CC BY
22
УДК 519.8 DOI: 10.17213/0321-2653-2015-3-28-33
ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ОСВОЕНИЯ МОДУЛЬНОЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ПРОГРАММЫ
SIMULATION MODELING OF THE PROCESS STUDY OF THE MODULAR CURRICULUM
© 2015 г. А.Н. Иванченко, Ван Нгон Нгуен
Иванченко Александр Николаевич - канд. техн. наук, про- Ivanchenko Alexander Nikolaevich - Candidate of Technical фессор, кафедра «Программное обеспечение вычислитель- Sciences, professor, department «Software Computer Engineer-ной техники», Южно-Российский государственный поли- ing», Platov South-Russian State Polytechnic University (NPI), технический университет (НПИ) имени М.И. Платова, Novocherkassk, Russia. E-mail: ian2008.52@mail.ru г. Новочеркасск, Россия. E-mail: ian2008.52@mail.ru
Нгуен Ван Нгон - аспирант, кафедра «Программное обеспе- Nguyen Van Ngon - post-graduate student, department «Soft-чение вычислительной техники», Южно-Российский госу- ware Computer Engineering», Platov South-Russian State дарственный политехнический университет (НПИ) имени Polytechnic University (NPI), Novocherkassk, Russia. E-mail: М.И. Платова, г. Новочеркасск, Россия. E-mail: ngon_npi@mail.ru ngon_npi@mail.ru
Предложена имитационная модель, позволяющая оценить общее время освоения модульной образовательной программы в условиях вероятностной природы получаемых оценок по модулям и наличия эффекта забывания изученного материала с течением времени. Образовательная программа задается ориентированным взвешенным графом, вершины которого содержат количественные характеристики модулей (продолжительность изучения и продолжительность тестирования), а дуги отражают логические зависимости модулей и маркируются «порогом прохождения» - значением оценки, которую необходимо получить по исходящему модулю, для того чтобы открылся доступ к изучению следующего (входящего) модуля. В качестве характеристик обучаемого используются: вариационный ряд распределения, характеризующий вероятности получения конкретных оценок (по 100-балльной шкале), и «кривая забывания» в форме убывающей экспоненты.
Ключевые слова: имитационное моделирование; модульная образовательная программа; ориентированный взвешенный граф; кривая забывания.
The proposed simulation model that allows to estimate the total time of studying modular curricula in terms of the probabilistic nature of estimates of the modules and any effect of the forgetting of learned material over time. The educational program is set directed weighted graph, whose vertices contain the quantitative characteristics of the modules (the duration of study and the duration of testing), and the arcs represent logical dependencies of the modules and marked «threshold of passage» - the value that must be obtained by the originating module to allow access to the next (incoming) module. As the characteristics of the learner used: variational series of the distribution characterizing the probability of obtaining specific estimates (on a 100-point scale) and «forgetting curve» in the form of a decreasing exponential.
Keywords: simulation modeling; modular education program (modular curriculum); weighted directed graph; curve of forgetting.
В арсенале современных методов организации и дэкзаменационной подготовки персонала предпри-
управления процессами изучения значительных объе- ятия, программа изучения отдельной дисциплины)
мов учебного материала (таких, например, как обра- имеется исключительно удобный и наглядный инст-
зовательная программа направления подготовки в румент - графическое изображение логической струк-
вузе, программа повышения квалификации или пре- туры учебного материала в форме блок-схемы
(curriculum graph [1], flow diagram, flow chart [2]), по сути являющейся ориентированным графом G = (V, E) [3], вершины которого соответствуют логически завершенным порциям учебного материала (модулям), а дуги отражают отношения предшествования-следования между модулями в процессе изучения. В некоторых случаях дуги «взвешивают», приписывая им некоторые условия (качественные или количественные), при выполнении которых обозначаемая дугой связь актуализируется. Так, например, в описании образовательной программы Computer Science and Engineering Калифорнийского университета в Ирвай-не (США) [4] условием допуска к изучению дисциплины Programming with Software Libraries является завершение изучения дисциплины Introduction to Programming с оценкой C (удовлетворительно) или выше.
Обобщая существующие подходы к представлению модульных образовательных программ (МОП), примем следующие обозначения для элементов графа G = (V, E) (для наглядности на рис. 1 представлен числовой пример).
