Управление потоком лазерного излучения при обработке материалов Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 536.2(075)

УПРАВЛЕНИЕ ПОТОКОМ ЛАЗЕРНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ ПРИ ОБРАБОТКЕ МАТЕРИАЛОВ

Е.В. СТЕФАНЮК Самарский государственный технический университет

С использованием интегрального метода теплового баланса на основе введения фронта температурного возмущения получено приближенное аналитическое решение задачи нестационарной теплопроводности при переменных во времени граничных условиях второго рода. Найденное решение было использовано для управления потоком лазерного излучения с целью поддержания заданной температуры материала во времени путем организации работы лазерной установки в пульсирующем режиме. Для моделирования пульсирующего режима был применен гармонический закон изменения мощности лазерного излучения во времени.

Ключевые слова: аналитические методы, фронт температурного возмущения, интегральные методы, дополнительные граничные условия, лазерное излучение.

Лазерные установки нашли широкое применение в промышленности как устройства, позволяющие получать тепловые потоки большой интенсивности. С их помощью можно выполнять многочисленные операции: обработку материалов (сверление, резку, сварку, закалку и прочее), инициирование взрывчатого вещества (путем передачи лазерного излучения по стекловолокну), а также решать многие другие технические проблемы.

При использовании лазерных установок важнейшей задачей является определение мощности излучения с целью достижения заданной температуры поверхности, необходимой для данного вида обработки материала. Температура поверхности и ее распределение по глубине изделия определяются продолжительностью лазерного излучения и теплофизическими свойствами материала. Характерной особенностью лазерного излучения является возможность достижения высоких температур поверхностей (достаточных для плавления или даже испарения твердого вещества) за очень короткие отрезки времени путем создания соответствующей мощности излучения. При этом во многих случаях необходимо создавать такой режим работы лазерной установки, при котором температура поверхности изделия с течением времени должна оставаться на неизменном заданном уровне. В этих случаях установка должна работать в пульсирующем режиме. Основной задачей здесь является правильный подбор мощности излучения и частоты пульсаций (периода колебаний).

Определение всех указанных выше параметров сводится к решению краевой задачи нестационарной теплопроводности при переменном во времени тепловом потоке (граничные условия 2-го рода). Например, для моделирования пульсирующего режима работы лазерной установки изменение теплового потока должно подчиняться гармоническому закону. Получение точных аналитических решений подобных задач и особенно для сверхмалых значений временной координаты весьма затруднительно.

К методам, позволяющим избежать указанные трудности, относятся интегральные методы теплового баланса. Однако их широкое применение

© Е.В. Стефанюк

Проблемы энергетики, 2009, № 5-6

сдерживается недостаточной точностью получаемых решений. Всякие попытки увеличения точности не приводили к существенным результатам [1-6].

В работах [1, 2, 3] изложен метод, относящийся к группе интегральных методов теплового баланса, позволяющий получать аналитические решения задач нестационарной теплопроводности с достаточно высокой точностью практически во всем диапазоне времени нестационарного процесса (0 < Ро< <ю) без каких-либо ограничений на величину числа Фурье в области малых его значений. Основную идею метода рассмотрим на примере решения задачи теплопроводности для бесконечной пластины, переменных во времени граничных условиях второго рода в следующей математической постановке:

90(|,Fo) д2 0(|,Fo)

dFo 0(1,0)=0 ; d0(1,Fo)

дГ

(Fo>0 ; 0< | < 1)

=0;

d0(0,Fo)

=Ki (Fo ),

(1)

(2)

(3)

(4)

где 0(p,Fo )=(T - ïo )/(Tc - ïo ) - безразмерная температура; Ki(Fo)= v(Fo)R/1 (Tc - T0 ) - критерий Кирпичева; Tc - температура среды; T0 -начальная температура; v ( Fo ) - плотность теплового потока; x/R -безразмерная координата; x - координата; R - половина толщины пластины; Fo=flx/R - число Фурье; а - коэффициент температуропроводности; т - время.

