CC BY
115. Варгафтик Н.Б. Справочник по теплофизическим свойствам газов и жидкостей. М.: Физматгиз. 1963. 708 с.; Vargaftik N.B. Reference book on heat-physical properties of gases and liquids. М.: Fizmatgiz. 1963. 708 p. (in Rusian)
6. Термические константы веществ: Справочник в 10 томах // Под ред. В.П. Глушко. Ч. II. М. 1971. Вып. IV. 432 с.; Thermal constants of substances: reference book // Ed.V.P. Glushko. Part П. M. 1971. V. IV. 432 p. (in Russian).
7. Гаркушин И.К., Люстрицкая Д.В., Агафонов И.А. Анализ, прогнозирование и экспериментальное исследование рядов двухкомпонентных систем с участием н-декана и н-ундекана. Екатеринбург: УрО РАН. 2008. 118 с.;
Garkushin I.K., Lyustritskaya D.V., Agafonov I.A.
Analys, forecasting and an experimental research of rows of two-component systems with participation of the n-decane and n-undecane: Yekaterinburg: The Ural branch of the Russian Academy of Sciences. 2008. 118 p. (in Russian).
8. Гаркушин И.К., Дорохина Е.В., Колядо А.В. // Бутле-ровские сообщения. 2009. Т. 16. № 3. С. 41 - 46; Garkushin I.K., Dorokhina E.V., Kolyado A.V. // Butlerov Communication. 2009. V. 16. N 3. P. 41 - 46 (in Russian).
Кафедра общей и неорганической химии
9. Мощенский Ю.В. // Приборы и техника эксперимента. 2003. № 6. С. 143;
Moshchenskiy Yu.V. // Pribory I tekhnika experimenta. 2003. N 6. P. 143 (in Russian).
10. Мощенский Ю.В. Микрокалориметр ДСК: Метод. указ. к лаб. работе. Самара: Самар. гос. техн. ун-т. 2004. 19 с.; Moshchenskiy Yu.V. Microcalorimeter DSK: Methodical instructions for laboratory work. Samara: SamGTU. 2004. 19 p. (in Russian).
11. Федотов С.В., Мощенский Ю.В. Интерфейсное программное обеспечение DSC Tool: Руководство пользователя. Самара: СамГТУ. 2004. 23 с.;
Fedotov S.V., Moshchenskiy Yu.V. Interface software DSC Tool: User's guide. Samara: SamGTU. 2004. 23 p. (in Russian).
12. Чарыков А.К. Математическая обработка результатов химического анализа. Л.: Химия. 1984. 168 с.; Charykov A.K. Mathematical processing results of the chemical analysis. L.: Khimiya. 1984. 168 p. (in Russian).
13. Аносов В.Я., Погодин С.А Основные начала физико-химического анализа. М.- Л.: АН СССР. 1947. 876 с.; Anosov V.Ya., Pogodin S.A. The basic principles of the physical and chemical analysis. М.- L: AN USSR. 1947. 876 p. (in Russian).
УДК 621.891: 621.026
Л.В. Королев, Д.О. Бытев
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ СЛУЧАЙНОГО ПЕРЕНОСА В УСЛОВИЯХ ЛОКАЛЬНОЙ
НЕРАВНОВЕСНОСТИ
(Ярославский государственный технический университет) e-mail: korolevlv@mail.ru
Для описания процессов случайного переноса с учетом эффектов локальной неравновесности предлагается модель непрерывных случайных скачков. Исследовано влияние формы распределений, задающих временные и пространственные характеристики единичного скачка, на макроскопическое поведение процесса переноса.
Ключевые слова: случайный перенос, неравновесность, диффузия
В настоящее время возрос интерес к изучению процессов переноса массы, энергии, импульса или их аналогов в локально-неравновесных средах. Он связан, в частности, с решением задач интенсификации технологических процессов, в которых применяются материалы со сложной структурой - полимеры, жидкие кристаллы, капиллярно-пористые, сыпучие и другие дисперсные системы. В таких системах время релаксации к локальному равновесию т может быть сравнимо с характерным временем самого процесса t0, а потенциалы переноса (концентрация, температура и т. д.) могут существенно меняться как в масштабе
всей системы Ь, так и в характерном масштабе ее микроструктуры I [1 - 2]. В этих условиях локальной неравновесности становится неприменима классическая теория процессов переноса, основанная на дифференциальных уравнениях параболического типа с бесконечно большой скоростью распространения возмущений от мгновенного точечного источника, полученных в предположениях локального термодинамического равновесия и сплошной среды.