Каждая вершина графа vi соответствует некоторому учебному модулю mi и содержит название (или номер) модуля и его количественные характеристики: нормативную продолжительность изучения Ati и нормативное время Ах,-, необходимое для прохождения контрольных процедур (тестирования). Дуги графа ek маркируются «порогом прохождения» - значением оценки (числовой или качественной) Rk, которую необходимо получить по модулю m, (смежному к ek) для того, чтобы получить допуск к изучению модуля mj (смежному из ek). В общем случае граф G может содержать несколько входных вершин (входной называется вершина vi с нулевой полустепенью захода:
id(v1) = 0), несколько выходных вершин (выходной называется вершина VI с нулевой полустепенью исхода: od(vi) = 0), а также изолированные вершины (изолированная вершина VI имеет нулевую степень: deg(yi) = 0). В этих условиях целесообразно дополнить граф G фиктивной выходной вершиной / (финальной вершиной), соответствующей состоянию завершения изучения МОП. В финальную вершину / должны входить дуги, исходящие изо всех выходных и изолированных вершин исходного графа, и ее полустепень захода равна количеству выходных и изолированных вершин графа G.
Отметим, что граф G задает на множестве вершин (модулей) V отношение частичного порядка и позволяет перечислить все допустимые последовательности "прохождения" модулей при освоении МОП [5].
Практический интерес представляет задача оценки общего времени Т0 освоения МОП. Величина нижней границы для Т0 очевидна - это сумма продолжи-тельностей изучения и тестирования для всех модулей. Однако фактическое значение Т0 всегда будет больше этой величины, так как количество баллов, получаемых при оценке знаний по модулю, может оказаться меньше порогового значения, разрешающего допуск к изучению следующего модуля, и потребуется проводить повторное тестирование, что приведет к увеличению общего времени Т0.
Поэтому оценку величины Т0 целесообразно выполнять путем имитационного моделирования [6] процесса освоения МОП и рассматривать некоторые (или все) исходные числовые параметры модели как случайные величины, имеющие некоторый известный закон распределения вероятностей.
Рис. 1. Пример графа МОП
В данной статье в качестве случайной величины рассматривается оценка r,, которую получает обучаемый при тестировании по модулю m,-. При этом общее время T0 освоения образовательной программы также будет случайной величиной. Заметим, что величины Ati и Дт,- правильнее считать также случайными, однако это принципиально ничего не меняет в плане разработки процедуры имитационного моделирования.
Будем использовать случайный выбор на каждом шаге моделирования в двух направлениях: при выборе очередного модуля из множества допустимых для изучения модулей и при имитации результатов тестирования. В первом случае можно применить равновероятный выбор (хотя, как будет показано далее, можно разработать определенные правила предпочтения при выборе для изучения одного из доступных модулей), а во втором - использовать псевдослучайные числа с заданным дискретным распределением (например, сформированным на основе экспериментально полученной таблицы частот).
При компьютерной реализации разрабатываемой имитационной модели необходимо, прежде всего, решить проблему выбора качественного генератора псевдослучайных чисел (ГПСЧ). На сегодняшний день наилучшим качеством обладает генератор «вихрь Мерсенна», разработанный в 1997 г. японскими учёными Макото Мацумото и Такудзи Нисимура [7]. Этот генератор основывается на свойствах простых чисел Мерсенна и обеспечивает быструю генерацию высококачественных псевдослучайных чисел. Вихрь Мерсенна лишен многих недостатков, присущих другим ГПСЧ, таких как малый период, предсказуемость, легко выявляемая статистическая зависимость. Среди существующих вариантов алгоритма, различающихся только размером используемого простого числа Мер-сенна, наиболее распространенным является MT19937, который реализован, в частности, в виде специализации mt19937 шаблонного класса mersenne_twister_engine стандартной библиотеки языка С++ [8].
Для использования данного генератора необходимо объявить функциональный объект (функтор) класса mt19937 (например, так: mt19937 generator;) и при каждом обращении к нему будет генерироваться некоторое псевдослучайное число. Недостатком такого способа использования генератора является повторяемость последовательности получаемых чисел, т.е. при повторном запуске программы будет получена та же самая последовательность псевдослучайных чисел. Для устранения этого недостатка используют объявление функтора с числовым параметром (стартовым значением), который должен быть разным при повторных запусках программы. Стандартным приемом здесь является использование параметра, зависящего от текущего времени. Для этого используются воз-
можности класса system_clock, находящегося в разделе chrono стандартной библиотеки С++. Например, задать стартовое значение можно следующим образом: mt19937 generator((unsigned)system_clock::now(). time_since_epoch(). count());
При практическом использовании ГПСЧ обычно не применяют псевдослучайные числа в «сыром виде», а включают генератор в состав того или иного распределения (distribution). В стандартной библиотеке С++ представлены несколько шаблонных классов для создания различных функций распределения. Например, шаблон uniform_int_distribution<T> позволяет получить случайное целое число из заданного диапазона с использованием равномерного распределения, а шаблон discrete_distribution<T> - случайное целое число, удовлетворяющее заданному дискретному распределению (таблице частот). Таким образом, эти два шаблонных класса позволят решить все проблемы получения требуемых случайных чисел при программной реализации имитационной модели процесса изучения МОП на языке программирования С++. Заметим также, что аналогичные программные модули существуют и для других языков программирования, в частности для языка C# [9].
