Моделирование процесса СВС-прессования крупногабаритных кольцевых изделий Текст научной статьи по специальности «Физика»

А. П. Амосов, А. Ф. Федотов

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА СВС-ПРЕССОВАНИЯ КРУПНОГАБАРИТНЫХ КОЛЬЦЕВЫХ ИЗДЕЛИЙ

Энергетическим методом выполнено моделирование процесса СВС-прессования крупногабаритных кольцевых изделий в оболочке конечных размеров из сыпучего материала. В модели учтены ступенчатое изменение нагрузки, неизотермический характер процесса и особенности структурного состояния продуктов синтеза. Адекватность модели реальному физическому процессу подтверждена экспериментально.

Высокоэффективным способом получения тугоплавких соединений и материалов на их основе является самораспространяющийся высокотемпературный синтез (СВС), протекающий в режиме горения. Исходная шихта в СВС-технологиях представляет собой экзотермическую смесь порошкообразных компонентов и дисперсное состояние шихты наследуется продуктами синтеза. Для получения компактных материалов неостывшие продукты СВС, находящиеся в пластичном состоянии, уплотняют механическим воздействием. Одной из схем технологического компактирования, совмещенного с процессом СВС, является СВС-прессование, при котором деформирование осуществляется в закрытой матрице [1, 2]. Для теплоизоляции от холодного инструмента и дренажирования примесных газов продукты СВС размещаются в оболочке из сыпучего материала.

Показателями качества служат макроскопическая плотность синтезированного материала и размерная точность изделия. Прогнозную оценку плотности и размеров можно получить из аналитической модели процесса совместного деформирования горячей пористой заготовки и сыпучей оболочки. Из-за высокой стоимости исходных материалов и большой трудоемкости процесса проблема моделирования закономерностей уплотнения и формоизменения особо актуальна при изготовлении крупногабаритных изделий [3]. Основу математического моделирования процесса обработки давлением продуктов СВС составляет решение начально-краевой задачи теории пластичности пористых сред. Адекватность математической модели процесса СВС-прессования обусловлена температурным режимом деформации, выбором реологической модели материала, заданием начальных и краевых условий. Температурный режим определяет агрегатное состояние конденсированной фазы, механизм пластического течения и количественные характеристики сопротивления деформации твердой фазы (вязкость или предел текучести). Реологическая модель отражает механизм высокотемпературной деформации твердой фазы (вязкое, вязкопластическое или пластическое течение). Начальные условия описывают распределение плотности до начала деформирования. Г раничные условия выражают взаимодействие обрабатываемого материала с инструментом-оболочкой путем задания компонентов вектора скоростей или напряжений.

Необходимые для решения краевой задачи физические и реологические константы материала определяются из натурных [3] или модельных [4] экспериментов. Однако при обработке экспериментальных данных в этих работах не учтены специфические особенности макрострук-турного состояния продуктов горения: присутствие расплава легкоплавких компонентов, изменение плотности и объема вещества при химических реакциях, примесное газовыделение. Недостатком модели процесса СВС-прессования, рассмотренной в [3], является использование схемы одноосного прессования пористой заготовки в жесткой пресс-форме без учета оболочки и внешнего трения. При такой схематизации процесса материальные функции, определенные из экспериментальных данных (предел текучести, коэффициент вязкости, функции плотности), относятся не к продуктам синтеза, а ко всей неоднородной среде (продукты СВС и оболочка) фиксированных размеров. Полученные в [3] количественные меры реологических свойств имеют частный характер и не могут быть использованы для описания закономерностей СВС-прессования изделий с другими размерами и формой.

Цель работы - математическое моделирование процесса СВС-прессования крупногабаритных кольцевых изделий с учетом особенностей физического и структурного состояния материала и реальных граничных условий. Моделирование кинематических и силовых параметров процесса выполняется энергетическим методом верхней оценки. В качестве компактируемого

материала рассматриваются продукты горения системы Т - 2В - 55% (мас.) 'Л. Согласно диаграмме состояния продуктом синтеза является твердый сплав состава Т1В - 21% (мас.) Т1. Температура горения Тг рассматриваемой системы составляет Тг = 2120 К [5] и превосходит эвтектическую температуру системы Т - В, равную 1970 К [6]. Поэтому продукты синтеза состоят из твердых частиц борида титана Т1В и боридотитанового расплава.

Рассмотрим задание начальных условий: плотности и размеров продуктов синтеза. Исходным объектом является пористая шихтовая заготовка. Для шихтовой заготовки известны размеры, абсолютная йш и относительная рш плотности. Параметры макроструктуры продуктов СВС формируются в результате протекания трех процессов, сопровождающихся изменением объема вещества и пористого тела:

1) изменение плотности и объема конденсированной фазы в результате химических превращений;

2) выделение значительного количества газов, которые были адсорбированы или растворены в исходных компонентах, характерное для системы Т - В;

3) твердо- и жидкофазное спекание продуктов СВС.

Примем следующую модель формирования начальной плотности и размеров синтезируемой заготовки. Будем считать, что при горении, которое протекает при незначительном давлении подпрессовки, за счет внутреннего давления примесного газовыделения сохраняются размеры шихтовой заготовки. Процессом уплотнения при спекании вследствие быстротечности синтеза можно пренебречь. Тогда заготовка из продуктов СВС будет наследовать размеры шихтовой заготовки. Начальная относительная плотность рСвс при этом будет равна

р СВС =р ш , (1)

“ СВС

где ёСВС - теоретическая абсолютная плотность беспористых продуктов синтеза. Значения начальной относительной плотности шихты и продуктов синтеза приведены в табл. 1. Отметим заметное отличие рСВС от рш.

