Моделирование процесса ориентирования предметов обработки в радиальном гравитационном ориентаторе с центральной опорой Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 629.1

В.В. Прейс, д-р техн. наук, проф., зав. кафедрой,

К.С. Филиппова, лаборант,

(4872) 33-24-38, preys@klax.tula.ru (Россия, Тула, ТулГУ)

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ОРИЕНТИРОВАНИЯ ПРЕДМЕТОВ ОБРАБОТКИ В РАДИАЛЬНОМ ГРАВИТАЦИОННОМ ОРИЕНТАТОРЕ С ЦЕНТРАЛЬНОЙ ОПОРОЙ

Рассмотрены вопросы моделирования процесса ориентирования цилиндрических предметов обработки с асимметрией центра масс относительно продольной оси симметрии в радиальном гравитационном ориентаторе с центральной опорой.

Ключевые слова: автоматическая роторная линия, система автоматической загрузки, предмет обработки, гравитационный ориентатор.

Роторные системы автоматической загрузки (САЗ) эффективны для загрузки осесимметричных предметов обработки формы тел вращения в автоматические роторные и роторно-конвейерные линии с производительностью от 200 до 1200 шт./мин [1, 2].

Для ориентирования предметов обработки с асимметрией геометрической формы или асимметричного положения центра масс относительно продольной оси симметрии предмета в роторных САЗ применяют механические гравитационные ориентаторы, реализующие активные контактные способы ориентирования предметов обработки с использованием гравитационных сил и механического воздействия. Подобные ориен-таторы позволяют эффективно ориентировать предметы обработки при отношении их габаритных размеров 1,5 < L/d < 5 (L - длина предмета обработки, d - внешний диаметр предмета).

Рассмотрим процесс ориентирования цилиндрического предмета обработки с асимметричным положением центра масс относительно продольной оси симметрии в радиальном гравитационном ориентаторе с центральной опорой, который может быть представлен математической моделью, описывающей плоское движение материального тела в инерциальной системе координат XYZ (рис. 1).

Особенность построения математической модели процесса ориентирования предмета обработки в гравитационных ориентаторах роторных САЗ заключается в том, что наличие переносного вращательного движения ориентатора с некоторой частотой вращения Q = const вокруг вертикальной неподвижной оси О1О2 роторной САЗ приводит к появлению центробежной силы инерции в переносном движении Гц б и силы инерции Ко-риолиса ^к. Отметим, что в радиальном ориентаторе, расположенном вдоль радиуса роторной САЗ, центробежная сила инерции Гц б выступает

как одна из движущих сил наряду с силой тяжести О, а сила инерции Ко-

риолиса ^к, действующая в перпендикулярной плоскости У02, приводит к возникновению силы трения предмета о боковую стенку ориентатора.

Рис. 1. Схемы ориентирования предметов обработки в радиальном ориентаторе с центральной опорой роторной САЗ

Другой особенностью построения математических моделей, описывающих процесс ориентирования предметов обработки в гравитационных ориентаторах роторной САЗ по сравнению со стационарными системами, является то обстоятельство, что для каждого варианта расположения ори-ентатора расчетные схемы сил при опрокидывании предмета обработки вправо (см. рис. 1, а) или влево (см. рис. 1, б) от опоры будут различны.

При построении математических моделей процесса ориентирования предметов в гравитационных ориентаторах роторных САЗ принимают следующие допущения [3]:

1. Движение предмета обработки происходит под действием сил, сосредоточенных в центре масс предмет обработки.

2. Величина момента сил трения предмета обработки об опору мала по сравнению с моментом сил трения предмета обработки о боковые стенки ориентатора, поэтому в математических моделях её не учитывают.

3. Зазор А между предметом обработки диаметром г и боковыми стенками ориентатора А и В (см. рис. 1) является бесконечно малой величиной, что позволяет рассматривать продольную ось предмета обработки всегда параллельной плоскости боковых стенок ориентатора.

4. При движении предмета обработки между боковыми стенками ориентатора имеет место чистое скольжение, т.е. вращение предмета обработки вокруг своей продольной оси симметрии отсутствует.

5. Линия действия центробежной силы инерции ^ц.б всегда параллельна плоскости, проходящей через ось О1О2 и опору ориентатора, а точ-

у л

а

б

ка её приложения, находящаяся в центре масс предмета обработки, отстоит от оси вращения на расстоянии Я = соші

6. В начальный момент времени предмет обработки покоится на опоре в горизонтальном положении.

