Моделирование процессов электронного обучения с использованием темпоральных и случайных графов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.175 DOI: 10.17213/0321-2653-2016-1-15-19

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ЭЛЕКТРОННОГО ОБУЧЕНИЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ТЕМПОРАЛЬНЫХ И СЛУЧАЙНЫХ ГРАФОВ

MODELLING OF E-LEARNING USING TEMPORAL AND RANDOM GRAPHS

© 2016 г. А.Н. Иванченко, Ван Нгон Нгуен, А.Ю. Шайда

Иванченко Александр Николаевич - канд. техн. наук, про- Ivanchenko Alexander Nikolaevich - Candidate of Technical

фессор, кафедра «Программное обеспечение вычислитель- Sciences, professor, department «Software Computer Engineer-

ной техники», Южно-Российский государственный поли- ing», Platov South-Russian State Polytechnic University (NPI),

технический университет (НПИ) имени М.И. Платова, Novocherkassk, Russia. E-mail: ian2008.52@mail.ru г. Новочеркасск, Россия. E-mail: ian2008.52@mail.ru

Нгуен Ван Нгон - аспирант, кафедра «Программное обеспе- Nguyen Van Ngon - post-graduate student, department «Soft-

чение вычислительной техники» кафедра «Программное ware Computer Engineering», Platov South-Russian State

обеспечение вычислительной техники», Южно-Российский Polytechnic University (NPI), Novocherkassk, Russia. E-mail:

государственный политехнический университет (НПИ) ngon_npi@mail.ru имени М.И. Платова, г. Новочеркасск, Россия. E-mail: ngon_npi@mail.ru

Шайда Алексей Юрьевич - ст. преподаватель, кафедра Shayda Alexsey Yurevich - lecturer, department «Software

«Программное обеспечение вычислительной техники» Computer Engineering», Platov South-Russian State Polytech-

кафедра «Программное обеспечение вычислительной тех- nic University (NPI), Novocherkassk, Russia. E-mail:

ники», Южно-Российский государственный политехниче- alexsey_@mail.ru ский университет (НПИ) имени М.И. Платова, г. Новочеркасск, Россия. E-mail: alexsey_@mail.ru

Предложена графовая модель образовательной программы, состоящей из учебных объектов, связанных отношениями предшествования-следования и условиями допуска к следующему учебному объекту по результатам аттестации по предшествующему объекту. Использованы темпоральные графы, позволяющие учитывать изменения топологии, обусловленные как «сокращением» графа в результате успешного освоения учебных объектов, так и локальным его расширением из-за необходимости повторных тестирований вследствие «сгорания» баллов с течением времени. Разработан эвристический алгоритм выбора очередного учебного объекта, эффективность которого продемонстрирована на имитационной модели. Предложен оригинальный алгоритм генерации случайных графов в ярусно-параллельной форме, которые использованы для верификации имитационных моделей.

Ключевые слова: электронное обучение; образовательная программа; учебный объект; моделирование; темпоральный граф; функция наличия; функция латентности; случайный граф.

The graph model of the educational program, consisting of learning objects, related by the precedence relation-repetition and the conditions of admission to the next learning object based on the certification results for the previous object. Used temporal graphs that allows to take into account topology changes, due to both the «reduction» of a graph as a result of successful mastery of educational facilities, and local extension due to the need of re-testing due to "combustion" points over time. Developed a heuristic algorithm to choose the next learning object, the effectiveness of which is demonstrated on simulation model. An original algorithm of generating random graphs in the multilevel parallel form, which is used for verification of simulation models.

Keywords: e-learning; curriculum; learning object; modeling; temporal graph; presence function; latency function; random graph.

При планировании и реализации процессов изу- мер, при подготовке и повышении квалификации чения больших объемов учебного материала с исполь- персонала промышленных предприятий) обычно ис-зованием технологий электронного обучения (напри- пользуют модульный принцип и разбивают весь учеб-

ный материал образовательной программы (ОП) на отдельные порции - учебные объекты (УО), по завершении изучения которых проводится промежуточная аттестация (обычно в форме компьютерного тестирования - КТ), а сами УО связывают отношениями предшествования-следования, когда успешная аттестация по одному УО является условием допуска к изучению другого УО. Естественной моделью такой ОП является ориентированный граф G = (V, E), в котором V - множество вершин (УО) и E - множество дуг (условий предшествования-следования) [1]. Заметим, что к графовому представлению прибегают иногда и авторы печатных изданий [2], используя его для наглядного представления структуры книги и помощи читателю в навигации.

