CC BY
34
Манаков H.A., Еремин А.М.*, Толстобров Ю.В.*
Оренбургский государственный университет, *Бийский педагогический государственный
университет им. В.М. Шукшина
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ОБРАЗОВАНИЯ ОБРАТНЫХ ДОМЕНОВ
НА НЕОДНОРОДНОСТЯХ В ВЫСОКОАНИЗОТРОПНЫХ ОДНООСНЫХ МАГНЕТИКАХ
Статья посвящена теоретическому анализу в рамках теории микромагнетизма процесса перемагни-чивания одноосного высокоанизотропного магнетика с единичными когерентными и некогерентными низкоанизотропными магнитными выделениями разной формы и размера.
Механизм и параметры перемагничивания определяют эксплуатационные характеристики магнитного материала. Поэтому их прогнозирование весьма важно при разработке новых и совершенствовании известных высокоанизотропных магнитотвердых сплавов. Одним из основных механизмов формирования высококоэрцитивного состояния является задержки образования и роста зародышей перемагничивания. Однако, не смотря на огромный экспериментальный материал, накопленный по этому вопросу, систематические расчеты процессов зародыше-образования в реальных магнитотвердых материалах до настоящего времени не проведены. Поэтому целью настоящей работы является численное моделирования процессов перемагничи-вания высокоанизотропных магнетиков с когерентными и некогерентными магнитными дефектами различной формы и размеров, выступающими в роли центров зарождения доменов пе-ремагничивания, а также анализ влияния магнитостатических полей на эти процессы [1-10].
Теоретическое исследование процессов перемагничивания магнетиков, как правило, базируется на микромагнитный подход. В целом он был сформулирован в работе [11], где в наиболее общем виде выписаны основные уравнения, получаемые при варьировании функционала свободной энергии, вместе с граничными условиями. Однако непосредственное интегрирование этих уравнений без каких-либо упрощающих предположений не представляется возможным не только аналитически, но пока и численно. В связи с этим работы по теории микромагнетизма можно классифицировать по степени упрощения модели, независимо от объектов изучения.
В рамках одномерных одно-угловых приближений изучались массивные магнетики, тонкие магнитные пленки, мелкие ферромагнитные частицы. Существует обширная группа работ по перемагничиванию пластинчатого выделения (ПВ) в массивной матрице, среди которых
можно отметить работы [12-15], в которых рассматривался процесс разрушения однородно намагниченного состояния (ОНС) или закрепления доменных границ на ПВ. В этих работах получены аналитические выражения для коэрцитивной силы Нс в случае резкой границы в двух асимптотических приближениях, больших и малых толщинах выделения. Но в более общем случае, когда рассматриваются ПВ разной толщины и магнитные параметры ПВ и матрицы отличаются не только константой анизотропии, асимптотические оценки, полученные в этих работах не применимы.
Постановка задачи и методика численных расчетов. Рассматривались выделения в форме пластины, цилиндра и сферы в неограниченной матрице. Оси легкого намагничивания (ОЛН) матрицы и выделения были параллельны (когерентные выделения) или перпендикулярны (некогерентные выделения) друг относительно друга. Внешнее поле Н совпадало по направлению с ОЛН матрицы. Граница между выделением и матрицей аппроксимировалась резкой или непрерывной переходной областью, на которой магнитные параметры изменялись, соответственно, скачком или непрерывно и линейно.
Равновесное состояние магнетика во внешнем поле можно рассматривать, как некоторый локальный минимум функционала свободной энергии, определенного на пространстве функций состояния в непрерывном случае (микро-магнитный подход) или в К-мерном пространстве обобщенных координат в дискретном случае (гамильтониан Гейзенберга) [11].