7. Движение предмета обработки рассматривают относительно переносной системы координат ХУ2, связанной с опорой (см. рис. 1), и подвижной системы координат хуг, имеющей свое начало на острие опоры "О", а ось Ох - всегда параллельную продольной оси симметрии предмета обработки.

Процесс ориентирования предмета рассматривают в виде трех последовательных фаз движения (рис. 2):

I фаза (рис. 2, а) - поворот предмета обработки вокруг точки О без скольжения по опоре, когда сила трения об опору ^ > /Ы1;

II фаза (рис. 2, б) -поворот предмета обработки вокруг точки О с одновременным скольжением по опоре, когда F = /Ы1;

III фаза (рис. 2, в) -плоское движение предмета обработки без взаимодействия с опорой, когда реакция опоры N1 = 0.

Рис. 2. Фазы движения предмета обработки в гравитационном

ориентаторе роторной САЗ: а -1 фаза; б - II фаза; в - III фаза

В работе [3] дифференциальные уравнения движения предмета обработки составлялись с использованием принципа Д’Аламбера и решались методом численного интегрирования с использованием ЭВМ ЕС-1060 в «пакетном» режиме для заданного массива входных параметров. По результатам компьютерного моделирования и вычисления времени ориентирования предмета обработки составлялись таблицы и строились графики зависимости расчетных (теоретических) значений времени ориентирова-

К О2Я

ния от динамического параметра К о =-------, характеризующего влияние

g

на время ориентирования предмета обработки центробежной силы инерции от вращения ротора (см. рис. 1).

В результате анализа времени ориентирования было выявлено, что с увеличением динамического параметра в области значений 0 < К о < 1 время ориентирования предмета обработки увеличивается почти в два раза и при достижении предельных значений К о = 1 процесс ориентирования предмета обработки практически нарушается.

Анализ траекторий движения предметов обработки показал, что в случае опрокидывания предмета обработки в центру ротора (см. рис. 1, а) с увеличением динамического параметра конечные значения координат центра масс предмета обработки вдоль соответствующих осей подвижной системы хОу уменьшаются, т.е. центр масс предмета обработки начинает описывать восходящую траекторию и его конечное положение при повороте

предмета обработки на угол ф = 90° оказывается выше опоры ориентатора.

Компьютерное моделирование движения предмета обработки для ф > 90° показало, что предмет обработки начинает «закручиваться» вокруг точечной опоры, переориентируясь центром масс вверх, т.е. процесс ориентирования предмета обработки в данном случае нарушается.

В дальнейшем с целью уточнения полученных результатов дифференциальные уравнения движения предмета обработки во всех трех фазах составлялись с использованием формы уравнений Лагранжа II рода и решались на ПК методом численного интегрирования [4].

Кинетическая энергия движения детали

= ШУІ ¿оО2 _ _ 2 2 , где Ус, О - абсолютные скорость центра масс и угловая скорость детали; ¿О - момент инерции детали относительно мгновенной угловой скорости (оси вращения).

Это выражение, естественно, не меняется для всех фаз движения, изменения в конкретных выражениях для различных фаз зависит от кинематических особенностей движения на определенных фазах.

При I фазе движения задана подвижная система координат xr, yr, zr, которая связана с ротором (щелью), имеющим угловую скорость w = const.

Абсолютная скорость центра масс и абсолютная угловая скорость

Vc = Vcr + Vce, ^ = we + wr, здесь Vcr, Wr - относительные скорость центра масс и угловая скорость детали; Vce,We = W - переносные величины.

Далее имеем

Vcr = Vcrxr + Vcryr ,

где Vcrxr = Xcr, Vcryr = ycr, Xcr = lQ cos ф + r sin ф, ycr = /Qsin ф - r cos ф,

Vcrxr = Xcr = -(Pycr , Vcryr = ycr = фcr , Vcl = w(R — xcr ) .

yr

Кинетическая энергия

t - m - T

(l2 + r 2)ф2 + (R - xcr )2 w2

+ (Jx sin2 ф + Jy cos2 Ф)^2 + Jzф2

0

В условиях задачи 3у = .

Определим обобщенную силу при обобщенной координате ф:

(? ^Ак ^ф ш^Ът + ¥л Ъг Qф = к ъф------=------— = шё С08(ф - а)Р - ^^пф,

где

§r - рбф,р=р0 -J10 + r2,Fx - -V1 V ,Vc°r - ^, Vcr - р |ф|,Fx - 2mw\xcr\ f.