Таблица 1

Параметры плотности и размеров шихтовой заготовки и продуктов синтеза

dШ, Рш <Зсвс, рСВС ть Рх ^ш , Ьсвс , Мш , hlcвc ,

г/см3 г/см3 мм мм мм мм

4,0 0,54 5,08 0,425 0,31 0,293 49 42 35 25,5

В нормальных условиях при отсутствии разрыхляющего действия газовыделения начальная плотность продуктов СВС не может быть меньше насыпной плотности дисперсной среды. Пространственную устойчивость дисперсного твердожидкого тела определяет насыпная плотность твердой фазы рх. Относительная плотность твердой фазы рх в пористом твердожидком теле связана с его относительной плотностью р соотношением

р5 = р(1 - ть), (2)

где ть - объемная доля жидкой фазы в компактном материале. Величина ть связана с абсолютной плотностью твердой фазы (борид титана) й?Тв и расплава ёь зависимостью

^ТгБХ Ь

( -V (3)

^ПБХЬ + V1 ХЬ )

где хь - массовая концентрация жидкой фазы. Охлаждение продуктов синтеза сопровождается кристаллизацией жидкой фазы и уменьшением величины тЬ. Температурный интервал кристаллизации АТ = Тг - Тэвт составляет 150 К и можно ограничиться линейной зависимостью объемной доли расплава тЬ от температуры Тк. Из граничных условий для сплава Т1В - 21% (мас.) Тг при Тг = 2120 К величина тЬ = 0,31 и при Тэвт = 1970 К - тЬ = 0,28 получим

тЬ = 2,3-10-4 Тк - 0,175. (4)

Объемная доля жидкой фазы тЬ в беспористом материале при температуре Тг составляет тЬ = 0,31, и начальная величина р^ равна р^ = 0,293 (см. табл. 1). Насыпная плотность является структурно-чувствительной характеристикой и зависит от формы и размера частиц, состояния их поверхности, фракционного состава и от плотности самого вещества. В присутствии расплава частицы продуктов СВС имеют форму сфер примерно одинакового диаметра. Для монодис-персных сферических частиц со случайной упаковкой теоретическая величина насыпной плот-90

ности составляет рн = 0,52 [7]. Согласно расчетам начальная плотность р^ в продуктах СВС меньше насыпной плотности и это означает, что за счет внутреннего давления примесных газов поддерживается взвешенное состояние твердой фазы.

Результаты экспериментов по кинетике уплотнения продуктов горения системы Т1 - В [3] свидетельствуют о резком, почти мгновенном уплотнении в начальный момент под действием только веса подвижных частей пресса. Такую аномально высокую скорость уплотнения следует связать с начальным аэродисперсным состоянием продуктов СВС. Сопротивление деформации в таком состоянии пренебрежимо мало и скорость уплотнения на этой стадии пропорциональна скорости снижения внутреннего давления примесных газов в продуктах синтеза. Продукты горения при этом уплотняются до величины насыпной плотности твердой фазы, которая составляет рж = 0,52. Примем, что уплотнение до насыпной плотности происходит при неизменных радиальных размерах включения. Тогда после уплотнения до насыпной плотности рж плотность продуктов СВС составит

- 0,52

р СВС — , . (5)

1 - тЬ

Высота СВС-заготовки будет равна

К =—, (6)

р СВС

а общая высота деформируемого объема -

Я, - г,2

И — И0 — (И1ш — ----V , (7)

Я м - ГМ

где И0 - начальная высота деформируемого объема; Н1ш - высота шихтовой заготовки; гМ, г -внутренние радиусы матрицы и заготовки; ЯМ, Я\ - наружные радиусы матрицы и заготовки. Величины И и Иь определяемые зависимостями (6), (7), представляют собой начальные значения, с которых начинается собственно пластическая деформация твердой фазы продуктов синтеза и оболочки. Как и в работе [3], будем рассматривать СВС-прессование с размерами шихтовой заготовки И1ш = 35 мм, Г1ш = 74 мм, Я\ш = 113 мм в матрице с И0 = 49 мм, гМ = 67 мм, ЯМ = 120 мм.

Продукты синтеза саморазогреваются до температуры горения Тг. Технологические задержки во времени, необходимые для сгорания всего объема шихтовой заготовки, завершения процессов догорания и дренажирования примесных газов, приводят к охлаждению продуктов синтеза до температуры компактирования Тк. Температурный режим деформации продуктов СВС является предметом специального исследования. В первом приближении температуру Тк можно оценить из решения задачи об охлаждении пластины в неограниченной среде с граничными условиями 1У-го рода [8]. Коэффициенты теплопроводности расплава 1Ь и компактного двухкомпонентного твердожидкого материала 1к рассчитывались по зависимостям [9]

1Ь — 1 ТгХТг + 1 ТгБ (1 — ХТг ) — 0,72|1 Тг — 1 ТгБ |ХТг (1 — ХТг) ; (8)

1 к —1ЬХЬ +1 ТгБ (1 — ХЬ ) — 0,72|1Ь —1ТгБ\ХЬ (1 — ХЬ ) . (9)

Удельную теплоемкость Сь расплава и твердожидкого материала определяли по правилу аддитивности. При расчетах теплофизических свойств принималось [10-12]: йТ1 = 4,52 г/см ; 1Т1 = 18 Вт/м-К; СТ1 = 700 Дж/кг-К; йТ1В = 5,26 г/см3; СТ1В= 916 Дж/кг-К в твердом состоянии и СТ1в= 1145 Дж/кг-К в жидком состоянии. Теплопроводность борида титана Т1В не исследована и поэтому использовались данные для диборида титана Т1В2 для температуры 2100 К: 1 ТШг = 100 Вт/м-К

[10]. Плотность, теплопроводность и теплоемкость пористого материала определяли по зависимостям

й — йСВС (1 — 0) ; 1! — 1 к (1 —1,50); С — Ск (1 — 0) + Су0 , (10)

где Су - удельная теплоемкость воздуха, равная Су = 1005 Дж/м-К; 0 - пористость включения, связанная с относительной плотностью р зависимостью 0 = 1 - р. Результаты расчета плотности й\, коэффициента теплопроводности 1 и теплоемкости С представлены в табл. 2. Для песка соответствующие свойства равны [11]: й2 = 1,5 г/см3, 12 = 0,326 Вт/м-К , С2 = 795 Дж/кг-К.

