Моделирование процесса движения фронта замораживания пищевых материалов при криогенной обработке Текст научной статьи по специальности «Химические технологии»

621.56/664.95

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ДВИЖЕНИЯ ФРОНТА ЗАМОРАЖИВАНИЯ ПИЩЕВЫХ МАТЕРИАЛОВ ПРИ КРИОГЕННОЙ ОБРАБОТКЕ

Е.П. КОШЕВОЙ, В.С. КОСАЧЕВ, Н. И. СЛЕДЬ,

В.Ю. ЧУНДЫШКО

Кубанский государственный технологический университет

Процесс теплообмена при замораживании пищевых продуктов при криогенной обработке, например жидким азотом, связан с изменением агрегатного состояния жидких компонентов материала и скачкообразным изменением физико-химических свойств в этом процессе [1]. Задача описания такого процесса относится к нелинейной краевой задаче [2] как по параметрам процесса теплопереноса, так и по граничным условиям, связанным с движением фронта промерзания между замерзшей фазой и фазой, содержащей жидкие составляющие компоненты.

Вначале рассмотрим упрощенную формулировку этой задачи, предполагая, что при погружении продукта в жидкий азот температура на его поверхности снижается до температуры среды - температуры кипения жидкого азота и поддерживается таковой в течение всего процесса. Учитывая, что в данной задаче используется граничное условие первого рода, данное допущение является реалистичным для начальной стадии процесса. В этом случае процесс промерзания описывается уравнениями теплопередачи в пористой полуог-раниченной пластине, заполненной водной фазой, одна из сторон которой скачкообразно охлаждается до температуры среды. Процесс переноса тепла вглубь продукта описывается следующим образом.

В начальный момент времени температура на поверхности продукта опускается до температуры среды - кипения жидкого азота (Тс = 77 К), остающейся за счет интенсивного теплообмена с внешней средой постоянной и значительно более низкой, чем температура замерзания, которая рассчитывается с учетом температурной депрессии по формуле [3]

Т7 = 273+-

1-У 0

0,06908- 0,4393 Уп

(1)

ношение объема материала к его площади. Для малых времен промерзания можно считать, что разность Т (гф т) - Т(¥, х) стремится к 0 при малых т.

В этом случае краевую задачу можно рассматривать как задачу с граничными условиями первого рода с движущейся границей.

где т > 0; 0 < х < X;

ЭТ,(х, т)= э

= ап Эх Эх2

(2)

(3)

где т > 0; X < х < ¥;

Т2 (х, 0) = Т0 [так как при т = 0; X (0) = 0]; (4)

Т.(0, т)= Тс; (5)

Т1(Х, т) = Т2( X т) = Т2; (6)

ЭТ2(%, т)

эх

= 0.

(7)

На границе раздела фаз в этом случае выполняется условие их сопряжения, учитывающее поглощение тепла при фазовом переходе:

, ЭТ1[Х( ^ т] , ЭТ2 [Х( T), т] v й ( ) (8)

1313---------------- = Р^0 У 2—4, т). (8)

Эх Эх йт

Данная задача решается путем введения температурных полей для каждой отдельной фазы на основе независимого решения задачи для полуограниченных тел [2]. В этом случае инварианты тепловых полей каждой фазы будут иметь вид

где У() - влагосодержание пищевого материала, кг/кг.

В результате образуется промерзший слой переменной толщины X (т), нижняя граница которого имеет температуру замерзания Т7, а верхняя - температуру среды Тс. На этой границе происходит фазовый переход капиллярно-жидкой воды в лед с поглощением тепла, равного теплоте фазового перехода (р = 335 кДж/кг). Учитывая, что в начальный момент времени температура пищевого материала равна его начальной температуре (Т0 = 298 К), контроль адекватности принятых допущений можно вести по изменению температуры в центре материала, что соответствует эффективному радиусу Гф, определяемому как от-

Т1(х ,т) = А1+В11— 4

л/р и

*

ехр

х

. а,т

2 2 а2т

Т2(х, т)= А2 + В24

ехр

(

*

2а1т

(9)

(10)

Используя Гауссову функцию ошибок, имеющую

вид

еф(и) = -^ 4 ехр(—и 2)

—и2 )йи,

(11)

