Моделирование процесса нагрева тела при интенсивном тепловом воздействии на поверхность Текст научной статьи по специальности «Физика»

Механика

УДК 539.3

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА НАГРЕВА ТЕЛА ПРИ ИНТЕНСИВНОМ ТЕПЛОВОМ ВОЗДЕЙСТВИИ НА ПОВЕРХНОСТЬ

М. В. Юмашев1, М. А. Юмашева2, П. А. Краснова3

Рассматривается приближенный метод расчета нестационарных температурных полей для класса задач, когда имеет место быстрый и интенсивный прогрев некоторых объектов. Для различных граничных условий на нагреваемой поверхности, моделирующих задачу быстрого нагрева тела, в одномерной постановке предлагается метод приближенного решения нестационарного уравнения теплопроводности. Сравнение приближенных температурных полей с точным решением показывает достаточную приемлемость метода для практического использования. Для одного частного случая строится приближенное температурное поле с учетом температурной зависимости теплофизических параметров материала, что позволяет описывать локализацию тепла в разогретой зоне.

Ключевые слова: температурные напряжения, пластичность, остаточные напряжения.

An approximate method of calculating the nonstationary temperature fields for the case of fast and intensive heating of bodies is considered. The fast heating of a body is simulated by various boundary conditions at its heated surface. An approximate method is proposed in a one-dimensional formulation to solve the unsteady heat conduction equation with these boundary conditions. The applicability of this method in practice is confirmed by comparing the approximate temperature fields with the exact solution. An approximate temperature field is constructed for a particular case with consideration of a temperature dependence of thermal parameters, which allows one to describe the heat localization in a heated zone.

Key words: thermal stresses, plasticity, residual stresses.

1. Введение. Рассматривается приближенный метод расчета нестационарных температурных полей для класса задач, когда имеет место быстрый и интенсивный прогрев некоторых объектов. При этом характер нагрева таков, что можно выделить единственное определенное направление, в котором распространяется тепло, перепады температуры достигают значительных величин, на нагреваемой границе заданной величиной является температура или тепловой поток, а на остальных границах теплообменом с окружающей средой в процессе нагрева можно пренебречь.

Использование приближенных аналитических решений для определения температуры с последующим расчетом напряжений оправдано и простотой анализа аналитических формул, и тем, что применение методов, математическая точность которых выше точности определения физических констант и граничных условий, не имеет смысла [1].

Кроме того, имеется целый класс задач теории упругости (одномерных и осесимметричных), когда для поля механических напряжений получаются конечные аналитические выражения. В этом случае при решении термомеханических задач разумно и для температурных полей иметь конечные соотношения.

2. Уравнение теплопроводности и физические параметры задачи. В простейшем случае изотропного тела с характеристиками, зависящими от температуры, в декартовой системе координат уравнение теплопроводности выглядит следующим образом:

л Л 99 S щАв- — = —, dt pc

здесь Kt = — — коэффициент температуропроводности, к — коэффициент теплопроводности; величи-pc

на S представляет собой количество тепла, выделяемое единицей объема среды за единицу времени; 9 —

1 Юмашев Михаил Владиславович — канд. физ.-мат. наук, ст. науч. сотр. каф. газовой и волновой динамики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].

2 Юмашева Марина Андреевна — канд. физ.-мат. наук, ст. науч. сотр. НИИ механики МГУ, e-mail: [email protected].

3 Краснова Полина Андреевна — асп. каф. теории пластичности мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].

температура; р — плотность материала; c — удельная теплоемкость. Характерные значения основных теплофизических величин [2] для карбида циркония (9m — температура плавления):

к = 53 ДЖ ; с = 0,32^; р = 6730-^; вт = 3530°С. (1)

м • с • К кг • К м3

На границе Г могут быть заданы:

1) температура вг = F(Р,т), где Р — точка границы, т — время;

дв

2) поток тепла —к —— = Ф(Р,т), где п — вектор внешней нормали границы Г;

дп

дв

3) теплообмен по закону Ньютона к — = Hf(0 — 0*), где 9* — температура окружающей среды, Hf —

дп

коэффициент теплоотдачи.

