Моделирование течения краски в красочных аппаратах печатных машин Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 681.62

А. В. ТИТОВ

Омский государственный технический университет

МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕЧЕНИЯ КРАСКИ В КРАСОЧНЫХ АППАРАТАХ ПЕЧАТНЫХ МАШИН

Статья посвящена моделированию течения краски в аппарате печатной машины. Модель строится на основе теории движения идеальной жидкости. Для построения модели используется теория конформных отображений. Получены картины линий тока рассматриваемого течения, осуществлен их анализ. Направлением дальнейшего исследования является расчет на основе полученных результатов распределения давления. Ключевые слова: красочный аппарат, линии тока, идеальная жидкость.

Офсетная печать занимает одно из лидирующих положений на рынке полиграфических услуг. Одним из приоритетных направлений в данном способе печати является разработка красочных аппаратов, позволяющих повысить привлекательность офсетной печати при производстве продукции малыми тиражами. Эта цель достигается за счет ускорения времени реакции красочного аппарата, а также времени выхода на рабочий режим. Одним из таких решений стал красочный аппарат, разработанный в О.мГТУ на кафедре «ДР и ТПП», в котором дозирование краски осуществляется ячейками, выполненными на упругом материале, закрепленном на краскоподающем цилиндре. Отличительной особенностью предложенной конструкции перед традиционными красочными аппаратами с дукторно-ножевой системой дозирования является непрерывная подача краски.

Схематичное изображение красочного аппарата показано на рис. 1.

На поверхности цилиндра 1 закреплена упругая оболочка 2. Дозирование краски осуществляется углублениями (ячейки), выполненными на поверхности упругой оболочки. Краска 3 заполняет ячейки, излишек её счищается ракельным ножом 4. Далее краска передается на накатной валик, который наносит её на печатную форму. Вращение цилиндра индуцирует процесс перемещения краски в красоч-

Рис. I.Схематичное изображение красочного аппарата: I - краскоподающиЛ цилиндр, 2 - упругая оболочка с ячейками, 3 - линии тока краски, •! - ракель,

5 - центр циркуляционного потока

ном ящике. Так как расход краски незначительный, то она образует в красочном ящике циркуляционный поток, центр которого схематично изображен как 5. Процесс вращения краски приводит к возникновению гидродинамического давления (ГДД). Поддействием ГДД происходит отжатие ракеля (показано пунктирной линией), что приводит к изменению количества подаваемой краски. Чрезмерное увеличение прижима ракеля к оболочке приводит к преждевременному износу последней, поэтому необходимо знать величину деформации ракеля для её компенсации в процессе работы. Основным параметром, определяющим величину деформации ракельного ножа, является ГДД. Поэтому на начальном этапе необходимо разработать методику, позволяющую определять величину ГДД, необходи-муюдля расчета величины деформации ракеля.

Для расчета ГДД существует два основных подхода, основанных на теориях движения вязкой и идеальной жидкостей (1|. Движение вязкой жидкости описывается уравнением Навье-Стокса вида:

Я17 _ _ | _ о _

— + (УУ)У=,-±8г^Р+Г + ^^. (П

д/ р

где V - проекции скорости, Р - давление, р - плотность жидкости, V - кинематическая вязкость. Так как полиграфические краски представляют собой довольно вязкие жидкости, такой подход на первый взгляд кажется наиболее обоснованным. Однако аналитическое решение уравнения Навье-Стокса может быть получено только для ограниченного класса задач. в основном одномерных, поэтому широкое распространение получили численные способы решения. Результатом численного решения является матрица чисел, в которой скорость в каждой точке связана сдавлением. При этом качественный анализ полученного результата затруднителен, так как картина распределения скоростей не является наглядной. Для качественного анализа больше подходит картина линий тока, для получения которой необходимо нахождение функции тока, связанной со скоростью дифференциальной зависимостью. Получение функции тока из численного решения представляет собой задачу, требующую отдельного рассмотрения. Одной из особенностей численною решения является необходимость проверки адекватности полученного результата. В отсутствии гарантированно верной) решения трудно сделать выводы о достоверности полученных результатов.