Построим имитационную модель процесса изучения МОП в виде цикла, на каждой итерации которого моделируется изучение и/или тестирование по одному модулю, а условием выхода является достижение финальной вершины f Событием в этой модели будем считать завершение обучения/тестирования по модулю и готовность к выбору следующего доступного модуля. При этом модельное время T0 будет изменяться по-событийно на величину Ati + Дт,- (если по модулю проводится обучение и тестирование) или Дт,-(в случае повторного тестирования по модулю с целью получения более высокой оценки).
Алгоритм 1. Имитационная модель процесса изучения МОП.
Вход. В качестве исходных данных для моделирования используются параметры, характеризующие граф образовательной программы G = (V, E), каждая вершина которого v, представлена кортежем (,, Д,-, Дт,-, id(v,-), od(v,), r,-, p,-), где i - номер модуля; Д,- -нормативная продолжительность изучения модуля; Дт,- - нормативная продолжительность тестирования по модулю; ,-d(v,-) - полустепень захода; od(v,) - полустепень исхода; r, - текущая оценка, полученная при тестировании; p, - признак необходимости изучения модуля (1 - необходимо изучить материал модуля, а затем пройти тестирование; 0 - необходимо только тестирование). Каждая дуга графа ek представлена кортежем (,, j, Rk), где , и j - номера смежных модулей; Rk - порог прохождения (условие актуализации дуги). К числу исходных данных относится также вариационный ряд распределения, характеризующий
вероятности получения конкретных оценок обучаемым (по 100-балльной шкале) в виде массива пар (rk, pk), где rk - оценка, pk - вероятность ее получения. Выход. T0 - общее время освоения МОП. Метод. Формируется контейнер C из множества V входных вершин графа G (заметим, что вершины графа V не нужно «физически» перемещать в контейнер C; достаточно хранить в нем просто их номера). Задается начальное значение модельного времени T0 = 0. Следующие действия выполняются в цикле.
Если контейнер содержит единственную вершину и это - финальная вершина f то процесс моделирования завершается.
Из контейнера C случайным образом выбирается вершина (модуль) vi и имитируется процесс изучения/тестирования с получением случайной оценки ri (для имитации случайного выбора модуля и случайной оценки используется соответствующий ГПСЧ). Модельное время T0 увеличивается на продолжительность изучения/тестирования.
В завершение очередной итерации цикла производится модификация контейнера C. Удаляются все исходящие из vi дуги ek, для которых выполняются условия r > Rk. При удалении дуг корректируется полустепень исхода для вершины vi и полустепени захода вершин Vj, в которые входят удаляемые дуги. Если оказывается od(vi) = 0, то вершина vi удаляется из C. Если при корректировке полустепени захода вершины Vj оказывается id(vj) = 0, то вершина v, включается в контейнер C.
Запись алгоритма 1 на псевдокоде:
C = множество входных вершин графа G; T0 = 0;
while(условие завершения == false ) { vi = случайный выбор из C; if( pi == 1 ) {
pi = 0; T0 += dti;
}
ri = случайная оценка; T0 += dtaui; for( ek in мн-во исход. из vi дуг ) { if( ri >= Rk ) { // ek входит в vj id(vj)--; od(vi)--; if( id(vj) == 0 ) C = C + vj;
}
}
if( od(vi) == 0 ) C = C - vi;
}
T0 - результат моделирования
В результате и-кратного прогона алгоритма 1 получается случайная выборка значений T0, для которой вычисляются статистические оценки величины T0 (выборочное среднее, выборочное среднее квадрати-ческое отклонение и др.), используемые в последующем при планировании образовательного процесса.