2

х

х

х

х

х

и

можно записать инварианты решений

T (x,х) = A7 + Б, erf

T2(x,х) = A2 + Б2 erf

2[о~х

(12)

(13)

Ti(0, х) = Tc = A і + Б, erf

T2(x,0) = T0 = A2 + Б2 erf

0

2/all

(14)

(15)

Следовательно, А1 = Тс; А2 = Т0 - В2. Подставив полученные величины в уравнение (6), имеем следующее тождество:

Tc + Б, erf

= T0 - Б 2 + Б 2 erf

2^1 a2 х

= T7 .(16)

Учитывая, что при вынесении параметра В2 можно получить функцию егфс(и) = [1 - егф(и)] и необходимость выполнения тождества для любых т, приходим к выводу соотношения ХА/г = Р, где Р - постоянная величина.

В этом случае постоянные В1 и В2 можно определить из тождества (16), а инварианты тепловых полей примут вид

erf

Ti(x, х) = Tc +(Tz-Tc )-

erf

2/07

(17)

erfc

T2(x,х)= T0 +(T0 -T7)-

erfc

2/o7

(18)

Дифференцируя полученные инварианты тепловых полей по координате и учитывая, что координата равна ь/х, получаем возможность использовать эти производные для определения неизвестного параметра р.

exp

Л

4 a,

л/я

a1 terf

p

; (19)

Неизвестные постоянные интегрирования А1 и А2 определим из граничных условий (4) и (5). Будем исходить из того, что при т ® 0 Гауссова функция ошибок имеет предел равный 1, а при х ® 0 - предел равный 0. В этом случае получаем систему алгебраических уравнений для расчета этих величин.

exp

л

4 a2

a2х erfc

p

2д/0"

. (20)

Полученные значения этих производных вместе с производной

d p/х=1-t

dх 2 Л

(21)

подставим в условие сопряжения фаз (8) и после умно-

1/2

жения правой и левой части на т получаем характеристическое уравнение для расчета параметра Р

1i(Tz - Tc)

erf

p

2ja7

exp

Л

4 a7

|

erfc

p

2Va"

л

4 a2

pY о У 2 VP

(22)

p.

Решение данного уравнения в аналитическом виде затруднено из-за наличия неаналитических функций erf (и) и erfc(u). Поэтому для численного решения использовали теплофизические параметры влагосодержащего продукта, рассчитанные по уравнениям [3]:

У1 =

1053

1-Y

0,982+ 0,1131Y0 + 0,25746- 0

Tc - 273

У2 = 1053;

3874 - 2534 Y0 + 902893-

1-Y о

Її =

(Tc - 273) c2 =[1448(1-Y 0)+ 4187Y 0 ];

0,930

0,378+ 1,376Y0 + -

(23)

(24)

(25)

(26) (27)

Tc -273,

12 =[0,087+ 0,501 Y0 + 5,052 ■ 10- Y0(T0 -273)];(28)

_ I' .

ci У і c2 У2

(29)

(30)

x

x

x

2

x

x

x

c=

p

x

p

где у - плотность, кг/м3; с - удельная теплоемкость, Дж/(кг • К); Я -коэффициент теплопроводности, Вт/(м • К); а - коэффициент темпе -ратуропроводности, м2/с; индексы 1 и 2 соответственно относятся к промерзшему и исходному слою материала.

Характеристическое уравнение (22) для данных теплофизических параметров можно решить графическим путем [2], если левую и правую части этого уравнения нанести на график относительно р. Установлено, что приближенное значение параметра Р » 0,0015 м/с1/2.

В отличие от традиционного подхода, оправданного для решения задач промерзания влажного грунта [2] (малый тепловой потенциал среды), где аналогичное характеристическое уравнение разлагалось в ряд Тейлора и решалось аналитически, в нашем случае такой подход неприменим. Полученные значения параметра Р в этом случае дают нереалистичные оценки температурных полей. Поэтому решение осуществлялось численным методом.

Для получения точного значения эта величина была определена в качестве начального приближения, которое использовали в определении уточненного значения методом секущей.

В результате было получено значение параметра Р = 0,001556 м/с1/2. Таким образом, были рассчитаны температурные поля в каждой фазе, которые определяются уравнениями (17) и (18).