Теплофизические свойства продуктов синтеза

Плотность йь г/см3 1ь Вт/м -К С!, Дж/кг-К

р = 1 5,08 68,7 888

р = 0,425 2,16 9,44 955

р = 0,74 3,76 41,9 918

Согласно циклограмме процесса [3] компактирование продуктов синтеза начинается приблизительно через / = 5 с после сгорания всего объема шихты. В течение этого времени продукты синтеза находятся во взвешенном состоянии. Высота СВС-заготовки остается равной высоте шихтовой заготовки И1СВС = И]ш = 35 мм, а плотность составляет рСВС = 0,425. Соответствующие значения теплофизических свойств приведены в табл. 2. Из решения тепловой задачи за время / = 5 с средняя по толщине заготовки температура Тк уменьшается с Тг = 2120 К до величины Тк = 2060 К (рис. 1). При этой температуре начинается процесс прессования, и продукты синтеза практически мгновенно уплотняются до насыпной плотности твердой фазы. При температуре Тк = 2060 К объемная доля расплава в продуктах синтеза составляет тЬ = 0,3. Из соотношения (5) найдем плотность конденсированной фазы рСВС = 0,74, а из зависимостей (6), (7) - высоту СВС-заготовки И1СВС = 25,5 мм и общую высоту деформируемого объема ИСВС = 42 мм (см. табл. 1). Эти значения плотности и размеров заготовки использовались для расчета теплофизических свойств (см. табл. 2), решения тепловой задачи и моделирования процесса деформирования.

Ключевым моментом при моделировании процесса деформирования является выбор реологической модели материала. Теплоизолирующая оболочка (песок) является сыпучей средой. В теории горячего прессования тугоплавкие соединения, в том числе и бориды, считаются вязким телом [13]. Общим физическим свойством продуктов СВС и песчаной оболочки является дисперсное состояние твердой фазы. Деформирование дисперсных сред происходит путем скольжения частиц или за счет их пластической деформации. Причем деформация частиц является неоднородной и пластически деформируется не весь объем твердой фазы, а лишь его часть - пластический кластер [14]. В сыпучих материалах с пластичными или хрупкими частицами возможны оба механизма деформации. При квазиста-тическом течении вязкая среда прилипает к граничным поверхностям. Поэтому в дисперсновязких телах скольжения частиц нет и деформирование связано только с вязким течением твердой фазы.

Процесс течения тугоплавких соединений происходит по механизму нелинейной ползучести:

в — Аст п , (11)

где е - скорость ползучести; ст - напряжение; п - показатель нелинейности. Температурная зависимость процесса течения определяется коэффициентом А :

С ( ЦЛ

J,

где Т - термодинамическая температура; V - энергия активации; k - постоянная Больцмана; С -константа.

Определяющая зависимость между тензором напряжений <3р и тензором скоростей деформаций вц для пористого тела с произвольным законом течения твердой фазы имеет вид [15, 16]

Р и с. 1. Кинетика остывания продуктов синтеза

А — — ехр

Ш

(12)

=

а( м) м

У —1ФІе5,, + Фе,

(13)

где м - эквивалентная скорость деформации твердой фазы; <з(м>) - эквивалентное напряжение; е - скорость изменения объема; Ъц - символ Кронекера; у, ф - функции относительной плотности р:

У =

2 р3

Ф = Р

(14)

3 1-р

Эквивалентная скорость деформации твердой фазы м выражается через инварианты макроскопического тензора скоростей деформаций:

м =

1

/ар

2уе2 + фЯ2

(15)

где а - объемная доля пластически деформируемой твердой фазы; Н - интенсивность скоростей деформаций сдвига. Параметр а отражает неоднородный характер деформации частиц твердой фазы дисперсного тела [14] и равен:

а = р

2 р — р0 1 — Ро

(16)

где р 0 - насыпная плотность порошкового материала.

Для песка в [17] получено соотношение для эффективного объема пластического кластера, которое интегрально учитывает диссипацию энергии внутренним трением и неоднородный характер деформации частиц:

а = 1 — ехр

— 1,3| 1п 0 91 — р о 0,91 — р

(17)

Информация о механизме течения твердой фазы содержится в зависимости между скоростью деформации м и напряжением <з(м). Для линейно-вязкого тела эта зависимость имеет вид [16]

ст( м)

м =

(18)

(19)

2 П

где "По - коэффициент сдвиговой вязкости твердой фазы; для нелинейно-вязкого тела

м = 2 А1стп (м).

