CC BY
38
УДК 004.738.5
В. А. БАДРЫЗЛОВ
Омский государственный технический университет, г. Омск
КЛАССИФИКАЦИЯ СЛУЧАЙНЫХ ГРАФОВ С ПРЕДПОЧТИТЕЛЬНЫМ СВЯЗЫВАНИЕМ
Выполнен обзор принципов генерации различных видов случайных графов, строящихся по правилам предпочтительного связывания. Показано многообразие предложенных подходов к построению случайных графов, существенно расширяющих базовую идею предпочтительного связывания. Выделены наиболее существенные классификационные признаки, позволяющие построить систему классификации случайных графов.
Ключевые слова: случайный граф, предпочтительное связывание, классификационные признаки.
1. Введение. Стремительное развитие Интернета и социальных сетей, основанных на современных информационных технологиях, дает мощный стимул к изучению, объяснению, моделированию поведения этих больших сетевых структур. Конечная цель исследований — научиться управлять информационными потоками, оказывая целенаправленное информационное воздействие на социальные сети и Интернет-сообщество в целом. На протяжении последних 20 лет возникла и успешно развивается отрасль научных исследований, называемая «Network science», изучающая именно большие сетевые структуры. Сами по себе и Интернет, и социальные сети слишком велики для прямого исследования, поэтому для изучения генезиса таких структур применяются случайные графы различных типов. Особо следует выделить случайные графы с предпочтительным связыванием, которые объясняют механизм роста сетевой структуры и обеспечивают адекватное моделирование растущих сетевых структур.
Базовая идея графов с предпочтительным связыванием очень проста — в графе, который эволюционирует во времени, постоянно появляются новые вершины, которые соединяются с уже существующими вершинами и вероятность присоединения новой вершины к существующим определяется каким-либо правилом. Исторически первая модель предпочтительного связывания, разработанная для моделирования Интернет и наиболее известная на сегодняшний день, была предложена в работе
A. L. Barabasi и R. Albert [1]. Впоследствии случайные графы, реализующие эту модель, получили название графов Барабаши —Альберт (далее графы БА). Но графы БА, несмотря на свою популярность, являются не единственными представителями класса случайных графов с предпочтительным связыванием. Цель настоящей статьи — дать характеристику менее известным видам случайных графов, сопоставив их с графами БА, и предложить систему классификации случайных графов, выделив их основные классификационные признаки.
1. Ориентированная модель случайного графа с предпочтительным связыванием. Группа авторов
B. Boolobas, C. Borgs, J. Chayes и O. Riordan [2] пред-
ложила ориентированную модель графа с предпочтительным связыванием. В модели полагают, что имеется какой-либо фиксированный начальный ориентированный граф С0 с t0 дугами, где t0 — некоторое произвольное положительное целое число. В качестве такого начального графа может выступать единственная вершина без дуг. На каждом шаге генерации в графе появляется единственная дуга, с некоторой вероятностью на этом шаге может появиться и новая вершина. Для построения графа фиксируются некоторые неотрицательные параметры а, Р, у, 5.п, 5оа1 таким образом, что а + Р + у = 1. Затем определяется граф б^), который в момент времени t имеет в точности t дуг и случайное число п(Ц вершин.
Правило предпочтительного связывания состоит в том, что выбор вершины V графа согласно
величине йоа1 + 5 , означает, что вероятность выбора Р^ = V) = + 5^)/(1 + 5^)). Аналогично выбор вершины V, согласно величине й + 5 ,
^ ^ т т
означает, что вероятность Р(у = V.) = (й. (V.) + + 5т)/^ + 5шп(0).
Здесь под йоа1^.) и йПг(у.) понимаются полустепень исхода и, соответственно, полустепень захода вершины V. графа
Для t > t0 из графа С(Ц формируется граф + 1) в соответствии со следующими правилами роста.
Правило А. С вероятностью а добавляется новая вершина V совместно с дугой от вершины V к существующей вершине м>, которая выбирается согласно й + 5 .
т т
Правило В. С вероятностью Р добавляется дуга между существующими вершинами V и м>, где V и м> выбираются независимо, V согласно й , + 5 , и м>
1 ' ои ои
согласно й + 5 .
т т
Правило С. С вероятностью у добавляется новая вершина м> и дуга от существующей вершины V к вершине м>, где вершина V выбирается согласно
й t + 5 t .