При произвольном распределении намагниченности, задаваемом полем единичных векторов У(Х) (М (х) = М3У(х)), полная энергия системы без учета магнитоупругих эффектов и поверхностной анизотропии дается выражением: Е[У(х)] = |А(х)[(УУ1)2 + (УУ2)2 + (УУз)2]с1У+|Г(У(х))1У-
V 1 У
-|М8 (х)ЙУ(х)аУ - -1М8(х)Иш (х)У(х)^У (1)
где первый член описывает обменную энергию, второй - энергию магнитной анизотропии (Г(У(х))) - некоторая функция ориентации намагниченности, вид которой зависит от симметрии кристаллической решетки), третий -энергию намагниченности во внешнем поле Й, а последний - энергию магнитостатических полей рассеяния, создаваемых намагниченностью М£ (х), V - объем системы, А - константа обменного взаимодействия, М8 - константа намагниченности насыщения.
Если рассматривать полную энергию как функционал, определенный на фазовом пространстве системы, то необходимым условием равновесности состояния будет равенство нулю первой вариационной производной по (У(х)), вычисленной в этом состоянии.
Если произвести расчет вариации 8 E и приравнять ее к нулю, т. е. 8E = 0 , то получим два дифференциальных уравнения, описывающих рассматриваемую систему:
V х[2ЛЛУ-Ц + MS(Й + Йш)] = 0 (2)
аУ
V х^ = 0 Эи
(3)
Второе уравнение дает граничные условия, здесь п - внешняя нормаль к поверхности магнетика.
Размагничивающее поле Нт определяют через градиент магнитостатического потенциала И:
Н т =-У и (4)
Потенциал удовлетворяет уравнениям:
ЛИ = 4р М3 V- V
ЛИ = 0 (5)
Соответственно в объеме и вне объема магнетика и дополнительно граничным условиям на поверхности:
Ит = ИоШ:5
ЭИт
Эи
+ 4 р М3 и - V = -
ЭИои
Эи
,И (~) = 0, (6)
где И1П и иои - значения магнитостатического потенциала на поверхности, но внутри (И1П) и на поверхности, но снаружи (Иои1) магнетика. Дифференциальные уравнения (2-6) представляют собой основные уравнения микромагнетики вместе с граничными условиями. В них заключена полная формулировка задачи о равновесном положении вектора У.
Локальный минимум функционала (1), соответствующий равновесному состоянию магнетика можно искать численной минимизацией, без решения уравнений (2-3). Для этого необхо-
димо произвести дискретизацию, т. е. представить соответствующий интеграл (1) в виде суммы. В таком виде функционал Е можно трактовать как функцию К-переменных. Минимум функции соответствует минимуму функционала.
Нахождение равновесного состояния магнетика осуществлялось путем минимизации энергии системы Е в К-мерном пространстве обобщенных координат с помощью метода градиентного спуска и метода сопряженных градиентов. При этом выражение для энергии численно интегрировалось по формуле Симпсона (в случае одномерного приближения микромагнитной теории) и по обобщенной формуле прямоугольников (в случае двухмерного приближения микромагнитной теории). При построении петель гистерезиса в качестве начального приближения выбиралось однородно намагниченное состояние в достаточно большом поле. Затем, при уменьшении поля, каждое предыдущее решение являлось начальным приближением для последующего.
Уравнения для магнитостатического потенциала (5) в случае некогерентного цилиндрического выделения с граничными условиями (6) решалось методом конечных разностей. Был получен сеточный аналог уравнения (5), который при сгущении сетки приводится к уравнению (5), а на границе системы - к граничным условиям (6). Полученное сеточное уравнение решалось методом последовательной верхней релаксации [16].
Разработанная численная методика моделирования позволяет исследовать различные типы систем. Специфика модельного описания зависит от особенностей геометрии системы.
Результаты численных расчетов и их анализ.
