Динамика процесса ориентирования изделия в гравитационном ориентаторе с L-образным захватом роторного ориентирующего устройства Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 629.1

A.Г. Астраханцев, инж., (4872) 33-24-38,

(Россия, Тула, ТулГУ),

Е.В. Давыдова,канд. техн. наук, ассист., (4872) 33-24-38, elen-davidova@rambler.ru (Россия, Тула, ТулГУ),

B.В. Прейс, д-р техн. наук, проф., зав. кафедрой, (4872) 33-24-38, preys@klax.tula.ru (Россия, Тула, ТулГУ)

ДИНАМИКА ПРОЦЕССА ОРИЕНТИРОВАНИЯ ИЗДЕЛИЯ В ГРАВИТАЦИОННОМ ОРИЕНТАТОРЕ С Ь-ОБРАЗНЫМ ЗАХВАТОМ РОТОРНОГО ОРИЕНТИРУЮЩЕГО УСТРОЙСТВА

Рассмотрены зависимости координат центров масс и угловых координат равноразмерного изделия в форме стакана от его геометрических параметров и конструктивных параметров гравитационного ориентатора, необходимые для определения функций, описывающих процесс ориентирования изделия в гравитационном ориен-таторе роторного ориентирующего устройства.

Ключевые слова: гравитационный ориентатор, роторная система автоматической загрузки, динамика процесса ориентирования.

Ранее была рассмотрена кинематика процесса ориентирования равноразмерного изделия в форме стакана в гравитационном ориентаторе с ^-образным захватом роторного ориентирующего устройства [1]. Для определения времени ориентирования изделия в гравитационном ориентаторе рассмотрим динамику исследуемого процесса.

Процесс ориентирования изделия в гравитационном ориентаторе рассматривается относительно ротора. При этом рычаг относительно ротора совершает вращательное движение, а изделие совершает плоское ил поступательное движение.

Процесс ориентирования изделия в гравитационном ориентаторе с ^-образным захватом роторного ориентирующего устройства состоит из четырех этапов. С использованием кинематических зависимостей [1] составим уравнения движения изделия на каждом этапе и определим время его ориентирования.

Этап 1, а, б. Свободное падение изделия из состояния покоя до контакта с захватом (рис. 1, а), при котором С20 - начальное положение

центра масс изделия; С2 - текущее положение центра масс изделия; С2к - положение центра масс изделия в конце первого этапа (соприкосновение с захватом). В конечной точке свободного падения происходит удар из дели о рычаг (рис. 1, б).

Уравнение движения изделия на первом этапе составим на основе принципа Даамбера. При этом относительное движение - поступательное прямолинейное, переносное - вращательное.

Положение изделия определяем координатой центра масс ус. На-чаьные условия движения ус =0; ус =0.

х

а

б

Рис. 1. Схемы свободного падения (а) и удара изделия (б) на первом этапе

В проекции на ось у имеем тус = О2 - FTр2 и, введя обозначение

„ ю2 ( -0,5^)

ь----- —-, получим

я

ус = 8(1 -Ик ю),

где О2 - сила тяжести изделия, Н; ГТр2 - сила трения изделия о стенку

2

лотка, Н; 8 - ускорение свободного падения, м/с ; ц - коэффициент трения изделия о стенку лотка.

Интегрируя и используя начаьные условия, получим

12

ус =8(1 -рЯю); Ус =8(1 —ЯсЮу. (1)

В конце первого этапа на высоте падения изделия Н имеем условия окончани первого этапа ус = Н; t = 1^; ус = ис^, подставляя которые в выражение (1), получим формулу, определяющую время движения изделия на первом этапе

tk =

и скорость в его конце

2 Н

и(1 —Ко) Ы =8(1 -рЛоЬ.

После того, как изделие прошло путь Н, происходят его удар о рычаг и мгновенное изменение скооости изделия и рычага. Принимаем допущение, что удар абсолютно неупругий. В момент удара изделие начинает поворачиваться относительно точки К (см. рис. 1, б), которая при этом скользит по стенке лотка. Изделие начинает совершать плоское движение. Ударный импульс со стороны стенки лотка к изделию приложен в точке К. Действием неударных сил пренебрегаем.