Для описания локально-неравновесных систем могут быть использованы различные термодинамические, кинетические, феноменологиче-
ские методы [1 - 4]. В рамках рациональной термодинамики рассмотрены среды с внутренними степенями свободы, среды скоростного типа и среды с памятью. Расширенная необратимая термодинамика и некоторые другие варианты локально-неравновесных теорий основаны на предположении, что удельная энтропия является одновременно функцией равновесных экстенсивных параметров и их потоков - «скоростных переменных», описывающих инерционные свойства системы при установлении локального равновесия. Уравнения переноса в локально-неравновесных средах могут быть выведены также из уравнения Больцмана, молекулярно-кинетическими методами, при помощи теории дискретных случайных блужданий. Полученные с помощью перечисленных подходов линейные уравнения переноса позволяют описывать разнообразные явления, характерные для локально-неравновесных сред, важнейшими из которых представляются эффекты волнового транспорта, связанные с конечной скоростью распространения возмущений, и эффекты памяти [2 - 3]. Учет конечной скорости распространения возмущений приводит к появлению в уравнениях переноса второй и более высоких производных по времени, а эффекты памяти описываются с помощью интегральных операторов с медленно убывающими степенными ядрами (дробных производных) [4].
В настоящей работе предлагается математическая модель непрерывных случайных блужданий, позволяющая в рамках общего подхода описать указанные эффекты в их взаимодействии и установить связь между параметрами, характеризующими локально-неравновесную систему на микроскопическом уровне, и коэффициентами уравнений, определяющих ее макроскопическое поведение.
Рассмотрим совокупность невзаимодействующих частиц в одномерном пространстве, совершающих независимые случайные перемещения в некоторой среде под влиянием внешних воздействий. Распределение частиц по оси х в момент времени 1 определяется плотностью вероятности / (х, 1). Считая отдельные случайные скачки независимыми, легко получить уравнение, определяющее «макроскопическую» плотность /(х, 1), формирующуюся в результате многих случайных скачков, через «микроскопические» плотности, характеризующие отдельные скачки. Пусть G(x, 1, х', 1') - плотность вероятности того, что частица, начав скачок в точке х' в момент 1', завершит его в точке х в момент 1. Считая среду однородной, полагаем G(x, г, х', 1') = G(x-x', 1-1') и, в соот-
ветствии с обычными определениями теории вероятностей, записываем ее в виде:
О(х - х', t - ^) = g(х - X 11 - ^ )Т(1 -^), (1) где Дг) - плотность вероятности длительности скачка г, £(х|г) - плотность вероятности перемещения на расстояние х от исходной точки при условии, что длительность перемещения равна г. При этом положение частицы в течение незавершенного скачка определяется плотностью:
K(х - X, t -t) = g (x - X 11 -1')
f t-t' \ ) 1 - j T(z)dz
. (2)
Для сокращения записи формул введем интегральные операторы О и К, действующие на произвольную функцию ф(х, 1):
Gp=j dx1 jdt' G(x - X, t -1 ')ф(Х, t'),
-да t
да t
Kp=j dx' j dt' K(x - X, t -1 ')p(X, t').