ош ои
Таким образом, моделируются два типа страниц — информационные страницы, которые ни на что не ссылаются (правило С), и обычные страницы (правило А). Правило В моделирует расширение связей между уже существующими страницами. Полагая Р = у = 5t = 0 и а = 5. = 1, мы
приходим к графу БА с количеством m = 1 ребер в приращении.
2. Общая модель предпочтительного связывания. Общая модель предпочтительного связывания представлена C. Cooper и A. Frieze [3, 4]. Согласно этой модели, изначально на шаге 0 существует единственная вершина v0. На каждом шаге t = 1, 2, ..., T, ... происходит добавление новой вершины с новыми ребрами либо добавление только новых ребер. Первый случай, происходящий с вероятностью 1 — а, назовем процедурой NEW (новый), второй случай, происходящий с вероятностью а, назовем процедурой OLD (старый). В процедуре NEW к графу G(t — 1) добавляется единственная вершина v с одним или несколькими ребрами, соединяющими вершину v с графом. В процедуре OLD выбирается вершина v графа, которая новыми ребрами соединяется с другими вершинами.
Способ добавления ребер на шаге t разрешает выбор начальной вершины v (в случае процедуры OLD), из которой проводятся новые ребра, и конечных вершин (в обоих случаях), в которые проводятся ребра, или равновероятно, или с вероятностями, пропорциональными степеням вершин, или в комбинации этих двух методов. Число ребер, добавляемых к вершине v процедурой NEW, задается распределением вероятностей p, число ребер, добавляемых процедурой OLD, задается распределением вероятностей q.
Общая модель предпочтительного связывания определяется набором параметров а, Р, у, 5, p, q, которые имеют следующие значения:
а — вероятность того, что на шаге t выполняется процедура OLD;
(1 — а — это вероятность того, что выполняется процедура NEW);
q = I?,}, где q. — вероятность того, что процедура OLD генерирует i ребер, i > 1;
5 — вероятность того, что выбор вершины v осуществляется процедурой OLD равновероятно;
(1 — 5) — вероятность того, что выбор вершины v процедурой OLD осуществляется с вероятностями, пропорциональными степеням вершин;
у — вероятность того, что выбор конечных вершин осуществляется процедурой OLD равновероятно;
(1 — у) — вероятность того, что выбор конечных вершин осуществляется процедурой OLD с вероятностями, пропорциональными степеням вершин;
p = Ipi} — где pi — вероятность того, что процедура NEW генерирует i ребер, i > 1;
Р — вероятность того, что выбор конечных вершин осуществляется процедурой NEW равновероятно;
1 — Р — вероятность того, что выбор конечных вершин осуществляется процедурой NEW с вероятностями, пропорциональными степеням вершин.
Полагая в модели вероятности а = Р = 0, p1 = 1 и p. = 0 для всех i > 1, получаем граф БА с количеством m = 1 ребер в приращении.
3. Модель предпочтительного связывания с дополнительным качеством. Кроме высокой степени связности узла сети существуют и другие свойства узла, которые делают его более притягательным для присоединения к нему новых узлов. Ряд механизмов роста сетевых структур, расширяющих принцип предпочтительного связывания, предложен в работе G. Ergun и G. J. Rodgers [5], которые вводят понятие качества (fitness). Под качеством понимается некоторое дополнительное свойство, при-
писываемое каждой вершине графа. Это свойство наряду со степенью связности вершины определяет ее привлекательность. Авторами предложены три модели — модели А, В и С. Рассмотрим некоторые детали этих моделей.
Модель А предполагает построение графа из вершин с качеством п. Качество присуще каждой вершине и задается в виде распределения вероятностей УА(П). Граф строится путем добавления новой вершины и соединения этой вершины с одной из вершин графа единственным ребром. Предпочтительность вершины определяется на основании степени связности k вершины и ее качества п, вероятностью выбора, пропорциональной величине (k — 1) + п. Иными словами, это линейное предпочтительное связывание с вершинами, которые уже имеют много связей и большое значение качества п. Это означает, что степень связности k недостаточно полная информация о популярности вершины. Например, если вершина — web-сайт, то ее качество п может определяться числом ассоциированных с сайтом рекламных телевизионных каналов или иных средств рекламы.
Важно отметить несколько моментов построения модели:
1. Формируя растущую сеть, нам необходимо иметь величину k — 1 + п > 0 для всех k, так что П > 0, поскольку по определению модели каждая вершина создается с одной исходящей дугой.
