Моделирование процесса очистки промышленных стоков с помощью затопленных горных выработок Текст научной статьи по специальности «Математика»

iv. проблемы и суждения

problems and opinions

л. В. Бондарева

ассистент, ФГБОУ ВПО «КемГУ»

Ю. н. захаров

д-р физ.-мат. наук, проф., заведующий кафедрой ФГБОУ ВПО «КемГУ»

УДК 519.6:628.39

моделирование процесса очистки промышленных стоков с помощью затопленных горных выработок

Рассматривается построение математической модели течения и распространения нерас-творенных примесей с изменением формы дна в виде замкнутой системы уравнений в частных производных. Приводятся методы решения полученных дифференциальных задач, а также картины течения и распространения примеси в зависимости от входных параметров задачи.

Ключевые слова: ПЕРЕНОС ПРИМЕСИ, РАСПРОСТРАНЕНИЕ ПРИМЕСИ, ЗАИЛИВАНИЕ

Введение

Кузбасс является одним из наиболее про-мышленно развитых регионов России. Для края актуальной является проблема утилизации отходов различных промышленных предприятий, в частности углеперераба-тывающих и углеобогатительных. Отходы угольной промышленности сложны по своей структуре и особо вредны для окружающей среды и человека. Обычно применяемые на практике технологии очистки промышленных вод зачастую затратны [1]. Поэтому на базе ш. Кольчугинской был запущен проект очистки сточных вод агло-фабрики Комсомолец [2]. Применение такой технологии позволяет значительно сократить затраты на очистку промышленных вод. Предложенная методика заключается в следующем: жидкие промышленные отходы закачиваются в отработанную затопленную горную выработку, где отстаиваются и разбавляются постоянно фильтрующимися через верхнюю кровлю грунтовыми водами, вследствие чего откачиваемая жидкость становится существенно более чистой, минимизируя воздействие углеперерабатываю-щего предприятия на окружающую среду.

Подаваемые в выработку промышленные стоки содержат разные по составу и свойствам примеси. В работах [2]-[6] рассматривалась проблема течения и распространения только рас-

творенных примесей. Однако в выработку попадают также нерастворенные примеси, большая часть которых оседает на дно. С течением времени концентрация осадка может возрасти настолько, что он перестанет смываться течением и форма дна изменится. В дальнейшем будем называть этот процесс «затвердеванием» примеси или «заиливанием» шахты.

Изучение процессов, протекающих в отработанных горных выработках, связано с большими практическими сложностями. Обводненная выработка представляет собой «черный ящик», так как реальные измерения каких-либо параметров возможны только на входе и выходе. В связи с этим возникает необходимость применения математического моделирования и численных экспериментов.

Целью данной работы является построение и изучение математической модели течения и распространения нерастворенных примесей в области, моделирующей отработанную горную выработку, с учетом возможности изменения формы дна вследствие накопления осадка.

1. Математическая модель

Предполагается, что в отработанную горную выработку подаются промышленные стоки, содержащие нерастворенные примеси в известной концентрации. Через верхнюю кровлю

в выработку фильтруются грунтовые воды, не содержащие нерастворенных примесей. Будем считать, что частицы примеси не влияют на течение, но оседают под действием силы тяжести и распространяются по выработке за счет диффузии и переноса вместе с потоком воды. Осевшие примеси могут накапливаться и «затвердевать», если на протяжении некоторого времени не сносятся потоками воды.

Скорость движения жидкости в затопленной горной выработке мала и боковые стенки не оказывают существенного влияния на осаждение, поэтому будем рассматривать только двумерную модель, которая в полной мере отображает тенденции развития процесса накопления твердого осадка.

Рассмотрим область решения, характерной для затопленной горной выработки формы [3] с границей дв = У/", /' = 1,...,4, где Г1, Г4 -

В выражениях (1)-(3) используются сле

дующие обозначения: и - вектор скорости, заданный своими компонентами и, и; и0@,х,у), и^,х,у), и0А,х,у) - известные функции, определенные на границе области решения дG;

ои

Я?е =

■ - число Рейнольдса; й - характерная

скорость, вычисляется как максимальная скорость входного потока; L0 - характерная длина.