V cr cr Vcr

Далее имеем

<2ф = mg (cos ap cos ф + sin ap sin ф) - 2mw |xcr | f^p = mgxcr - F!psigncp.

Vcr

Уравнение движения принимает вид m(l2 + r2) + J

cp -

2

mw2(R - xcr)ycr + x—2~~— sin2ф + mgxcr - 2mw|.xc^f1p0signcp. (1)

Составим уравнения для определения реакции в точке 0:

mac = mg + N + N + F + Fp ac = ace + acr + ,

где ac, ace, acr, a^ - абсолютное, переносное, относительное и кориолисо-

)а масс детали,

ace = w (R - xcr), так как w = const, то

во ускорения центра масс детали

2

ack = 2w\xcr Isin(w x Vcrxr ) = 2w |xcr I,(w x Vcrxr ) = 90° . В проекциях на оси x,y,z имеем

m

m

(R - xcr )w2cos ф+Xcr cos ф+ycr sin ф - mg sin ф - F - ^sin asigncp, (2)

2 ~\

-w (R - xcr )sin ф - xcr sin ф + ycr cos ф - mg cos ф - N - F^ cos asigncp, (3)

macxz - 2mw

xcr - Ni

; Fx - f1N1 - 2mw|xCr|/1.

(4)

Выразим величины в скобках через ф и ее производные: xcr cos ф + ycr sin ф = -1оф + rep,

-xcr sin ф + ycr cos ф = 1оф + rc^ .

Условие, при котором происходит движение при I фазе, выполняется, если N>0 или F<Fmax=fN.

Обозначим ф = и, тогда уравнение для I фазы запишется в виде

(p?- py)w2 .

du

dt

1

w2(R - xcr )ycr +-

- sin 2ф + gxcr - 2 w |uycr I /ipsignu

2 2 p2 + pj

Начальные условия при t=0: ф=0, ф = и = 0.

Переменные: t, функции ф,ф = и, p=p0 = ^ + r2 = const.

Далее имеем:

2 2

F = mg sin ф - m(R - xcr )w cos ф + m^cp - rep) - Fi sin asigneé, где sin a = r = , r =, F = 2mw\uycr\f. ;.

p 1 111

2 2 N = mg cos ф + mw (R - xcr )sin ф - ш^ф + щ ) - F^os asignф,

lo

где cos a - — -

l

o

10ф

-; -Fi cos asigncp - -Fi

У cr

тах.

Однако при ф = 0 получаем для ЭВМ неопределенность при расче-

Из начальных условий имеем хсг |о= Усг 1о= ~г.

Приведем величины для задачи при начальных условиях. Из урав-

нения движения найдем

1

Р + Р

gl0 - w (R - l0)r

У

так как

xcr l0- rep;ycr l0- 10Ф;F |0- -m(R-l0)w2 - mrcp |0;

N |0 = шё - ш/0ср |0.

II фаза движения наступает, когда сила трения на острие достигает максимума F=Fmax=fN и при движении на втором этапе F=fN.

Движение при II фазе - это плоское движение детали в щели, при этом деталь скользит по острию без отрыва от него и по одной из плоскостей щели. Поскольку предполагается, что имеется выступ в центре масс

детали, сила трения F1 приложена в центре масс детали, Fi = -Fi Vf~. В

Vcr

данном случае xcr = l cos ф + r sin ф, ycr = l sin ф - r cos ф. Обобщенные координаты = OA = l; ^2 = ф. Для проекций относительной скорости на осях

xr, yr имеем

Vcrxr = xcr = l cos ф - фу*. ; Vcryr = ycr = l sin ф + фxcr ■ Кинетическая энергия детали для II фазы движения запишется так:

/2 +12ф2 + r 2ф2 + 2/гф + (R - xcr )2 w2

(Jx sin2 ф + Jy cos2 ф^2

+--------------------zr------------------+

+ Jz ф2 • J = J

“ 2 5 z y'

Уравнения движения (q1 = l) примут вид

.. 2 2 Fi

ml + mrcp - m/ф + m(R - xcr)w cos ф = mg sin ф - fN -—^(l + гсф). (5)

Vcr

В уравнении (5) обобщенная сила (возможное перемещение детали Sl,0) определится как

(I §Ake,/) )e mgbT+FbT+FfiT

Q.