X

>

Рис. 2. Картина лнннЛ тока сплошного рапномерного потока, напраиленного под углом к осп ОХ

Л - аИ0, Б - ав 15

Другим подходом для моделирования является использование теории движения идеальной (невязкой) жидкости. В реальной жидкости происходит её прилипание к движущейся границе и скорость жидкости на ней равна скорости границы, однако при незначительном удалении скорость жидкости резко возрастает и становится равной скорости потока. Идеальная жидкость свободно скользит вдоль границ обтекаемых тел. При исключении из рассмотрения этого тонкого слоя на поверхности цилиндра картины течения будут отличаться незначительно. Данное обстоятельство, а также более простой математический аппарат позволяет использован, теорию движения идеальной жидкости для описания исследуемого течения.

Для построения модели сделаем ряд допущений:

- краска является несжимаемой жидкостью;

- течение жидкости является стационарным и рассматривается в плоскости, перпендикулярной оси цилиндра;

- цилиндр и ракель являются абсолюпю жесткими;

- количество краски остается постоянным;

- зазор между цилиндром и ракелем постоянный.

Допущение об отсутствии вязкости приводит к

тому, что уравнение (1) после преобразований может быть приведено к более простому виду, получившему название интеграла Бернулли |2| вида:

где: и - потенциал массовых сил, V = >/иг + V'1. А -некоторая постоянная величина. В общем случае для идеальной несжимаемой жидкости величина А постоянна на линии тока. Таким образом, задача по расчету давления сводится к нахождению распределения скоростей по потоку.

При исключении из рассмотрения пограничного слоя можно применить к потоку условие потенциальности, которое выражается в отсутствии завихренности. В случае рассмотрения плоского случая движения невязкой жидкости условие потенциальности приводит к тому, что движение жидкости характеризуется двумя функциями [3): ф - потенциалом скорости и ц/ — функцией тока, которые связаны со скоростью зависимостями вида:

<1х с/у

и? = сМ_ с^ = _<М

ск Ау с1у с/х

Уравнение (3) позволяет применить для описания теорию функции комплексной переменной, которая составляет основу гидродинамики плоских безвихревых течений. Согласно данной теории, поток характеризуется комплексным потенциалом а>(г) =<р + |ЧУ, производная которого представляет собой комплексную скорость (3). Таким образом, задача по моделированию потока на начальном этапе сводится к отысканиютакого комплексного потенциала, картина линий тока которого соответствует поставленной задаче.

Одним из распространенных способов моделирования является моделирование течения в бесконечном потоке жидкости. Рассмотрим комплексный потенциал: <ц(г) = V -2-е~1а. Выделив мнимую часть, получим функцию тока Ч'Ддг,^) ■ V (усоьа-х-йпа), линии тока которой показаны на рис. 2. Данную картину можно трактовать как сплошной, бесконечный поток жидкости, набегающий слева направо и имеющий скорость на бесконечности, равную V . Представление жидкости как бесконечного потока является искусственным приемом и удобной абстракцией для построения модели. В бесконечном потоке необходимо создать область, соответствующую поставленной задаче и проводить анализ уже внутри этой облас ти. Для моделирования обтекания цилиндра воспользуемся свойством суперпозиции потоков (3|, согласно которому, алгебраически складывая комплексные потенциалы известных элементарных потоков, можно получать более сложные течения. При сложении комплексных потенциалов потенциал скорости и функция тока будут складываться алгебраически, а скорости в соответствующих точках потока -геометрически. Рассмотрим поток, состоящий из суммы сплошного потока и диполя, комплексный

ет1а • И*

потенциал которого имеет вид: г^(г) = Гв-----------.

Выделив мнимую часть, получим функцию тока:

:ТРЭД ИИ! И МАШИНОМАІКИС ОЫС«ИЙ НАУЧНЫЙ МСТНИС * 1 ОТ). 3009

Рис. 3. Линии тока обтекании цилиндра сплошным потоком:

I - направление течения жидкости, 2 - линия тока в форме окружности, 3, 4 - точка расхождения

и схождения потока, V - I, а в О, Я = 2

оо

Рис. 5. Обтекание пластинки сплошным потоком п присутствии вихря:

I - вихревая нить, 2 - пластинка, *аС—1:2)

Ч*.у)-Уп*гхАпа-?™а ■

X + у

При сложении комплексных потенциаловЛИПОЛЯ и сплошного потока образовалось новое течение, картина линий тока которого показана на рис. 3.