Компоненты вектора скорости и, и связаны с вихрем ш и у функцией тока соотношениями:

ди ди ду

ш = —---;— > и = —— > и =

ду дх

ду

ду дх

Учитывая (3), зададим ш, у на дG следующим образом [8]:

входное и выходное отверстия; соответственно, высоты Н2, Г2, Г3 - нижняя и верхняя границы; соответственно, 2L1 + 2L2 + L3 - длины (рис. 1).

Считаем, что жидкость является однородной, вязкой и несжимаемой. Течение такой жидкости описывается безразмерной системой уравнений Навье - Стокса в переменных «функция тока - вихрь» [7]:

ш\ =0, ш\ = 7 = 0 ' 'дв

ди ди

дх ду

дв

(4)

</^ = 0 = 0, Г1:ц1 = и0(у - у); Г2: у = 0;

Г3: у = -и^ + иД; Г4:у = и{у - у); (5)

дш дш дш 1

-= -и--и -+ —

д1 дх ду «е

Г \

д2ш д2ш +

ч

дх2 ду2

(1)

У

и\ = 0 = ° и\ = о = 0; и = (и (Ш)МШ)); Г1:и = и0Р,х,у), и = 0; Г2: и = 0, и = 0; Г3:и = 0,и = и0(Ьх,у); Г4:и = и^,х,у), и = 0; (3)

Граничные условия для функции тока выбираются таким образом, чтобы выполнялось

условие \1Ш=о [8]. 1дт

Для моделирования переноса и диффузии примесей используется уравнение переноса примеси [9], учитывающее воздействие силы тяжести и диффузии:

научно-технический журнал № 1-2014

ВЕСТНИК

дс дС , дС „ — + и — + (и-и) — = 0 & дх 1 ^ ду

д2с д2С +

дх2 ду2

(6)

с соответствующими начальными и граничными условиями

С(х,у,0) = С0(х,у);

Г1: С = С(х,е^; ГО "т— + и с = Сп - с ;

ду

(7)

дС

Г3: С = С2(х,уЛ); Г4: — = о,

где С0^,х,у), СДх,у), С2(1х,у), ф$,х,у) - заданные функции, определенные на границе дG; С = С(х,у- концентрация примеси; из - скорость оседания примеси, характеризует массу оседающих частиц; D - коэффициент диффузии. На нижней границе области решения Г2 определяется поток примеси, равный разности расходов отрывающихся от дна частиц примеси С0 (отвечает за размыв осадка) и оседающих частиц Си1! (определяет аккумуляцию примеси на дне).

Осевшая на дно примесь может со временем изменять его форму. Данный процесс будем моделировать так: если на протяжении времени Т* в области решения вблизи границы концентрация осевшей примеси превышает пороговое значение С*, то будем считать, что данная примесь перестает сноситься течением и граница области решения переносится в соответствии с концентрацией С* и временем Т*.

2. Методы решения

и результаты расчетов

Поставленные дифференциальные задачи решаются методом сеток. Задачи (1), (2), (4), (5) и (6), (7) аппроксимируются обычным образом на разностной, согласованной с границей сетке с шагом hx, hy по пространственным переменным и шагом т по времени.

Уравнения переноса вихря и переноса примеси решаются неявной схемой стабилизирующих поправок [10].

Разностное уравнение Пуассона для функции тока решается методом минимальных невязок неполной аппроксимации с параметром -матрицей с использованием покомпонентной и глобальной оптимизации итерационных параметров [11].

Результаты решения поставленных задач, характеризующих процесс течения и рас-

пространения примеси с возможностью изменения формы дна вследствие «затвердевания» осадка, определяются в два этапа. Сначала решаются задачи (1)-(3), и тем самым находятся компоненты вектора скорости, на втором этапе решение задач (6), (7) позволяет получить картину распространения примеси в канале.