2. Все вершины, имеющие качество п = 1, выбираются по правилу линейного предпочтительного связывания, как и в других моделях предпочтительного связывания, например, в модели R. Albert и A. L. Barabasi [6] и модели P. L. Krapivsky, S. Redner [7, 8], рассматриваемой ниже.
3. Величина может быть как дискретной, так и непрерывной.
Модель В предполагает, что нет особых причин считать коэффициент пропорциональности, применяемый при предпочтительном связывании, одинаковым для всех вершин. Поэтому предлагается рассматривать модель графа, в которой с каждой вершиной ассоциируется триада значений (k, п, С). Граф строится путем добавления новой вершины на каждом шаге времени и добавлением единственной дуги, связывающей эту вершину с существующей вершиной, обладающей случайным аддитивным качеством п, случайным мультипликативным качеством С и степенью связности k, с оценкой вида
C(k - 1) + п.
Модель С предполагает, что на каждом шаге времени к графу с вероятностью р добавляется новая вершина, а с вероятностью q = 1 — p добавляется новая дуга между двумя уже существующими вершинами. Вершина, обладающая качеством в виде пары параметров (а, Р), имеет i заходящих дуг и j исходящих дуг.
Такая вершина получает новую заходящую дугу с вероятностью, пропорциональной a(i + 1), и новую исходящую дугу с вероятностью, пропорциональной P(j + 1).
4. Модели предпочтительного связывания с условно независимыми ребрами. Модели предпочтительного связывания с условно независимыми ребрами исследуются в работе S. Dereich и P. Morters [9, 10]. Они определяют правило предпочтительного связывания произвольной, монотонно возрастающей функцией предпочтения f : {0, 1, 2, ...} ^ (0,
со значением f(0) < 1 и Af(k) = f(k + 1) — fk) < 1 для всех k > 0.
Принцип генерации графа сети состоит в следующем. В момент времени t = 1 граф состоит из единственной вершины без ребер (обозначается как б(1)), для каждого момента времени t > 2 граф эволюционирует в соответствии со следующим правилом.
1. К графу добавляется новая вершина (обозначается как л).
2. Для каждой старой вершины т к графу добавляется дуга от вершины л к вершине т с вероятностью:
Л (ЬМЛ
п
где д..п(т) — полустепень захода вершины т в момент времени t = л.
Новые дуги проводятся независимо для каждой старой вершины. Отметим, что наложенные ограничения на функцию предпочтения / гарантируют, что на каждом шаге мвтлюции вероятность добавления дуги меньше либо равна 1. Предложенный способ построения случайно го графа не позволяет генерировать графы БА.
5. Модели предпочтительного связывания с устареванием вершин. Л. А. Прохоренкова [11] и Е. А. Самосват [12] п т едло ж или внести в модель предпочтительного связывания свойство устаревания вершин. Модель предполагает, что на выбор вершины для присоедини ния влияют три фактора:
— степень связности вершины: чем выше степень, тем выше вероятность присоединения;
— качество (ДЛеиз) иершины, приписываемое каждой вершине графа: чем больше качество, тем привлекательнее вершина для присоединения;
— время жизни вершины: чем больше ее «возраст», тем меньше вероятность выбора этой вершины для присоединения (старые новости в web-пространстве мало кому интересны).
В модели предпочтительного связывания с устареванием вершин строится последовательность случайных графов {. У этой последовательности есть следующие параметры — количество ребер т в приращении и функция Щп), принимающая целочисленные значения. Здесь под величиной л понимается шаг (время), на котором вершина добавилась в граф.
Первоначально имеется граф с двумя вершинами и единственным ребром между ними. Параметры качества д(1) и д(2) двух первых вершин определяются независимыми положительными случайными величинами и соответственно.
На шаге t + 1, где t находится в интервале 2 < t < л — 1, к графу добавляется одна новая вершина и т инцидентных ребер. Новые ребра проводятся независимо друг от друга и соединяют новую вершину со старыми. Новой вершине присваивается качество д^ + 1), задаваемое положительной случайной величиной С, + с некоторым законом распределения.