Как отмечено в [3], условие теплообмена по Ньютону, когда задается линейная комбинация температуры и потока, справедливо только при малых отличиях температур среды и поверхности тела. При этом коэффициент теплоотдачи, даже если его считать не зависящим от температуры и координаты, определяется весьма грубо и известен только для некоторых случаев обтекания цилиндра или плоской стенки. Фактически формула теплообмена по Ньютону перекладывает все сложности физического процесса на определение коэффициента теплоотдачи Hf.

Введем безразмерные переменные: и, v, w — безразмерные координаты, отнесенные к характерному размеру h;

, 1 к kt , . t = TW7c = Tv (2)

в_в0

— безразмерное время (число Фурье); Т = -----безразмерная температура, а во = const — начальная

6m _ 60

л, hHf ^ ^ л h2 S

температура; N = —---безразмерный коэффициент теплоотдачи (число Ьио); sn = —--—— — без-

k k(6m _ во)

размерная плотность источника тепла; Тг = --— — безразмерная температура на границе;

6m _ в0

Qr = ттт,-^т — безразмерный поток на границе.

k(6m _ во)

3. Методика построения приближенного решения. В первую очередь построим приближенное решение уравнения теплопроводности для случая, когда на границе Г(и, v), определяемой криволинейной системой координат (и, v), задана температура Тг(Р, t). Здесь и далее все соотношения будут записываться в безразмерной форме. Тогда для определения температурного поля в теле как функции координат и времени необходимо найти решение уравнения

L{T)= 9 дт | д HuHw дт | д //,.//„ dT dT = о

ди Ни ди dv Hv dv dw Hw dw dt

с граничным условием

T = Тг при w = 0 (4)

и начальным условием

T = 0 при t = 0, (5)

где Hi — коэффициенты Ламе. Анализ известных точных решений [4] уравнения (3) с граничными (4) и начальными (5) условиями показывает, что в силу параболичности указанного уравнения температура мгновенно меняется в любой точке тела. Но реальные значения этих изменений могут быть измерены соответствующей аппаратурой по прошествии определенного времени, зависящего от значения координаты. Таким образом, в данной точке на глубине тела температура начинает меняться в тот момент, когда фронт температурного поля достигает этой точки. Линия фронта определяется точностью используемых измерительных приборов. Поэтому представляется естественным ввести в рассмотрение некоторую математическую поверхность, которая является границей между прогретой и холодной частями тела. При этом вдоль этой поверхности выполняются условия

дТ

T\w=i = 0, — =0. (6)

dw w=i

Решение задачи теплопроводности в зоне прогрева будем искать в виде

Т = £ Лг(Р,1) т, (7)

где — некоторые базисные функции, Лг определяются из граничных условий. Если пытаться искать простейшие выражения типа (7), то в силу трех граничных условий необходимо задавать минимум три члена в ряде (7). Тогда имеем

Т = Ло&о + Лт + Л2&2. (8)

При этом полагается, что то = 1, т (0) = 0, (0) = 0. Из условий на фронте температурного поля (6) и граничного условия (4), используя (8), получим следующее решение:

Т = Тг и^,1). (9)

Здесь функция имеет вид

I) = 1 + ЗДММ + В2(0^2М, (10)

где

Вг = -( /2 ,) , В2 = -< ^ \

Неизвестную функцию времени I, определяющую положение безразмерной границы прогретой зоны, найдем, следуя [4], из условия интегрального удовлетворения уравнению по прогретой зоне

Ни (Ь (Т)) | йийу = 0. (11)

5 1о )

Будем считать, что направление вдоль координатной линии и> есть единственное направление, в котором распространяется тепло, поэтому первые два слагаемых в (3) много меньше третьего. В результате, интегрируя по w, учитывая граничное условие (4) и выражение для температуры (9), в случае, когда Ни, , Нт не зависят от и, V, а функция Тг может быть представлена в виде

Тг = ЗДФ(Р), (12)

будем иметь

( I

дТо и

ШТо + /кнпят-йгю //Ф(Р)йийу =

, дw) I дЬ

где

_ I НиНьНи)

Второй интеграл считаем отличным от нуля. Поэтому имеем следующее уравнение:

I

(13)

из которого находится неизвестная функция 1(Ь).