Процесс нагрева разделим на две стадии по времени: 0< Fo < Foi и Fo i < Fo<œ. Для этого введем движущуюся во времени границу (фронт температурного возмущения),

разделяющую исходную область 0 < | < 1 на две подобласти 0 < \ < qi(Fo) и q i(Fo) < ^ < 1, где q i(Fo) - функция, определяющая продвижение границы раздела во времени (глубина Рис. 1 расчетная схема теплообмена термического слоя) (рис. 1). При этом в области, расположенной за фронтом температурного возмущения, сохраняется начальная температура. Первая стадия процесса заканчивается при достижении движущейся границей центра пластины (|=1 ), т. е. когда Fo = Fo1 . Во второй стадии изменение температуры происходит по всему объему тела 0 < | < 1. Здесь вводится в рассмотрение дополнительная искомая функция q2 (Fo)=0(1,Fo), характеризующая изменение температуры во времени в центре пластины [1, 2, 3].

Ввиду кратковременности действия потока лазерного излучения вторая стадия процесса теплопроводности (стадия регулярного режима) в настоящей работе рассматриваться не будет.

Математическая постановка краевой задачи для первой стадии процесса в результате введения фронта температурного возмущения q i(Fo) будет включать уравнение (1) с граничным условием (4), а также следующие граничные условия, выполняющиеся на фронте температурного возмущения:

0 (qi,Fo )=0; (5)

д0 (qi,Fo )/д4=0, (6)

(0 < Fo < Foi; 0 < 4 < ql(Fo))

где соотношения (5), (6) представляют условия сопряжения прогретой и непрогретой зон. Соотношение (5) устанавливает равенство температуры тела в точке 4=qi (Fo ) его начальной температуре. Согласно условию (6) тепловой поток

не распространяется за пределы фронта температурного возмущения.

Обратим внимание на тот очевидный факт, что на первой стадии процесса задача (1), (4) - (6) за пределами фронта температурного возмущения, т.е. на отрезке q i(Fo) < 4 < 1, вообще не определена. В связи с этим нет никакой необходимости выполнения начального условия вида (2) по всей толщине пластины (поэтому такое условие отсутствует в математической постановке задачи (i), (4) - (6)). В данном случае вполне достаточным является выполнение граничного условия (5), согласно которому для всех 4=qi(Fo) температура тела равна начальной температуре. Кроме того, в данной задаче отсутствует также граничное условие вида (3) в виду того, что оно не влияет на процесс теплообмена в первой его стадии.

Решение задачи (i), (4) - (6) разыскивается в виде следующего полинома:

0 (4 ,Fo)= j^ak(qi) 4k , (7)

k=0

где ak (qi) - неизвестные коэффициенты. Для их определения используются граничные условия (4) - (6). Подставляя (7) (ограничиваясь тремя членами ряда) в (4) - (6), для определения ak(qi)(k = 0, i, 2) будем иметь систему трех алгебраических линейных уравнений. После определения ak (qi) соотношение (7) примет вид

0(4,Fo) = Ki(Fo)(0,5qi - 4 + 0,542/qi ). (8)

Для нахождения неизвестной функции qi(Fo) в первом приближении составим невязку уравнения (i) и проинтегрируем ее в пределах глубины термического слоя (что равнозначно построению интеграла теплового баланса):

Ч »«Л) „4 = Ч d4. (9)

0 dFo 0 д42

Определяя интеграл в правой части соотношения (9), находим © Проблемы энергетики, 2009, № 5-6

qf dO(£,Fo)^^ = d0(gi,Fo) 50(0,Fo) 0 dFo

Учитывая (4) и (6), соотношение (10) принимает вид

q} 50 (£,Fo ) , х

f--—- d£ = Ki (Fo ). (11)

0 SFo

Подставляя (8) в соотношение (11) (принимая Ki = const), относительно неизвестной функции q1(Fo) приходим к следующему обыкновенному дифференциальному уравнению:

dqj = 6 dFo. (12)

Начальное условие для уравнения (12) имеет вид

q1(0) = о.

Интегрируя уравнение (12), при начальном условии q1(0) = 0 получаем

q1 =V6Fo. (13)

Положив q1(Fo)=1, найдем время окончания первой стадии процесса Fo = Fo1 = 0,1667.

Подставляя (13) в (8), получим решение задачи (1), (4) - (6) в первом приближении:

0(£,Fo) = 0,5Ki

£ 2 >

V6FÔ - 2 £+-

V6FÔ

(14)

Анализ результатов расчетов температуры по формуле (14), в сравнении с точным решением [7], позволяет заключить, что полученные по формуле (14) значения температур в диапазоне чисел Фурье 0,03 < Fo < Fo1 = 0,1667 отличаются от точных их значений не более чем на 6%, а при Fo < 0,03 отличие составляет около 1%.