Усложним разработанную имитационную модель, дополнив ее известным из экспериментальной психологии эффектом постепенного забывания изученного материала с течением времени. Этот эффект был экспериментально подтвержден в 1885 г. немецким психологом Германом Эббингаузом, который простроил «кривую забывания» (curve of forgetting), имеющую форму, похожую на убывающую экспоненту. В последующем многочисленные исследования подтверждали и уточняли форму этой кривой [10]. Для целей настоящей публикации примем, что знания, приобретенные обучаемым при изучении модуля mi и зафиксированные в полученной оценке ri с течением времени убывают, что выражается в уменьшении величины ri по экспоненциальному закону:
r (t)=rie) ,
где t - текущее модельное время; ti - модельное время, соответствующее моменту получения оценки ri; а - коэффициент, характеризующий «скорость забывания» обучаемым изученного материала.
Зависимость величины ri от времени существенно усложняет имитационную модель, так как в момент получения оценки ri выполнение условия ri > Rk уже не дает оснований для удаления дуги ek, из-за того, что на следующем шаге моделирования величина ri уменьшится и условие ri > Rk уже может и не выполняться. Предлагается иметь два контейнера вершин (модулей): основной C, в котором находятся вершины с нулевой полустепенью захода (текущие входные вершины), и дополнительный C1, формируемый заново на каждом шаге моделирования. В этот контейнер помещаются вершины - «кандидаты», у которых текущее значение полустепени захода равно нулю и они еще не выбирались для изучения (в контейнере C1 также будут находиться не сами вершины, а их номера). Наполнение контейнера C1 производится в процессе перебора всех вершин из C, пересчета их оценок ri на текущее модельное время и «виртуального» удаления дуг ek при выполнении условий ri > Rk для текущего значения модельного времени. Таким образом, к началу очередного шага моделирования имеется два контейнера вершин (при этом контейнер C1 может оказаться пустым). Выбор модуля для изучения/тестирования может производиться как из C, так и из C1. При этом предпочтение отдается контейнеру C1. Если C1 не был пустым, то выбранный из него модуль vi переносится в основной контейнер, входящие в него дуги удаляются (уже не «виртуально»!), по этому модулю проводится изучение и тестирование, а сам контейнер C1 обнуляется.
Алгоритм 2. Имитационная модель процесса изучения МОП с учетом эффекта забывания ранее изученного материала с течением времени.
Вход. Те же данные, что и в алгоритме 1, дополненные следующими параметрами. К кортежу, представляющему вершину vi, добавляется еще один атрибут ti, который будет хранить модельное время, соответствующее моменту получения оценки ri. «Кривая забывания» представляется коэффициентом а, характеризующим «скорость забывания» обучаемым изученного материала.
Выход. T0 - общее время освоения МОП.
Метод. Формируется контейнер C из множества входных вершин графа G и пустой контейнер C1. Задается начальное значение модельного времени T0 = 0. Следующие действия выполняются в цикле.
Если контейнер C содержит единственную вершину и это - финальная вершина f, то процесс моделирования завершается.
Если контейнер C1 не пуст, то из него случайным образом выбирается вершина vi, она переносится в контейнер C, назначается «вершиной для изучения» и контейнер C1 обнуляется. При переносе вершины vi в контейнер C входящие в нее дуги удаляются (не «виртуально»!), корректируются полустепени исхода смежных вершин, находящихся в контейнере C, в результате чего для некоторых из них может оказаться od(vj) = 0, и такие вершины удаляются из контейнера C.
Если же контейнер C1 пуст, то вершина vi выбирается из контейнера C. При этом предпочтение отдается вершинам (модулям), по которым изучение материала еще не проводилось (у них признак pi = 1).
Имитируется процесс изучения/тестирования модуля vi с получением случайной оценки ri. Модельное время T0 увеличивается на продолжительность изучения/тестирования. Фиксируется время получения оценки ti, равное текущему модельному времени.
В завершение очередной итерации цикла заново формируется контейнер C1. Для этого в цикле перебираются вершины из C, для каждой из них пересчи-тываются оценки ri на текущее модельное время и «виртуально» удаляются дуги ek при выполнении условий r > Rk . При удалении дуг «виртуально» корректируются полустепени захода вершин vj, в которые входят удаляемые дуги. Если при корректировке полустепени захода вершины v, оказывается id(vj) = 0, то вершина v, включается в контейнер C1.