Коэффициент 1/2 в (19) выбран из условия предельного перехода при п = 1, когда А1—1 = п0 . Коэффициент Л\ аналогично (12) определяет температурную зависимость течения. Определяющие соотношения для пористого нелинейно-вязкого тела с учетом (19) имеют вид

2уе2 + фЯ 2 ар

У— 3 ф] е5, +ФеУ

(20)

Материал оболочки (несвязанный грунт) будем считать жесткопластическим телом [18]. Для жесткопластического тела напряжение ст(м) соответствует удвоенному пределу текучести при сдвиге х8 пластичных или пределу прочности хь хрупких частиц. В нашем случае частицы песка являются хрупкими и

ст(м) = 2хь. (21)

Для сыпучей оболочки после подстановки соотношения (21) в (13) получим

2уе2 + фН2

У— * Ф] е5, +ФеУ

(22)

Реологическая модель продуктов СВС должна отражать присутствие жидкой фазы. Сопротивление сдвигу в жидкой фазе на несколько порядков ниже, чем в твердой фазе. В приближении идеальной жидкости сопротивление вязкому течению оказывает только твердая фаза, а жидкую фазу можно рассматривать как несжимаемую пору [19]. Тогда для пористого твердо-

жидкого тела мерой уплотнения будет служить относительная плотность твердой фазы рз. С точки зрения реологии параметр рз является эффективной плотностью твердожидкого тела. Соответственно в определяющих уравнениях (20) при температуре компактирования используется относительная плотность твердой фазы рз. Плотность р продуктов синтеза при нормальной температуре после кристаллизации жидкой фазы находится по обратной зависимости (2).

Экспериментальные исследования закономерностей Таблица 3 СВС-прессования крупногабаритных колец рассмотрены в

Параметры нагружения работе [3]. В экспериментах осуществлялось ступенчатое из-

менение нагрузки с выдержками при постоянном давлении д в течении заданного времени tв (табл. 3). При анализе процесса на стадии активного прессования будем использовать метод верхней оценки мощности пластической деформации; во время пауз при фиксированном давлении прессования -кинетическое уравнение уплотнения при заданных статических граничных условиях.

Деформируемый осесимметричный объем разобьем на 6 блоков (рис. 2): включение 1 (продукты СВС) и пять блоков оболочки. В реальном объекте включение 1 со всех сторон окружено оболочкой. Поэтому в блоки 3, 4, 5 объединены объемы оболочки, расположенные сверху и снизу включения.

Эксперимент q, МПа tв, с

13,3 4

1 25 1

87 1

124 8

8,8 11

2 106 3

214 2

ш.

4

Ur

Ri

Р и с. 2. Схематизация процесса СВС-прессования кольцевой заготовки

На этапе прессования скорость перемещения пуансона v0 считается известной. На границах раздела блоков скорости течения непрерывны, но их значения неизвестны. Кинематически допустимое поле скоростей осесимметричного течения зададим из условия однородности объем-

ной деформации e в соответствующем блоке:

e =ez + er + e9 = const, (23)

где ez, er, e9 - компоненты тензора скоростей деформаций:

dvz dv vr

ez = d ; e = d ; j =T ' (24)

Здесь vz,vr - осевая и радиальная скорости пластического течения материала. Положим, что скорость vz зависит только от координаты z , а скорость vr - только от координаты г. Тогда условие (23) можно записать следующим образом:

dv dv v

—- = const; —- + —- = const. (25)

dz dr r

Решение уравнений (25) имеет вид

vz (Z) = C1Z + C2'; vr (r) = C3r + C4r _1. (26)

Постоянные интегрирования находим из кинематических краевых условий для каждого блока:

М°) = 0; ^ (Н1 ) = у1; (г ) = и2; (^1 ) = иб; ^2 (0) =0; ^ (Н) = ; V* (гм ) =0;

2 (г ) = и2; ^ (°) = °; ^з (Н) = ^; ^з (г« ) = °; ^з (г ) = из; ^4 (Н1 )=^; ^ (Н) = ;

Уг4 (г1 ) = из; Уг4 (^1 ) = и5; ^ (°) = °; ^ (Н) = у°; ^ (*1 ) = и5; ^5 (*м ) = °; VIб (°) = °;

^б (Н) = ^; ^^гб (^1) = иб; ^гб (*м) = ° •

(27)

Из краевых условий (27) определим компоненты тензора скоростей деформаций в каждом блоке деформируемого объема:

V г ^ г ^

е21 = --1- ; ег1 = [(иб*1 - и2 г1 - (и2*1 - ибеф1 = [(иб*1 - и2г1 + (и2*1 - иб

Н- г г

V г2 г2 г2

ег2 = егз - ; ег2 = и2г1 (1 - -М)К; еф2 = и2г1 (1 + -М-)К; егз = изг1 (1 - -М-)К2;

Н г г г

г2 V — V г К

ефз = изп(1 + -М-)К2; ег4 =--н—*-; ем = [(и5^ - изг1 - (из*1 - ^гОЛ^К!; г2 Н - Н1 г2

еФ4 = [(и5*1 - изг1 + (изК1 - и5г1 ) ; ег5 = егб = - ^ ; ег5 = -и5*1 (1 + ^^)Кз ;

г Н г

п 2 о 2 о 2

еф5 = -и5 *1 (1 - -2-) Кз; ег б = -иб *1 (1 + -2-) Кз; ефб = -иб *1 (1 - -2) Кз,

г г г

(28)

где Н, Н1 - текущие высоты всего деформируемого объема и включения 1. Множители К1, К2 и Кз равны

К = (*12 -г12)-1; К2 = (г12 -г2м)-1; К3 = (*М -(29)

Нетрудно убедится, что при принятом поле скоростей скорости объемной деформации блоков не зависят от координат. Это означает, что плотность в каждом блоке во все моменты времени распределяется равномерно.