Остановимся несколько подробнее на условии (12). В действительности это условие не накладывает жестких ограничений на задание температурного поля на границе Г. В большинстве случаев температуру на границе можно задать с достаточной степенью точности соотношением вида

Тг = ^ Тк (Ь)Фк (Р).

г=1

В силу линейности задачи теплопроводности можно искать решение для одного слагаемого, а затем найти общее распределение температуры как сумму отдельных решений.

Вернемся к анализу уравнения (13). Будем в качестве базисных функций для и ^>2 использовать степенные функции

(х) = хр, ^(х) = хд. (14)

Тогда из (10) легко получить

и = 1 —

q

q _ p

■<Pi

w

l)+p

p

q

w

<P2[J

Сохранение в выражениях (14) произвольных значений показателей степени р и д оправдано тем, что в дальнейшем можно улучшать приближенное решение соответствующим подбором этих параметров, используя, например, метод наименьшего квадратичного отклонения решения от точного как по объему, так и по характерному времени. Введем в рассмотрение функцию .](р, д):

J(p, q) =

' dVdt.

V

При этом характерное время Ь равно времени до разрушения (можно выбирать время исходя из каких-то других соображений так, чтобы был охвачен весь интересующий интервал времени). Оптимальные значения показателей степени р и д находятся из условий достижения функцией .](р, д) минимального значения:

^ = 0, ^ = 0.

др ' дд

Очевидно, что метод может быть обобщен и на случай введения большего числа базисных функций и неопределенных параметров, но ввиду резко возрастающей сложности исследования подобный метод начнет терять преимущества перед точным решением задачи теплопроводности в рядах или численно.

4. Сравнение с точным решением. Рассмотрим приложение данной методики к расчету конкретного элемента. Исследуем температурное поле в цилиндре радиуса К, на поверхности которого задана температура То. Введем цилиндрическую систему координат (г,ф,г) с осью г, совпадающей с осью цилиндра, радиальной координатой г и углом радиус-вектора ф. В качестве аппроксимирующей системы функций для ^>1 и ^>2 примем ^>1 = ш, ^2 = ш2. Тогда из (14) имеем соотношение

w2

u=[l-j) , w 4:1,

подставив которое в (13), получим

i

2Т0^ гп 0 0

Ч-т)*

dw = 0.

(15)

(16)

Остановимся на стационарном случае, когда То = const. Тогда уравнение (16) сведется к обыкновенному дифференциальному уравнению для функции l(t):

т = е-'>£

интегрируя которое получим уравнение связи l и t:

12t = l2 -

(17)

Для рассмотренного случая поле температур в цилиндре определяется следующим соотношением:

w

w > l,

t

3

2

где I как функция времени задается соотношением (17). Полученные соотношения (18) верны до тех пор, пока I не станет равным 1. Это произойдет в момент времени Ьо. В дальнейшем температура будет

дТ

меняться по всему цилиндру, и вместо условий (6) можно поставить условие -

дт

0.

'Ш=1

Проводя аналогичные рассуждения, для поля температур в цилиндре при Ь <Ьо получим следующее

выражение:

Т = а,1 (1 - w)2 + То - а1,

(19)

где параметр а^Ь), характеризующий изменение температура на оси цилиндра, можно определить из условия интегрального удовлетворения уравнению теплопроводности и прийти к условию типа

-2а1 + (1 - w) а (1 - w)2 - 1

dw = 0.

Отсюда, используя то, что I = 1 при а = То,

имеем

а1 = То ехр(-8(Ь - Ьо)).