Далее представлены результаты при следующих значениях характеристик сетки и течения:

И2 = 0,5, Н1 = L2 = 0,6, L3 = 2, ^ = 0,1,

^ - ^ = 0,01, т = 0,01, Re = 400, и^,х,у) = 0,5, с0а,ху) = 02 и^=0 = 0' и^=о = а

В области решения течение развивается при малых скоростях, поэтому линии тока жидкости направлены вдоль канала, а вихревые структуры не образуются (рис. 2). По причине «затвердевания» осадка может измениться форма области решения, поэтому при каждом изменении границы Г2 течение жидкости пере-считывается (рис. 3).

На рисунке 4 представлена динамика распространения и оседания примеси. В момент безразмерного времени ^ = 0,05) в канал начинают поступать примеси с промышленными водами через вход слева, а через верхнюю кровлю поступает чистая вода. Примесь распространяется по каналу ^ = 1) вдоль линий тока неравномерно, а за счет диффузии - не только горизонтально, но и вертикально. Под действием силы тяжести на всем протяжении канала вдоль нижней границы выпадает осадок. Однако

Рисунок 2 - Течение жидкости в области решения

при и0 = -4п0Р2 \ Ь}

Рисунок 3 - Течение жидкости в измененной области решения при и0 = -4и<Н2 \ Ь3

124

большая концентрация примеси сосредотачивается преимущественно вдоль наклонных границ ^ = 10). Поток жидкости, подаваемый через верхнюю кровлю, дополнительно способствует вертикальному осаждению примеси. Уже на момент безразмерного времени ^ = 5) наблюдается частичное затвердевание осадка вдоль нижней правой наклонной границы, к моменту ^ = 20) канал значительно сужается. Данный набор параметров моделирует примесь, на которую незначительно действует диффузия. Основное распространение происходит в потоке воды. Параметр Т* характеризует примеси, затвердевающие по мере продвигания по каналу только у правой наклонной границы.

Как показано на рисунке 5, более «тяжелые» примеси (из > 0,1) более интенсивно задерживаются в области решения. Осадок накапливается и вдоль левой наклонной границы, количество примеси, достигающей выходного отверстия, уменьшается (рис. 5, 6).

Если в канал попадают очень легкие примеси, для которых коэффициент диффузии достаточно велик ф = 1,0), то влияние конвекции на них снижается (рис. 6). Наблюдается большая растянутость полей примеси одной концентрации. Поток чистой воды не дает примеси выходить из области решения и накопление осадка происходит по каналу равномерно.

Наиболее опасным вариантом развития

Рисунок 4 - Течение и распространение примеси при значениях параметров

D = 0,1; = 0,1; Сп - Св5 = - 0,8; С* = 0,6;Т* = 1 на моменты времени: 1 - / = 0,05; 2 - / = 1; 3 - / = 5; 4 - / = 10; 5 - / = 20; 6 - график изменения количества примеси на выходе из области решения

Рисунок 5 - Течение и распространение примеси при значениях параметров D = 0,1; = 1,0; Св - Св: = -1,0; С* = 0,6;Т* = 1 на моменты времени: 1 - / = 0,05; 2 - / = 1; 3 - / = 5; 4 - / = 10; 5 - / = 20; 6 - график изменения количества примеси на выходе из области решения

процесса осаждения является возможность так называемого залпового выброса (т. е. резкого увеличения концентрации и количества) примеси, выходящей из области решения, который может наблюдаться в случае даже кратковременного увеличения объема фильтруемых грунтовых вод (рис. 7). Как видно из рисунка 7, в интервале времени от t = 1 до t = 1,1 вместе с увеличением объема поступающей в канал через верхнюю границу жидкости в два раза происходит резкое увеличение количества примеси на выходе из области решения. До момента времени t = 1 происходит равномерное увеличение рассматриваемой величины, а после t = 1,1 показатели

уменьшаются до нормального значения, полученного для аналогичной задачи с постоянным объемом подаваемой жидкости.

В заключение можно сделать следующие выводы. Предложенная модель распространения и возможного «затвердевания» примеси позволяет не только исследовать процесс течения и распространения нерастворенных примесей, но и прогнозировать вероятность перекрытия канала тока жидкости и возможность «залпового выброса». Эмпирический подбор входных параметров задачи дает возможность моделировать примеси, обладающие разными свойствами.

