Моделирование процесса соударения бойка с хвостовиком ударного инструмента Текст научной статьи по специальности «Физика»

Очевидно, что с возникновением местной пластической деформации указанная зависимость нарушается. Вследствие этого для рассматриваемого общего случая примем соотношение:

P(S) = ZS"'. (7)

Соотношение (7), по своей структуре, аналогично формуле (6), но отличается от нее смыслом и значениями коэффициента Z и показателя пм. При этом полагается, что на протяжении всего периода t постоянные Z и пм остаются неизменными, зависящими от диаметра сферы и являются функциями упругих свойств материалов сферы и контртела, а также твердости последнего. С увеличением твердости значения Z и пм возрастают. В пределе, для чисто упругого контакта пм=3/2, что соответствует решению Герца.

Решая дифференциальное уравнение (5) с учетом формулы (7) можно расчетным путем опреде-

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Тимошенко С.П., Гурьер Дж. Теория упругости. - М.: Наука, 1975. - 567 с.

2. Дрозд М.С., Матлин М.М., Сидяхин Ю.И. Инженерные расчеты упругопластической контактной деформации. - М.: Машиностроение, 1986. - 220 с.

3. Орлов А.В., Пинегин С.В. Остаточные деформации при контактном нагружении. - М.: Наука. 1971. - 62 с.

лить максимальную силу удара, максимальное полное, остаточное и упругое сближения в контакте, а также продолжительность активной стадии соударения Г при варьировании различных параметров (начальной скорости, твердости материала контртела, диаметра сферы и т.д.).

Таким образом, основные параметры динамического упругопластического контакта сферы с плоскостью могут быть определены расчетным путем с использованием, наряду с параметрами чисто упругого контакта, значений твердости материала, как при ударе, так и статическом нагружении.

Предлагаемая теоретическая модель расчета может быть использована не только для контакта гладкой упругой сферы с упругопластическим полупространством, но и для более широкого спектра контактных взаимодействий.

4. Ланков А.А., Миронов В.А. Упругость, упругопластичность и пластичность в конструкционных средах. - Калинин: ТГТУ, 1997.

5. Булычев С.И., Алехин В.П. Испытание материалов непрерывным вдавливанием. - М.: Машиностроение, 1990. - 280 с.

6. Дрозд М.С. Определение механических свойств металла без разрушения. - М.: Металлургия, 1965. - 171 с.

Опыт применения машин ударного действия вызвал необходимость решения ряда проблем, понимание которых невозможно без анализа ударного воздействия на ударный инструмент. Изучение влияния конструктивных параметров бойка на формирование продольных волн в ударном инструменте представляет интерес и для практики конструирования машин ударного действия.

Удар бойком по торцу хвостовика ударного инструмента приводит к формированию продольных волн, как в хвостовике, так и в бойке [1-3]. Волновое поле бойка в свою очередь оказывает влияние на формирование волны в хвостовике. В данной работе рассмотрена задача об инициировании волн в бойке торцевым продольным ударом бойка по ударному инструменту.

Рис. 1. Схема удара бойка по хвостовику ударного инструмента: 1) боек; 2) хвостовик

УДК 622.24.05

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА СОУДАРЕНИЯ БОЙКА С ХВОСТОВИКОМ УДАРНОГО ИНСТРУМЕНТА

А.П. Слистин, Л.А. Саруев

Юргинский технологический институт Томского политехнического университета E-mail: [email protected]

Предложена математическая модель, описывающая ударное взаимодействие бойка (ударника) переменного поперечного сечения с хвостовиком ударного инструмента. Получены параметры этого взаимодействия: продольная сила, скорость частиц материала, поток мощности и другие характеристики, имеющие хорошее совпадение с экспериментальными данными.

Введем систему координат 0z, выбирая начало оси на свободном (левом) торце бойка и направляя ее к ударному инструменту (рис. 1). Допустим, известны длина бойка /ь и его площадь поперечного сечения Sj=Sj(z). Пусть также задана скорость бойка v0 в момент соударения, принимаемый далее за t=0. Считаем, что закон распространения продольных волн, как бойке, так и ударном инструменте, носит линейный характер. В данном случае это означает, что распространяющиеся волны будут проходить сквозь друг друга не взаимодействуя. Предположим, что боек изготовлен из материала с параметрами: р - плотность, E - модуль Юнга. Тогда скорость распространения продольных волн в бойке будет равна c0=E/p.

