Моделирование процесса ранжирования альтернатив методом анализа иерархий средствами конструкционно-продукционных структур Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

УДК 519.81, 519.8;004.94

В.И. ШИНКАРЕНКО*, Т.Н. ВАСЕЦКАЯ*

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА РАНЖИРОВАНИЯ АЛЬТЕРНАТИВ МЕТОДОМ АНАЛИЗА ИЕРАРХИЙ СРЕДСТВАМИ КОНСТРУКЦИОННО-ПРОДУКЦИОННЫХ СТРУКТУР

Днепропетровский национальный университет железнодорожного транспорта имени академика В. Лазаряна, Днепропетровск, Украина

Анотаця. Виконано формалгзацт конструктивного процесу ранжування, прийняття ршень кла-сичним методом анал1зу ¡ерархт. Для формал!зацп застосовуеться апарат конструктивно-продукцтних структур. У процес формал^зацИ' видшено вс елементи процесу, зв'язки м1ж ними i його конструктивш особливостi. Запропонована формалiзацiя дозволяе модифжувати i удоскона-лювати процес ранжування з незмiнною основою методу аналiзу iерархiй.

Ключов1 слова: метод аналiзу iерархiй, ранжування, прийняття ршень, конструктивно-продукцтш структури, узгоджетсть, матриця парних порiвнянь.

Аннотация. Выполнена формализация конструктивного процесса ранжирования альтернатив для принятия решений классическим методом анализа иерархий. Для формализации применяется аппарат конструктивно-продукционных структур. В процессе формализации выделены все элементы процесса, связи между ними и его конструктивные особенности. Предложенная формализация позволяет модифицировать и совершенствовать процесс ранжирования с неизменной основой метода анализа иерархий.

Ключевые слова: метод анализа иерархий, ранжирование, принятие решений, конструктивно-продукционные структуры, моделирование, согласованность, матрица парных сравнений.

Abstract. The formalization of the constructive process of ranking of alternatives for decision making by the classical method of hierarchies analysis is made. The method of constructive and productive structures is used for formalization. All the elements of the process, the connections between them, and its constructive features are selected in the process of formalization. The proposed formalization allows modifying and improving the process of ranking with unchanged basis of the analytic hierarchy process. Keywords: hierarchies analysis method, ranking, decision making, constructive and productive structures, consistency, pairwise comparison matrix.

1. Введение

Метод анализа иерархий (МАИ), предложенный Т. Саати [1], применяется для решения широкого круга задач принятия решений: выбора, планирования, распределения ресурсов [2-4]. Несмотря на определенные ограничения в применении, этот метод получил мировое распространение. Многие исследователи занимаются совершенствованием МАИ и разработкой программного обеспечения для облегчения его использования [5, 6].

МАИ заключается в последовательном представлении иерархической структуры задачи (проблемы), сравнении альтернатив и критериев, расчете вектора глобальных приоритетов и определении уровня согласованности суждений, ранжировании альтернатив в соответствии с рассчитанными весами [7].

В ряде случаев процесс принятия решений сводится к решению одной из задач: выбор лучшей альтернативы, ранжирование альтернатив, выбор нескольких лучших альтернатив. Все они сводятся к ранжированию альтернатив по определенным критериям.

Существует множество модификаций метода анализа иерархий [6, 8], которые позволяют решать более широкий круг задач, чем классический МАИ, предложенный Саати. Обобщением МАИ является метод аналитических сетей (МАС) [2, 6], который позволяет учитывать взаимосвязи между различными уровнями иерархии. МАС позволяет работать с

© Шинкаренко В.И., Васецкая Т.Н., 2016

ISSN 1028-9763. Математичш машини i системи, 2016, № 1

системами с обратными связями, что, в свою очередь, позволяет успешно решать задачи прогнозирования.

