Моделирование течения краски в ракельном механизме валкового типа трафаретных машин Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 655.227

С. Н. ЛИТУНОВ

Омский государственный технический университет

МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕЧЕНИЯ КРАСКИ В РАКЕЛЬНОМ МЕХАНИЗМЕ ВАЛКОВОГО ТИПА

ТРАФАРЕТНЫХ МАШИН _

Рассмотрен вопрос моделирования течения краски в пространстве между валик-ракелем и трафаретной печатной формой. Для моделирования принята теория комплексных переменных. С помощью получ< иной математической модели течения построены линии тока изучаемого течения. Проведен анализ полученных изображений. Данная модель будет использована для расчета давления в зоне течения с целью определения параметров ракельного механизма валкового типа.

Применение ракелей валкового типа в трафаретной печати наряду с преимуществами имеют недостатки, среди которых можно отметить следующие. Вследствие гидродинамического давления краска проходит через печатную форму до контакта между валиком и печатной формой, что ведет к браку. Важной является задача определения параметров печатного устройства с использованием валик-ракёля, а также границ его применимости.

Из опыта эксплуатации валковых систем известно, что краска впереди валика движется в основном по направлению его движения и только в области торцев наблюдается незначительное движение в стороны (рис. 1).

Из этого можно сделать вывод о малости составляющей скорости, параллельной оси валика. Это позволяет перейти к рассмотрению двумерной модели течения краски.

На рис. 2 показана схема течения жидкости в сечении перпендикулярной оси валика. На рисунке реальная краска, обладающая вязкостью, увлекается

Рис. 1. Схема движения краски перед валиком: 1 - валик-ракель; 2 - краска; 3 - направление движения краски

Рис. 2. Схема течения краски в поперечном сечении валика и рабочего слоя: 1 - валик-ракель; 2 - краска; 3 - печатная форма; 4,5 - циркуляционные потоки

в пространство между валиком и печатной формой. При этом имеет место относительно небольшой расход краски через печатную форму, а основная часть краски движется в обратном направлении. Это приводит к образованию в рабочем слое двух циркуляционных потоков.

Для моделирования процесса течения краски воспользуемся теорией движения идеальной среды. В рамках идеальной жидкости вихреобразование невозможно вследствие отсутствия внутреннего трения [ 1 ]. Однако модель идеальной жидкости хорошо отражает свойства потока с вихрями, заранее помещенными в поток. Будем рассматривать установившееся движение. Для описания плоских течений удобны плоские векторы, которые допускают хорошую алгс-браизацию [2]. Это позволяет применить для описанного случая теорию конформных отображений.

Пусть и=и(х,у), v=v(x,y) — проекции вектора скорости на координатные оси ОХ и OY. Считаем жидкость несжимаемой {divV = — + — = 0), а течение

дх ду

, tlr ди dv потенциальным (rotv=---= 0). Тогда существу дх

вует функция <р(х,у) такая, что

дф дх

■и, — = V

ду

(1)

которая называется потенциалом скоростей. Введем функцию у/(х,у) сопряженную с функцией <р(х,у). Тогда

и =

дц/

W

v = —

дц/

аГ

(2)

Зависимости (2) называются условиями Коши-Римана. Обе функции ц/к р являются составляющими аналитической функции комплексного переменного, которая называется комплексным потенци-

dW , ,

алом, \М(г)=<р+1ч/, а ее производная -= у(г) =

ёг

= и-IV называется комплексной скоростью.

Комплексный потенциал пары вихрей имеет вид

г -г1

где — комплексный потенциал течения;

I — мнимая единица;

Г, — интенсивность вихря;

г, — точки расположения центров вихрей (индексами обозначены номера пар вихрей).

Интенсивность вихря Г1 - 1/2о)!2 в нашем случае является величиной постоянной. Здесь а> — окружная скорость вращения вихря; г—радиус вихря. Для создания потенциального потока в присутствии вихря принимаем вместо вихря вихревую нить. Для этого радиус вихря устремим к нулю, а его окружную скорость — к бесконечности с тем, чтобы интенсивность вихря оставалась постоянной. При этом вихревая нить индуцирует вокруг себя потенциальный поток [3, с. 334].

Для описания сложных потенциальных движений используем возможность получения комплексного потенциала течения путем сложения комплексных потенциалов элементарных движений [4]. Все вихри расположены в первом и четвертом квадранте комплексной плоскости, поэтому координаты центров вихрей, расположенных в четвертом квадранте, являются сопряженными комплексными числами центров вихрей, расположенных в первом квадранте.

Отметим, что в одной паре интенсивности вихрей имеют разные знаки. Вследствие этого между вихрями возникает линия, на которой скорости, индуцируемые вихрями, равны, т.е. отсутствует расход жидкости через эту линию. В нашем случае Интенсивности вихрей одинаковы, поэтому эта линия является прямой. Данная линия моделирует плоскость, по которой катится валик.

Очевидно, что распределение скоростей и давления симметрично относительно горизонтальной оси, поэтому в дальнейшем будем рассматривать полученную картину только в первом квадранте комплексной плоскости. Для получения выражений проекций скорости необходимо разложить полученные выражения на мнимую и действительную части и взять соответствующие производные.