F1 = -j^Vcr = -тЛ V + V2); Fx =fxNv F = fN F = (F1)1 + (i^).

y cr y cr

Ni определяется из уравненияmac = mg + N + N + F + Fi, так как

mack = 2mwXcr = Ni. (6)

Запишем

FfiT F1 (V15f + V2bT)

Ы Vcr Ы ’

где Vcr = V1 + V^;Vcrx = / + rep;Vcry = /ф;Vcr =yj/2 + р2ф2 + 2/Уф , что совпадает

с ранее полученным выражением.

Запишем второе уравнение по обобщенной координате ф, возможное перемещение зададим 0, 5ф

mrl +

w

m(l2 + r2) + J y ф + 2mllф - m(R - xcr)w2ycr -—(Jx - Jy) sin 2ф =

F

'У'

mgxcr

-(r| + p2cp)

(7)

cr

Здесь F,

FL(V1 +V2).

cr

Обобщенная сила запишется как (I8A<e,,))e

Qф =

_ k

= mgcos(ф-a)p5ф - F1 (V1 + V2)5ri.5F= r

5ф ’ 1

5ф 5ф Усг

Необходимо определить N и подставить в уравнение (6). Уравнение для определения N - это уравнение о движении центра масс в проекции на ось у :

К

m

-w (R - xcr )sin ф - xcr sin ф + ycr cos ф =-N + mg cos ф- —3-cos app. (8)

cr

Из уравнения (8) получим

F

9 9*1

N = mg cosф + mw (R - xcr )sin ф - m(ip + rp + 2/ф)-—— Zcp.

Vc

cr

Полученные уравнения решаются численно. Запишем уравнения (5) и (7) с учетом уравнения (8):

A = l + ф (r - lf) = g(sin ф - f cos ф) - w2(R - xcr )(cos ф + f sin ф)-

■ —

Fi ■ • 2 F, •

TT^ (l + r(p - /ф) + f (21ф + гф 2), F1m = m = 2w \xcr\ f1, xcr =l cos ф - pycr,

К /1М ffl

cr

F

В = W + (p2 + py)ф = gxcr - TT^(rl + p2(p) + ^(р -p^)sin2p + (R - xcr )w2ycr

Vcr 2

-2llp, p2 = l2 + r2.

Далее получим

A=l + <p(r-|f);B =r/ + p (p2+py);l = M;ф=Аф

i r-if

2 2 r p2+py

J

a/ =

Ap =

i2 + rif+p2y;

= A(p2+p2y) - B(r - if);

r В

= В - Ar.

Начальные условия для II фазы при t=tf.

1 = i0; ф = фт; yT = i y2 = фт ^ = °.

56

Система уравнений в этих переменных имеет вид

/ = y1;ф = y2;

Ai . Аф

y1 =-А; У2 = д . _

Переменные задачи: аргумент t, функции i, У1 = i, ф, У2 = ф A = g(sin ф - f cos ф) - w2(R - xcr )(cos ф + f sin p) - (y1 + ry2 - fiy2) +

cr

+f (2 y1 y2 + ry^) + (yf B = gxcr -(ry1 + p2y2) + w2-(P2 -p¡y)sin2ф +(R-xcr)w2ycr -2(y1 y2;

Vcr 2

cr

: л/у2+p2 у2+2ry1 y2; F1m=2w\x<r\ f1; I xcA=|y1cos ф - y2 ycr

Расчет ведется на II фазе движения по условиям, при которых N>0 или i<L. Если N>0 или если i=L, то это условия отзыва детали от неподвижного острия при условии падения детали справа от острия. Однако возможно и движение детали при большой угловой скорости w влево от острия, тогда условия отрыва будут N=0 или i=-L0.

III фаза движения детали наступает тогда, когда деталь отрывается от острия и движется в щели, касаясь одной из ее стенок. На деталь в этом случае действует сила трения F1 в плоскости движения, а на острие действие силы трения F прекращается.

Обобщенные координаты при движении на III фазе:

q1 = xcr; q2 = ycr ; q3 = ф.

Кинетическая энергия детали запишется как

- 2 2 2 2-| (Jx sin2 ф + —У cos2 p)w2 J ф2

x2.+y2.+w ( r - xcr )2 +—-----------------—+J2; 2 = jy.