В данной работе предлагается формализация процесса принятия решений на основе классического метода анализа иерархий средствами конструкционно-продукционных структур (КПС) [9]. Механизм КПС основан на выполнении уточняющих преобразований обобщенной конструктивно-продукционной структуры (ОКПС): специализации, интерпретации, конкретизации и реализации [9]. Особенностями ОКПС являются расширяемый носитель, наличие атрибутов у элементов носителя и операций, наличие исполнителя, который может быть как внутренним, так и внешним по отношению к КПС. Исполнитель представлен его базовыми алгоритмами [10]. В результате выполнения уточняющих преобразований ОКПС формируются модели конкретных конструкций и процессов. Способы применения КПС для моделирования задач различных предметних областей представлены

в [11].

В [12] на основе КПС формализован процесс адаптации алгоритмов сжатия. Показаны возможности применения нескольких связанных между собой КПС.

Различным образом выполняя уточняющие преобразования ОКПС, возможно решение задач как отдельно каждого этапа классического МАИ, так и в целом задачи принятия решений.

Предложенная методика дает возможность моделировать принятие решений с использованием модификаций МАИ, применять различные инструменты для наглядного представления структуры задачи и матриц парных сравнений, в том числе графовую [13], сетевую [7, 2, 6, 14], матричную модели [1].

2. Кострукционно-продукционная структура МАИ

Определим специализацию обобщенной конструкционно-продукционной (ОКПС) [9] структуры для представления метода анализа иерархий:

С = {М, Е, Л)3^ СМА1{ММА1 ,ЕМА1, Лмах),

где С - ОКПС, М - неоднородный носитель, Е - сигнатура, Л - аксиоматика, ^^ -операция специализации, , Л= {ММА1 ^Т^N, Т = Т, N = N,

Ема! = {3, 0, ф}, 0 = , 3 = {, о}, ф = {V, +,;=, =, <, >, >, V}}, 3 -

операции связывания, 0 - операции вывода, Ф - операции над атрибутами.

Частичная аксиоматика Л содержит следующие определения, дополнения и ограничения, которые уточняют алфавит, атрибуты носителя, отношения подстановки, задают особенности выполнения операций подстановки и вывода.

Терминальный алфавит содержит множество альтернатив и критериев с их атрибутами:

{иат<?у гХ1} - множество альтернатив, хг - идентификатор альтернативы, пате -семантика альтернативы, V - вес альтернативы по критерию р , г - глобальный приоритет (вес) альтернативы;

{иа»г$} - множество критериев, & - идентификатор критерия, пате - семантика

критерия, V - вес критерия.

Значения V , г и V для альтернатив и критериев могут быть не определены.

Отношения из 3 определяют порядок следования терминалов и нетерминалов {} и связывания альтернатив и критериев {о}.

Вводятся следующие операции над атрибутами:

операция ^ (c; n; L) заключается в выполнении n операций из списка L , если c = true , L - список из n операций: L = (j, j,...,jn), операции представлены в префиксной форме;

операция > (xi, x., k ) позволяет задать значение веса связи i и j альтернативами (критериями) по k критерию. Эта операция выполняется внешним исполнителем (экспертом);

V - операция вычисления собственного числа матрицы парных сравнений; * - операция умножения матриц;

- извлечение корня степени n ; / - деление двух чисел;

= , >, < - сравнение на равенство, на больше и на меньше или равно соответственно. Веса связей альтернатив по критериям могут быть заданы на этапе конкретизации, а могут задаваться в процессе выполнения ранжирования альтернатив.

Альтернативы и критерии, допустимые значения оценок, а также вектор средних

значений случайного индекса согласованности H содержатся в неоднородном носителе

MMA1 .

Согласно аксиоматике ОКПС, формой wl с атрибутом w называется набор терминалов и нетерминалов, объединяемых операциями связывания. Конструкцией называется форма, содержащая только терминалы [9].