(20)

Рис. 1. Сравнение модифицированного приближенного решения (сплошная линия) с точным решением (пунктир) уравнения теплопроводности для цилиндра, нагреваемого по внешней поверхности, в следующие моменты безразмерного времени: 1 — Ь = 0,012; 2 — 0,056; 3 — 0,2; 4 — 0,4

Соотношения (17)—(20) полностью определяют зависимость температуры от времени и координаты w. Сравнение этих зависимостей с точным решением [5] показывает, что до момента выхода температурного фронта на ось цилиндра такого вида приближенным решением хорошо описывается температурное поле. Однако в дальнейшем наблюдаются значительные отклонения от точного решения. Устранить этот недостаток и прийти к более точным оценкам можно, варьируя показатели степени в базисных функциях (14). Например, значительное улучшение корреляции приближенного и точного решений достигается, если выбрать в соотношении (15) показатель степени не 2, а 3/2. Аналогичным образом поступает А. М. Локощенко [6] при описании диффузионного процесса распространения коррозии. Сравнение модифицированного решения с точным показано на рис. 1.

5. Пример использования приближенного решения. В НИИ механики МГУ были проведены эксперименты по лазерному воздействию на керамические образцы балочного типа. Для описания этих экспериментов и разрабатывался данный приближенный метод решения уравнения теплопроводности.

Рассмотрим балку, находящуюся в ненапряженном состоянии. Считаем, что в момент времени Ь = 0 на всей поверхности балки с одной стороны внезапно создана температура, отличаю-

щаяся от начальной (Т = 0) на величину То. В дальнейшем эта температура внешним источником поддерживается на постоянном уровне. Для рассматриваемого случая уравнение теплопроводности в безразмерной форме имеет вид

д'2Т дх2

дТ

Ж

и решается с соответствующими начальным и граничным условиями

Т к=о = ° Т и=о = То,

(21)

(22)

где х — безразмерная координата по оси, направленной вглубь от поверхности нагрева. Характерным размером в этой задаче является толщина балки. В этой постановке хорошее согласование с точным решением уравнения теплопроводности дает приближенное решение (9), где зависимость температуры в зоне прогрева от координаты х принимается в виде параболы

Т = Т0 ( 1 - -

х < I; Т = 0, х>1.

(23)

о

2

Для неизвестной функции 1(Ь) после подстановки (23) в (11) получаем обыкновенное дифференциальное

уравнение I — = 6, из которого определяем границу температурного фронта как функцию времени: аЬ

I = у/Ш. (24)

Соотношения (23) и (24) полностью задают температурное поле в балочном образце. Граничные условия (22) с заданной постоянной температурой можно интерпретировать как условия воздействия лазера, при которых тонкий поверхностный слой находится в расплавленном состоянии при температуре, близкой к температуре плавления. Это состояние может наблюдаться при определенных режимах лазерного воздействия как в процессе облучения, так и некоторое время после. Такой подход позволяет описывать температурные поля только в моменты времени, когда поверхность достаточно разогрета. Недостатком данного решения является то, что его использование приводит к нереально большим сжимающим напряжениям на нагреваемой поверхности и, следовательно, к искажению реальной картины деформирования материала в слоях, прилегающих к облучаемой поверхности на начальном этапе, когда безразмерная координата теплового фронта много меньше единицы.

Чтобы уточнить решение на начальной стадии нагрева поверхности лазерным лучом, можно положить температуру на поверхности переменной равной То (Ь). В этом случае построение приближенного решения изменится только в части определения температурного фронта как функции времени. Из условия (13) получим следующее дифференциальное уравнение для определения неизвестной функции 1(Ь):

(11 _ 6 I (ВД)

dt l To(t) dt

При этом температурное поле внутри образца по-прежнему меняется по закону (23). Отметим, что соотношение (25) при условии То = const сводится к (23). Несмотря на то что при конкретизации той или иной зависимости То (t) температуры на поверхности от времени могут возникать сложности с интегрированием уравнения (25), развиваемый метод все равно представляет большой интерес. Выражение для температуры (23) позволяет в квазистатических задачах термомеханики рассчитывать напряженно-деформированное состояние образца, поскольку по ходу таких расчетов нет необходимости дифференцировать температуру по времени. Лишь для уточнения моментов времени, когда возникает то или иное напряженное состояние, полученное с использованием приближенного температурного поля (23), необходимо, пусть даже численно, определить функцию l(t) из уравнения (25).