Л йМ 4М1 ЛМ

Рисунок 6 - Течение и распространение примеси при значениях параметров

D = 0,1; = 0,1; Св - Св: = - 0,8; С* = 0,6;Т* = 5 на моменты времени: 1 - / = 0,05; 2 - / = 1; 3 - / = 5; 4 - / = 10; 5 - / = 20; 6 - график изменения количества примеси на выходе из области решения

Рисунок 7 - Модель залпового выброса примеси при резком увеличении объема поступающей через верхнюю границу жидкости в 2 раза в интервале времени от t = 1 до t = 1,1; D = 0,1; и = 1,0; Св - Сих = - 0,8; С* = 0,6;Т* = 1 на моменты времени: 1 - / = 0,05; 2 - / = 1; 3 - / = 5; 4 - / = 10; 5 - / = 20; 6 - график изменения количества примеси на выходе из области решения, где пик означает «залповый выброс» примеси

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Лесин, Ю. В. Охрана и рациональное использование водных ресурсов при разработке угольных месторождений Кузбасса / Ю. В. Лесин, Л. С. Скрынник. - Кемерово: Кузбассвузиздат, 2008.

2. Захаров, Ю. Н. Итерационный метод определения течения стратифицированной жидкости в проточном водоеме / Ю. Н. Захаров, А. В. Чирюкина // Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики : мат. V Всерос. науч. конф.,3-5 окт., 2006. - Томск, 2006. - С. 511-512.

3. Захаров, Ю. Н. Течение жидкости в подземных полостях с учетом фильтрации через стенки / Ю. Н.Захаров, А. В.Чирюкина // Инновационные недра Кузбасса. 1Т-технологии : сборник научных трудов VI Всерос. науч.-практич. конф, 19-21 марта, 2007. -Кемерово, 2007. - С. 305-309.

4. Захаров, Ю. Н. Течение идеальной жидкости в закрытых водоемах / Ю. Н. Захаров, Е. Л. Счастливцев, А. В. Чирюкина // Вычислительные технологии. - 2008. - Т. 13, спец. вып. 2. - С. 21-27.

5. Захаров, Ю. Н. Моделирование распространения загрязняющих веществ в затопленных горных выработках / Ю. Н. Захаров, В. П. Потапов, Е. Л. Счастливцев, А. В. Чирюкина // Вестник НГУ. - 2009. -Т. 7, вып. 4. - С. 66-72. - (Серия «Информационные технологии»).

6. Захаров, Ю. Н. Моделирование распространения примесей в затопленных горных выработках: монография / Ю. Н. Захаров, В. П. Потапов, Е. Л. Счастливцев, А. В. Чирюкина. - Кемерово, 2013. - 96 с.

7. Лойцянский, Л. В. Механика жидкости и газа / Л. В. Лойцянский. - М.: Наука, 1987.

8. Роуч, П. Вычислительная гидродинамика / П. Роуч. - М.: Мир, 1980.

9. Белолипецкий, В. М. Математическое моделирование в задачах охраны окружающей среды / В. М. Белолипецкий, В. Ю. Костюк, Ю. И. Шокин. - Новосибирск: Инфолио-пресс, 1997.

10. Яненко, Н. Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики / Н. Н. Яненко. - Новосибирск: Наука, 1967.

11. Захаров, Ю. Н. Градиентные итерационные методы решения задач гидродинамики / Ю. Н. Захаров. - Новосибирск: Наука, 2004. - 239 с.

MODELING PROCESS INDUSTRIAL Бондарева Любовь Васильевна

WASTEWATER USING FLOODED MINE e-mail: [email protected]

WORKINGS

L. V. Bondareva, Y. N. Zakharov Захаров Юрий Николаевич

The mathematical model construction of a e-mail: [email protected]

flow and distribution of not dissolved impurity with

form change of a bottom in the form of the system

of partial closed equation is considered. Methods of

the solution of the received differential tasks, and

also pictures of a current and impurity distribution

depending on entry parameters of a task are given.

Key words: IMPURITY TRANSPORT,

IMPURITY DISTRIBUTION, SLUDGE SETTLING

научно-технический журнал № 1-2014

ВЕСТНИК

127