(3)
Тогда «макроскопическую» плотность f (x, t) можно представить в виде бесконечного разложения по числу скачков:
f = K~+KG~+KG Gf0 + KG GG Gf0+..., (4)
где f0 = f0 (x)S(t), f0 (x) - начальное распределение частиц. Суммирование ряда (4) приводит к интегральному уравнению случайного переноса:
f = KKf0 + KGK-f, (5)
Где Kоператор, обратный оператору K. В этом легко убедиться, решая уравнение (5) с помощью итерационной процедуры, в которой в качестве нулевого приближения берется первое слагаемое из правой части (5), а первое и последующие приближения получаются подстановкой предыдущего приближения в правую часть (5) на место f Описанная процедура дает формальное решение уравнения (5) в виде бесконечного ряда (4). Применяя к уравнению (5) преобразование Лапласа по времени и преобразование Фурье по координате, получаем его решение в виде:
K(k, p) f0(k)
f (k, p) = -
1 - G(k, p)
(6)
где образы всех функций определяются по формуле:
ф(к, р) =|dx^ ехр(-гкх - р1)ф(х, 1). (7)
-ю 0
Выражение для функции / (х, 1) может быть получено по формуле обращения:
ю гю
/(х, 1) = |dк/(1л) |dp/(1т)ехр(1кх + р()/(к, р). (8)
0
СО
СО
Таким образом, выражения (6), (8) с учетом (1), (2) и (7) определяют в квадратурах эволюцию пространственного распределения частиц / (х, 0 в процессе случайного блуждания при любых заданных «микроскопических» распределениях Дг) и £(х|г). Рассмотрим частные случаи решения (6) для некоторых конкретных видов этих распределений.
Как показывает анализ, важнейшим фактором, определяющим динамику рассматриваем ого процесса, является характер поведения распределения длительности скачка Дг) на бесконечности. Предположим, что Дг) при г—да достаточно быстро стремится к нулю, так что существуют все его моменты и, следовательно, можно утверждать, что скачки обладают характерной конечной длительностью г0. Простейшим распределением такого вида, часто используемым для анализа случайных процессов, является распределение Пуассона: Т (г) = г0-1ехр(-г/г0). (9)
Предположим, далее, что после начала скачка частица с вероятностью q двигается вправо с постоянной скоростью с+> 0 и с вероятностью 1 - q влево со скоростью с_ > 0. Тогда распределение £(х|г) принимает вид:
g(х | г) = дЗ(х - с+г) + (1 - д)8(х + с_г), (10) где 5(х) - дельта-функция Дирака. Подстановка (9) - (10) в формулу (6) с учетом (1), (2) и (7) дает:
I (к, р) =
1 + рг0 + 1кг(с+ -с - V)
р(1 + рт0) + 1к(рт0(с+ - с) + V) + к гс+с_
, (11)
где V = дс+ - (1 - д)с_ - скорость переноса центра масс распределения. Здесь и далее полагаем Уо(к)=1, что соответствует начальному распределению /0(х)=3(х). Непосредственно из (11) можно найти моменты распределения / (х, ¿) с помощью известного соотношения:
(хт) = |хт1 (х, Л)йХ =
(12)
(2тУ(-1)-т | йрехр(рЛ)—/(к,р)|к=о.
Несложные выкладки дают при t > г0 следующие выражения для моментов:
< х >= Vt,
< (х- < х >)2 >= 2Dt, Б = ,
Я = 4д(1 - д), Бо =го((с++ с- )/2)2, (13)
А =
< (х- < х >)3 > _ 3>/2(1 - 2д)Л/г
Б3'2 " ДЛ
Из (13) видно, что средний квадрат смещения частицы линейно растет со временем, что характерно для классической диффузии и являет-
ся следствием пренебрежимо малой вероятности скачков с длительностью много большей г0. Больший интерес представляет коэффициент диффузии Д в котором появляются два фактора: классический коэффициент диффузии Ю0, определяемый кинетической энергией движения частиц, и коэффициент ^ характеризующий локальную неравновесную энтропию системы, связанную с анизотропией единичного скачка. При q=1/2 локальная неравновесность исчезает, коэффициент <^=1 и диффузия не отличаются от классической. При q—0 в условиях сильной локальной неравновесности Sqй4q—0, Ю—>0 и процесс переноса уже нельзя считать диффузионным. Вернуться к классическому описанию процесса с коэффициентом диффузии Ю0 в этих условиях возможно, если перейти от обычного «галилеева» времени t к «собственному» времени 1с=Бя1 [5]. Другими словами, в условиях сильной локальной неравновесности в системе появляется новый внутренний масштаб времени т^«^»!^ который определяет время перехода процесса к равновесному диффузионному режиму. На существование такого масштаба указывает и зависимость коэффициента асимметрии распределения As (13) от времени: при г0 < t << т0/Sq имеет место сильная асимметрия распределения, характерная для неравновесного процесса, которая исчезает при t >> г0/<ч.