Приведем некоторые результаты расчетов. Наиболее подробно они приведены и проанализированы в работах [1-10]. В частности, были определены значения коэрцитивной силы Нс и поля разрушения ОНС Но для четырех вариантов:
1)Ь = 0,05-100, Л = 0;
2) 2Л + Ь = 1,0-100, 2Л = 1,0;
3) 2Л + Ь = 2,0-100, 2Л = 2,0;
4) Ь = 0, 2Л = 0,2 -25;
где Ь - размер выделения (диаметр сферы или цилиндра или ширина ПВ), Л - ширина переходного слоя (ПС) (Ь и Л приведены в едини-
[Х2
цах .
-). А1=1, К1=0,01, М81=1 - параметры де-
фекта; А2=1, К2=1, М81=1 - параметры матрицы. Эти конкретные значения магнитных констант выделения и матрицы выбраны такими потому, что зародыш обратной намагниченности (ЗОН) образуется в областях с пониженным значением константы анизотропии К. Для общности полученных результатов магнитные константы и линейные размеры выделения и ПС взяты в безразмерных, относительных единицах.
В качестве примера на рисунках 1 показаны зависимости приведенных значений коэрци-
ЙСМ89
тивной силыДС =-----------2 и поля разрушения
К2
ОНС Д0 = ——— от приведенного диаметра Ь
К2
когерентного сферического выделения, а на
ЙСМ89
рисунке 2 - зависимость^ =--------2 от приве-
К2
денной толщины ПС Л некогерентного цилиндрического выделения.
В таблице 1 даны расчетные значения Нс и Н для магнетиков БшСо., Ш-Ре.-Б, Бш.Со,, с
о 5’ 2 14 ’ 2 17
выделением Со или Бе различной формы и размеров.
Установлено, что в случае резкой межфаз-ной границы быстрое уменьшение коэрцитивной силы и поля разрушения ОНС наблюдается с ростом размера выделения до
л [АТ ^ Iа 2
~ 4\\ЧТ~ - 5л ъг~ . При дальнейшем росте разме-V К2 V К2
ра выделения обе величины быстро достигают асимптотических значений, причем Н значительно раньше Но. Наличие достаточно протяженного ПС на границе дефекта уменьшает Нс до сколько угодно малых значений (см. рис. 2).
Согласно аналитическим оценкам работы [15] значения Нс для БшСо5 с ПВ Со при Ь >> 40 нм: Н (Л = 0) = 85 кЭ; Нс (Л = 2,5 нм) = 61 кЭ; Н (Л = 5 нм) = 40 кЭ; Н (Л° = 20 нм) = 36 кЭ; Н (Л = 40 нм) = 33 кЭ. Численным расчетам для Ь =
Рисунок 1. Зависимость приведенной коэрцитивной , ЙсМ82
силы Дс =--------- и приведенного поля разрушения
К2
Д = Й0М82
ОНС Д0 = -тт от приведенного диаметра Ь К2
(в единицах ) когерентного сферического
выделения (1 - Ьс(Ь), 3 - Ьо(Ь) для Б=0, Ь=0,05е100; 2 - Ь(Ь), 5 - ЬДЬ) для 2Б+Ь=1,0е100, 2Б=1,0;
4 - Ь(Ъ), 6 - Ьо(Ь) для 2Б+Ь=2,0е100, 2Б=2,0).
ПС
Рисунок 2. Зависимость приведенной коэрцитивной
Д ЙсМ82 й ПС О
силы Дс =--------- от приведеннои толщины ПС О
К2
(в единицах -^Ау^2 ) некогерентного цилиндрического выделения.