Правила подстановки имеют вид Wr r : (srn у 8rn j) е где srljJ - отношение

подстановки, g - набор операций над атрибутами, r - номер правила, l - номер критерия, i - номер первой альтернативы пары, j - номер второй альтернативы пары. Четырехуровневая индексация применяется для упорядочения правил подстановки. Отношение

подстановки - двухместное отношение с атрибутами w li wl. [9]. Для формы

i j j

wt ll =w0 ®(w, l1>w2 l2>.-whlh >...wjk ) и доступного отношения подстановки Whlh wp ^ Wqlq такого, что lh <W[ ( lh является частью /г ), результатом трехместной операции подстановки Wp Jh Wqlq wll ) будет форма w* ll = W ®(W1 l1,W2 l2,...,wqlq ,...,Wklk ) [9].

Двухместная операция частичного вывода Г = (¥, l)) (здесь l, l* - формы до и после выполнения операции подстановки), заключается в:

- выборе одного из правил подстановки \yr :('srli grUj^е^ с отношениями

подстановки sr г i . и выполнении на его основе операций подстановки, где dr^^j Jsrl ^j -атрибут доступности подстановки. Доступность отношения подстановки s определяется значением переменной доступности: если drli .JsrH . = 1, отношение доступно, drb. JsrH . = 0 - не доступно; доступность правил регулируется операциями над атрибутами или задается аксиоматикой;

- выполнении операций над атрибутами g .

Порядок применения операции над атрибутами в процессе выполнения операции частичного вывода задается атрибутом тj, где т. е 1, 1 = {т0, тх}, 1 œ MMAI, т0 - операция

над атрибутом выполняется перед операцией подстановки, т - после операции подстановки.

Операция полного вывода (или просто вывода) заключается в последовательном выполнении операции частичного вывода, начиная с начального нетерминала и заканчивая конструкцией, удовлетворяющей условию окончания вывода. Результатом операции пол-

ного вывода является конструкция, содержащая упорядоченную последовательность альтернатив.

Условием окончания вывода является отсутствие нетерминалов в форме. Пусть имеется следующая базовая алгоритмическая структура (БАС) [10, 15], которая содержит операции для заполнения значений весов, расчета индекса и отношения согласованности для матриц парных сравнений, весов альтернатив и критериев, сортировки альтернатив:

СА,МА1 = {МА,МА1, ^А,МА1, ЕА,МА1, ЛА,МА1 ) ,

где Млмл/ - неоднородный носитель, ЕАММ - сигнатура и ^^ - аксиоматика, УАМа1 ^ {А° IА А, А°6 1а0& } - множество образующих алгоритмов [10] для некоторого исполнителя и {Аз |^,г ,^, А3 |, А4 12,^} и ^ - множество сконструированных алгоритмов,

/ /|° Р А° \а л° л° 1С л° 1С л° 1С л° л° |а,к л Ь л° л° йатЬйа\ тт

{А5 \а,Ь,А |а,Ь , А7 |а,Ь , А8 |а,Ь , А9 |а,Ь , А1° |а,Ь , А11|п^Г, А12 |х,-, х) ,кр , А13 |с,п, Ь, А14 1К ,Я , А15М

- алгоритмы, реализующие операции Ф над атрибутами.

Указанные выше алгоритмы реализуют следующие операции:

А А,а3 - конкатенации алгоритмов (предполагает последовательное выполнение алгоритма А после А );

А \/1 f - подстановки;

2 uh ,lq,Jt

А3 \f t , A4 0,t - частичного и полного вывода. Здесь f, f - формы, о - начальный нетерминал, Q - множество сформированных конструкций; A \а ь - вычисления произведения а * b ;

A0 \ а ь - присваивания значения переменной а = b ;

A0 \а,ь, A° \а,ь, A \а,ь - сравнения чисел а и b , если условие выполняется (а = b , а > b , а < b соответственно), то c = true , в противном случае c = /аЬе ; A0 |c - вычисления суммы чисел а и ь ; Ai0 - извлечения корня степени n из числа K ;

4°2 \а,^ ,k - определения значения веса связи i и j альтернатив по критерию kp внешним исполнителем (h = °) ;

А13 \ с « l - выполнения n алгоритмов из списка С , если c = true ; A°4 \K,R - определения частного S от деления числа K на число R ;

л0 i/аmbdu ^ ^

А°5 \M - вычисления собственного числа матрицы парных сравнений; А°06 \а°й - связывания альтернатив и критериев, где а, b - идентификаторы альтернатив или критериев или связь между ними.