Для каждого ребра существует вероятность р. того, что ьно гудет гфоведено в вершину . (1 < . < Ц. Вероятнос нь определя птся в виде:
ft =
attrt (t)
XJ=iatt0(j)
где attrt(t) = (1 или q(t)) ■ (1 или dt(t)) • (1 или l[t > ) - (1(ra)]
t-t
или e N<n>). Здесь союз ил и предполагает выбор ис-
следователем одной из величин, соединенных этим союзом. Таки м о бра зом, attrt (t) может б ыта о пр еде-лен одним (любым) из 12 возможных способов.
Значение I[t > t - N(n)] равно 1, если неравенство в скобках истинно, и равно 0, если ложно. Этот элемент учитывает время жизни в ерш ины — вершина i может получить входящие ребра только в течение следующих N шагов после ее рождения (время жизни вершины). Подобно! >п-еделение правила присоединения задает 12 различных вариантов модели. В частности, полагая attrt (t) = 1 ■ dt (t) ■ 1, получаем граф БА.
6. Нелинейное предпочтительное связывание. Развитие идеилинейного предпочтительного связывания нашло отражение в работах P. L. Krapivsky и S. Redner [7], которые предлагают два типа моделей с нелинейным правилом предпочтительного связывания. t t
В модели GN (growing network) генерация случайного графа производится путем генерации на каждом шаге времени новой вершины с единственным инцидентным ей ребром, которое своим свободным концом соединяется с одной из более ранних вершин графа. Начальная вершина графа является уникальной, поскольку у нее нет исходящего ребра. Это приводит к образованию графа, имеющего топологию ориентированного дерева.
Выбор вершины графа для соединения осуществляется по правилу предпочтительного связывания с вероятностью, пропорциональной значению неубывающей функции от степени k этой вершины. Вероятность Ak выбора вершины со степенью k пропорциональна k1 для ограниченного круга значений у.
Модель GNR (growing network with redirection) является развитием модели GN. На каждом шаге t времени к графу добавляется новая вершина n = t и инцидентное ей ребро графа, которое свободным концом соединяется с ранее образованной вершиной x. С вероятностью 1 — r создается ребро, связывающее вершины n и x. С вероятностью r ребро от вершины x перенаправляется к вершине-предку y вершины x.
В работе В. Н. Задорожного [13] был предложен новый класс случайных графов с предпочтительным связыванием — случайные графы с НППС. Развитие теории случайных графов представлено в работах [14—16]. Случайный граф с НППС выращивается по принципу предпочтительного связывания, но имеет более общее правило выбора вершины для присоединения, чем в предыдущих графах. Нелинейное правило предпочтительного связывания предполагает, что выбор более предпочтительной вершины для присоединения зависит от степени связности k вершины как некоторая произвольная неотрицательная функция f (k), на которую, в отличие от рассмотренных выше графов, не накладывается практически никаких ограничений. Например, если задать функцию предпочтения в виде f (k) = k, то получим граф БА. Задав функцию предпочтения в виде f(k) = k1, получим графы, рассматриваемые в работах P. L. Krapivsky и S. Redner.
Согласно [13], для выращивания графа с НППС используется граф-затравка из нескольких вершин, связанных ребрами. Любая вершина со степенью k имеет весовую функцию (вес) f(k), где f (k) > 0, если g < k < M, иначе f (k) = 0 (здесь g > 1, M < Генерация графа осуществляется путем добавления на каждом шаге вер шины и случайного числа x инцидентных ей ребер, которые свободными конца-
Таблица 1
Типология моделей случайных графов предпочтительного связывания
Название модели с предпочтительным связыванием Авторство модели приписывается Классификационные признаки Примечания
Форма начального графа Количество ребер в приращении Функция предпочтения Генерация вершин и/или ребер
1 2 3 4 5 6 7
Ориентированная модель графа с предпочтительным связыванием Boolobas В., Borgs С., Chayes J., Riordan О. [2] Единственная вершина без ребер Единственное ребро Предпочтительность вершины V определяется вероятностью Рг{г = V.) = ((^(^ + 5ои()/(Г + 5о11(л(Г)) для исходящего ребра или вероятностью Рг{г = V) = = (V) + 8.п)/(Г + 8.пл(Г)) для входящего ребра Может генерироваться вершина с ребром либо просто ребро Вероятности а, |3 иу(ос + |3 + у =1) задают либо появление новой вершины и инцидентного исходящего ребра, либо появление ребра, либо появление новой вершины и входящего в нее ребра