Здесь и и V — проекции скоростей на оси ОХ и ОУ соответственно. Направление вращения вихрей и расположение относительно горизонтальной оси учтено знаками в соответствующих выражениях. Выражения для остальных вихрей имеют подобный вид.

Для моделирования изучаемого течения сделаем следующее замечание. В рассматриваемом случае валик является элементом, индуцирующим перемещение жидкости, в том числе и вихреобразование. В реальной жидкости существует проскальзывание между единичными слоями потока. Следствием этого является некоторое отставание вращения индуцируемых вихрей от вращения валика.

При изучении движения идеальной жидкости, в отсутствие внутреннего трения, вихри характеризуются интенсивностью Г= 1/2от2, в которую входит окружная скорость а>. В индуцируемом вихре она должна быть меньше, чем в вихре индуцирующем. Будем считать, что в рассматриваемом случае имеется одна пара вихрей (на рис. 3 вихрь с интенсивностью Г,), которая условно индуцирует другие две пары вихрей Г2 и Г3. Исходя из наличия внутреннего трения в реальной жидкости, принимаем следующее

горизонтальными стрелками обозначен сплошной равномерный поток

условие для движения идеальной жидкости:

|Г,|>|Гг| + |Г3| (9)

Для создания модели, наиболее полно отвечающей реальному потоку, предложено ввести в расчетную схему круговой цилиндр, моделирующий валик, расположенный в той же точках, что и вихрь с координатами х,, у,. Для удовлетворения требования существования линии, через которую отсутствует расход жидкости, необходимо ввести пару цилиндров, расположенных симметрично относительно горизонтальной оси. Для моделирования «затягивания» жидкости валиком в пространство между валиком и плоскостью придадим цилиндру циркуляцию. При этом следует иметь в виду то, что обтекание цилиндра с циркуляцией происходит без вращения в том смысле, что вихрь этого течения равен нулю [1]. Это позволяет воспользоваться математическим аппаратом для описания потенциальных течений. В результате действия пары цилиндров с циркуляцией скорости направлены вдоль оси симметрии, следовательно, через эту линию отсутствует расход жидкости,

Введение круговых цилиндров в существующий поток влечет за собой появление отраженных вихрей. Согласно [3], отраженный вихрь состоит из двух вихрей:

— из вихря, имеющего интенсивность, противоположную интенсивности индуцирующего вихря, и расположенного в точке, сопряженной относительно окружности;

— из вихря, имеющего интенсивность, совпадающую с интенсивностью индуцирующего вихря и расположенного в центре окружности.

Из этого следует, что все вихри в центре цилиндров взаимно уничтожаются и остаются только расположенные в сопряженных точках. Расчетная схема с введенными цилиндрами показана на рис. 3, где отраженные вихри условно показаны пунктирными линиями внутри цилиндра. Из схемы можно выделить следующие элементарные течения.

1. Обтекание сплошным потоком цилиндра с циркуляцией. Комплексный потенциал для верхнего и нижнего цилиндров имеет вид соответственно:

- г'Г, )

Г

х-г. г

БвацишшмфД Еекгфовшсафй

№ JB- ш » ip

» « • • С (правовым порт -Г-^ЧЁ—--,-1 • « 40 ■ С отравил« виф М4

«040. 30- О во- "HÍu

( J 20 49 6 -, = 0 А G( = -<$9 ^__ Я ы> ш 0.5-2-r-Vh Б

Рис. 4. Линии тока для пары цилиндров с циркуляцией в сплошном равномерном потоке в присутствии двух пар вихрей без учета и с учетом отраженных вихрей

где г, - координата цилиндра; г - радиус цилиндра;

V. — скорость сплошного потока на бесконечности.

2. Две пары вихрей с интенсивностью Г2и Г3 расположенных в сопряженных точках г2, г2 и г3, г3. Их комплексный потенциал имеет вид:

z-z,

3. Система отраженных вихрей:

Ww(z) = ir2ln(—--zj,

z-z,

W2n(z) = ir2In(-^-z2) z-z,

r2

Wnt(z) = ir2ln(--z2),

z-z,

Wm(z) = ir2ln(-^-z2) z-z,

Wlu(z) = ir3ln(—--z3),

z-z,

z-z

Wm(zj = ir3Jn(-—~z3)

z-z,

, ._ . . r2

,oi_;r i«/ '321 (

W32](z) = ir3ln(--zj,

z-z,

W322(z) = ir2ln(-—-z3j

z-z,

где W2U(zj — комплексный потенциал вихря, отраженного от второго верхнего вихря в верхнем цилиндре; Wb2(z) — комплексный потенциал вихря, отраженного от второго верхнего вихря в нижнем цилиндре; Wm(z) — комплексный потенциал вихря, отраженного от второго нижнего вихря в верхнем цилиндре; WJ22(z) — комплексный потенциал вихря, отраженного от второго нижнего вихря в нижнем цилиндре. Для третьей пары вихрей индексация имеет тот же смысл.