Прямое использование этих уравнений, как в традиционных решениях, не представляется возможным из-за наличия движущейся границы кристаллизации, определяемой по уравнению £( т) = Р/х, которое и разделяет применимость каждого из температурных полей. Очевидным решением этой проблемы является использование нами функции Хевисайда от координаты и времени

Т _ Ф(х, т) = Т2 (х, т)Ф(х — Рл/т) + Т1 (х, т)ф(Рл/Г — х). (31)

Использование обобщенного уравнения (31) позволяет формировать расчеты, связанные с процессами теплопереноса в пищевых материалах в начальный момент времени при условии соблюдения граничных условий первого рода.

Данное ограничение является мало реалистичным при изменении соотношения материала и жидкого азота. Для повышения экономичности этой фазы процесса соотношение стремятся увеличить, что приводит к переходу процесса из задачи первого рода к краевой задаче с граничными условиями третьего рода, а именно по закону Ньютона. Как показано [2], краевую задачу третьего рода можно свести к аналогичной задаче первого рода, если ввести новый параметр Н = а/Я, связанный с размером тела га1, находящимся в условиях теплообмена первого рода, соответствующих условиям теплообмена тела Гф с граничными условиями третьего рода по формуле гац = Гф + 1/Н. Для промышленных установок коэффициент теплообмена а на стадии криогенного замораживания составляет 120 - 200 Вт/(м2 • К) [1]. Таким образом, дополнительная толщи-

на находится в пределах от 0,01355 до 0,00277 м. Для решения вопроса о величине коэффициента теплообмена а воспользуемся экспериментальными данными о криогенном замораживании ягод клубники с известной толщиной криогенной корки в зависимости от времени криогенной стадии [4], которые представлены в таблице.

Таблица

Время, с

Толщина промерзания, м

Эксперимент

Расчет

Отклонение, м

10

15

20

0,00063

0,00108

0,00158

0,00062

0,00173

0,00266

0,00001

0,00065

0,00109

Аппроксимируя табличные данные с учетом найденной величины Р и минимизируя отклонения этих данных от расчетной скорости промерзания, определили значения Я = 0,57067 Вт/(м • К) и а = = 132,8 Вт/(м2 • К).

Если представить форму ягоды клубники как сочетание полусферы и конуса, то можно вывести формулу для расчета теплофизического радиуса:

Гф =-

V.

где

(4 3)лй3

объем

(32)

яго ды;

4 РЯ,, 2

рЯ^л/я, + Ь - площадь поверхности ягоды; КЛ, Ь,,

соответственно радиус и длина ягоды.

Учитывая, что оцениваемые параметры Я и а нахо -дятся в пределах допустимых для данного материала теплофизических характеристик, а величина параметра Гефф, определенного по экспериментальным данным, практически совпадает с расчетным значением для клубники, представленной комбинацией полусферы и конуса, можно сделать вывод о применимости данного подхода для описания начальной стадии криогенного замораживания ягод клубники. В результате применения формулы (32) для параметров, соответствующих реальным ягодам Я= 0,015 м и Ь= 0,04 м, имеем значение Гф = 0,00481 м. Используя полученные данные, в дальнейшем произведем построения более сложной модели криогенного замораживания, учитывающей ограниченность процесса замораживания клубники как во времени, так и в пространстве. Для этого необходимо произвести построение инвариантов температурных полей для ограниченного тела сложной формы и на основании полученных зависимостей определить скорость промерзания этого тела.

ВЫВОДЫ

1. Описание процесса криогенного замораживания с учетом движения фронта замораживания возможно с использованием функции Хевисайда от координаты и времени, при этом параметр уравнения движения

2

+

фронта замораживания определяется численным методом.

2. Расчетное описание процесса криогенного замораживания согласуется с экспериментальными данными по замораживанию ягод клубники.

ЛИТЕРАТУРА

1. Эрлихман В.Н., Фатыхов Ю.А. Консервирование и пе -реработка пищевых продуктов при отрицательных температурах. -Калининград: КГТУ, 2004. - 248 с.

2. Лыков А.В. Теория теплопроводности. - М.: Высшая школа, 1967. - 599 с.

3. Sanz P.D., Domonguez M., Mascheroni R.H. Equations for the prediction of thermophysical properties of meat products // Latin Am. Appl. Res. - 1989. - 19. - P. 155-164.