Анализ знаменателя выражения (11) позволяет установить дифференциальное уравнение для функции /(х, 0 в условиях (9), (10). В системе отсчета, связанной с центром масс распределения, оно имеет вид:
дЛ д£
2 +г0
+го (с++с-)(1 - 2д)
д 21
= 0, (14)
дЛ2 0 + д^дЛ
где £ = х - vt. В уравнении (14) первые два слагаемых соответствуют классической диффузии и доминируют при t >> т0/Sq, а два последних отражают эффекты локальной неравновесности, существенные при t << г0/<ч. Вторая производная по времени возникает из-за конечной скорости движения частиц, а смешанная производная описывает влияние анизотропии. Уравнение (14) по форме согласуется с известной моделью ионообменной диффузии катионов в стекле с учетом его структурной релаксации [6].
Особый интерес может представлять частный случай (11) при с-= 0 и q<<1, описывающий явление просачивания. В этих условиях частица через каждый промежуток времени г0 делает выбор: либо с подавляющей вероятностью остаться в текущей точке, либо продвинуться вперед на расстояние г0с+. Экспериментально такая ситуация может наблюдаться, например, в процессах сме-
30
-
шивания сыпучих материалов, когда частицы мелкой фракции при встряхивании рабочего объема проходят сквозь массив более крупных частиц. Уравнение переноса в этом случае в неподвижной системе координат не содержит второй производной по х и может быть представлено в виде:
Х + ^ + ^Х + ^И .о. (15)
а 0 а2 + дх 0 + дхдг Его решение при /0(х)=д(х) в интервале То << t с достаточной точностью определяется выражением:
f (X, t)<
exp( - х /(с+т0) - qt /т0)
11
f ( v/2^ i-X^t
(16)
где 10(х) - функция Бесселя. Графики распределения (16) в разные моменты времени представлены на рис. 1.
I (х, 1)е+То 1
0,8 -
0,6
0,4
0,2 -
T (t) = -
0 <у< 1.
(17)
сколь угодно долго может находиться в локально-неравновесном состоянии, содержащем «память» о начальном распределении. Считая для упрощения анализа, что частица двигается вправо и влево с равными вероятностями и с одинаковыми скоростями:
g(x | т) = х - ет) + 5(x + ет)), (18)
получаем из (6) с учетом (1), (2), (7), (17) и (18) следующее выражение для плотности распределения, справедливое при t >> т0 и f0(x)=S(x)\ (p - ike)7'1 + (p + ike)7'1
f (k, p) =
(19)
(p - ike)7 + (p + ike)7 Обращение (19) приводит к плотности распределения вида:
f (X, t) ■
sin(уж)
N1/2 ✓ N-1/2
tc - X | ( tc - X |
tc + X I I tc + X I (20)
2 X2 (tc - X Y (tc -+ 1
tc + X
I tc + X
r
+ 2cos(уж)
которое определяет режим переноса в виде двух постепенно затухающих концентрационных фронтов, двигающихся со скоростью с вправо и влево от начала координат (рис. 2). В окрестности фронта распределение неограниченно растет по степенному закону:
$т(ул:)
f (X, t )>
(21)
Tr(2ct)r(tc - X)1-r' а вдали от фронтов становится равномер-
ным:
0 1 2 3 4 5 6
X /( c+To)
Рис. 1. Графики распределения (16) при q=0.01 в разные моменты времени t/T0: 10 (1); 50 (2); 100 (3); 200 (4) Fig. 1. Distributions (16) at q=0.01 for different times t/T0: 10 (1);
50 (2); 100 (3); 200 (4)
Общее решение (6) позволяет проанализировать другой предельный режим переноса, при котором распределение длительностей скачка Дт)спадает при т^да не быстрее т -2. Такое распределение может быть представлено в виде [4]:
Г/To
f(X, t) =
sin( уж)
1
n(tc) 1 + cos(yn)
(22)
0,4
f (x, t)cto 0,3
0,2
0,1
(1 + т/То)г+1
Для распределений вида (17) параметр т0 не определяет длительность скачка, так как средняя длительность скачка бесконечна:
да
< т >= |тТ(т)йт = да •
о
Из этого следует, что при любой продолжительности времени наблюдения t имеется отличная от нуля вероятность того, что частица попадет в любую достижимую за это время точку х всего за один скачок. Таким образом, система
0
1
-J 2 /
3 /
______^
0
2
4
6
8 10
х /(cto)
Рис. 2. Графики распределения (20) при x>0 для у=0.5 в разные моменты времени t/T0: 2 (1); 5 (2); 10 (3) Fig. 2. Distributions (20) at x>0 for у=0.5 for different times t/T0: 2 (1); 5 (2); 10 (3)
Режимы переноса типа (20) возникают при распространении волн фазовых переходов, некоторых типов волн горения и в других задачах [1 -3]. Они также могут применяться для математиче-
c+To
ч c+T0 I
X
0
ского моделирования технологических процессов, например, интенсивного конвективного переме- 1. шивании сыпучей среды.