Интерпретация КПС для метода анализа иерархий (конструктор МАИ):

ipMAI = (MMA , ^ MAI , ^MA/) , CA,MAI = {MA,MA , VA,MAI , ^ A,MA , ^ AMA^j I ' ^ I ,CAMIAI 11 ^ I,CA MA CMAI = {MMAI, ^MAI, ^I,MA/) ,

где / ^ - операция интерпретации, Л/МА1 = ЛМА/ и Л3, Л3 = {(Д0 [Ц Л),

(А^ ,л , N , (А50Л*), (АХ Л :=), (АХ Л=),

(А80 |а,6 Л>), (А90 |а,6 ^, ^х , их X), (аХ^ Л »), хс^ ^О, (А04 к* л /), (А, ГмпЫа ^), (А16с

Представим конкретизацию КПС для метода анализа иерархий:

I ,САММСММ = {ММА1, ^МА1, Л1 мл!) к ^ СКМА =(ММА1, ^К,МА1, Л/МА/ и Л4 и Л5 ) ,

где Л 4 = {Т1 = ^ X3,•••, ^10, К кг,}, Ж1 ={Ж £ Р P,5, М Р,Ж <Т,е Я,с фl,Gф2,0l,u0u,2,•••,0uo,9, 01,10,10,, 02,1,1'02Х2,---, 02,10,9, $2,10,10,^1,1,^1,2,^2,1,^2,2} , и ={Р, N ^К = {^г ' 8г ,1,1,^)} ,

г = 1,13}, г - номер правила, I - номер критерия, I - номер первой альтернативы пары, ] - номер второй альтернативы пары, х - терминал для обозначения идентификатора I -ой альтернативы, - терминал для обозначения идентификатора I-ого критерия, и - множество начальных нетерминалов, - нетерминал для обозначения связей альтернатив, дЛ - нетерминал для обозначения связей между критериями, 0и . - нетерминалы для обозначения связей между альтернативами /, ] по I -ому критерию, - связь между критериями I и /2, д Я - матрица парных сравнений для критериев (где Q = {БЛЯ,БипЛЯ,zJЯ,vJЯ,isJЯ,ояЛЯ,PJЯ} - множество атрибутов), <эф1 - матрица парных сравнений альтернатив по I -ому критерию (где G = {SJф, БипАф1, гЛф, у^ф, , ояЛф, ЖЛф1 } - множество атрибутов). Приведем пояснения атрибутов: г ЛЯ - максимальное собственное число матрицы парных сравнений критериев, - вектор приоритетов матрицы сравнений критериев, БЛЯ - вектор произведений элементов строк матрицы, БипЛЯ - вектор сумм элементов столбцов матрицы, isJЯ - отношение согласованности матрицы, ояЛЯ - индекс согласованности матрицы, РЛЯ - количество критериев (размерность матрицы), гЛф - максимальное собственное число матрицы парных сравнений альтернатив по I-ому критерию, - вектор приоритетов матрицы сравнений альтернатив по I-ому критерию, БЛф - вектор произведений элементов строк матрицы, БипЛф - вектор сумм элементов столбцов матрицы, isЛф -

отношение согласованности матрицы, ояЛф - индекс согласованности матрицы, ЖЛф1 -количество альтернатив (размерность матрицы).

Частичная аксиоматика Л заключается в следующем.