Найдем решение задачи (1), (4) - (6) в первом приближении для случая, когда тепловой поток - линейная функция времени:

Ki(Fo) =Ki0Fo, (15)

где Ki 0 - начальная величина теплового потока.

Обыкновенное дифференциальное уравнение относительно неизвестной функции q1 (Fo) в данном случае будет

.2 2

dq. q,

= 6. (16)

dFo Fo

Интегрируя уравнение (16), при начальном условии q1(0) = 0 получаем © Проблемы энергетики, 2009, № 5-6

^(Ро)= л/зРо .

(17)

Соотношения (8), (17) определяют решение задачи (1), (4) - (6) в первом приближении при линейной зависимости теплового потока от времени.

Полученные выше аналитические решения были использованы для расчетов температурного состояния различных материалов при воздействии на них потока лазерного излучения. При этом рассматривались два варианта: тепловой поток не зависит от времени и тепловой поток - гармоническая функция времени.

Одномерность задачи для первой стадии процесса обосновывается тем, что импульсному лазерному облучению миллисекундных длительностей подвергаются поверхности изделий, толщины которых (0,1 - 0,2 мм), по сравнению с поперечным размерами пятна лазерного излучения, совершенно незначительны, что позволяет пренебречь величиной тепловых потоков в плоскости пятна излучения [8 - 10].

При оценке температурного состояния конкретных материалов аналитические решения необходимо представить в размерном виде. Например, формула (14) в этом случае приводится к виду (при неучете отражательной способности материалов)

гЯ

Т = 70 + 0,5— 0 А

___ (1 -

Я2 V Я Г ^6 ат/Я2

6-01-2 1 - -'

Последняя формула для поверхности пластины (х = Я) будет

Т = Т0 + 0,5-л/б«Т. (18)

А

Результаты расчетов температуры по формуле (18) приведены на рис. 2

(алюминий: А = 204 Вт/(мК); а = 91 • 10-6 м2/с), рис. 3 (сталь: 1 = 45,4 Вт/(мК); _6 2

а = 12,5 • 10 м/с), рис. 4 (взрывчатое вещество: 1 = 1,05 Вт/(м-К); _7 2

а = 6,11 • 10 м /с). Начальная температура во всех случаях принималась равной

Т) = 20° С. Анализ результатов расчетов позволяет заключить, что изменение температуры поверхности пластины при одной и той же мощности лазерного излучения и для одних и тех же значений времени существенно зависит от теплофизических свойств материала.

Как видно из графиков рис. 2 - 4, температура поверхности с течением времени неограниченно возрастает. Стабилизация температуры может иметь место, однако для этого необходимо существенно увеличивать время воздействия на материал потоком лазерного излучения, тогда как для многих практических случаев требуется, чтобы температура поверхности, достигнув за определенное минимальное время некоторой заданной величины, в дальнейшем оставалась бы неизменной. Для достижения этих целей необходима организация работы лазерной установки в импульсном режиме. Такой режим работы математически можно смоделировать, если задать гармонический закон изменения мощности потока лазерного излучения. Граничное условие (4) в этом случае принимает вид

где Рй = а К2/а - критерий Предводителева; К = Куо/[^(Тс _ То )]; ю = 2п/п; П - период полного колебания мощности теплового потока, с ; го - начальная величина теплового потока.

2000

Т, 1с

1500

1000

500

20

10-10* - 8*1 (И, ¿.щ4 ——-

4-104

3-10"1 2Ю4

.|0 кВт/ см2

О

0,05

0,1

0,15

Рис. 2. Распределение температуры во времени на поверхности алюминиевой пластины в зависимости от мощности лазерного излучении

2000

Т, "С

1500 1000

500 20

ККОУ8-1(И/ 6.10* 5-104

v-] ■иЛсВт&м2

О 0,05 0,1 0,15 с

Рис. 3. Изменение температуры во времени на поверхности стальной пластины в зависимости от мощности лазерного излучении

Уравнение для функций в данном случае будет

йW ( Ро ) Рй -1 = 6 _ W (Ро )-,

йРо 1е(РйЕо)

где W(Ро) = ^ (Ро).