Соотношения (2б) и вытекающие из них уравнения (28) справедливы в случае вязкого сжимаемого включения. При аэродисперсном состоянии вязкость продуктов СВС близка к нулю и они не оказывают сопротивления пластическому течению. Соответственно можно положить, что на границах включения и оболочки напряжения будут равны нулю:

СТ *1 =СТ * 4 = ° ; СТ г1 =СТ г 2 = °; СТ г1 =СТ г б = °. (з°)

Из статических граничных условий (з°) вытекают следующие соотношения между осевыми и радиальными компонентами скоростей течения для блока 2:

и (зР 2 - 1)г1(г12 - гМм ) V° (з1)

и2 =----------- ------------- ---, (з1)

(зр2 + 1)г12 + з(1 - р2)г2 Н

для блока 4:

V1 = V° - з(зР4 - 1)(Н - Н1) U—2----^ (з2)

* 1 - г1

и для блока 6:

(3р6 -1)Л,(Я2М - Я?) V0

(33)

(зрб +1)*12 + з(1 -рб)*М Н '

В итоге на начальном этапе прессования, когда продукты СВС находятся в аэродисперсном состоянии, виртуальное поле скоростей определяется двумя независимым параметрами - радиальными скоростями из и и5.

При уплотнении включения до беспористого состояния оно становится несжимаемым: е1=°. При несжимаемом включении скорости v1 и и2 , иб связаны между собой соотношением

„ = 2Н1(иб*1 - и2г1) (з4)

1 *2 - г12 ,

и свободными параметрами являются скорости и2, из, и5 и иб.

Действительное поле скоростей будем искать энергетическим методом. При постоянной скорости перемещения пуансона у0 действительное поле скоростей находится при минимизации следующего функционала [14]:

4 \

(35)

1 = & 0 = Е | | р dS + | вт р 4Б + 21 | Дтр 4Б + | ЛИр ЛЯ + { ЛИр

1=1 V 523 556 V Яз 54 55 0

где Q - усилие прессования; - удельная мощность пластической деформации во включении

(, =1) и оболочке (, = 2, 3, 4, 5, 6); V, - объемы соответствующих блоков; Я23, Я56 - площади боковых поверхностей матрицы; Я3 , Я4 , Я5 - площади поперечных сечений блоков 3, 4 и 5. Множитель 2 в последнем слагаемом учитывает трение на пуансоне и дне матрицы.

Мощность пластической деформации равна

О = а Л. (36)

Для пористого нелинейно-вязкого тела (включение 1) получим

л { г\ ''Х п_1 п + 1

О = 2А0 (ар)^ (2уе2 + ФЯ2)2п . (37)

Скорость диссипации механической энергии в пористом жесткопластическом теле (оболочка) определяется выражением

О = хъл/ард/2уе2 +фЯ2 . (38)

Мощность активных сил, затрачиваемая на преодоление сил трения скольжения, равна

Отр =х * V, (39)

где х* - касательные напряжения на контактной поверхности; уск - скорость скольжения. Величину х* примем в соответствии с законом трения Прандтля [20] и с учетом параметра а:

13

х * =х ър 6^а . (40)

Скорости скольжения на поверхности пуансона и дне матрицы представляют собой радиальные компоненты скоростей течения в блоках 3, 4 и 5:

-г^-и (г _ -); ус*4 =

г,2 _ г22 г

г Я

(и6Я1 _ и2г1)г _ (и2Я1 _ и6Г\)^г

■- ЯТЯ(г _ ‘); <41)

на боковой поверхности матрицы - осевую компоненту скорости

vc*б = уо П . (42)

п

После определения параметров действительного поля скоростей оценивалось напряженное состояние и усилие прессования (верхняя оценка). Компоненты тензора напряжений для включения 1 рассчитывали по зависимости (20), для оболочки - по зависимости (22).

Усилие прессования Q находили из условия статического равновесия. В отличии от состояния пластического течения при статическом равновесии вместо закона трения Прандтля использовали закон трения Кулона. При наличии внешнего трения осевое давление распределено по высоте матрицы неравномерно: максимальное давление действует на пуансоне и снижается по мере приближения к дну матрицы. Согласно [21] давление д на пуансоне примем равным

д = |ст ,| + Гт р |ст г|— + Лф |ст ,\±~, (43)

ГМ Я М

где/тр - коэффициент трения скольжения Кулона, который связан с относительной плотностью песка зависимостью [17]

Лтр = 0,63р_0 73. (44)

Усилие Q находится суммированием давления д по площади пуансона. При этом следует учесть, что пуансон испытывает давление со стороны трех блоков - 3, 4 и 5. Кроме того, давление на стенку матрицы оказывают четыре блока 2, 3 и 5, 6 с радиальными напряжениями ст г 2,

*с*3 =

агз, аг5 и аг6. В качестве расчетных напряжений на внутренней аг(гм) и внешней аг(Нм) по-

верхностях матрицы примем средневзвешенные радиальные напряжения:

СТ г (ГМ ) = * [СТ г3 (* - *1 ) + СТ г2*1 ]; СТ г (] ) = * [СТ Г5 (А - [ ) + СТ г6*1 ]• (45)

Усилие прессования будет равно

0 = ||а 2з \ёБ + ||а г4+ | |ст ,5+ | /тр |ст г\& + | |ст г\& • (46)

5з ^4 55 ^23 ^56

Слагаемые в правой части уравнения (46) можно рассматривать как усилия, затрачиваемые соответственно на деформирование включения и центрального блока оболочки 04 , внутреннего кольцевого блока оболочки 03, внешнего кольцевого блока оболочки 05 и на преодоление силы трения оболочки о стенки матрицы 0,^:

0 = 03 + 04 + 05 + 0тр • (47)

С увеличением плотности песка давление на стенку матрицы неограниченно возрастает и вместе с ним возрастает удельная сила трения хтр. Однако ее значение не может превысить значения, допускаемого условием текучести. Учитывая, что напряжения стг , стф , стг , определяемые формулами (22), являются главными, максимальное касательное напряжение трения Прандтля будет равно [20]

(48)

В итоге усилие трения 0тр, расходуемое на преодоление сил внешнего трения оболочки, определяется выражением

0тр = | Х тр ^ + | Х тр ^ , (49)

где Т тр = /„

ПРИ /т

< т.