Вектор средних значений случайного индекса согласованности принимается [7]: Н = [0 0 0,52 0,89 1,11 1,25 1,35 1,40 1,45 1,49 1,52 1,54 1,56 1,58 1,59].

Количество критериев принимается Р = 2 , количество альтернатив принимается N = 10.

Запись последовательной конкатенации нескольких терминалов, нетерминалов и последовательное выполнение операций над атрибутами будем обозначать следующим

п

образом: х X'•••' X =ПX .

В процессе вывода формируется конструкция, которая будет содержать следующие формы: а А(хг. о х 0 кр) - связь , и j альтернатив по критерию & , а - вес связи, к - атрибут, отвечающий за способ получения значения веса (к = 1 - заполнено согласно оценке внешним исполнителем-экспертом, к = 0 - без участия внешнего эксперта на основе правил подстановки), а к (&■ о kj о е) - связь I и j критерия, д Я - матрица парных сравнений

для критериев и Сф1 - матрица парных сравнений по 1-ому критерию (1 = 1,2), отсорти-

N

рованная последовательность альтернатив Г (г х).

\г

1=1

Приведем правила подстановки аксиоматики Л5.

Первое правило содержит отношение для определения последовательности формирования матриц парных сравнений для критериев и альтернатив:

^1,0,0,0 = ( Р,N ° ^Р Р■ N .

Формирование матрицы связей между критериями:

^2,0,0,0 Р Р^П11 ^ .

Формирование элементов матриц связей между альтернативами по 1 -ому критерию задается 1 = 1 ,Р правилами:

NN

I, 0, 0 =1 .

1=1 j=1

Для установки связи между критериями используются правила вида ^4, 0,,,] = {Кг,] ^ (& 0 к] 0 е) , К],1 ^ (к3 0 К 0 е)), ъ §4,0,,,] = (аЛк10к] 0 е) := 0, aJ(k^оkI. 0 е) := 0 ^ (к] 0 к, 0 е) := 0, Ю (к. 0 0 е) := 0, где 1 = 1Р, ] = / +1, р.

Набор из 1 = 1, Р правил необходим для заполнения диагонали матрицы парных сравнений критериев:

^5,1,0,0 = (к, 0к, 0 е)>, ^ ^5>0,= (aJ (к,0к, 0 е) := 1, Ы (к, 0к, 0 е) := 0, V/ = 1Р).

Для установления связи между критериями предназначены правила / = 1, Р,

■ = ( >,

] = 1 + /, Р :

^ 6,0,/, ]

ъ §6,0,.,] = (аАк, 0к] 0 е) := > (к,, к], е), а^(к} 0к, 0 е) := 1/(аДк, 0ку)), кJ (к, 0&у 0 е) := 1,

кJ (к^к,. 0 е) := 1.

Следующие отношения подстановки набора правил (1 = 1, Р) позволяют заполнить диагональ матрицы парных сравнений альтернатив следующими единицами:

^¿и = (Х °-Х- ° к1)), ^ ёиЛ = (аД(Х °Х ° к) := 1, кЛХ, °Х ° к,) := 0, ■ = 1, ^.

Для установления связи между альтернативами по р -тому критерию предназначе-

ны правила, где I = 1, Р и ■ = 1, N , у = 1 + N :

-у = (А,^ (Х °Ху ° к \Ри ^ (ху °Х ° к )) , г, §8,1,-,у = (аД(Х °Ху ° к ) := 0 аЛХу °Х- ° к ) := 0, МХг °Ху ° к1 ) := 0 ,

кД(Ху °хг ° к, ):= 0 .

Правила для задания экспертом значения парных сравнений альтернатив по 1 -ому критерию, где 1 = 1, Р и ■ = 1, N, и у = 1 + N :

^9,1-у = ( >, Г1 §9,1,-,у = (а°Х ° к1) := > (Х, Х, к1), аху °Х °к) := 1а Х °Х ° к1) ,

к Х °Х °к) :=1, к Ху °х- ° к) := 1.