Интегрируя уравнение (20), при начальном условии #1(0) = 0 находим

(20)

íl(Fo) =

6[1 - cos (PdFo )]

V Pd sin (PdFo )

Формула для определения температуры в размерном виде будет

(21)

Г = Г, + 0,5 Wl6a(1 - {1 -

Л I у ш sin(üax) ^

x

R

+

+

1 -

x R

6а(1 - cos(üt))

ш sin

in(üx)

(22)

so»

6UU

400

2110

20

1 5-101__

МО3 v=l-10 кВт/см1

0

0,005

0,01

0,015

Рис. 4. Изменение температуры во времени на поверхности пластины из материала взрывчатого вещества в зависимости от мощности лазерного излучения

По формуле (22) при заданной величине амплитуды теплового потока уц можно найти такое значение периода колебаний п, при котором температура поверхности пластины будет оставаться заданной и неизменной во времени.

7 2

Например, при уц = 20 • 10 Вт/м для поддержания на поверхности алюминиевой пластины температур 200 °С, 400 °С, 600 °С необходимо соответственно задавать значения п, равные 0,1196 с, 0,5325 с, 1,2404 с. Для поддержания температуры поверхности стальной пластины 1200 °С, 1400 °С, 1600 °С при такой же величине уо значения параметра п соответственно будут следующие:1,852 с, 2,532 с, 3,318 с.

Для достижения температур поверхности взрывчатого вещества, равных 100 °С,

5 2

150 °С и 200 °С, при V о = 5 • 10 Вт/м величина параметра п соответственно будет 0,149 с, 0,3934 с и 0,745 с.

В заключение отметим, что рассмотренный выше метод может быть успешно применен и для решения нелинейных задач теплопроводности [3]. Ввиду значительного диапазона изменения температур, возникающих в материале при воздействии потока лазерного излучения, решение краевой задачи в линейной постановке может приводить к существенной неточности определения температурного состояния изделия и особенно для материалов с ярко выраженной нелинейностью теплофизических свойств от температуры.

2

Summary

With use of an integrated method of thermal balance on the basis of introduction of front of temperature indignation are received the approached analytical decision of a problem of non-stationary heat conductivity at variables in time boundary conditions of the second sort. The found decision has been used for management of a stream of laser radiation for the purpose of maintenance of the set temperature of a material in time by the organisation of work of laser installation in a pulsing mode. The harmonious law of change of capacity of laser radiation has been applied to modelling of a pulsing mode in time.

Key words: analytical methods, front of temperature perturbation, integral methods, additional boundary conditions, laser beam.

Литература

1. Кудинов В.А., Аверин Б.В., Стефанюк Е.В., Назаренко С.А. Аналитические решения задач теплопроводности с переменным начальным условием на основе определения фронта температурного возмущения // Инженерно - физический журнал. Т. 80. №3. 2007. С. 27-35.

2. Кудинов В.А., Аверин Б.В., Стефанюк Е.В. Решения задач теплопроводности при переменных во времени граничных условиях на основе определения фронта температурного возмущения // Известия АН. Энергетика. №1. 2007. С. 55-68.

3. Кудинов В.А., Аверин Б.В., Стефанюк Е.В.. Теплопроводность и термоупругость в многослойных конструкциях: Учеб. пособ. для вузов. М.: Высшая школа, 2008. 391 с.

4. Гудмен Т. Применение интегральных методов в нелинейных задачах нестационарного теплообмена // Проблемы теплообмена. М.: Атомиздат, 1967. С. 41-96.

5. Беляев Н.М., Рядно А.А. Методы нестационарной теплопроводности: Учеб. пособие для вузов. М.: Высшая школа, 1978. 328 с.

6. Постолъник Ю.С. Метод осреднения функциональных поправок в задачах теплопроводности // Тепло - и массоперенос. Минск, 1972. Т.8. С. 23-29.

7. Лыков А.В. Теория теплопроводности. М.: Высшая школа, 1967. 600с.

8. Гуреев Г.Д., Гуреев Д.М. Влияние временной формы лазерного импульса на характер изменения температуры поверхности на стадии нагрева // Вестник Самарского госуд. техн. ун-та. Сер. Физико-математические науки. №1. 2008. С. 130-135.

9. Рыкалин Н.Н. Лазерная обработка материалов. М.: Машиностроение, 1975. 296 с.

10.Гуреев Д.М. Основы физики лазеров и лазерной обработки материалов. Самара: СамГТУ, 2001. 393 с.

Поступила в редакцию 03 декабря 2008 г

Стефанюк Екатерина Васильевна - канд. техн. наук, ассистент кафедры «Теоретические основы теплотехники и гидромеханика» (ТОТиГ) Самарского государственного технического университета (СГТУ). Тел. 8 (8462) 270-90-72; 8-906-3444700. E-mail: stef-kate@yandex.ru.