоку. Однако если задать циркуляцию вокруг пластинки, можно добиться того, что на одном конце пластинки скорость будет конечной и равной скорости сплошного потока на бесконечности (V.,).

Рис. 7. Линии тока в окрестности конца пластинки, расположенного около цилиндра: 1 - цилиндр; 2 - пластинка;

3 - вихрь, условно индуцируемый цилиндром

На рис. 6 видна область, в которой происходит движение жидкости без перемешивания (обозначено стрелкой).

На рис. 7 показан увеличенный фрагмент течения в окрестности конца пластинки, расположенного ближе к цилиндру (рис. 7). Стрелками обозначены направления линий тока.

Индуцируемый вихрь (обозначен цифрой 3 на рис. 7) имеет область, не заполненную жидкостью. Это явление можно наблюдать в любом краскопода-ющем механизме подобного типа, например в офсетных печатных машинах. На непроницаемых границах (цилиндр 1, пластинка 2) функция тока равна нулю (исходя из граничных условий), поэтому линия тока совпадает с границей. В точке А происходит сход потока. Согласно постулату Жуковского-Чаплыгина существует циркуляция, при которой скорость потока в точке схода А имеет конечную величину. Однако решение задачи определения такой циркуляции затруднено тем, что в потоке присутствуют цилиндр с циркуляцией и индуцируемый вихрь.

Полученная модель позволяет рассчитать линии тока в зависимости от циркуляции вокруг валик-ракеля, расстояния между валик-ракелем и пластинкой, а также в зависимости от их взаимного расположения. Картина линий тока позволяет произвести качественную оценку изучаемого течения.

Основным преимуществом полученной модели является аналитическое выражение для функции тока, которое связано со скоростью условием Коши-

Римана и = —,у = -—. Проведя дифференцирова-су дх

ние, можно получить выражения для проекции и на ось X и для проекции V на ось У вектора скорости. Далее подстановкой в уравнение Эйлера получается распределение давления в зоне течения. Следующим шагом в развитии математической модели изучаемого течения является определение скоростей потока и распределения давления в зоне течения, что позволит перейти к стадии конструкторской проработки проектирования ракельных устройств валкового типа.

Библиографический список

1. Литунов С.Н. Красочный аппарат трафаретной печати. Уведомление о поступлении и регистрации заявки. Регистр. N9 2006107089 от 06.03.2006 г.

2. Л.М. Милн-Томсон. Теоретическая гидродинамика. М.: Изд-во «Мир», 1964. С.178

3. Лавреньтев М.А., Шабат Б.В. Проблемы гидродинамики и их математические модели. Изд. 2-е. Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», М., 1977, 408 с.

4.Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа: Учеб. для вузов. - 7-е изд., испр. - М.: «Дрофа», 2003. - 804 с. ISBN 57107-6327-6.

ЛИТУНОВ Сергей Николаевич, кандидат технических наук, доцент кафедры «Дизайн, реклама и технология полиграфического производства».

Статья поступила в редакцию 20.11.06 г. © Литунов С. Н.

УДК 516 621 87 в с ЩЕРБАКОВ

А. М. МИНИТАЕВА

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия

Омский государственный технический университет

АВТОМАТИЗАЦИЯ ПРОЦЕССА СОСТАВЛЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ГИДРОПРИВОДОВ_

В данной статье предложена методика описания математических моделей гидроприводов в виде гидравлических многополюсников (ГМП), что позволяет формализовать и автоматизировать процесс составления математических моделей гидроприводов.

В настоящее время практически все землеройно-транспортные машины (ЗТМ) оснащены гидроприводом рабочего органа (ГП РО). Несмотря на многообразие схем гидроприводов, количество гидроэлементов, входящих в них, не так велико: гидронасос, гидромотор, гидроцилиндр, гидродроссель, гидролиния, гидрораспределитель, гидроклапан (обратный, предохранительный, редукционный) и др. [1,2, 3,4, 5).

Теоретические исследования ГП базируются на математических моделях. Процесс составления математических моделей ГП достаточно трудоемкий. В связи с этим как у нас в стране, так и за рубежом ведутся работы, направленные на формализацию процесса составления математических моделей ГП с целью дальнейшей автоматизации этого процесса.

В данной работе гидроэлементы и ГП в целом представлены в виде гидравлических многополюсников (ГМП), что позволяет формализовать и автоматизировать процесс составления математических моделей ГП.

При составлении математических моделей были приняты следующие допущения:

Гидронасос с регулируемой подачей

Схема гидронасоса представлена на рис. 1 а, где 0„ — подача насоса; — рабочий объем насоса; -максимальный рабочий объем насоса; е„ = Ч,/Чмм _ параметр регулирования; шм — угловая скорость вала насоса; Мн — крутящий момент на валу насоса; Ри Р2 — давления соответственно на входе и выходе; Поч, чм„ ~ КПД насоса соответственно объемный и гидромеханический.

Принятые допущения позволяют принять математическую модель гидронасоса регулируемой подачи

U(MH,G>„)

а

F(e„)

X(P2,Q„)

i>

Рис. I. Гидронасос регулируемой подачи: а) ~ расчетная схема; б) ~ гидравлический многополюсник (ГМП)

M„,ü>„

F(e„)

Х(Мм,<Вм)

б

Рис. 2. Гидромотор с регулируемым рабочим объемом: а) - расчетная схема; б) - гидравлический многополюсник (ГМП)

P2 = Pi + MH-T|M„/(qHM-eH); Он = Чнм-ен-шн-т1он-

(1)

(2)

Гидромотор с регулируемым рабочим объемом

На рис. 2 а представлена схема гидромотора, где <Э — расход гидромотора; — рабочий объем гидромотора; дчч — максимальный рабочий объем гидромотора; ем = Чм/с[чм — параметр регулирования; соч| — угловая скорость вала гидромотора; Лм — момент инерции вращающихся масс, приведенный к