Следующее правило содержит отношение для проверки факта связи между критериями и заполнения значения весов. Если все веса заполнены, то на основании операций над атрибутами рассчитывается отношение согласованности и заполняется вектор приоритетов для критериев:

I р р р р _ \

^100,0,0 = ПП(к- °ку °е) ^0,0,0^ПП(к- °ку °еуаХ)\

\ -=1 у=1 -=1 у=1 /

^ §10, 0,0, 0 = (d10,0, 0, 0 := 1 , full := 1, П11 (<a^(kt°к, ° е) < 0;1; full := 0)),

\ i=1 j=i+1

- (М = 0;i; ^10,0,0,0 := 0)),

(_ р _ р p _ _

S, JA := П(aJ(k,°kj ° е)),i = 1,р ; ПП(SumjjI := SumjjI + (aJ(k,°kj ° е)))

j = 1 j =1 i=1

' - pSг JI - - - - - osJl\

П (v,. JI := ^ ' -); zJ! := V(S,Sumv,p I), osJl := (zJ! - P)/(P -1), isJl := ——). ,=1 Sum ji hp j

Далее операции над атрибутами правил подстановки позволяют установить факт наличия связей между альтернативами и заполнения значения весов по заданному l -ому критерию, где l = 1, P. Если все значения весов заполнены, то последовательностью операций над атрибутами заданы расчет коэффициента согласованности и заполнение векторов приоритетов для альтернатив по каждому критерию, в противном случае правило не применяется.

(N N N N _\

ПП(Х °X °kl) d1U,M^ПП(xi °xj °к)• оФг \

i=1 j=1 i=1 j=1 /

N N

gw,0,0 =( № := l, dxxl ,0,0 := l, ПП(-(aJ( ° xj ° ki) <0;!;ul :=0)),

\ i=1 j=1

- (full = 0;1; du/,0,0 := 0),

N N N N

ъ gi 1,1,0,0 = (ПП& Ф = s' Ф *(aJ(X ° xj ° k))); ПП(SumjФ := SumjФ + (aJ(X ° Xj ° k))),

\ i=l j=1 j=1 i=l

П (v ^ := Ф^Фг)/^ jJj); zjJt := V( Ф), osi Ф = (z^i ~ N)/(N " 1),

isJb :=

HN /

Следующее правило задает отношение для формирования конструкции, не содержащей нетерминальные символы, если все заполненные матрицы парных сравнений альтернатив имеют допустимый уровень согласованности. После подстановки на основании

операций над атрибутами вычисляется вектор глобальных приоритетов альтернатив тЛф,

где ф = [ф1 ф2 ]:

/ Р Р _ Р N N __N \

S12 0,0,0 = (ПП (k ° kj ° е) X) ППП (X ° x ° k)-Фг^ ,120 0 0 ^ (П U)) ,

\ i=1 j = 1 1=1 i=1 j=1 i=1 /

ъg12 0, 0,0 ={full := 1;П(<(is[ ^ 0, 011; 1; full := 0); (full = 1;1;,120, 0,0 := 1)^,

Ъ #1210,0,0 = (ГЛ :=

Следующее множество правил (г = 1, N — 1, ] = г +1, N ) задает отношения для упорядочивания последовательности альтернатив в соответствии с их весами по убыванию:

) ,13,0„j ^Cx • xЛ, Го gu0,i,j =(+ (rX >;!;¿1ши :=^.

Реализацией КПС для метода анализа иерархий являются ранжированный список альтернатив и вычисленные значения отношения согласованности для сформированной конструкции.

3. Выводы

В данной работе представлена модель конструктивного процесса принятия решений на основе МАИ средствами конструктивно-продукционных структур.

Представление метода с использованием КПС дает возможность изменять некоторые детали конструкций, представляя таким образом различные модификации МАИ. Методология КПС раскрывает возможности для гибридизации методов многокритериального анализа, которая может производиться автоматически.