В публикации [3] выполнена детализация такой графовой модели и рассмотрены вопросы имитационного моделирования процесса освоения ОП (при условии вероятностного характера результатов промежуточных аттестаций, случайности выбора очередного изучаемого УО и экспоненциального уменьшения набранных при аттестации баллов с течением времени вследствие забывания изученного материала) с целью получения статистических оценок общего времени освоения ОП, что важно при планировании учебного процесса и управлении им.

Заметим, что следствием уменьшения («сгорания») баллов является изменение топологии связей между УО, и характеристики графа ОП оказываются зависящими от времени. Поэтому сам граф является динамическим (темпоральным - temporal graph, или нестационарным - time-varying graph) [4]. В связи с этим уточним предложенные в [3] графовую модель ОП и имитационную модель процесса её освоения.

Динамический характер графа G = (V, E) отразим в атрибутах вершин и дуг, которые могут быть функциями времени. Прежде всего, поясним, как устроена шкала времени. В силу того, что рассматриваемая имитационная модель процесса освоения ОП является событийной (событием считается завершение изучения / тестирования текущего УО и выбор следующего), шкала времени будет дискретной и количество дискретов (событий) будет не меньше, чем количество УО, так как возможны повторные тестирования по некоторым УО:

te[t„ = 0,t1,t2,...tp],p>\V\.

Следуя предложенному в работе [4] приему учета нестационарности графа, будем считать, что в число атрибутов каждой вершины и каждой дуги входят по две функции: булева «функция наличия / отсутствия» (presence function), показывающая, принадлежит ли графу вершина / дуга в указанный момент времени, и вещественнозначная «функция латентности» (latency function), показывающая, до какого момента времени вершина / дуга будет находиться в латентном (скрытом) состоянии (или, наоборот, в открытом состоянии). Сразу уточним, что латентное состояние дуги

ek(i, j) означает ее временное отсутствие, что ослабляет связи по входу для вершины Vj (уменьшает ее полустепень захода) и может вызвать переход этой вершины в открытое (не латентное) состояние и делает соот-ветствущий этой вершине УО доступным для изучения в текущий момент времени. Латентное состояние вершины соответствует ненулевой полустепени захода (вершина имеет хотя бы одну не латентную входящую дугу) и делает соответствущий этой вершине УО недоступным для изучения в текущий момент времени.

Каждую вершину v, графа G представим кортежем, некоторые элементы которого являются функциями текущего модельного времени t:

(i, At„ Дт„ idj(t), odj(t), p(), y,(t), ф,(0),

где i - номер УО; At, - нормативная продолжительность изучения УО; Дт, - нормативная продолжительность тестирования по УО; idi(t) - полустепень захода вершины; odi(t) - полустепень исхода вершины; p,(t) -признак необходимости изучения УО (1 - необходимо изучить материал УО, а затем пройти тестирование; 0 - изучение материала УО уже проводилось, необходимо только пройти тестирование); y,(t) - значение presence-функции (1 - вершина входит в граф, 0 -вершина не входит в граф); ф,{0 - значение latency-функции - оценка момента времени, до которого вершина не латентна (открыта) и соответствующий ей УО доступен для изучения / тестирования (ф,{0 = 0 соответствует латентному состоянию вершины, а

= да - открытому состоянию, которое не может быть изменено).

Каждую дугу графа ek представим кортежем, в котором также некоторые элементы являются функциями текущего модельного времени t:

(i, j, Rk, pk(t), Zk(t)),

где i и j - номера смежных УО; Rk - порог прохождения (условие перехода дуги в латентное состояние); pk(t) - значение presence-функции; Zk(t) - значение latency-функции - оценка момента времени, до которого дуга будет латентна (Zk(t) = 0 соответствует не латентному (открытому) состоянию дуги).

С использованием введенных обозначений можно модифицировать предложенные в статье [3] имитационные модели, однако заметим, что эти модели реализовали простейшую логику, базирующуюся на случайном равновероятном выборе для изучения / тестирования следующего доступного (не латентного) УО и случайно формируемой оценке, которую получает обучаемый при тестировании по выбранному УО. В первой из предложенных моделей (модель-1) полученная оценка оставалась неизменной до конца моделирования, а во второй модели (модель-2) был введен эффект «забывания», приводящий к постепенному уменьшению оценки («сгоранию» набранных баллов) с течением времени по экспоненциальному закону. Уточним модель-2 путем включения в цикл моделирования «советчиков», которые при выборе очередно-

го УО уже не полагаются на случай, а дают рекомендацию - какой из УО выбрать, чтобы минимизировать ущерб от «сгорания» баллов за счет эффекта забывания.