Применим к изделию теорему об изменении количества движения при ударе:

m2 Vcx - m2ucx0 =~Sx - Sk;

і (2) m2 Ucy - m2Vcy0 = -Sy,

где vcxQ; vcy0 - проекции скорости центра масс изделия на оси координат в начале удара, пи этом vc^ = 0; Vy = исс, м/с; vcx, vcy - проекции скорости центра масс изделия на оси координат в конце удара; Sx, Sy - проекции ударного импульса в точке контакта изделия с захватом, кг-м/с; Sk - ударный импульс, приложенный к изделию со стороны стенки лотка, кг - м/с.

Применим к изделию теорему об изменении момента количества движения при ударе относительно оси С, учитыва, что угловая скорость из дели в начае удара равна нулю, получим

J2 02 =Sxl 2 +Sy-0,5d -Sk (h-l 2 ), (3)

где J2 - момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс,

кг-м2; 02 - углова скорость в конце удара, рад/с; h - высота цилиндрической части изделия, м; І2 - координата центра масс изделия, м.

Применим к захвату теорему об изменении момента количества движения при ударе относительно оси О (ось вращения), с учетом того, что угловая скорость захвата в начае удара равна нулю, получим

J101 = Syli cosфі0 -Sxlisinфі0, (4)

2

где Ji - момент инерции захвата относительно оси О, кг-м ; ®i - угловая скорость захвата в конце удара, с-1; ll - длина захвата без учета крючка, м;

ф10 - начальный угол поворота захвата, ф10 =30°, град.

Систему уравнений (2) - (4) дополняем кинематическими соотношениями, связывающими скорости точки изделия и захвата с их угловыми скоростями в конце удара. Для захвата, совершающего вращательное движение ud = со ill или в проекциях на оси координат

uDx = -°lll sin ф10 ; uDy = 0lll cOsф10 ,

где Ud , Ud - модули проекция скорости точки D на оси координат, м/с.

x У

Применим для точки С изделия теорему о скоростях при плоском движении и получим U = UD + UCD •

В проекциях на оси координат

vCx =-®ilisin ф1п +C02l 2;

i 0 (5)

vCy = coili cosф10 + C02 • 0,5d,

где vcx, UQy - проекции вектора скорости точки С на оси координат, м/с.

Применив для точки К теорему о скоростях в плоском движении, имеем vk = Ud +UKD. В проекции на ось х vkx = —oli sin ф10 + со 2 { -l2).

Так как точка К в момент удара начинает скольжение, то V£x = 0 или

oilisin фl0 -С02 {h-l2 ) = 0. (6)

Объединяя системы динамических (2), (3), (4) и кинематических (5), (6) уравнений, придем к системе 7 алгебраических уравнений с 7 неизвестными, записав которую в матричной форме, решаем систему численными методами (MathCAD). Вместе с тем находим значения ударных импульсов и скоростей в конце удара, значения которых являются начальными условиям для следующего этапа.

Этап 2. Изделие входит в контакт с захватом и начинает совместное движение: захват поворачивается относительно оси О, изделие совершает плоское движение, оставаясь в контакте со стенкой лотка (точка К). В точке D контакт из дели с захватом не разрывается (рис. 2).

Представим изделие вместе с захватом в виде плоского механизма (в относительном движении). За неподвижное звено принимаем лоток. В точке D захват ограничивает перемещение изделия по вертикали и горизонтали. Поэтому можно считать, что в точке D находится вращательная кинематическая пара, в точке К - высшая кинематическая пара. Число степеней свободы плоского механизма определяем по формуле Чебышева:

W = 3n -2-p^

где n = 2 - число подвижных звеньев; p8 = i - число кинематических пар; pK = 2 - число низших кинематических пар.

Механизм имеет одну степень свободы W = i.В качестве обобщенной координаты принимаем угол поворота захвата ф!. Положение изделия

определяем координатами центра масс (точка С) xc , yC и углом поворота

ф2, положение точки К - координатами xk , Ук .