, - . х =х ,

тр | г | J тр | г | шах ’ тр шах J тр

Кинетика уплотнения пористой сжимаемой среды описывается уравнением неразрывности

Эр

при /тр аг ^тг

дґ

+ ре = 0.

(50)

В конце этапа активного прессования известны осевые, радиальные и окружные напряжения во включении: аг1, аг1, аф1. Статические граничные условия запишем в виде

а2і =— р ; агі = —Xір ; афі = —X2Р , (51)

где Р - осевое давление на включение 1 со стороны блока 4; Хъ Х2 - коэффициенты неизостатич-ности. Так как компоненты тензора напряжений известны, то уравнение (13) представим в виде зависимости ер от ар:

еР =

а( w)

1 ,11ч«

-а р + (3-)а'8 і

ф Зу ф

(52)

Из уравнения неразрывности (50) с использованием соотношений (19) и (51) получим уравнение кинетики уплотнения нелинейно-вязкого пористого кольца при постоянных компонентах тензора напряжений:

др

=р

4 р п

F

Зу

2у + 6у

Ф2

п—1 2

(53)

ар арф Г где функции неизостатичности Ф и Г имеют вид

Ф2 = (1-Х1)2 + (Х1 -X 2 )2 + (1 -X 2)2; Г = 1+ Х1 +Х 2. (54)

При выводе зависимостей размеров кольцевой заготовки от ее плотности примем условие однородности скорости изменения объема е и плотности р. Тогда поле скоростей будет описываться уравнениями (26). Из статических граничных условий (51) найдем постоянные интегрирования:

С =—-11 1 і к1

С2 = 0:

Сз =

Уе а н Н1 — а г1г1 ( 3У — 1

Зф

фа

н2 — Г12

С = У е а Н1 — а г

С4 _ е

ф а

Г12 Н Н2 — Г12

(55)

п

где ст т, ст г1 - радиальные напряжения на внешней и внутренней поверхностях кольца; ст -среднее напряжение. Компоненты поля скоростей связаны с геометрическими размерами кольца соотношениями

ёк1 с1г ёЯ1

у1 =----; и2 =-----; и6 =-------. (56)

1 С 2 Ж 6 С

Из зависимостей (52), (55) и (56) найдем закон изменения высоты включения *1:

1 2(1 Х1 Х2)

, , (р0 ^ 3 ( 1-р ) 3(1+Х1+Х2)

* =(Ш 1^0 (57)

и соотношение между внешним Я1 и внутренним г1 радиусами кольца:

2( Дг1 -д м)

«1 = Г ^ ( 11-р-^ 3° . (58)

г10 V1 -ро0

Из закона сохранения массы получим

2 2(1-Х1 -Х 2)

«12 - ,2 = «= - -й)^) ^ (^ ^ ^ (59)

Совместное решение уравнений (58) и (59) дает закон изменения внутреннего радиуса г1

2 («10 - Г10)Г10 г (р) (60)

Г1 = «2 , 2 (р) г 2 /1(р) (60)

«10 /2 (р) - Г10

и внешнего радиуса «1

„ 2 («10 - Г10)«10 г (р) /■ 2(р) (61)

«1 = р 2 г 2 ( )---Г /1 (р) • •/2 (р) (61)

«10/2 (р) - Г10

на этапе выдержке при постоянном давлении. Функции плотности /1(р) и /2 (р) равны

2 2(1-Х1 -Х2) 2( °г1 -ст «1)

/1(р) = (р0)5(^ ^’^р) ^ ‘ . (62)

В полученных зависимостях индекс 0 относится к плотности и размерам заготовки в начале этапа выдержки под давлением.

Реологические свойства продуктов СВС определяются термокинетическими параметрами нелинейной ползучести борида титана: показателем нелинейности п, предэкспонентом С и энергией активации V. Экспериментальные значения этих параметров получены в [13] при горячем изотермическом прессовании порошков тугоплавких соединений в жесткой пресс-форме. При выводе аналитического уравнения использовалась объемная вязкость С линейного тела, равная

С^/3- . (63)

1 -р

В нашем случае значение функции у (14) приводит к выражению

4 р3

С = 3 П0^ , (64)

3 1 -р

т.е. отличается от используемого в [12] коэффициентом 4/3. Для нелинейно-вязкого тела коэффициент А1 будет связан с коэффициентом А из (12) и [13] зависимостью

п+1

А = (40 2 А. (65)

Величина энергии активации V и показатель нелинейности п инвариантны к формам представления объемной вязкости.

В связи с отсутствием в литературе данных по параметрам ползучести для борида титана 'ЛВ в расчетах использовались физические константы для диборида титана Т1В2 [13]: показа-

19 31 7 2

тель нелинейности п = 3, энергия активации V = 10-10- Дж, предэкспонент С = 1,6-10- м Н /с. С учетом соотношения (65) константа С будет равна С = 2,84-10-31 м7Н2/с. Материальные кон-

станты реологической модели песчаной оболочки равны [17]: предел прочности частиц песка ть = 115 МПа, насыпная плотность р0 =0,61.