Имитационная модель процесса освоения образовательной программы с «советчиками» (модель-3).

Шаг 1. [Вход в цикл]. Если граф G содержит единственную вершину с = 1, то процесс моделирования завершается.

Шаг 2. [Выбор УО для изучения]. Выбор производится из подмножества У0 вершин, у которых = 1 и ф,-(0>0. Последовательность выбора:

- [Имеются УО для обучения с ограниченным временем доступности]. Если в У0 имеются вершины, у которых ф,-(^)<<», то из них выбирается вершина путем обращения к советчику-1. Для этой вершины устанавливается = да. Все входящие в эту вершину дуги переводятся в состояние «отсутствие» (р$) = = 0) и декрементируются odi(t) у всех смежных с этими дугами вершин. Если при этом для какой-либо вершины окажется odi(t) = 0, эта вершина переводятся в состояние «отсутствие» (^(0 = 0).

- [Остались УО для обучения с неограниченным временем доступности]. Если в У0 имеются вершины, у которых р() = 1, то из них выбирается вершина ф() путем обращения к советчику-2.

- [Остались только УО с неограниченным временем доступности для повторного тестирования]. Из У0 выбирается вершина ф() путем обращения к совет-чику-3.

Шаг 3. [Обучение / тестирование по выбранному УО]. Имитируется процесс обучения / тестирования по выбранному УО VI с получением случайной оценки ri. Вычисляется следующая дискрета модельного времени: ti+l = ti + + Ат,- (продолжительность обучения Ati может отсутствовать в сумме). Обрабатываются все дуги графа с рк(!) = 1:

- Для каждой исходящей из вершины V, дуги е если г, > Rk, то для этой дуги рассчитывается ^(0 (по кривой забывания), для смежной с ек вершины Vj дек-рементируется idj и если окажется, что idj = 0, то для этой вершины рассчитывается фу(^ как минимальное из по всем входящим дугам.

- Для всех остальных дуг: если ^(0 < то устанавливается = 0 и для смежной вершины Vу инкрементируется idу■ и устанавливается фу(^ = 0.

Возврат к Шагу 1.

Предложенный алгоритм для модели-3 по сути является обобщенным (шаблонным) и может быть инстанцирован путем задания конкретных алгоритмов работы советчиков. Например, таким образом:

- советчик-1: выбор вершины с минимальным значением ф,(^) (т.е. выбор УО, который быстрее всех станет недоступен для изучения);

- советчик-2: выбор вершины с максимальным значением Аti (т.е. выбор УО, требующего самых больших затрат времени на изучение);

- советчик-3: выбор вершины с максимальным количеством исходящих дуг, у которых = 0 (при

хороших результатах тестирования по данному УО есть шанс перевести максимально возможное количество дуг в латентное состояние).

Разработанная имитационная модель реализована в виде компьютерной программы на языке С# и может быть использована в системах управления образовательными процессами в различных организациях.

Ниже на рис. 1 представлены результаты сравнения эффективности моделей 1 , 2 и 3. В качестве критерия использовался коэффициент превышения (в процентах) общего времени освоения ОП по отношению к нижней границе (суммарному времени изучения и тестирования по всем УО). Моделирование выполнялось для разных коэффициентов «забывания». Значения, представленные по оси абсцисс, соответствуют времени, по истечении которого результаты тестирования уменьшаются вдвое. Для каждой модели было выполнено по 1000 прогонов. Представленные результаты демонстрируют эффективность модели-3, использующей «советчиков».

Коэффициент превышения, %

300 ■

256 ■

212 ■

168 ■

128 ■

277 ,91

\с .16

.56

14: ,02 .44 127 151 ,79 3 .S3 2

10 107 .88 10] ,6£ 1 ,65

',5 107

50 70 100 150

Время 50 %-ного забывания, у.е.

Рис. 1. Результат сравнения моделей 1, 2 и 3 соответственно

Оценку работоспособности и качества разработанных имитационных моделей целесообразно проводить на множестве графов ОП, имеющих различную конфигурацию, и это множество должно быть достаточно большим. В связи с этим актуальной является задача автоматизации формирования (генерации) подобных графов, не привязанных к какой-либо конкретной ОП, а используемых исключительно в целях отладки и тестирования имитационных моделей.