Рассмотрим фронт волны сжатия, распространяющейся внутри бойка. Разобьем боек сечениями на участки бесконечно малой длины dz (пластины). Будем рассматривать формирование волны внутри бойка как следствие взаимодействия этих участков. Предположим, что фронт волны достиг некоторого сечения с координатой z. Обозначим это сечение через A-A (рис. 1, а).

Слева от сечения A-A движется участок бойка, длиной dz, имеющий скорость v0, направленную вправо, и являющийся ненагруженным (внутренняя сила равна нулю). Участок бойка, расположенный справа от сечения A-A, имеет в общем случае другие значения скорости и силы. Происходит взаимодействие участков, расположенных слева и справа от сечения A-A (соударение). Обозначим внутреннюю силу этого взаимодействия через Pb. Определим параметры эффектов, возникающих вследствие воздействия силы Рь в течение бесконечно малого промежутка времени dt.

За время dt волна, расположенная правее сечения A-A , сместится вправо на расстояние dz=c0dt, и ее задний фронт займет положение B-B (рис. 1, б). Действие силы РЬфО формирует волну сжатия.

Аналогично, рассматривая участок, расположенный левее сечения A-A (рис. 1, в), найдем (закон равенства действия и противодействия), что волна сжатия сформируется и в нем и распространится на тоже расстояние dz=c0dt.

Таким образом, участок бойка длиной dz, имеющий скорость v0, инициирует волну как слева, так и справа от сечения A-A суммарной длиной 2dz.. То есть каждый участок длиной dz, присоединяет к ранее сформированной волне новый участок длиной 2dz и эта более длинная волна распространяется в положительном направлении оси 0z. Так как указанное замечание справедливо для каждого участка, то общая длина сформированной волны будет равна 2/ь.

Далее будем обозначать параметры волны на участке, расположенном слева от сечения А-А индексом 1, а на расположенном справа от сечения А-А - индексом 2. Для определения скоростей vb1, vb2 элементарных пластин после соударения применим теорему о сохранении количества движения

р-Sbx ■dz ■ Vo = р-Sbi ■dz ■ Vbl + P-Sb 2 •dz ■ vb 2- (1)

Обозначим через £ь(г-0)£ь1, соответ-

ствующие предельные значения площади£ь(г). После несложных преобразований (1) можно представить в виде

(г - 0) • У0 = (г - 0) • ^ + (г + 0) • 2. (2)

Требование неразрывности материала бойка вдоль оси г приводит к соотношению ум=ум (абсолютно неупругий удар). Тогда из (2) следует ^(2 - 0)

V, = v „ =

Sb (z - 0) + Sb (z + 0)

(3)

При непрерывной функции Sb(z) выполняется равенство £ь(г-0)=£ь(г+0) и (3) примет вид

Vb = vM = vb 2 =

2 '

(4)

Сделаем следующее замечание. Равенство (4) следует из (3) при непрерывной функции £ь(г). Если это условие не выполняется, то функция уь(г) будет разрывной в соответствующих сечениях. При этом предельные значения в точках разрыва, как справа, так и слева будут иметь значения у0/2. Такая функция отличается от непрерывной на так называемую нулевую функцию п(г), то есть на функцию, обладающую свойством

г

|п(г) ёг = 0 при всех г>0.

0

Такие функции в математике обычно рассматриваются как совпадающие. Поэтому, доопределяя в точках разрыва функцию уь(г) значением у0/2, получим непрерывную функцию. В дальнейшем будем предполагать, что эта операция проделана, и функция уь(г) является непрерывной.