Общая модель предпочтительного связывания Cooper С., Frieze А. [3, 4] Единственная вершина без ребер Кол-во ребер в приращении определяется некоторым законом распределения Вершины для присоединения выбираются равновероятно или по правилу линейного предпочтительного связывания, в соответствии с их степенями Добавляется либо новая вершина с инцидентными ребрами, либо старая вершина новыми ребрами соединяется с другими С вероятностью а на очередном шаге генерируются ребра, с вероятностью 1 — а генерируется новая вершина с инцидентными ребрами
Модель предпочтительного связывания с дополнительным качеством Ergun G., Rodgers G. J. [5] Произвольный Единственное ребро Оценка предпочтительности вершины строится на основании степени к вершины и ее качества т| пропорционально либо величине (А — 1) + ц (модель А), либо ^(к — 1) + т| (модель В) Добавляется вершина и единственное ребро (модели А и В) В модели С к графу с вероятностью р добавляется новая вершина, а с вероятностью (7=1 — р добавляется новое ориентированное ребро между старыми вершинами
Модели предпочтительного связывания с условно независимыми ребрами Dereich S., Morters P. [9, 10] Единственная вершина без ребер Случайное число Произвольная монотонно возрастающая весовая функция:/: {0, 1, 2, ...} (0,°°) с/|0) < 1 и А/1 к) : = Дк + 1) - Дк) < 1 для всех к>0 Добавляется вершина и ребра Новые ребра вставляются независимо для каждой старой вершины т с вероятностью п
Модели предпочтительного связывания с устареванием вершин Прохорен-кова Л. A. [11] и Самосват Е. А. [12] Две вершины и ребро между ними Фиксированное число ребер т Вероятность соединения с вершино^ г (1 < / < Г) определяется в виде: р, , , где ппу.( /) = (1 или д(/)) ■ (1 или '!.(!)) ■ (1 или /[/ > 1 - И(и)\ или е л'(")) Добавляются новая вершина и т ребер
Нелинейное предпочтительное связывание Krapivsky P. L., Redner S. [7, 8] Единственная вершина без ребер Единственное ребро Вероятность выбора вершины со степенью к пропорциональна кт. Показатель степени у > 0 Добавляется вершина и ребро
Графы с НППС Задорожный В. Н, Юдин Е. Б. [13-16] Произвольный Случайное число Вероятность связывания ребра приращения с вершиной 1 графа, имеющего N вершин, определяется и ви/\е _ , ^ = 1, N /«',) Добавляется вершина и ребра Любая вершина со степенью к имеет произвольную весовую функцию к): /{к) > 0, если g < к < М, иначе/(А) = 0 (здесь £ > 1, М <
3HH3vavdUA и уяинхэ! BvmvaiHVOHhiqa 'уяшушофни
¿юг (ret) v öN яинюэа И1яньлун иияоио
ми соединяются с вершинами графа. Вероятность связывания ребра приращения с вершиной i графа, имекяце гт N вер шин, определяется в воде
Д т fk^ , 4 ] = 1, ' 2 f k)
N.
Количество ребер в приращении определяется как случайная величина х е {в, в + 1, ..., Л}, котортя имеет дисяретное распределение вероятностей {гк}.
и
Вероятность г = Р(х = к) > 0 при в < к < Л, ОрЯ = С .
Я=в
Про рт=м Л < М и конечно. Тогда среднее число т ребер в приращении также конечно: т = (х) =
и
= ОЯря <да.
Я=в
Таким образом, алгоритм генерации графа с НППС задается параметрами / и {гк}, удовлетворяющими вышеперечисленным ограничениям. Предложенный класс графов с НППС позволяет реализовать самые разнообразные зависимости степени вершин от времени, в отличие от других случайных графов с предпочтительным связыванием.
Заключение. Сравнение существенных характеристик рассмотренных случайных графов с предпочтительным связыванием представлено в табл. 1.
Подводя итог рассмотрению моделей случайных графов предпочтительного связывания, можно выделить несколько классификационных признаков:
1. Форма начального графа (одна вершина, две вершины, произвольное количество вершин).
2. Количество ребер в приращении — одно ребро, фиксированное количество ребер, случайное количество ребер (определяется некоторым законом распределения).