Предлагается рассматривать графы ОП как случайные графы (random graphs) [2, 5, 6], причем, в отличие от классического подхода, случайными будем считать не только дуги графа, но и его вершины, а также атрибуты вершин и дуг. Точнее говоря, в качестве случайных рассматриваются:

- количества вершин и дуг графа N = | V|, M = |E|;

- а,- - нормативная продолжительность изучения /-го УО (атрибут вершины V,);

- Ат,- - нормативная продолжительность тестирования по /-му УО (атрибут вершины V,);

- Rk - минимальный результат промежуточной аттестации по /-му УО, допускающий обучаемого к изучению у-го УО (атрибут дуги е^, у')).

В дальнейшем будем использовать ярусно-параллельную форму (ЯПФ) [7] для представления графа ОП, что оказывается удобным и применяется многими исследователями для анализа структур представления знаний [8]. Напомним, что граф G = (V, Е) считается заданным в ЯПФ, если его множество вершин V разбито на непустые непересекающиеся подмножества (ярусы, уровни):

V = У0 и V1 и ...V, V, ПУу = О, !,уе[0 ,t], / * у,

и при этом все дуги, входящие в вершину V, еУ1, исходят из вершин подмножеств Р0,Рь... Рм, причем имеется хотя бы одна дуга, исходящая из вершины Vу е ¥_. Очевидно, что все вершины из подмножества Уо являются входными вершинами графа G (имеют нулевую полустепень захода).

В общем случае граф G может иметь несколько выходных вершин (вершин с нулевой полустепенью исхода), расположенных на разных уровнях, однако для целей моделирования образовательной программы удобнее считать, что граф имеет единственную выходную вершину (фиктивную, так как ей не соответствует никакой УО), обозначающую завершение обучения. Расположим эту вершину на уровне Vt+\ и соединим ее дугами со всеми выходными вершинами графа ОП.

Перед подробным описанием алгоритма генерации случайного графа ОП заметим, что величины N и М являются случайными не в результате их непосредственного получения из генератора псевдослучайных чисел (ГСПЧ), а в результате суммирования нескольких случайных величин:

N = №1^1+..-№1;

М = /-d(Vl)+id(v2)+... id(yN),

где количество уровней t, мощности всех подмножеств п= | У,-| и полустепени захода ку = id(Vj) у всех вершин графа G - случайные величины.

Алгоритм генерации случайного графа ОП в ЯПФ

Шаг 1. Задаем случайным образом количество уровней графа t > 1.

Шаг 2. [Генерация случайного множества вершин Vо]. Случайным образом задаем величину по = | ^>1 и генерируем случайные атрибуты (продолжительность обучения и продолжительность тестирования) для всех вершин нулевого уровня. Устанавливаем для каждой вершины нулевое значение полустепени исхода. Сами вершины нумеруем числами натурального ряда: 1, 2, ..., по.

Шаг 3. Устанавливаем счетчик количества уровней I = 1.

Шаг 4. [Генерация случайного множества вершин V]. Случайным образом задаем количество вершин П1 = Щ > 1 и генерируем случайные атрибуты (продолжительность обучения и продолжительность тестирования) для всех вершин 1-го уровня. Устанавливаем для каждой вершины нулевое значение полустепени исхода. Сами вершины продолжаем нумеровать числами натурального ряда.

Шаг 5. [Цикл по всем вершинам из V]. Для каждой вершины Уу е ¥1:

- Случайным образом задаем количество входящих в неё дуг ку = id(Vj)>1.

- [Генерация случайной дуги]. Случайным образом выбираем вершину на предыдущем уровне Vi е¥~1 _!, увеличиваем на 1 её полустепень исхода (od(Vi)++) и соединяем вершины V, и Уу направленной дугой еккЦ, у); генерируем для дуги ек случайное значение Rк .

- [Продолжение генерации случайных дуг]. В цикле от р = 2 до р = ку

о случайным образом выбираем вершину Уi е¥о и и ..VI_1, увеличиваем на 1 её полустепень исхода (od(Vi)++) и соединяем вершины Vi и ^ направленной дугой е^,у); генерируем для дуги ек случайное значение Rk ;

Шаг 6. [Подготовка к переходу на следующий уровень]. Устанавливаем I = 1+1. Если К - возврат к шагу 4, иначе - переход к шагу 7.

Шаг 7. [Создание фиктивной выходной вершины и входящих в нее дуг]. Вычисляем номер выходной вершины (он совпадает с общим количеством вершин графа) N = 1^1+1^1+. .-1^1+1. В цикле по всем сгенерированным вершинам V, е¥() и V и... V :

- если вершина V, имеет нулевую полустепень исхода (od(Vi) = о), то соединяем ее направленной дугой екс выходной вершиной; генерируем для дуги ек случайное значение Rk.

Конец алгоритма.