Суммарный комплексный потенциал в общем виде выглядит так:

Wr (z) = Wu(z) + Wn(z) + W3l(z) + W2u(z) + + W2l2(z) + W^ (z) + W2n(z)+Wm(z) + + W3l2(z) + W32l(z) + W322(z)

Проведя несложные преобразования, разделив суммарный комплексный потенциал изучаемого течения на действительную и мнимую части, согласно (2), получаем функцию тока у, и по ней строим линии тока.

На рис. 4 А-Е показаны линии тока для сплошного потока, пары вихрей и пары цилиндров с циркуляцией при изменении интенсивности вихрей, построенных с помощью программы MathCad [5]. Данный рисунок позволяет сделать качественную оценку поведения линий тока при изменении параметров течения и оценить влияние отраженных вихрей на картину течения. В качестве варьируемого параметра при расчете линий тока принято соотношение G, =2 г Vb, где С, - интенсивность первого вихря, г - радиус

Рис. 5. Распределение линий тока для С=2-гЛТ>: 1 - цилиндр; 2,3 - условно индуцируемые вихри; 4 - линии тока, замкнутые вокруг вихря; - точка разделения потока, идущего по линии симметрии; 6 - точка схождения потока, идущего по линии симметрии;

7 - линия с нулевым расходом жидкости

цилиндра; УЪ — скорость равномерного потока на бесконечности. Интенсивности второй и третьей пары вихрей приняты с учетом соотношения (3) и равняются 02 = 0,50,; С3 = 0,4С,. Расположение цилиндра и двух пар вихрей приблизительно соответствует реальным условиям при качении валика по плоской поверхности в слое краски (цилиндр расположен на комплексной плоскости в точке л, =9+¡5, второй вихрь в точке г2 = 3+ ¿3, третий вихрь в точке г3 = = 3+/1. Для сравнения линии тока показаны для течения без учета (верхний рисунок) и с учетом (нижний рисунок) отраженных вихрей. Каждая пара рисунков получена при одних и тех же значениях интен-сивностей вихрей.

Анализ полученных линий тока показывает, что введение в расчетную схему отраженных вихрей значительно изменяет картину течения. Отраженные вихри увеличивают скорость движения жидкости в пространстве между центрами вихрей и поверхностью цилиндра. Это соответствует реальной картине течения, согласно которой скорость вязкой жидкости возрастает в том же пространстве. На рис. 4 видно, что увеличение интенсивности вихрей приводит к искривлению линий тока в сторону, противоположную движению сплошного потока, причем, если учитывать отраженные вихри, этот процесс происходит интенсивнее.

Рассмотрим более подробно картину течения, показанную на рис. 4 В (с учетом отраженных вихрей). Эта картина в увеличеном виде прказана на рис. 5, где видно, что вокруг вихря 2 образуются замкнутые линии тока и жидкость, которая движется внутри этих линий, не участвует в дальнейшем движении. Эти согласуется с хорошо известным фактом образования вихрей при движении вязкой жидкости в таких условиях. Вихрь, обозначенный 3, способствует появлению точки 5 разделения потока. На участке (аб) линия тока жидкости совпадает с границей цилиндра. В точке (б) происходит отрыв линии тока от поверхности цилиндра.

Построенная математическая модель течения идеальной жидкости позволит перейти к следующему этапу — расчету поля давления в зоне течения с

целью определения границ применимости ракельного устройства валкового типа.

Выводы

1. Разработанная расчетная схема для определения параметров ракельного механизма валкового типа позволяет рассчитать линии тока и поле скоростей для различных параметров течения и провести их качественный анализ.

2. Анализ картины линий тока показал, что учет отраженных вихрей вносит значительные изменения в течение. В частности, замкнутые линии тока вокруг вихрей появляются при меньших значении скорости сплошного потока на бесконечности (параметр УЪ).

2. С помощью разработанной модели имеется возможность рассчитать давление идеальной жидкости в зоне течения с целью определения границ применимости ракельного устройства валкового типа.

3. На основании предложенной модели предполагается разработать семейство ракельных механизмов валкового типа, имеющих преимущества перед классическими ракельными механизмами.

Библиографический список

1. ГолвдцтикМ.А. Вихревые потоки. — Новосибирск: Наука, 1981. С. 10.

2. Проблемы гидродинамики и их математические модели. Лав-реньтев М.А., Шабат Б.В. Изд. 2-е, Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», М„ 1977,408с.

3. Л.М. Милн-Томсон. Теоретическая гидродинамика, М,: Иэд-во«Мир», 1964. С. 178.

4. В.И.Лаврик, В.Н.Савенков. Справочник по конформным отображениям. Изд-во «Наукова думка», Киев, 1970. С. 15.

5. Дьяконов В. МаН1Сас1 2001: специальный справочник. -СПб.: Питер, 2002. - 832с. Ил. 15ВЫ5-318-00362-1

ЛИТУНОВ Сергей Николаевич, кандидат технических наук, доцент кафедры «Дизайн, реклама и технология полиграфического производства».

Поступила в редакцию 29.03.06. © Литунов С. Н.