Таблица 1. Расчетные значения Нс и Но для 8шСо5, 8ш2Со17, Кё2Ре14Б с выделением Со или Ре различной формы и размеров
Ы„(кЭ)ГИо(кЭ)1
Магнетик Ь(нм) Л (нм) Когерентное выделение Некогерентное выделение
ПВ цилиндр сфера ПВ цилиндр
8тСо5+Со 80 80 20 40 44 [24] 40 [22] 46 [31,2] 44[28] 52 [40] 48[36] 46,4[28] 42,8[25,6] 52,8[36,8] 49,2[34,4]
№2Ре14В+Ре 86 172 43 86 13,7[7,3] 11,9[6,4] 14,6[9,1] 12,6[8,2] 15,5[11,9] 13,7[ 10] 14,6[8,8] 12,4[7,3] 15,7[11] 13,9[9,7]
8т2Со17+Со 104 208 52 104 10,4[5,7] 9,1[4,9] 11 [7,2] 9,75 [6,4] 11,7[9,1] 10,4[7,8] 10,8[6,5] 9,7[5,9] 11,96[8,4] 10,6[7,4]
85 нм дают: Нс (Л = 0) = 92 кЭ; Нс (Л = 2,5 нм) = 69 кЭ; Н (Л = 5 нм) = 47,7 кЭ; Н (Л = 20 нм) = 42,7 кЭ; Н (Л = 40 нм) = 39,7 кЭ.°
Непрерывная межфазная граница значительно облегчает перемагничивание. Это позволяет объяснить сравнительно невысокие экспериментальные значения Нс, наблюдаемые на высокоанизотропных магнетиках, формированием низкоанизотропных выделений с непрерывным изменением магнитных параметров на межфазной границе. Наиболее хорошее согласие достигается при учете изменения в выделении не только константы магнитной анизотропии, но и константы обменного взаимодействия и намагниченности.
Результаты настоящих исследований можно использовать для анализа гистерезисных свойств одноосных магнетиков, перемагничивание которого начинается с образования ЗОН на выделениях, достаточно удаленных друг от друга.
Установлено, что перемагничивание одноосного магнетика с низкоанизотропным выделением характеризуется тремя критическими полями: полем разрушения ОНС Но, коэрци-
тивной силой Нс и полем коллапса 30Н Нк при уменьшении перемагничивающего поля. Для
малых выделений (ь << 2^АуК ) Нс = Но = Нк, то есть перемагничивание происходит скачком при Н = Но, зародыш обратной намагниченности при этом неустойчив. В противном случае перемагничивание разбивается на два этапа: образование устойчивого ЗОН в выделении в поле Но и его выход в матрицу, то есть полное перемагничивание в поле Н . При К1 ф 0 возможно существование устойчивых неоднородных состояний в полях меньше Но (Нк < Но). С ростом толщины выделения Но резко снижается. Непрерывная межфазная граница существенно влияет на Но только при
Ь < 2^А// , когда ЗОН сильно «сжат» в выделении.
Учет магнитостатического члена в выражении для полной энергии системы в случае некогерентного цилиндрического выделения увеличивает значение Н и Н за счет анизотропии
с о
формы выделения.
Список использованной литературы:
1. Manakov N.A. Numerical modelling process of nucleation of inverse domains in uniaxial magnetics / N.A. Manakov A.M. Eryomin, Yu.V. Tolstobrov // The XIII th International Conference on Permanent Magnets. Suzdal - Moskow, 2000, Abstract book. - P. 63.
2. Еремин A.M. Численное моделирование зародышеобразования обратных доменов в высокоанизотропных магнетиках / А.М. Еремин // Программа и тезисы докладов IV Всероссийской конференции по математическому моделированию и информационным технологиям: Институт вычислительного моделирования СО РАН, Красноярск, 2003. - С. 24-25.
3. Еремин А.М. Микромагнетизм одноосного магнетика с пластинчатым выделением / А.М. Еремин, Ю.В. Толстобров // Бийский гос. пед. ин-т. - Бийск, 2000. - 10 с. Деп. в ВИНИТИ 29.06.00, №1834-В00.
4. Еремин А.М. Численное моделирование зародышеобразования обратных доменов на некогерентном дефекте в форме пластинчатого выделения в одноосных высокоанизотропных магнетиках / А.М. Еремин // Компьютерные технологии в науке, производстве, социальных и экономических процессах: Материалы 2 - ой Междунар. науч. - практ. конф.: В 6 ч. / Юж. Рос. гос. техн. ун-т (НПИ). - Новочеркасск: ООО НПО «ТЕМП», 2001. - Ч. 3. - С. 52 - 55.