4. Agnelli M.E., Mascheroni R.H. Cryomechanical freezing. A model for the heat transfer process // Journal of Food Engineering. -2001. - 47. - P. 263-270.

Кафедра машин и аппаратов пищевых производств

Поступила 19.09.06 г.

664.047

ОСОБЕННОСТИМАССОПЕРЕНОСА ПРИ СУШКЕ РЫБЫ

A.Э. СУСЛОВ, В.Н. ЭРЛИХМАН, Ю.А. ФАТЫХОВ,

B.В. ПОПОВ, Е.Е. ИВАНОВА

Калининградский государственный технический университет Кубанский государственный технологический университет

Процесс сушки - один из основных этапов в технологии приготовления копченой и вяленой рыбопродукции. Факторы, определяющие внутренний массо-перенос в рыбе и внешний массоперенос от рыбы к сушильному агенту, в значительной степени влияют на продолжительность процесса и его энергоемкость, а также определяют органолептические показатели готовой продукции и сроки ее хранения.

При расчете и анализе массообменных процессов необходимо знать равновесное и рабочее состояния фаз, участвующих в процессе. В работе [1] приведены результаты определения равновесной влажности воздуха и фарша из рыбы по методу Ван-Беммелена путем длительной сушки навески фарша в эксикаторе. Однако в литературе отсутствуют методики расчета процесса сушки с учетом массобменных характеристик материала и потока воздуха.

Мышечные ткани рыбы относятся к влажным коллоидным капиллярно-пористым телам [2]. Движу щи-ми силами удаления влаги при сушке таких тел являются градиенты влагосодержания, температуры и не-релаксируемого давления, а кинетику внутреннего массопереноса в общем случае можно описать уравнением скорости изменения влажности в любой точке тела [3]

ди/дт = ат72П + ат5У20 + кр / р0У2р, (1)

где и - влагосодержание тела; 0 - перепад температур в теле; р - общее давление влажного воздуха в теле; ат - коэффициент диффузии; 5 - относительный коэффициент термодиффузии; кр - коэффициент молярного фильтрационного переноса влаги; р0 - плотность абсо -лютно сухого тела; 72 - оператор Лапласа.

Известно, что массоперенос под влиянием общего давления влажного воздуха в теле - градиента нерелак-сируемого давления - достигает существенных величин при температуре в продукте близкой к 100°С. При этом, наряду с повышением давления, вследствие увеличения удельного объема защемленной в порах и капиллярах влаги происходит интенсивное парообразо-

вание по всему объему влажного тела, что характерно для процессов обжаривания, сушки токами высокой частоты и др. Поскольку процесс сушки рыбы осуществляют при температурах не выше 35°С, влияние градиента нерелаксируемого давления незначительно и им можно пренебречь.

Нами экспериментально установлено, что прогрев тканей рыбы в процессе сушки до температуры сушильного агента в зависимости от толщины рыбы длится 0,1-0,8 ч, это составляет сравнительно небольшую величину от общей продолжительности сушки. За это время температура выравнивается и остается постоянной в различных точках по толщине тела рыбы, т. е. градиент температуры стремится к нулю, что указывает на незначительное влияние термовлагопровод-ности на скорость сушки. Чтобы сделать окончательный вывод, необходимо сравнить скорость удаления влаги в период прогрева и период сушки при постоянной температуре.

Рис. 1

На рис. 1 приведены графики изменения влагосодержания рыбы и при продолжительности сушки т в теплонасосной сушильной установке (ТНСУ) (кривые: 1 - мойва, 2 - треска, 3 - окунь, 4 - ставрида, 5 - вомер). При этом скорость удаления влаги остается практически постоянной, и в расчетах ТНСУ для вяления и холодного копчения рыбы этот параметр можно принимать постоянным. Начальный период прогрева рыбы не оказывает влияния на массоперенос. Общее количество удаленной влаги в течение этого времени - не более 1,5% от массы рыбы, следовательно, влиянием тер-мовлагопроводности на массоперенос в этом случае можно пренебречь.

Таким образом, массоперенос при вялении и холодном копчении рыбы математически может быть описан первым слагаемым уравнения (1)

ди/ дт = а тУ2и. (2)

Можно принять, что процесс удаления влаги из рыбы описывается уравнением влагопроводности при постоянном положении зоны фазовых превращений.