Примем для начала, что температура на нагреваемой поверхности меняется по простейшему линейному закону То(t) = То t. Это соотношение будет выполняться или до окончания действия лазера, или до момента времени t*, когда на нагреваемой поверхности температура достигнет значения температуры плавления. Далее, в первом приближении температуру на поверхности можно считать постоянной величиной. Линейный закон изменения температуры на нагреваемой поверхности позволяет качественно оценить эффекты, возникающие на начальной стадии нагрева в поверхностных слоях материала, прилегающих к нагреваемой поверхности.

В этом случае из соотношений (23) и (25) получим для температуры внутри образца соотношение

/ x \ 2

T = T0t[l-j) , X^l] Т = 0, х>1,

где неизвестная функция времени определяется из решения дифференциального уравнения

dl 6 l

« I 1 (26)

Уравнение (26) удается проинтегрировать только численно. Заметим, что это обстоятельство не умаляет достоинства построенного приближенного решения, так как тот факт, что функция времени 1(Ь) неизвестна, не мешает во многих случаях получить аналитические решения задач определения напряженно-деформированного состояния. Уже имея конечные формулы для напряжений при определении конкретных эпюр напряжений, необходимо численно решать уравнение (26). В некоторых случаях задания зависимости температуры поверхности То(Ь) от времени уравнение (25) можно проинтегрировать, например в случае экспоненциальной зависимости. Тогда задача полностью решается аналитически. В любом случае все такие решения обладают определенным недостатком, потому что реальное лазерное воздействие характеризуется не температурой поверхности, а потоком энергии на поверхности. В связи с этим для

моделирования процесса лазерного воздействия более актуальной задачей является решение уравнения теплопроводности с заданием на границе теплового потока, поскольку, во-первых, луч лазера это и есть тепловой поток, а во-вторых, открывается возможность не только качественно, но и количественно изучить процессы, происходящие в самом начале действия луча лазера, еще до того, как на поверхности температура достигнет температуры плавления.

6. Модификация метода применительно к другим граничным условиям. Рассмотрим ту же задачу с балкой. Считаем, что на одной из ее поверхностей внезапно возникает постоянный тепловой поток до (безразмерная величина) и в дальнейшем интенсивность излучения источника и коэффициент поглощения материала не меняются в течение всего времени облучения. В безразмерной форме граничное условие на нагреваемой поверхности имеет следующий вид:

дТ

<?о

х=о

дх

Уравнение теплопроводности с начальным условием

Т |4=о = 0 (27)

и граничными условиями на нагреваемой поверхности (22) и на температурном фронте

дТ

Т|ж=г = 0, — =0 (28)

дх х=1

можно решить приближенно в соответствии с развиваемой выше методикой. Заметим, что тепловой поток в силу закона Фурье, имеющего в безразмерной форме вид

т = -Ц, (29)

удовлетворяет точно такому же уравнению, как и уравнение теплопроводности (21). Для того чтобы в этом убедиться, достаточно продифференцировать (21) по х и учесть (29). В результате получим следующее уравнение:

дх2 ~ сЯ

с соответствующими начальным и граничным условиями на нагреваемой поверхности

дк=о = 0, д|х=о = до.

Видно, что для теплового потока возникла та же самая задача, что и для температуры. Используем построенное выше приближенное решение (23):

х2

д = до [1 - , X ^ I] Я = 0, х > I. (31)

Здесь неизвестная функция времени 1(Ь) определяется, как и раньше, соотношением (24). Для определения температурного поля в балке подставим (31) в закон Фурье и проинтегрируем по координате х. Тогда получим

Т = ^г(1-т)3' т = 0' Х>1 (32)

Более простое решение можно построить следующим образом. Выберем для температуры трехчленное выражение типа (8), тогда из условий (27), (28) получим следующие выражения для температуры:

Т = ^(1_т)2' т = 0' х>1' (33)

Неизвестная функция 1(Ь) определяется, как и раньше, из интегрального условия (13), которое сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению. Интегрируя, получим для 1(Ь) следующее выражение:

I = л/бГ. (34)

Сравнение приближенных решений (32), (33) с точным решением [5] (см. рис. 2) говорит о приемлемости развиваемого метода. При этом решение (32) лучше согласуется с точным.