Определим внутреннюю силу Рь. Энергия на начало взаимодействия участков равна кинетической энергии левого участка

U =

pSb (z) dz ■ Vo 2

Энергия в конце взаимодействия будет складываться из кинетической энергии частиц материала, захваченных волной сжатия длиной 2dz, и потенциальной энергии сжатых участков по обе стороны сечения А-А

U = pSb (z )2 dz ■ vi + Pb2 ■ 2 dz

2 ESb (z)'

На основе закона о сохранении энергии

PSb(z) ■ Vo2 PSb(z) ■ Vo2

P2

ESb (z)'

(5)

При выводе равенства (5) учтено соотношение (4). После несложных преобразований из (5) следует

Pb =-

yfpE ■ Sb (z) ^ 2

(6)

Знак минус в формуле (6) учитывает, что удар бойком формирует волну сжатия.

Отметим, что абсолютно неупругий удар подразумевает поглощение энергии в зоне контакта. Это явление действительно происходит, но поглощенная энергия в данном случае уходит на формирование волн.

Как уже было замечено, удар бойком длиной /ь инициирует в бойке волну длиной 2/ь. Кажущееся несоответствие объясняется просто. За время инициирования волны Ту=2/ь/с0 половина волны уже уйдет в ударный инструмент (или отразится от него), а оставшаяся половина займет весь боек.

С целью упрощения расчетов данный процесс можно смоделировать следующим образом. "Растянем" боек до длины 21ь оставляя координату г=/ь контакта боек-хвостовик постоянной. Введем переменную

= 2 7 - I .

Тогда формулы (4), (6) примут вид V (7, ) = ^

(7)

Р (7, ) = -

Е • sb (7,) • у„ 2

где -/ь<^£</ь и учтено, что е0=лЕ/р. Легко заметить, что найденные значения Рь, уь связаны соотношением

Р (7, ) =- • У (7, ),

(9)

N =-Р.V = (7,) • Ур2

Рь ь 4

(10)

Обозначим параметры "волны на торце" через Рь, уь. Эти параметры связаны соотношением типа (9). Тогда

,р Рс

V =--р—,

, ESI

ь,

Поток мощности в "волне на торце"

,р

N =- Р • у =

ESb

-Р1.

(11)

(12)

Равенство потоков мощности (10) и (12) приводит к соотношению

ESI,

Р =

ESb(7,) у02

,р 4 '

Откуда

Р, (7,) = - Е • (13)

Скорости сечений в "волне на торце" найдутся по формуле (11), которая в данном случае примет вид:

V,(7,) =

^ (7,)

Sbc 2-

(14)

Значения, определяемые по формулам (13, 14), являются начальными (стартовыми) значениями для волн. Так, например, значения скорости сечений в волне будут равны

У, (7, - ,>0 =

^ (7, - ,01) У0

sb.

(15)

(8) а значения силы - равны

р(7, - ^) = - Е•^/sb;тsг(7Cтс0o • у,(1б) С0 £

Распределение смещений можно получить интегрированием зависимости

д и, (7,,1)

которое всегда выполняется для значений силы и скорости в волне [3].

Сформированная волна с параметрами (7, 8) начинает распространяться в прямом направлении (к хвостовику ударного инструмента). В дальнейшем будут представлять интерес параметры волны, падающей на ударный торец бойка ("волна на торце"). Обозначим площадь поперечного сечения бойка на ударном торце через Зк. Вследствие малой длины бойка пренебрежем потерями энергии за счет внутреннего трения при пробеге волны до удар ного сечения.

Для нахождения параметров волны, проходящей через сечение площадью Зк, воспользуемся равенством потоков мощности, создаваемыми сформированной волной (7, 8) и "волной на торце". С целью упрощения пересчитаем параметры сформированной волны при ее "старте" предполагая, что в дальнейшем она движется по участку площадью 8к без искажения.

Поток мощности, создаваемый сформированной в бойке волной равен

V,(7,,1) =

д 1

Дальнейшее поведение волны, сформированной в бойке с параметрами (15, 16), зависит от условий на контакте боек-хвостовик. Так, например, если площадь ударного торца хвостовика равна 8к и соударяющиеся торцы плоские, то в ударном инструменте будет распространяться волна с теми же параметрами. Поведение волны с другими условиями контакта рассмотрено в [2].

Следует отметить, что предложенная в данном разделе модель ударного взаимодействия тел (бойка с ударным инструментом) несколько отличается от общепринятой в настоящее время модели соударения [1-3]. Рассмотрим эти различия на примере соударения прямолинейного стержня постоянного поперечного сечения с абсолютно жесткой преградой, считая, что скорость стержня направлена вдоль его оси и равна у0 (рис. 2).