Таким образом, в работе рассмотрены раз-
2
личные режимы случайного переноса в условиях 2. сильной локальной неравновесности. Предложенная общая линейная интегральная модель перено- 3. са (5) и полученные с ее помощью уравнения (14), (19) позволяют с единых позиций описывать различные стохастические процессы химических 4. технологий. На основе анализа распределения (11) получены выражения, определяющие моменты распределения (13), доступные для эксперимен- 5. тального измерения, через ключевые параметры модели г0, Ю, Ю0. Это позволяет, при наличии опытных данных для конкретного процесса, установить числовые значения параметров модели и 6. положить ее в основу инженерного расчета.
ЛИТЕРАТУРА
Соболев С.Л. // УФН 1991. Т. 161. № 3. С. 5-28; Sobolev S.L. // Usp. Fis. Nauk. 1991. V. 161. N 3. P. 5-28 (in Russian).
Зеленый Л.М. // УФН. 2004. Т. 174. № 8. С. 810-850; Zelenyi L.M. // Usp. Fis. Nauk. 2004. V. 174. N 8. P. 810850 (in Russian).
Учайкин В.В. // ТМФ. 1998. Т. 115. № 1. С. 154-160; Uchaiykin V.V. // Theor. Math. Phys. 1998. V. 115. N 1. P. 154-160 (in Russian).
Чукбар К.В. // ЖЭТФ. 1995. Т. 108. № 5(11). С. 18751884;
Chukbar K.V. // Zhurn. Exper. Teor. Fis. 1995. V. 108. N 5(11). P. 1875-1884 (in Russian).
Бытев Д.О., Ивнев С.А., Кузнецов Д.И. // Изв. вузов. Химия и хим. технология. 2009. Т. 52. Вып. 1. С. 111-114; Bytev D.O., Ivnev S.A., Kuznetsov D.I. // Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved. Khim. Khim. Technol. 2009. V. 52. N 1. P. 111-114 (in Russian).
Сиренек В.А., Антропова Т.В. // Физика и химия стекла. 2006. Т. 32. № 6. С. 106-111;
Sirenek V.A., Antropova T.V. // Fisika. i. Khimiya Stekla. 2006. V. 32. N 6. P. 106-111 (in Russian).
Кафедра прикладной математики и вычислительной техники
УДК 621.929
И.А. Болотов, П.В. Жуков, В.Е. Мизонов, С.А. Добротин, В.А. Зайцев
МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ В КОЛЬЦЕВОЙ ОБЛАСТИ С НЕСТАЦИОНАРНЫМИ КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ
(Ивановский государственный энергетический университет, Ивановский государственный химико-технологический университет) e-mail: mizonov@home.ivanovo.ru
Предложена ячеечная математическая модель эволюции температуры в кольцевой области при нестационарных краевых условиях. Модель может быть использована, чтобы описать нестационарное температурное поле в ролике с бегущим по его периферии локальным тепловым источником. Приведены расчетные примеры, демонстрирующие работоспособность модели и влияние параметров процесса на температурное поле.
Ключевые слова: ячеечная модель, теплопроводность, нестационарные краевые условия, вектор состояния, переходная матрица
При расчете оборудования для высокотемпературных процессов химической технологии и смежных отраслей возникает необходимость описывать температурное поле в кольцевой области с нестационарными краевыми условиями. Решение
такой задачи необходимо, например, при моделировании теплового состояния ролика рольганга или валка, взаимодействующего с горячим материалом. Схема этого процесса показана на рис. 1.