5. Еремин А.М. Моделирование зародышеобразования обратных доменов на дефектах в высокоанизотропных магнетиках / А.М. Еремин, Н.А. Манаков, Ю.В. Толстобров // Краевые задачи и математическое моделирование: Сб. тр. 5-й Всерос. науч. конф., Т. 1. Краевые задачи механики сплошной среды, тепло - и массообмена. Краевые задачи в физике и химии твердого тела. Численные методы и пакеты прикладных программ, механика конструкций: НФИКемГУ. - Новокузнецк, 2002.- С. 115-119.
6. Еремин А.М. Численное моделирование зародышеобразования обратных доменов на дефектах в высокоанизотропных одноосных магнетиках / А.М. Еремин // Современные проблемы информатизации в технике и технологиях: Сб. трудов. Вып. 7. - Воронеж: Центрально-Черноземное книжное издательство, 2002. - С. 11 - 12.
7. Еремин А.М. Численное моделирование зародышеобразования обратных доменов в высокоанизотропных магнетиках / А.М. Еремин, Н.А. Манаков, Ю.В. Толстобров // Изв. ВУЗов. Физика. -2002. - Т. 44, №8 (Приложение). С. 26-29.
8. Еремин А.М. Численное моделирование зародышеобразования обратных доменов на дефектах в высокоанизотропных магнетиках / А.М. Еремин, Н.А. Манаков, Ю.В. Толстобров // Магнитная анизотропия и гистерезисные свойства редкоземельных сплавов: Сб. материалов. Всерос. школы-семинара. - Тверь: Твер. гос. ун-т, 2003. - С. 5-13.
9. Еремин А.М. Комплексный теоретический анализ гистерезиса одноосного высокоанизотропного магнетика с гетерогенным выделением второй фазы / А.М. Еремин // Физико-химические процессы в неорганических материалах: Доклады 9-ой Междунар. конф., посв. 50-летию Кемеровского гос. ун-та, в 2-х т. / КемГУ. - Т. 2. - Кемерово: Кузбассвузиздат, 2004. - С. 397-401.
10. Еремин А.М. Решение основной задачи микромагнетики для одноосного высокоанизотропного магнетика с единичным магнитным выделением различной геометрической формы / А.М. Еремин // Краевые задачи и математическое моделирование: Сб. тр. 6-й Всерос. науч. конф., Т. 1. Краевые задачи и методы их решения: НФИКемГУ. - Новокузнецк, 2003.- С. 152156.
11. Браун У.Ф. Микромагнетизм / У.Ф. Браун. - М.: Наука, 1979. - 159 с.
12. Aharoni A. Reduction in coercive force caused by a certain type of imperfection / A. Aharoni // Phys. Rev. - 1960. - V. 119, №1. -P.127 - 131.
13. Крюков И.И. Микромагнетизм одноосного магнетика с пластинчатым выделением / И.И. Крюков, Н.А. Манаков, К.С. Сахаев // ФММ. 1989. - Т. 68, №4. - С. 648 - 655.
14. Сахаев К.С. Задержка смещения доменной границы на высокоанизотропных включениях / К.С. Сахаев, И.И. Крюков, Н.А. Манаков // Физика магнитных материалов: Калинин, - 1983. - C. 21 - 25.
15. Сахаев К.С. Гистерезис одноосного магнетика с пластинчатым выделением / К.С. Сахаев, И.И. Крюков, Н.А. Манаков // VIII Всесоюз. конф. по постоянным магнитам: Тез. докл. - М., 1985. - C. 25.
16. Роуч П. Вычислительная гидродинамика / П. Роуч. - М.: Мир, 1976. - 616 с.