Равномерный поток набегает слева направо со скоростью V . Дойдя до точки 3, поток разделяется на три части, две из которых описывают в верхней и нижней полуплоскости дуги окружности радиуса И. Третья часть потока не меняет своего направления и движется по направлению к точке 4, где все части потока сходятся. Таким образом, в начале координат располагается центр линии тока в виде окружности радиуса Я. При удалении от контура окружнос-

Рис. 4. Обтекание цилиндра сплошным потоком с прямыми и отраженными вихрями:

I - линии тока сплошного потока, 2 - центр диполя и отраженного в центре вихря, 3 - центр прямого вихря;

4 - центр отраженного относительно окружности вихря;

5 - линия тока в виде окружности; Н а 2, С,® I. К * 1.1,(3.3)

Рис. б. Суммарное течение при параметрах: I - цилиндр, 2 - вихрь, 3 - пластинка. И=5, а=2,5, С(и!

ти линии тока плавно изгибаются, что соответствует затуханию возмущений, вызванных введением в поток окружности. Так как на практике течения внутри цилиндра не происходит, в дальнейшем оно не будет рассматриваться.

Вращение цилиндра в процессе работы устройства индуцирует перемещение массы краски в красочном ящике, в результате которого возникает цнр-куляцнонный поток с центром в точке 5 (рис. I), Вихреобразование в идеальной жидкости невозможно ввиду отсутствия внутреннего трения, однако хорошо согласуются с практикой вихри, заранее помещенные в поток (4].

Для того, чтобы сохранить условие потенциальности. устремим радиус вихря к нолю, а скорость к

бесконечности, при этом циркуляция будет сохранять свое значение. При таком приеме вихрь стягивается в вихревую нить, и условие аналитичности нарушается только в точке-центре вихревой нити. Исключение данной точки из рассмотрения восстанавливает аналитичность.

Комплексный потенциал и функция тока вихревой нити с циркуляцией С и центром в точке /., имеет вид

0,(<)«б,'Мп(х-г|)*

* С, • 1п ^(х-х^ +(у-у,)‘ '

Введение в поток вихревой нити нарушает условие суперпозиции потока, искажая границы цилиндра. Для восстановления формы окружности необходимо ввести в поток систему компенсирующих вихрей, один из которых находится в центре цилиндра с направлением вращения, совпадающим с направлением вращения индуцирующего вихря. Второй вихрь расположен в точке, отраженной от центра прямого вихря относительно цилиндра и направлением вращения противоположным направлению вращения прямого вихря. Согласно общепринятой индексации, положительное значение циркуляции соответствует вращению вихря против часовой стрелки. Далее будем называть вихрь, индуцированный вращением цилиндра — прямым, а систему компенсирующих вихрей - отраженными вихрями.

Комплексный потенциал и функция тока системы отраженных вихрей имеет вид:

ЧМ*.,) ♦(* -777)"'

где г\ — сопряженная относительно /, точка комплексной плоскости, I* - радиус цилиндра. На рис. -1 показано обтекание цилиндра сплошным потоком в присутствии вихря и системой отраженных вихрей.

Сплошной поток 1 набегает слева направо со скоростью V , линия тока 5 имеет форму окружности радиуса Я. Дойдя до окружности, поток плавно огибает её и уходит в бесконечность. В точке 3 располагается центр вихревой нити, поддействием циркуляции которой соседние слои затягиваются по направлению вращения. Отрицательное значение циркуляции соответствует вращению жидкости против часовой стрелки (показано пунктирной линией). Для восстановления искажения окружности, возникающей вследствие введения в поток вихревой нити, в точку 4 помещен отраженный относительно окружности вихрь, а в точку 2 - вихрь, центр которот совмещен с центром окружности. Вследствие большой густоты линий тока в центре окружности положение вихря в центре плохо заметно.

Моделирование обтекания с использованием только принципа суперпозиции потоков возможно только тел с формой окружности. Для получения других геометрических форм необходимо преобразовать уже существующий поток. Такое преобразование получило название конформного отображения. Для моделирования обтекания ракельного ножа преобразуем плоскость течения, используя обратное преобразование Жуковского вида:

где с = >/а - Ь-’, а и Ь — большая и малая полуоси эллипса соответственно. Такое преобразование отображает точки внешние по отношению к окружности и точки внешние по отношению к эллипсу. Если ПОЛОЖИЛ, одну из полуосей эллипса равной нолю, то он примет форму тонкой пластинки длиной 2а. Для осуществления преобразования необходимо решить совместно уравнение (4) с уравнением, состоящим из суммы комплексных потенциалов элементарных потоков. Решая совместно систему, получим новые комплексные потенциалы для сплошного потока, диполя, прямого и системы отраженных вихрей соответственно:

а>,М = -{г + №-с‘)-У.-е-м, а>,м = V. - 7г!-с2),

С

<а,(г) = -С, -I ■ 1п^(г + №-<?)-г, <у4(г) = 0’, • / • 1п

2 г,

Проведя несложные преобразования и выделив мнимую часть, получим функцию тока потока:

— БШ сс • (л- — АТ, + Л*- сое©)* + С050Г + Г-Бт©)

2

Ввиду того, что полученные выражения ОДНОТИПНЫ. функции тока остальных потоков не будут приведены. На рис. 5 показано обтекание бесконечным потоком пластинки длиной 2а = 6. бесконечным потоком. направленным под углом а = 30 к оси ОХ в присутствие вихря интенсивности С, =0,8. Стрелками показано направление движения жидкости.

Сплошной поток набегает слева направо. Дойдя до левой кромки пластинки, поток изгибается, движется вдоль неё и срывается с другого конца. Циркуляция вихря I имеет положительный знак и соответствует вращению против часовой стрелки. Вследствие влияния на поток циркуляционного потока, создаваемого вихрем, линии тока, расположенные возле центра вращения, изгибаются, что соответствует вовлеканию в процесс вращения близлежащих слоев жидкости.

Для моделирования цилиндра, индуцирующего процесс вращения жидкости, поместим диполь в такую точку гг комплексной плоскости, чтобы выполнялись следующие условия:

- точка 24 является центром линии тока в виде окружности радиуса

- расстояние от окружности до кромки ракельного ножа равно с1;

- угол между касательной, проведенной в точке предполагаемого касания ракеля и окружности, и ракелем равнялся (I.

Введение в поток еще одного диполя сопряжено с необходимостью введения в поток также системы отраженных относительно этой окружности вихрей. Комплексный потенциал диполя с центром в точке г., моделирующий окружность радиуса Я2 имеет вид:

м

гТуЧ1

Рис. 7. Эволюция линий тока потока при различных параметрах течения:

I - профиль цилиндра, 2 - пластинка, 3 - центр вихревой нити, 4 - линия тока, ограничивающая количество краски

<у5(г) =

2-К

г + у/г3-с2 -2т,

Комплексный потенциал отраженного в центре вихря:

со.

,<*)«-Оі-МгЯ(2 + ,/2,-с,)-ї2).

Комплексный потенциал отраженного относительно окружности иихря аналогичен предыдущему и отличается лишь положением центра на комплексной плоскости.

Для моделирования вращения цилиндра с центром и точке -л, совместим центр окружности с вихревой нитью и зададим циркуляцию С2, соответствующую вращению по часовой стрелке. При этом для сохранения профиля пластинки требуется введение в поток системы отраженных относительно вихря в центре окружности вихрей. Таким образом, суммарный поток включает в себя следующие элементарные потоки:

- сплошной равномерный поток, направленный под углом к оси ОХ;

- диполь в начале координат, моделирующий ракельное лезвие;

- диполь и точке г2. моделирующий цилиндр;

- прямой вихрь с центром в точке /., и циркуляцией, соответствующей вращению против часовой стрелки;

- система отраженных от пластинки и от цилиндра вихрей, вызванная внесением в поток вихря с центром в точке г,;

- вихрь в центре окружности, моделирующий вращение цилиндра;

- система отраженных от пластинки вихрей, вызванная внесением в поток вихря в точке 7^.

На рис. 6 показано суммарное течение, полученное при сложении вышеуказанных потоков.

Данная картина представляет собой обтекание цилиндра сплошным бесконечным потоком, набегающим слева направо со скоростью V . В потоке расположены: пластинка параллельная оси Ох с центром в начале координат, цилиндр радиуса Я с центром в точке г, и пара точечных вихрей, один из которых совмещен с центром цилиндра с отрицательным значением циркуляции, и вихрь в точке 7-2 с положительным значением циркуляции. Поток, дойдя до цилиндра, плавно огибает его и поддействием циркуляции цилиндра малая часть затягивается в зазор с пластинкой. Основная часть потока движется вдоль пластинки. Поддействием циркуляции вихря 2 поток в изгибается, но. пройдя зону воздействия, восстанавливает свою траекторию.

Картина обтекания, показанная на рис. 6, в значительной степени отражает процесс течения, однако в реальном устройстве краска занимает только определенную часть пространства красочного ящика. Для моделирования свободной поверхности краски поместим центр вихревой нити в точку, где предположительно находится центр циркуляционного потока при ограниченном количестве краски. Реальное устройство имеет незначительный расход краски, и для его моделирования направим сплошной поток по биссектрисе угла атаки ракеля к цилиндру в направлении зазора.