Температурное поле в образце при заданном на границе тепловом потоке определяется, например, соотношениями (33) и (34) вплоть до момента времени, когда температурный фронт достигнет другой поверхности образца. Это произойдет в момент безразмерного времени определяемый из уравнения I = 1. Из условия (30) получим

¿1 = 1/6. (35)

В экспериментах облучение образцов производили на ОКГ ГОС-30М в режиме свободной генерации с длительностью импульса Тг = 10-3 с, что в безразмерных величинах (¿¿) составляет для образца из карбида циркония с характерным размером 3,5 мм значение порядка 10-4. Таким образом, в безразмерной постановке поток до действует на поверхность образца в течение времени

¿г = 10

-4

(36)

Рис. 2. Сравнение приближенных решений (33), (25) (сплошная линия) и (34), (35) (штрихпунктир) с точным решением (пунктир) для задачи нагрева одной из боковых поверхностей балки в следующие моменты безразмерного времени: 1 — Ь = 0,005; 2 — 0,021; 3 — 0,047; 4 — 0,083

Сравнивая соотношения (35) и (36), приходим к выводу, что время воздействия лазерного импульса практически на три порядка меньше, чем время, в течение которого можно оценивать температурные поля в образце, используя соотношение (30). Поэтому рассматривать времена, большие ¿1, не следует даже в том случае, если лазерное воздействие составляло сотни импульсов. Гораздо актуальнее представляется задача, в которой исследовались бы процессы, происходящие в образце после окончания действия лазера.

Построим решение с учетом конечного времени лазерного воздействия. Считаем, что на одной из поверхностей балки внезапно возникает постоянный тепловой поток до (безразмерная величина), а через промежуток времени ¿г он мгновенно прекращается и далее теплообмен с окружающей средой не происходит. Такую ситуацию легко смоделировать наложением двух тепловых потоков на границе Г:

доо = д1 + д2 = до +

0,

г 4 ¿г;

-до, t > ¿г.

(37)

Решение уравнения теплопроводности с граничным условием (37) получается суммированием двух решений: первого — с заданным на границе потоком д1 и второго — с заданным на границе потоком д2. Первое решение задается формулой (33), где температурный фронт определяется соотношением (34). Второе решение получается из первого заменой до на -до в соотношении (33) и сдвигом по времени на ¿г в соотношении (34):

Т =

док 2

х

2

0,

1 к) ' к = л/

х > 11,

(38)

Объединяя формулы (33) и (38), окончательно получим следующее соотношение для температурного поля в образце, подвергнутом короткоимпульсному лазерному воздействию:

Т=

до1 (л х\ 2 0,

чг-

док

1

0, \ '

х I, '¿г;

X >> I, t ¿г;

X I, >> ¿г ;

х > I, ¿> и.

(39)

На рис. 3 показаны кривые изменения со временем температуры по сечению образца, определяемой соотношением (34) в соответствии с предложенной приближенной методикой. При этом безразмерные

2

х

I

2

2

1

Рис. 3. Кривые изменения со временем температуры по сечению образца, определяемой соотношением (40), в соответствии с предложенной приближенной методикой в следующие моменты безразмерного времени: 1 — Ь = 10-4;

2 — 1,5-10-4; 3 — 2,5-10-4; 4 — 4,5-10-4

Рис. 4. Сравнение приближенного (сплошная линия) и точного решений (пунктир) уравнения теплопроводности для случая теплообмена с массивным горячим телом в следующие моменты безразмерного времени: 1 — Ь = 0,012; 2 — 0,047; 3 — 0,102; 4 — 0,176

параметры задачи подобраны таким образом, что при завершении действия импульса лазера на поверхности как раз достигается температура плавления. Характерной чертой температурных полей при короткоимпульсном воздействии является немедленное сглаживание перепадов температуры сразу же после окончания действия импульса.