3. Функция предпочтения. Наиболее важный классификационный признак. Функция предпочтения может быть связана только со степенью вершины, выбираемой для присоединения. Вероятность выбора вершины в этом случае либо пропорциональна степени вершины (линейная функция предпочтения), либо является какой-либо функцией от степени вершины (нелинейная функция предпочтения). В рассмотренных моделях класс таких нелинейных функций очень ограничен. Более сложный класс функций предпочтения образуется, если во внимание принимается не только степень выбираемой вершины, но и некоторые качества, приписываемые этой вершине. Значение качества может быть детерминированной величиной, либо случайной, с некоторым законом распределения. Степень вершины и ее качество могут быть связаны в аддитивной или мультипликативной форме. Третий класс функций предпочтения учитывает время жизни вершины, когда в функцию предпочтения выбора вершины наряду со степенью и качеством в какой-либо форме вводится время.
4. Генерация вершин и/или ребер. В большинстве случаев при росте случайного графа появляется новая вершина и инцидентные ей ребра (или одно ребро). Однако ряд рассмотренных графов предполагает, что с некоторой вероятностью в них на очередном шаге генерации может появляться не вершина, а новое ребро (ребра).
Библиографический список
1. Barab6si A.-L., Albert R. Emergence of scaling in random networks // Science. 1999. Vol. 286, № 5439. P. 509-512.
2. Bollobas B., Borgs C., Chayes J., Riordan O. Directed scale-free graphs // Proceedings of the Fourteenth Annual ACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms (Baltimore. MD. 2003). N. Y.: ACM, 2003. P 132-139.
3. Cooper C., Frieze A. A general model of web graphs // Random Structures Algorithms. 2003. Vol. 22, № 3. P. 311-335. URL: http://www.aladdin.cs.cmu.edu/papers/pdfs/y2003/power. pdf (дата обращения: 26.09.2016).
4. Cooper C. Distribution of Vertex Degree in Web-Graphs // Combinatorics, Probability and Computing. 2006. Vol. 15. P. 637661. DOI: https://doi.org/10.1017/S096354830600753X.
5. Ergun G., Rodgers G. J. Growing random networks with fitness // Physica A. 2002. Vol. 303. P. 261-272.
6. Albert R, Barabasi A. Statistical mechanics of complex networks. URL: http://www.barabasilab.com/pubs/ CCNR-ALB_Publications/200201-30_RevModernPhys-StatisticalMech/200201-30_RevModernPhys-StatisticalMech.pdf (дата обращения: 16.12.2016).
7. Krapivsky P. L., Redner S. Organization of growing random networks. URL: http://physics.bu.edu/~redner/pubs/pdf/ organization.pdf (дата обращения: 16.12.2014).
8. Krapivsky P. L, Redner S., Leyvraz F. Connectivity of growing random networks // Phys. Rev. Lett. 2000. Vol. 85. 4629 р. URL: https://arxiv.org/pdf/cond-mat/0005139.pdf (дата обращения: 16.12.2016).
9. Dereich S., Morters P. Random networks with sublinear preferential attachment: Degree evolutions // Electronic Journal of Probability. 2009. Vol. 14. P. 1222-1267.
10. Dereich S., Morters P. Random networks with concave preferential attachment rule // Jahresberichte der Deutschen Mathematiker Vereinigung. 2011. Vol. 113, № 1. P. 21-40.
11. Прохоренкова Л. А. Свойства случайных веб-графов, основанных на предпочтительном связывании: автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. М., 2015.
12. Самосват Е. А. Моделирование Интернета с помощью случайных графов: автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. М., 2014. 28 с.
13. Задорожный В. Н. Случайные графы с нелинейным правилом предпочтительного связывания // Проблемы управления. 2010. № 6. С. 2-11.
14. Zadorozhnyi V. N., Yudin E. B. Growing network: models following nonlinear preferential attachment rule // Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. 2015. Vol. 428. P. 111 — 132. DOI: 10.1016/j.physa.2015.01.052.
15. Zadorozhnyi V., Yudin E. Growing Network: Nonlinear Extension of the Barabasi-Albert Model // Communications in Computer and Information Science. 2014. Vol. 487. P. 432-439.
16. Юдин Е. Б. Генерация случайных графов предпочтительного связывания // Омский научный вестник. Сер. Приборы, машины и технологии. 2010. № 2 (90). С. 188-192.
БАДРЫЗЛОВ Владимир Александрович, аспирант кафедры «Автоматизированные системы обработки информации и управления»; старший преподаватель кафедры «Организация и управление наукоемкими производствами». Адрес для переписки: v_bad@mail.ru
Статья поступила в редакцию 07.06.2017 г. © В. А. Бадрызлов