Увеличенный фрагмент течения при различных параметрах показан на рис. 7.

На рис. 7 А, Б показано обтекание цилиндра I и пластинки 2, угол атаки которой составляет 45°. На

рис. 7 А центр вихревой 3 нити был помещен в точку 7.?( -3,5; 1) своего предполагаемого нахождения при большом количестве краски в красочном ящике. При значении циркуляции вихревой нити С, = 3.7 на картине появилась замкнутая линия тока 4. Так как скорость вдоль линии тока направлена по касательной, то её составляющая в направлении нормали отсутствует, а значит, отсутствует и расход жидкости. Таким образом, можно принять линию тока 4 как границу свободной поверхности краски. Замкнутые линии тока внутри рассматриваемой области свидетельствуют о циркуляции краски, что хорошо согласуется с практическими наблюдениями. Па рис. 7Б утл атаки ракеля к цилиндру остается без изменений, а вихрь расположен в точке з^( - 3,5; 1), что соответствует малому количеству краски в красочном ящике. На рис. 7 В - Г показаны картины течения при угле атаки ракеля 20° на рис. 7В линия тока 4 моделирует свободную поверхность краски при её малом количестве в красочном ящике. Такая линия тока была получена при значении положения центра вихревой нити2^1 — 4; 0,4) и значении циркуляции С, = 1,7. На рис. 7Г показана картина линий тока при большом количестве краски при параметрах течения гД - 2,5; 0,8) и С, = 3,7. Можно отметить, ч то при увеличении количества краски внутри рассматриваемых областей увеличивается количество замкнутых линий тока, вдоль которых движется жидкость. Это обстоятельство хорошо согласуется с фактом, что в красочном ящике имеется область, которая вращается как твердое тело, т.е. без перемешивания, и при увеличении количества краски размеры этой области также увеличиваются.

Выводы

1. Анализ подходов к исследованию течения жидкости показал, что для описания течения вязкой краски в красочном аппарате возможно использование теории движения идеальной жидкости.

2. С помощью конформных отображений, основанных на теории функции комплексной переменной, получено выражение, с помощью которого мы имеем поле скоростей и линии тока изучаемого течения.

3. Картины линий тока показали, что при определенных режимах течения возникают замкнутые линии тока, моделирующие циркуляционные потоки краски, а также её свободную поверхность.

Библиографический список

1. Андерсов Д., Таннехилл Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен. Т.1. - М. : Мир, 1900 - 384 с

2. Л.М. Милн-Томсон. Теоретическая гидродинамика. - М. : Изд-во пМир», 1964. - 178 с.

3. Емцев П.Т., Техническая гидромеханика. — М. : Машиностроение. 1978. - 483 с.: илл.

4. Александром В.Л, Техническая гидромеханика. -М.. Л.: ОГИЗ, 1946. - 432 с.: илл.

ТИТОВ Андрей Владимирович, аспирант кафедры «Дизайн, реклама и технология полиграфического производства».

Дат« поступления статьи н редакцию: 10.03.2009 г.

Ф Титов А.В.

УДКМ1.4Н.Э В. И. КУЗНЕЦОВ

Омский государственный технический университет

РАБОЧИЙ ПРОЦЕСС ТУРБОРЕАКТИВНОГО ДВИГАТЕЛЯ

Предложено уравнение, позволяющее замкнуть математическую модель, описывающую рабочий процесс турбореактивного двигателя. Показано, что замкнутая математическая модель позволяет рассчитывать все характеристики турбореактивного двигателя и определять оптимальные законы регулирования.

Ключевые слова: рабочий процесс, ТРДД. замкнутая математическая модель.

Система уравнений, описывающая рабочий процесс турбореактивного двигателя (ТРД), не замкнута (11. Из математики известно, что незамкнутая система уравнений имеет множество решений. Для ТРД этими частными из множества решений являются математические модели с замыканием их различными законами регулирования.

Основной задачей данной работы является вывод уравнения, которое позволит замкнуть систему уравнений, описывающую рабочий процесс ТРД, без при-

влечения различных законов регулирования.

В ТРД. как и в любой другой машине, имеется затраченная и полезная работы, а также различные потерн. В ТРД имеются гидравлические потери на трение, местные сопротивления и тепловые потери с выходной скоростью.

В общем виде совокупность этих работ и потерь можно описать уравнением

Ц-Ц-+ Ц, (1)