Данный подход позволяет формально представить решения некоторых задач, в которых используются МАИ, или его модификации как единую модель и автоматизировать процесс их решения.

Если рассматривать программные реализации МАИ, то представленная в статье модель оторвана от интерфейса пользователя. Разработка нескольких КПС интерфейса заполнения (представления) матриц парных сравнений позволит получить гибридный интерфейс представления информации в зависимости от потребностей и предпочтений пользователя.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Саати Т.Л. Принятие решений. Метод анализа иерархий / Саати Т.Л. - М.: Радио и связь, 1989. -316 с.

2. Саати Т.Л. Принятие решений при зависимостях и обратных связях: Аналитические сети / Саати Т.Л. - М.: Издательство ЛКИ, 2008. - 360 с.

3. Саати Т.Л. Целочисленные методы оптимизации и связанные с ними экстремальные проблемы / Саати Т.Л. - М.: Мир, 1973. - 302 с.

4. Саати Т.Л. Аналитическое планирование. Организация систем / Т.Л. Саати, К. Кернс. - М.: Радио и связь, 1991. - 224 с.

5. Абакаров А.Ш. Программная система поддержки принятия рациональных решений "MPRIORITY 1.0" / А.Ш. Абакаров, Ю.А. Сушков // Электронный научный журнал "Исследовано в России". - 2005. - С. 2130 - 2146.

6. Saaty T.L. Relative Measurement and Its Generalization in Decision Making Why Pairwise Comparisons are Central in Mathematics for the Measurement of Intangible Factors The Analytic Hierarchy/Network Process / T.L. Saaty // Royal Academy of Sciences, Spain, Series A. Mathematics. -2008. - November. - P. 251 - 318.

7. Саати Т.Л. Об измерении неосязаемого. Подход к относительным измерениям на основе главного собственного вектора матрицы парных сравнений / Т.Л. Саати // Cloud Of Science. - 2015. - Т. 2, № 1. - C. 5 - 40.

8. Колесникова С.И. Модификация метода анализа иерархий для динамических наборов альтернатив / С.И. Колесникова // Математические основы интеллектуальных систем. - 2009. - № 4 (6). -С.102 - 109.

9. Шинкаренко В.И. Конструктивно-продукционные структуры и их грамматические интерпретации. I: Обобщенная формальная конструктивно-продукционная структура / В.И. Шинкаренко, В.М. Ильман // Кибернетика и системный анализ. - 2014. - № 5. - С. 8 - 16.

10. Шинкаренко В.И. Структурные модели алгоритмов в задачах прикладного программирования Ч. I: Формальные алгоритмические структуры / В.И. Шинкаренко, В.М. Ильман, В.В. Скалозуб // Кибернетика и системный анализ. - 2009. - № 3. - С. 3 - 14.

11. Шинкаренко В.И. Конструктивно-продукционные структуры и их грамматические интерпретации. II: Уточняющие преобразования / В.И. Шинкаренко, В.М. Ильман // Кибернетика и системный анализ. - 2014. - № 6. - С. 15 - 28.

12. Шинкаренко В.И. Моделирование процесса адаптации алгоритмов сжатия средствами конструктивно-продукционных структур / В.И. Шинкаренко, Т.Н. Васецкая // Кибернетика и системный анализ. - 2015. - Т. 51, № 6. - С. 19 - 34.

13. Свами М. Графы, сети и алгоритмы / М. Свами, К. Тхуласираман. - М.: Мир, 1984. - 455 с.

14. Басакер Р.Г. Конечные графы и сети / Р.Г. Басакер, Т.Л. Саати. - М.: Наука, 1974. - 366 с.

15. 1льман В.М. Структурний шдхщ до проблеми вщтворення граматик / В.М. 1льман, В.1. Шинкаренко // Проблемы программирования. - 2007. - № 1. - C. 5 - 16.

Стаття над1йшла до редакцп 16.11.2015