Отметим, что соотношение (39) при Ь < сводится к соотношению (33) и описывает температурные поля при достаточно продолжительном или многократном импульсном воздействии лазера (при и > 0,1).

В некоторых случаях быстрого нагрева холодного тела при контакте с горячим телом актуальным является учет теплообмена на поверхности контакта. В этом случае уравнение (21) следует решать с начальным условием (27) и граничными условиями на температурном фронте (28) и с условием теплообмена

ОТ дх

х=0

= N (Т - То)

х=0

(40)

где То — температура окружающей среды. Здесь предполагается, что горячее тело достаточно массивно, чтобы не учитывать изменение его температуры. Пользуясь описанной выше методикой, получим следующее распределение температуры по сечению нагреваемого образца:

Т (х,Ь) =

N1

N1 + 2

Ч)'

х ^ I;

Т = 0, х>1.

Движение температурного фронта в глубь образца определяется решением дифференциального уравнения

I ^

и

N1 + 2 2 (N1 + 4):

интегрируя которое, получим зависимость координаты температурного фронта 1(Ь) от времени Ь:

,2 4 , 8 ,

"т)

Сравнение приближенного и точного решений уравнения теплопроводности в случае теплообмена с массивным горячим телом показано на рис. 4.

7. Учет температурной зависимости теплофизических свойств материала от температуры. Построенные выше решения использовались для описания результатов экспериментов по лазерному воздействию на различные материалы. В целом расчетные результаты и качественно, и количественно хорошо согласуются с экспериментальными данными. Но есть и некоторые рассогласования. Расчетная температура на нагреваемой поверхности всегда оказывается несколько ниже, чем полученная в экспериментах. Одно из возможных объяснений такого положения вещей может быть связано с предположением, что теплофизические свойства материала приняты не зависящими от температуры.

Рассмотрим случай, когда изменением теплоемкости и плотности в зависимости от температуры можно пренебречь. В этом случае нелинейное уравнение теплопроводности будет выглядеть следующим образом:

дв д / _ дв'

рс

дт

д(3 \т др

где в — координата по оси, направленной в глубь образца (по направлению действия теплового потока на поверхности).

Предположим, что коэффициент теплопроводности линейно убывает с увеличением температуры: к = ко — р1 (9 — во)- Здесь во — температура окружающей среды; ко — значение коэффициента теплопроводности при температуре во; р\ — теплофизический параметр, характеризующий скорость изменения коэффициента теплопроводности в зависимости от температуры. Используя безразмерную температуру Т, координату х и теплофизический параметр р:

^ _ в — вр х — — — ^т ~

9 т — во' Н' ко '

преобразуем (39) к виду где безразмерное время Ь определяется аналогично (2):

— = — к(1-рТ) —

гЛ дх дх'

(41)

(42)

Ь = т

1_к_

Н2 рс

Н2'

дТ

Граничное условие на нагреваемой поверхности Фо = —к(Т) с помощью (41) и введения безразмерного

Фо п

потока д0 = —, (¿о = Чо

ко (От ~ до) к

примет безразмерный вид

ч дТ

» = -(1

(43)

Граничные условия на температурном фронте (28) не изменятся. Оценим значения некоторых физических констант для карбида циркония (1). В первом приближении для скорости уменьшения коэффициента теплопроводности р! с увеличением температуры можно принять значение 0,0075. Тогда безразмерная константа р примет значение 0,5. В экспериментах энергия лазерного воздействия и менялась в пределах от 0,1 до 10 Дж. Энергию лазерного воздействия можно пересчитать в тепловой поток на поверхности Фо 4и

по формуле Фо = ка ——, где с! — диаметр луча, т% — время воздействия, ка — коэффициент поглощения па2Т1

материала. Исходя из (42), получим, что при воздействии луча лазера диаметром с! = 0,5 см на образец из карбида циркония тепловой поток менялся в пределах от 106 до

109 В безразмерной постановке тепловой поток до меняется в пределах от 1 до 1000 ед. Выберем для температуры трехчленное выражение типа (8) и из условий (28) и (43) получим следующие выражения для температуры:

Т=

1 - VI - 2доР1 2 р

1

х < I; Т = 0, х>1.