Моделирование процесса на этапе активного прессования выполняли методом ступенчатого нагружения. При этом задавали шаг изменения времени А/, за который происходит осадка деформируемого объема на величину АН = у0А/. После каждого временного шага нагружения определяли новые значения температуры прессования Тк и объемной доли жидкой фазы ть. В каждом интервале А/ величины, зависящие от времени (относительная плотность р и размеры включения), считаются постоянными. Минимум функционала (35) находится методом координатного спуска с погрешностью вычисления скоростей 0,01 мм/с. Численное интегрирование при вычислении мощности и компонентов тензора напряжений в блоках выполнялось по методу Симпсона. После минимизации функционала (35) и определения параметров поля скоростей вычисляются приращения осевых и радиальных размеров блоков за время А/ и определяются новые значения размеров блоков и плотность материала в них. Плотность включения на ¿-том шаге находится из закона сохранения массы. При расчете плотности материала оболочки граница между блоками 3-4 и 5-6 считалась проницаемой. В начале каждого шага радиусы блоков 3, 4 и 5 равны радиусам включений: Я3 = г1; г4 = г1; Я4 = Я^ г5 = Я1. При изменении радиусов блоков массоперенос через границу блоков 3 и 4 задается соотношением

При Яы > Г\к перетекание материала происходит из блока 3 в блок 4 и плотность р в выражении

(66) равна р = р3к; при Яз* < г\к поток массы направлен в противоположную сторону и р = р4к . Массоперенос через границу блоков 4-5 равен

Массы АМ34 и АМ45 алгебраически суммируются с массами соответствующих блоков, и рассчитывается средняя по объему плотность материала в блоке 4 и объединенных блоках 2-3 и 5-6. Такое осреднение приводит к скачкообразному изменению плотности блоков. На этапе выдержки при фиксированном давлении принималось, что плотность блоков оболочки не изменяется. При изменение радиальных размеров включения радиальные границы блоков считались проницаемыми. Массоперенос через эти границы определялся по зависимостям (66), (67). Текущая высота деформируемого объема Н находилась из закона сохранения массы оболочки.

(66)

(67)

0,5 *-

0

О 2,5 5 7,5 10 12,5 15 г, с

а

д, МПа

0,5 ^

0

0

4

8

12

16 і, с

б

Р и с. 3. Изменение относительной плотности р (1, 2, 4) и давления q (3) при СВС-прессовании по режимам эксперимента 1 (а) и 2 (б): 1 - результаты эксперимента; 2 - расчет;

4 - расчет по модели [3]

Уравнение (53) решалось методом Рунге-Кутта 4-го порядка с шагом интегрирования Dt = 0,25 с. Расчетные значения граничных условий (51) представлены в табл. 4. Для расчета коэффициентов неизостатичности X и Х2 использовались компоненты тензора напряжений для среднего гср радиуса заготовки: стг1(гср), стг1(гср), стф1(гср). Интегрируемой функцией являлась плотность ps и после расчета ps определялась плотность р после кристаллизации жидкой фазы. На каждом шаге интегрирования по зависимостям (57), (60), (61) выполнялся расчет текущей высоты и радиусов изделия.

Результаты расчета, представленные на рис. 3, показывают достаточно хорошее соответствие с экспериментальными данными. Это свидетельствует об адекватности принятых физических моделей структурного состояния и связанных с ними теплофизических и реологических свойств продуктов синтеза, а также о достоверности модели пластического течения песчаной оболочки. Наибольшая скорость уплотнения характерна для начального аэродисперсного состояния продуктов синтеза. Динамика уплотнения контролируется скоростью дренажирования примесных газов. После формирования пространственно устойчивой структуры скорость уплотнения связана с давлением и временем нелинейной зависимостью (53). Соответственно при ступенчатом изменении нагрузки наблюдаются плавные перегибы, но скорость уплотнения р > 0. Более резко выражено влияние характера нагружения на изменение общей высоты деформируемого объема h (рис. 4). На кривых h (t ) на этапах с постоянным давлением прессования величина h практически не изменяется: h » const. В работе [3] принята модель деформирования в жесткой пресс-форме и для оценки текущей плотности р использовалось соотношение

Р = Р о (68)

h

Согласно (68) при h = const скорость уплотнения р = 0 и плотность не изменяется. Это послужило основанием для вывода о пороговом характере течения и в работе [3] принята модель линейного вязкопластического материала. Вместе с тем известные данные о высокотемпературной реологии тугоплавких соединений [13] и результаты настоящего исследования свидетельствуют в пользу модели вязкого течения.

Предлагаемая модель процесса позволяет получить информацию о конечных размерах заготовки и силовых параметрах процесса.

Закономерности формоизменения при обработке давлением определяются схемой напряженного состояния. В табл. 4 приведены расчетные значения параметров напряженного состояния заготовки. Деформирование кольцевой заготовки происходит в условиях неравномерного трехосного сжатия. Причем внутреннее и внешнее радиальные давления одинаковы по величине: стг1 = ctR1. Осевое давление во включении Р = -стг1(гср) меньше по величине, чем давление прессования q.

Т аблица 4

Параметры напряженного состояния заготовки

q, МПа srb МПа sRb МПа s, МПа СТг1(Гср), МПа СТи(Гср), МПа СТф1(гсрХ МПа X1 X2

13,3 -3 -3 -5 -8 -3 -3 0,375 0,375

25 -10 -10 -17 -31 -10 -10 0,322 0,322

87 -32 -32 -46 -72 -32 -33 0,444 0,458

124 -44 -45 -61 -93 -45 -46 0,484 0,495

8,8 -3 -3 -5 -8 -3 -3 0,375 0,375

106 -39 -39 -55 -87 -39 -40 0,448 0,460

214 -71 -73 -98 -144 -72 -77 0,500 0,535

Р и с. 4. Изменение высоты заготовки h (1) и давления q (2) в эксперименте 2

Количественной характеристикой неравноосности объемного сжатия служат коэффициенты неизостатичности Х1 и Хг. При гидростатическом сжатии Х1 = Х2 =1. Полученные оценки коэффициентов X и Хг показывают, что осевое напряжение стг1 существенно выше, чем радиальное стг1 и окружное стф1 напряжения. Деформирование в условиях неравноосного сжатия с малыми значениями Хь Х2 обусловливает существенно меньшую радиальную деформацию заготовки по сравнению с осевой. Это подтверждают и результаты расчета конечных размеров заготовки (табл. 5). Так, осадка составляет ~50%, а радиальные размеры заготовки практически не изменяются.