Запись алгоритма 2 на псевдокоде: C = множество входных вершин графа G;
C1 = пустое множество;
T0 = 0;
while(условие завершения == false ) { if( C1 не пуст ) {
vi = случайный выбор из C1;
for( vj in C )
if( VI и vj смежные вершины ) { od ^ ) —;
1:С( od(vj) == 0 ) С = С - vj ;
}
С = С + VI; id(vi) = 0; С1 = пустое множество;
}
е^е vi = случайный выбор из С; if( pi == 1 ) { pi = 0; Т0 += dti; } ^ = случайная оценка; Т0 += dtaui; ^ = ТО; // формирование С1 ^г ( vi in С ) {
гИ = ri*exp(-alpha*(T0-ti)); ^г ( ек in мн-во исход. из vi дуг ) if( г1i >= Rk ) { // ек входит в vj id1(vj)--; if( id1(vj) == 0 ) С1 = С1 + vj;
}
}
}
Т0 - результат моделирования Построенная имитационная модель позволяет проводить вычислительные эксперименты с учетом индивидуальных особенностей обучаемых, которые представлены в модели «коэффициентом забывания» и вариационным рядом распределения оценок.
Литература
1. Lightfoot Jay M. A Graph-Theoretic Approach to Improved Curriculum Structure and Assessment Placement // Communications of the DMA. 2010. Vol. 10(2), P. 59 - 74.
2. Mathematics Flow Chart. URL: www.sbcc.edu/assessme ntcenter/files/MathFlow%20Chart.pdf (дата обращения: 11.07.2015)
3. Харари Ф. Теория графов / пер. с англ. и предисл. В.П. Козырева; под ред. Г. П. Гаврилова. 2-е изд. М.: Едиториал УРСС, 2003. 296 с.
4. Computer Science and Engineering. URL: catalogue.uci.edu/ allcourses/cse/ (дата обращения: 11.07.2015).
5. Гуров С.И. Булевы алгебры, упорядоченные множества, решетки: Определения, свойства, примеры. 2-е изд. М.: Либроком, 2013. 352 с.
6. Кельтон В., Лоу А. Имитационное моделирование. Классика CS. 3-е изд. СПб.: Питер; Киев: Издательская группа BHV, 2004. 847 с.
7. Matsumoto M., Nishimura T. Mersenne Twister: A 623-Dimensionally Equidistributed Uniform Pseudo-Random Number Generator, ACM Transactions on Modeling and Computer Simulation, Vol. 8, No. 1, January 1998, P. 3 - 30.
8. Mersenne twister random number engine. URL: www. cplusplus.com/reference/random/mersenne_twister_engine/ (дата обращения: 11.07.2015).
9. C# Mersenne Twister random integer generator implementation (SFMT) monte carlo simulation. URL: stackoverflow. com/questions/1166408/c-sharp-mersenne-twister-random -integer-generator-implementation-sfmt-monte-ca (дата обращения: 11.07.2015).
10. Averell L., Heathcote A. The form of the forgetting curve and the fate of memories // Journal of Mathematical Psychology, 55, 2011. P. 25 - 35.
References
1. Lightfoot Jay M. A Graph-Theoretic Approach to Improved Curriculum Structure and Assessment Placement // Communications of the IMA. v. 10(2), pp. 59-74.
2. Mathematics Flow Chart. Available at: www.sbcc.edu/assessmentcenter/files/MathFlow%20Chart.pdf (accessed 11.07.2015).
3. Harari F. Teorija grafov [ Per.s angl. i predisl]. Moscow, Editorial URSS Publ. 2003, 296 p.
4. Computer Science and Engineering. Available at: catalogue.uci.edu/allcourses/cse/ (accessed 11.07.2015).
5. Gurov S.I. Bulevy algebry, uporjadochennye mnozhestva, reshetki: Opredelenija, svojstva, primery. [Boolean algebra, ordered sets, grids: Definitions, properties, examples]. Moscow, Librokom Publ, 2013, 352 p.
6. Kel'ton V., Lou A. Imitacionnoe modelirovanie. Klassika CS. [Averill M. Law, W. David Kelton. Simulation Modeling and Analysis]. St. Petersburg Publ; Kiev, BHV Publ, 2004, 847 p.
7. MatsumotoM., NishimuraT. Mersenne Twister: A 623-Dimensionally Equidistributed Uniform Pseudo-Random Number Generator. ACM Transactions on Modeling and Computer Simulation, vol. 8, no. 1, January 1998, pp. 3-30.
8. Mersenne twister random number engine. Available at: www.cplusplus.com/reference/random/mersenne_twister_engine / (accessed 11.07.2015).
9. C# Mersenne Twister random integer generator implementation (SFMT) monte carlo simulation. Available at: stackover-flow.com/questions/1166408/c-sharp-mersenne-twister-random-integer-generator-implementation-sfmt-monte-ca (accessed 11.07.2015).
10. Averell L., Heathcote A. The form of the forgetting curve and the fate of memories // Journal of Mathematical Psychology, 2011, 55, pp. 25-35.
Поступила в редакцию 18 июня 2015 г.