По существующей модели процесс формирования волны в бойке складывается из двух этапов. На первом этапе в бойке при ударе начинает распространяться со скоростью с0 "волна сжатия". После того как эта волна охватит всю длину стержня, на втором этапе, начнется разгрузка сечений - от свободного торца к ударному, пока не исчезнут напряжения во всех сечениях ("волна разгрузки"), после этого произойдет отскок стержня.

Если воспользоваться принятыми в данной работе обозначениями, продольные усилия и скорость в "волне сжатия" определятся из соотношений

р

0

Р =РСоу = 0. (17)

В "волне разгрузки" продольная сила и скорость равны

Рь = 0, V =-Уо, (18)

(скорость направлена от препятствия).

Заметим, что указанные в (17) и (18) параметры не удовлетворяют основному соотношению (9) для параметров волн общего вида. Исключением является первое равенство из (17), но оно связывает параметры разных сечений бойка: до фронта "волны сжатия" и после него.

Рассмотрим инициирование волны согласно рассмотренной в данной работе модели соударения. Удар бойка о преграду инициирует в бойке волну сжатия. Эта волна распространяется к преграде, увеличивая свою длину за счет присоединения новых участков. Каждый новый присоединяемый участок длиной ск увеличивает длину волны на 2ск, а волна за время присоединения смещается к преграде на величину д,г. а) б)

Отраженная волна имеет параметры Р =-Ец. Уо у =-Уо

(19)

Суммарное волновое поле для сжатого участка бойка определится параметрами

Е8ь

Р: = -

• Уо, V = 0.

(20)

С учетом равенства Е/с0=рс0 легко заметить, что формулы (17) совпадают с формулами (20).

Область сжатия в бойке увеличивает свою длину за счет присоединения новых участков ("волна сжатия") пока не будет равна длине бойка. Далее волна, распространяющаяся влево, отразится от свободного торца волной растяжения, (рис. 2, б) и будет распространяться к ударному торцу бойка, занимая область, освобождающуюся при движении волны сжатия в том же направлении. Параметры этой дважды отраженной волны (вначале от ударного торца бойка, а затем свободного от торца) будут равны

Р = • Уо

'о 2 '

(21)

1II - направление и скорость движения сечении

Рис. 2. Схема соударения бойка постоянного поперечного сечения с абсолютно жесткой преградой. Показаны эпюры продольной силы в распространяющихся волнах

Инициированная волна взаимодействует с преградой и отражается от нее также волной сжатия, при этом скорости сечений будут равны по величине и противоположно направлены. Так как процессы инициирования волны и формирования отраженной начинаются одновременно, то эти волны будут одинаковой длины и занимать один и тот же участок бойка (рис. 2, а).

Формулы (13, 14) при примут вид

Р =-Е. • Уо

о 2

Суммарное волновое поле, образованное дважды отраженной волной с параметрами (19) и волной, движущейся влево, с параметрами (21), будет иметь следующие значения

Р = 0, Vе =-Уо. (22)

При достижении дважды отраженной волны ударного торца бойка произойдет отскок стержня от преграды. Легко заметить, что формулы (18) совпадают с формулами (22).

Таким образом, сравнение существующего метода расчета инициализации волн в бойке и метода, предложенного в данной работе, показывает, что предложенный метод уточняет механизм образования и распространения волн.

Выводы

- Предложена уточненная волновая модель, описывающая ударное взаимодействие тел.

- Получены параметры волны, сформированной ударом: продольная сила, скорость частиц материала, поток мощности и другие характеристики.

- Отмечены различия между предложенной в работе моделью и существующей в настоящее время на примере удара стержня о жесткую преграду.

о

о

о

о

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 3. Пановко Я.Г. Основы прикладной теории колебаний и удара. -

1. Бидерман В.Л. Прикладная теория механических колебаний. - Л: Машиностроеше, 19Ж - 320 с. М.: Высшая школа, 1972. - 416 с.

2. Иванов К.И., Латышев В.А., Андреев В.Д. Техника бурения при разработке месторождений полезных ископаемых. - М.: Недра, 1987. - 272 с.