Неизвестная функция 1(Ь) определяется, как и раньше, из интегрального условия (13), сводимого к обыкновенному дифференциальному уравнению, интегрирование которого дает следующую зависимость температурного фронта от времени (здесь принято до = 1, р = 0,5):

,2 (1 — I)2 2(1 — I)1'5 Ш = I2 + --- + —--—

Сравнение температурных полей с учетом и без учета температурной зависимости теплофизических свойств материала, когда на границе задан постоянный тепловой поток, показывает, что уменьшение коэффициента теплопроводности с ростом температуры приводит к дополнительному разогреву поверхностных нагреваемых слоев (рис. 5).

Рис. 5. Сравнение температурных полей с учетом (сплошная линия) и без учета (пунктир) температурной зависимости теплофизических свойств материала, когда на границе задан постоянный тепловой поток, при следующих значениях безразмерной координаты температурного фронта: 1 — I = 0,25; 2 — 0,5; 3 — 0,75; 4 — 1

к

г

2

Работа выполнена при финансовой поддержке грантов РФФИ № 09-08-00817 и 09-01-00144.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Кутателадзе С.С. Основы теории теплообмена. Новосибирск: Наука, 1970.

2. Физические величины: Справочник / Под ред. И.С. Григорьева, Е.З. Мейлихова. М.: Энергоатомиздат, 1991.

3. Кузнецов В.Н., Агахи К.А. Приближенный метод решения задач теплопроводности и диффузии // Изв. АН АзССР. Сер. физ.-техн. и матем. наук. 1985. № 1. 130-135.

4. Шестериков С.А., Юмашева М.А. Приближенный метод оценки нестационарных температурных полей // Деформирование и разрушение твердых тел. Вып. 23. М.: Изд-во МГУ, 1973. 15-20.

5. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. М.: Наука, 1964.

6. Локощенко А.М. Ползучесть и длительная прочность металлов в агрессивных средах. М.: Изд-во МГУ, 2000.

Поступила в редакцию 18.10.2007

УДК 532.59

ВЫНУЖДЕННЫЕ ВОЛНЫ НА МЕЛКОЙ ВОДЕ Ю.Л. Якимов1, А. Ю. Якимов2

В нелинейной постановке изучаются плоские поверхностные волны, генерируемые равномерно движущейся областью аномального давления. На вынужденные волновые движения распространяется метод узких полос. Решается обратная задача с заданием поверхности в виде модельного решения в области действия давления. Получены аналитические результаты, описывающие движение полупогруженного крыла заданного водоизмещения и движение области аномального давления с заданной внешней силой.

Ключевые слова: волна, аномальное давление, крыло, предельное условие, потенциальное течение, конформное отображение.

Plane surface waves induced by a uniformly moving region of abnormal pressure are studied in a nonlinear formulation. The narrow band method can be used to analyze the forced wave motion. An inverse problem is solved when the surface is given in the form of a model solution in the pressure region. The motion of a half-submerged wing of a given displacement and the motion of an abnormal pressure region with a given external force are described in analytical form.

Key words: wave, abnormal pressure, wing, limiting condition, potential flow, conformal mapping.

Рассмотрим стационарное потенциальное течение идеальной несжимаемой жидкости с плотностью р в прямолинейном канале бесконечной длины в поле силы тяжести.

Введем прямоугольную систему координат (x,y), жестко связанную с движущейся со скоростью V0 областью аномального давления, причем ось x принадлежит дну канала, а ось y направлена вертикально вверх. Введем среднюю глубину канала в виде

l

h = lim — / у(х) dx, 2l J -i

где y(x) — вертикальная координата свободной поверхности.

По теореме Бернулли на свободной поверхности имеет место соотношение

г, PV2

Р + — +9РУ = const,

1 Якимов Юрий Львович — доктор физ.-мат. наук, проф., гл. науч. сотр. НИИ механики МГУ, e-mail: [email protected].

2 Якимов Андрей Юрьевич — вед. инженер НИИ механики МГУ, e-mail: [email protected].