Для возможного перемещения (5xcr ,0,0) обобщенная сила

(15Ake,'\

x

Q = k k ~cr =-Fx

S¿xnv — о — гл

cr

сг Ъхсу 1 Усг

Уравнение движения для координаты хсг имеет вид

шхсг + ш^2 (Я - хсг) = - . (9)

фсг

Сила трения, как и ранее, определяется так: К=

При этом

N1 = шас2г = 2шw |хсг |; К1 = 2 flШw |хсг |.

Уравнение движения для координаты усг имеет вид

mycr = mg - F1 tF . (10)

Vcr

Возможное перемещение здесь 0,6усг ,0, а обобщенная сила

^ =ш& - £.

Уравнение движения для координаты ф имеет вид

- Wj-( ^х-</у)вт2ф = 0. (11)

Возможное перемещение детали 0,0,5ф, обобщенная сила равна

(X Ц"'0),,

Й = °.

Уравнения движения для III фазы преобразуем к виду

2/п \ ^1шхсг ■■ Рлшусг .. w /Рх л\ • /■*

хсг=^2(Я хсг)--ф—;усг = &--Ф—;ф=~г(Ц-—1)^п2ф.

фсг фсг 2 Р у

Начальные условия для решения этих уравнений определяются как конечные значения при движении детали при II фазе, а именно при имеем

x^y — x.

cr cr

; ycr = ycr2 ;ф = ф2.

x

cr

На этом этапе задачи аргументом являются время t, функции z1 = xcr, ycr, z2 = ycr,ф, z3 = ф .

Через кинематические соотношения найдем координаты точки B( xb. , yBr), которая описывает профиль направляющей заходной части

устройства ориентации детали:

xbr = xcr + L0cos ф + r sin ф .

УВг = ycr + L0sin ф - r cos ф, (12)

Кинематические уравнения движения точки E находим через координаты центра масс:

xr = xcr - r sin ф - L cos ф .

Er c (13)

yEr = ycr + r cos ф - L sin ф,

С помощью уравнений (12) и (13) получим траектории точек B и E на экране монитора при известных уравнениях движения центра масс:

xcr = xcr (t) . (14)

ycr = ycr (t),

Уравнения (14) на всех трех фазах движения определяются решением соответствующих дифференциальных уравнений.

Математическое моделирование процесса ориентирования цилиндрического предмета обработки в радиальном гравитационном ориентаторе с центральной опорой и вычисление времени ориентирования с использованием динамического параметра, применяемого ранее в работе [3], показали, что модель, составленная в форме уравнений Лагранжа II рода, дает более точные значения времени ориентирования.

Однако следует отметить, что в обоих вариантах моделей ориентирование предмета обработки рассматривалось между двух параллельных плоскостей, не ограниченных с торцов никакими вертикальными стенками, что приближенно отражает реальный процесс ориентирования предмета в гравитационном ориентаторе. Поэтому дальнейшее совершенствование математической модели процесса ориентирования будет направлено на описание плоского движения предмета с учетом взаимодействия предмета и с торцевыми стенками ориентатора.

Список литературы

1. Прейс В.В. Системы автоматической загрузки штучных предметов обработки в роторные и роторно-конвейерные линии // Вестник машиностроения. Вып. 12. 2002. С. 34 - 38.

2. Прейс В.В. Состояние теории функционирования и практики проектирования роторных систем автоматической загрузки // Вопросы оборон. техники. Сер. 13. Комплексная автоматизация производства и роторные линии. 1993. Вып. 1-2. (84 - 85). C. 13-19.

3. Прейс В.В. Основы теории функционирования роторных ориентирующих устройств с гравитационными ориентаторами // Вопросы оборон. техники. Сер. 13. Комплексная автоматизация производства и роторные линии. 1993. Вып. 3-4. (86 - 87). C. 9 - 19.

4. О разработке моделирования на ПЭВМ процессов захвата и ориентации деталей в роторных ориентирующих устройствах (РОУ) /

В.В. Дубинин [и др.] // Сб. док. Междунар. научно-техн. конф. «Актуальные проблемы фундаментальных наук». 28 окт. - 3 нояб. 1991 г. М: МГТУ, 1991. Т. 8. С. 26 - 29.

V. Prejs, K. Filippova

Modelling of process of orientation processing subjects in the radial gravitational orientator with the central support

Questions of modelling ofprocess of orientation of cylindrical subjects ofprocessing with asymmetry of the centre of weights concerning a longitudinal axis of symmetry in a radial gravitational orientator with the central support are considered.

Keywords: an automatic rotor line, system of automatic loading, a processing subject, a gravitational orientator.

Получено 07.04.10