Для установления зависимостей координат точки С и точки К от обобщенной координаты также используем метод замкнутого векторного контура. Для точки С (рис. 2, а) имеем зависимость рс =i + r" + e, проецируя которую на оси координат и выполняя преобразования, получаем

2i

XC (ф1 ) = /icos9i - rcos Ф2 (ф1)+ ecos92 (ф1); Ус (Ф1 )= l1si^1 +rsinФ2 (Ф1)+ esin Ф2(Ф1)

Рис. 2. Расчётная схема координат точек С (а), К (б) и обобщенной силы (в)

Аналогично для точки К имеем (рис 2, б) рк = /1 + h + r' + r", проецируя на оси координат и выполняя преобрлования, получаем УК (Ф1 ) = /^ШФ1 +hs^2 (Ф1)+ r cos Ф2 (Ф1).

Для нахождения связи между обобщенной координатой Ф1 и углом поворота изделия Ф2 по анаогии с предыдущими расчетами получаем

l7lCosфl +hcosф2 + r cos Ф3 +r = L;

У^тф1 + hsinф2 + r sin фз + Д = 0.

Решение уравнения (7) позволяет определить зависимость угла ф2 от угла Ф1 в виде

ф2(ф1)_ — (^ ^ ( ^ -4a2 a0 (Ф1)

2a2 ’

для выбора корня которой, учитываем что 0 < ф1 < 0,5 л; 1,5л < Ф2 < 2л.

Для вспомогательной величины Д будем иметь

ДФ1 )=/1 sin Ф1 + h sin Ф2 (ф1) + r Ф2 (ф1).

Условие окончания этапа 2 и перехода к этапу 3 имеет вид Ф2(1 )=Ф1 +1,5л. Реша это уравнение, находим значение обобщенной

координаты ф1 , соответствующее окончанию этапа 2, координаты и скоК

роти центра масс изделия и точки К, угловые скорости изделия и захвата. Дифференцируя первое уравнение (7) по ф1, получим

- /^тф! -hsinф2 —Ф - rcosф2 —Ф = 0 и находим первые и вторые пере-с1ф1 dф1

даточные функции для соответствующих координат.

Для составления уравнения движения системы применим уравнение

Лагранжа второго рода. В качестве обобщенной координаты принимаем

угол поворота захвата ф1 .Тогда

—_ dt

г дТл

аф 1

д=вф1- (8)

дф1 1

где Т- кинетическа энергия, кг-м2/с2; - обобщенна скорость, с 1;

Qф1 - обобщенна сила, Н.

Рассматриваем движение системы относительно лотка. Тогда

т = Jlф_ + т 2 (хС + уС) +^2ф^ (9)

2 2 2 ’

где J2 - момент инерции изделия, кг - м2.

Угловая скорость изделия ф 2 и проекции скорости центра масс

Хс, Ус на оси координат х, у могут быть представлены: в виде

Ф 2 = иф2 (ф1 )Ф 1 ; ХС = иХс (ф1 )ф 1 ; УС = иУс (ф1) 1, подставляя которые в вы1-

ражение (9) и обозначив Jпр(ф1 )= Jl + т2 и'2с (ф1) + и2С (ф1) + J2мф2 (ф1), т J пр(ф1 )ф 2 получим т =----- 1 .

На изделие и захват будут действовать силы1 тяжести С1, G2, переносные центробежные силы1 инерции, приложенные к захвату и изделию ¥п ¥п , сила упругости пружины1 ¥у = 0,5/1 с(ф1 _ф10 ), сша трения изделия о стенку лотка ^Тр2 = ^2, N2 -нормаьна реакция (см. рис. 2, в).

При составлении уравнений движения пренебрегаем Кориолисовьы ми силами инерции; не учитываем трение в точке контакта изделия с захватом; не учитываем изменение направления сиы1 упругости при повороте захвата; не учитываем изменение переносных центробежных си

инерции, тогда ^П2 = т2ю2[Я-0,5<^]; ^ = т1Ю2Я-d-0,5^08фф .

Обобщенную силу найдем по формуле, учитывающей то, что сила тяжести захвата уравновешивается начальной силой упругости пружины!:

бф =■

AA

Фі

AAg + SAf + SAf + AAf и AAf

2 nl n 2 y тр 2

(10)

Ф1 X Sep!