Ниже на рис. 2 и 3 показаны два небольших графа ОП, сгенерированных по предложенному алгоритму.

"•--.84

75.-""'

7.7-'''

Фиктивная вершина (выходная)

Рис. 2. Случайный граф из 11 вершин и 14 дуг

( 11 1Фиктивная вершина (выходная)

Рис. 3. Случайный граф из 11 вершин и 17 дуг

Разработанный алгоритм реализован в форме компьютерной программы на языке С# и может быть использован как инструмент подготовки исходных данных для тестирования и отладки различных имитационных моделей, разрабатываемых для повышения эффективности управления образователными структурами.

Литература

1. Thanassis Hadzilacos, Dimitris Kalles, Dionysis Karaiskakis, Maria Pouliopoulou. Using Graphs in Developing Educational Material // Proceedings of the 2nd International Workshop on Building Technology Enhanced Learning Solutions for Communities of Practice. TEL-CoPs'07. Sissi, Lassithi Crete. Greece, 18 September, 2007. URL: http://ceur-ws.org/Vol-308/paper04.pdf (дата обращения: 20.11.2015).

2. Remco van der Hofstad. Random Graphs and Complex Networks. Vol. I. Department of Mathematics and Computer Science Eindhoven University of Technology. 2015. 336 p.

3. Иванченко А.Н., Нгуен Ван Нгон. Имитационное моделирование процесса освоения модульной образовательной программы // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2015. № 3. С. 28 - 33.

4. Arnaud Casteigts, Paola Flocchini, Walter Quattrociocchi, Nicola Santoro. Time-Varying Graphs and Dynamic Networks // Proc. 10th International conference on Ad Hoc and Wireless Networks (ADHOC-NOW 2011) July 18 - 20, 2011, Paderborn, Germany. URL: http://arxiv.org/pdf1012.0009.pdf (дата обращения: 20.11.2015).

5. Колчин В. Ф. Случайные графы. М.: Физматлит, 2004. 256 с.

6. Райгородский А.М. Модели случайных графов. М.: МЦНМО, 2011. 136 с.

7. Поспелов Д.А. Введение в теорию вычислительных систем. М.: Сов. радио, 1972. 280 с.

8. Курганская Г.С. Модель представления знаний и система дифференцированного обучения через Интернет на его основе // Изв. Челябинского науч. центра УрО РАН. 2000. № 2. С. 84 - 88.

References

1. Thanassis Hadzilacos, Dimitris Kalles, Dionysis Karaiskakis, Maria Pouliopoulou.Using Graphs in Developing Educational Material // Proceedings of the 2nd International Workshop on Building Technology Enhanced Learning Solutions for Communities of Practice. TEL-CoPs'07. Sissi, Lassithi Crete. Greece, 18 September, 2007. URL: http://ceur-ws.org/Vol-308/paper04.pdf (accessed 20.11.2015).

2. Remco van der Hofstad. Random Graphs and Complex Networks. Vol. I. Department of Mathematics and Computer Science Eindhoven University of Technology. 2015. p. 336.

3. Ivanchenko A. N., Nguen Van Ngon. Imitacionnoe modelirovanie processa osvoenija modul'noj obrazovatel'noj programmy [Simulation modeling of the process study of the modular curriculum]. Izv. vuzov. Sev.-Kavk. Region. Tehn. Nauki, 2015, no. 3, pp. 28-33.

4. Arnaud Casteigts, Paola Flocchini, Walter Quattrociocchi, Nicola Santoro. Time-Varying Graphs and Dynamic Networks // Proc. 10th International conference on Ad Hoc and Wireless Networks (ADHOC-NOW 2011) July 18-20, 2011, Paderborn, Germany. URL:http://arxiv.org/pdf/1012.0009.pdf (accessed 20.11.2015).

5. Kolchin V.F. Sluchajnye grafy [Random Graphs]. Moscow, Fizmatlit Publ., 2004, 256 p.

6. Rajgorodskij A.M. Modeli sluchajnyh grafov [Models of random graphs]. Moscow, MCNMO, 2011, 136 p.

7. Pospelov D.A. Vvedenie v teoriju vychislitel'nyh sistem [Introduction to Computing Systems]. Moscow, Sov. radio, 1972, 280 p.

8. Kurganskaja G.S. Model' predstavlenija znanij i sistema differencirovannogo obuchenija cherez Internet na ego osnove [The model of knowledge representation and a system of differentiated instruction through the Internet based on it]. Izv. Cheljabin-skogo nauchnogo centra UrO RAN, 2000, no. 2, pp. 84-88.

Поступила в редакцию 12 декабря 2015 г.