Таблица 5

Характеристики формоизменения заготовки

Эксперимент hlШ, ММ Йісвс, мм У\0, мм гь мм Л10, мм Ль мм

1 35 18,21 74 73,82 113 113,3

2 35 18,24 74 73,62 113 113,1

Важное значение для технологического проектирования и оптимизации процесса СВС-прессования имеет информация о силовых параметрах процесса. В табл. 6 приведены данные о составляющих общего усилия прессования О. Наибольшее усилие приходится на деформирова-

Т аблица 6

Структура усилия прессования Q

Эксперимент д, МПа & кН вв, кН в4, кН в5, кН в^р, кН

13,3 414 29 300 51 44

1 25 778 62 495 91 150

87 2707 213 1647 317 593

124 3860 287 2379 424 860

8,8 274 24,1 176 44 37

2 106 3300 209 2148 377 535

214 6660 422 4231 616 1275

ние центрального блока 4 и расположенной под ним заготовки. Заметен вклад в общий баланс усилий силы трения Ор: на преодоления силы внешнего трения оболочки расходуется ~ 20% от общего усилия прессования О.

Таким образом, процесс СВС-прессования, как объект моделирования, представляет собой сложную систему. Адекватное описание процесса возможно при корректном задании параметров состояния материала (температура, фазовый состав, структурное состояние), реологических свойств продуктов синтеза и материала оболочки и краевых условий процесса деформирования. Особенность объекта состоит в том, что в продуктах синтеза происходит самоформирова-ние исходного структурного состояния (начальных условий) и это отличает СВС-прессование от прессования инертных порошков. Предложенная модель позволила получить количественные оценки закономерностей уплотнения и формоизменения продуктов синтеза и может быть использована для прогнозирования конечных свойств материала и оптимизации технологических режимов процесса.

Работа выполнена в рамках фундаментальных исследований НИИ проблем надежности механических систем Самарского государственного технического университета.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Левашов Е. А. и др. Физико-химические и технологические основы самораспространяющегося высокотемпературного синтеза. М.: Бином, 1999, 176 с.

2. Кванин В.Л., Балихина Н.Т., Боровинская И. П. Пресс-форма и установка для получения крупногабаритных твердосплавных изделий методом силового СВС-компактирования // КШП. 1992. № 5. С. 14-19.

3. Горовой В. А. и др. Закономерности силового СВС-компактирования крупногабаритных твердосплавных изделий // КШП. 1996. № 1. С. 14-18.

4. Бучацкий Л. М. , Столин А. М. Высокотемпературная реология СВС-материалов // ИФЖ. 1992. Т. 63. № 5. С. 593-604.

5. Падюков К. Л. и др. Закономерности поведения синтетического алмаза в волне горения самораспространяюще-гося высокотемпературного синтеза // ИФЖ. 1992. Т. 63. № 5. С. 577-582.

6. Самсонов Г. В., Серебрякова Т. И., Неронов В. А. Бориды. М.: Атомиздат, 1975. 376 с.

7. Хаппель Дж., Бреннер Г. Гидродинамика при малых числах Рейнольдса. М.: Мир, 1976. 560 с.

8. ЛыковА.В. Теория теплопроводности. М.: Высш. школа, 1967. 600 с.

9. Дульнев Г.Н., ЗаричнякЮ.П. Теплопроводность смесей и композиционных материалов. Л.: Энергия, 1974. 328 с.

10. Андриевский А.Р., Спивак И.И. Прочность тугоплавких соединений и материалов на их основе. Челябинск: Металлургия, 1989. 368 с.

11. Пехович А.И., ЖидкихВ.М. Расчеты теплового режима твердых тел. Л.: Энергия, 1976. 352 с.

12. Новиков Н.П., Боровинская И.П., Мержанов А.Г. Термодинамический анализ реакций самораспростра-няющегося высокотемпературного синтеза. // Процессы горения в химической технологии и метал-лургии. Черноголовка, 1975. С. 174-188.

13. Ковальченко М.С. Теоретические основы горячей обработки пористых материалов. Киев: Наукова думка, 1980. 240с.

14. Федотов А. Ф. Моделирование и исследование процесса деформирования горячих продуктов СВС в оболочке из сыпучего материала. // Вестн. СамГТУ. Сер. «Физ. - мат. науки». Самара: СамГТУ, 1999. Вып. 7. С. 92-106.

15. Скороход В.В., Штерн М.Б., Мартынова И.Ф. Теория нелинейно-вязкого и пластического поведения пористых материалов // Порошковая металлургия. 1987. № 8. С. 23-30.

16. Скороход В.В., Олевский Е.А., Штерн М.Б. Континуальная теория спекания // Порошковая металлургия. 1993. № 1. С. 22-27.

17. Федотов А.Ф. Характеристики пластичности и внешнего трения сыпучих материалов теплоизолирующей оболочки для прессования продуктов СВС // Огнеупоры и техническая керамика. 1997. № 7. С. 14-17.

18. Друккер Д., Прагер В. Механика грунтов и пластический анализ или предельное проектирование // Механика. 1975. Вып. 2. С. 166-177.

19. Федотов А. Ф. Реологические свойства пористого вязкого тела с жидкой фазой // Изв. вузов. Машиностроение. 1991. № 10-12. С. 8-14.

20. Друянов Б.А. Прикладная теория пластичности пористых тел. М.: Машиностроение, 1989. 168 с.

21. Феноменологические теории прессования порошков. Киев: Наукова думка, 1985. 140 с.