Приращения работ соответствующих сил в выражении (10) запишем в виде SAq2 =G2Syc; SAp = _Fni - 0,5/i sinф^ф^ =~F„2 Sxc;

§А^тр2 = “M#2SyK ; SAFy = -c(pi - pi0 X°,5/i )2 cospiSpi.

Выражая элементарные перемещения через приращение обобщенной координаты Syc = UyC ()Spi; Sxc = uXc ( )pi; SyK = UyK ()Spi

и выполняя преобразования, получим выражение для обобщенной силы Qp1 = ~Fn1 /1sin Ф1 ~c(1 -Ф10 ^ cos Ф1 +G2 uyc (Ф1)-

Fn„ux„ (фі )-|uFn„ uл

П2 иХс иУк )■

Подставля значение кинетической энергии Т и обобщенной силы Qф1 в уравнение Лагранжа второго рода (8), дифференцируя и выполняя

преобразования получим уравнение движения в следующем виде

• 2 г /і •

► 1 =~FnlJ1sinФі -

^ (фі )и ' uxc (фі )xc (фі) +

J1 + m2 + ulc (фі ) + ►фі + < m2 +^ (фі У yc (фі ) +

+ J 2u 2 Ф2 (фі) + J2uф2 (фі )ф2 (фі)

/^2

0

cos фі +G2uyc (фі )-F,

ux~ (фі)- ^Fn~ u

П2и xc

n 2й- УК

Интегрирование полученного уравнения выполняем численным методом с помощью программы MathcAD.

Этап 3. Изделие начинает поворачиваться относительно крючка захвата (точка В). Система «захват - заготовка» в этом случае в относительном движении имеет 2 степени свободы. В качестве обобщенных координат принимаем углы поворота захвата и заготовки фі, ф2.

По аналогии с предыдущим этапом кинематические уравнения, связывающие вспомогательные координаты А, xi с обобщенными координатами, находим на основании метода замкнутого контура. Получаем

L - /lCOSфl - hi sin фі + r s^! - r

xl (<Pl Ф2)=

cos ф2

д(фі,ф2 )= /і sin фі - hi cos фі + xisin ф2 + r cos ф2.

Уравнения, определяющие изменение координат центра масс изделия от обобщенных координат, имеют вид

fxc(фі,ф2) = L -ез^ф2 -r;

jyc (ф1,ф2 )= A~e3sin ф2.

Условие окончания третьего этапа запишется в виде Xi =h или h cos ф2 = L - /lCOSфl - hlSІnфl + rsinфl - r. Координата точки К определяется зависимостью Ук (і,Ф2) = Л(фі,Ф2).

Дифференцируя полученные функции по обобщенным координатам, найдем первые, а затем вторые передаточные функции.

2------------------------------------і 2 2 і 2 т J1Ф 1 m2 \Xc + yc I J2ф2 Кинетическа энергия системы T =------+ —^^ +--------------.

2 2 2 Проекции скорости цента масс изделия Xc, Уc на оси координат x,

у могут быть представлены в виде Xc(фі, Ф2 ) = uXcф1 ф і + uXcф2ф 2; у C(фі, Ф2)= Uycф1 ф і + Uycф2ф 2. Тогда кинетическа энергия может быть представлена в виде

_ J11 ф2 )ф 2 + J22(фі, ф2 )ф2 + J12(ф1, ф2 )ф 1 ф 2 + J2і(ф1, ф2 )Ф 1 ф2 2 2 2 2 ’ где Jii, Jц, J12, J21 - компоненты матицы приведенных моментов инерции, определяемые выражениями

T = ■

2

J11 (ф1, ф2 ) = J1 + m2 J12 (ФЬ Ф2 )=J21 (фl, Ф2 )=m2

u“ (фь ф2)+u (фь ф2)

XC Фі^1 Y2/ yc ФГ 1 2

uv„ф (фі, ф2 )u

lxc Фі /УcФl

J22(фь Ф2)= J2 +m2

+ uv^ (фі, ф2)u

2

u 2 (фь ф2 ) + u

XC Ф2^1,^2/ yc Ф2

XcФ2 (ф1, ф2 ) + ycФ2 ^ф1, ф2 )

(фі Ф2 )

Возможные перемещения точекКиС связаны с приращениями координат фі, ф2 зависимостями Уук = идф1 (фі, Ф2)уф + идф2(і, ф2)8ф2,

УУС = иус ф1 (фі, ф2 )ф1 + и Ус ф2 (фі, ф2 )ф2 • Т огда

бф (фі, Ф2)=-Fnl ysinфі -с(фі -фі0 )l1cosфі0 +G2Uyc ф1 (фі, ф2)■

'Фі

— FTрU Aфl

(фl, Ф2);

бФ2 (фі, Ф2 ) = G2uycФ2 (фl, Ф2 ) + Fn2 uxcф2 (фі, Ф2 ) - Fru Дф2 (фі, Ф2 )

По аналогии с предыдущим этапом составляем уравнение движения Лагранжа второго рода. Решение этой системы осуществляем численными методами с помощью стандартных программ, входящих в пакет МаНСАО.

В качестве начальных условий принимаем значения скоростей, определенных на предыдущем этапе.

Этап 4. Свободное падение изделия после освобождения от захвата. Изделие совершает плоское движение, силы, действующие на изделие, показаны на рис. 3.

Рис. 3. Расчетная схема падения изделия на четвертом этапе

При расстановке сил принимаем те же допущения, что и в предыдущих этапах:

m2% = Fn2 - N2; m2yC =G2 - Ft2 ;

J2 ф 2 =N2e sin ф2-FTp2 (e cos Ф2 +r).

Дифференциальные уравнения дополняем кинематическим соотношением xc =L -(r + ecos Ф2), дважды дифференцируя которое и выполняя преобразования, получим

J2Ф2 + q(2 )m 2ecos Ф2Ф2 = [Fn2 — m2 e cos Ф2 (Ф 2 )2 F(2 ), где q( ) = e sin Ф2 - |u(e cos Ф2 + r).

Решаем это дифференциальное уравнение относительно старшей производной и получаем

Fn2 — m2 e cos Ф2 (Ф 2 )2 , ч

ф 2 = —-----7—\----------q (2 ).

J 2 + q(P2 )m 2e cos Ф2 Интегрирование выполняем численными методами с использованием функции Odesolve пакета MathCAD до принятия заготовкой вертикального положения, Ф2 = я/2. При этом значение нормальной реакции

N2 = Fn2 -m2ecosФ2(Ф 2)2 -m2esinФ2Ф2, а зависимость координаты yc

Go — liN9

от времени имеет вид фc = ----- , интегрирование которого выполня-

m2

ем численными методами.

Общее время ориентирования изделия в гравитационном ориенга-торе определится суммированием времен движения всех этапов. Результат численного решения полученных дифференциальных уравнений представим в виде графиков зависимости времени ориентирования изделия t0р от

частоты вращения ротора О при различных значениях коэффициента трения (рис. 4).

0.50

ОАО

030

0,20

1

IJ=0.5 , ^чі=035

ii=0,2

20

W

60

О, мин

-/

Рис. 4. Графики зависимости времени ориентирования изделия в форме стакана от частоты вращения ротора

Анализ графиков показал, что с увеличением частоты вращения ротора от 0 до 40 мин происходит увеличение времени ориентирования по линейному закону и в диапазоне значений д = 0,2 -0,5 графики практически совпадают. При 0>40 мин 1 происходит резкое увеличение ^р, при

этом, чем больше коэффициент трения, тем наблюдается более глубоки перепад в изменении времени ориентирования изделия.

Список литературы1

1. Астраханцев А.Г., Прейс В.В. Кинематика процесса ориентирования изделия в гравитационном ориентаторе с L-образным захватом роторного ориентирующего устгойства // Изв. ТулГУ. Сер. Технические науки. Тула: Изд-во ТулГУ, 2008. Вып. 1. С. 57-64.

A. Astrahancev, E. Davidova, V. Preys

Dynamics of process of orientation of a product in a gravitational orientator with L-shaped capture of rotor the focusing device

Dependences of co-ordinates of the centers of weights and angular co-ordinates of a product with the equal sizes in the form of a glass from its geometrical parameters and design data of the gravitational orientator, necessary for definition of the functions describing process of orientation of a product in a gravitational orientator of rotor of the focusing device are considered.

Получено 19.01.09